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文檔簡介
湖南省岳陽市2024屆高三數(shù)學上學期教學質(zhì)量監(jiān)測(一)試題一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.)1.在復平面內(nèi),復數(shù)z對應的點為,則()A.i B.-i C.2i D.-2i【答案】B【解析】【分析】由題可得,再由復數(shù)除法法則即可求解.【詳解】因為復數(shù)z對應點的坐標為,所以,所以.故選:B.2.已知集合,,則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先解不等式,即,再依據(jù)并集的運算求解即可.【詳解】因為,所以,即,又,所以,故選:C3.已知直線l:和圓,則“”是“直線l與圓C相切”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】C【解析】【分析】依據(jù)直線和圓相切求得的值,由此求得正確答案.【詳解】圓的圓心為,半徑為,若直線與圓相切,則,解得.所以“”是“直線l與圓C相切的充要條件.故選:C4.已知函數(shù)的一個零點是,將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后所得圖象的表達式為()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得,然后依據(jù)三角函數(shù)圖象變換、誘導公式等學問求得正確答案.【詳解】依題意,,所以,,向左平移個單位長度得到.故選:D5.核電站只需消耗很少的核燃料,就可以產(chǎn)生大量的電能,每千瓦時電能的成本比火電站要低20%以上.核電無污染,幾乎是零排放,對于環(huán)境壓力較大的中國來說,符合能源產(chǎn)業(yè)的發(fā)展方向,2024年10月26日,國務院發(fā)布《2030年前碳達峰行動方案》,提出要主動平安有序發(fā)展核電.但核電造福人類時,核電站的核泄漏核污染也時時威逼著人類,如2011年,日本大地震導致福島第一核電站發(fā)生爆炸,核泄漏導致事故所在地被嚴峻污染,主要的核污染物是鍶90,它每年的衰減率為2.47%.專家估計,要基本消退這次核事故對自然環(huán)境的影響至少須要800年,到那時,原有的鍶90大約剩()(參考數(shù)據(jù))A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意,每年的剩余量可構成等比數(shù)列,據(jù)此求出800年后剩余量即可得解.【詳解】由題意,設一起先鍶90質(zhì)量為1,則每年的剩余量構成以為公比的等比數(shù)列,則經(jīng)過800年鍶90剩余質(zhì)量為,兩邊取常用對數(shù)可得:,所以,故選:B6.已知兩個等差數(shù)列2,6,10,…及2,8,14,…,200,將這兩個等差數(shù)列的公共項按從小到大的依次組成一個新數(shù)列,則數(shù)列的各項之和為()A.1666 B.1654 C.1472 D.1460【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意求出兩個數(shù)列相同的項組成的數(shù)列,求出項數(shù),然后求出它們的和即可.【詳解】有兩個等差數(shù)列2,6,10,…及2,8,14,…,200,由這兩個等差數(shù)列的公共項按從小到大的依次組成一個新數(shù)列:2,14,26,38,50,…,182,194,共有項,是公差為12的等差數(shù)列,故新數(shù)列前17項的和為,即數(shù)列的各項之和為1666.故選:A.7.已知三棱錐的全部頂點都在球O的球面上,是球O的直徑.若平面平面,,,球O的體積為,則三棱錐的體積為()A.9 B.18 C.27 D.36【答案】A【解析】【分析】由題意可得,,進而說明平面,再求得球的半徑,依據(jù)即可求得答案.【詳解】如圖,三棱錐的全部頂點都在球O的球面上,是球O的直徑O為中點,∴,,∵平面平面,平面平面,平面,∴平面,設,由球O的體積為,可得,則,∴三棱錐的體積為9,故選∶A.8.已知正實數(shù)x,y滿意,則下列不等式恒成立的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用特別值推斷AC,利用不等式性質(zhì)及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性推斷B,依據(jù)解除法推斷D.【詳解】取,則不成立,故A錯誤;由,當時,,所以,即,故B錯誤;取時,,而,所以,故C錯誤;由ABC錯誤,解除法知,故D正確.故選:D二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求,全部選對的得5分,有選錯的得0分,部分選對的得2分.)9.已知函數(shù),則()A.是周期函數(shù) B.函數(shù)在定義域上是單調(diào)遞增函數(shù)C.函數(shù)是偶函數(shù) D.函數(shù)的圖象關于點對稱【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)正弦函數(shù)周期推斷A,由指數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)的單調(diào)性推斷B,依據(jù)奇偶性定義推斷C,由函數(shù)中心對稱充要條件推斷D.【詳解】令,則,所以函數(shù)為周期函數(shù),故A正確;因為,因為在定義域上單調(diào)遞減,且,所以由復合函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)可得在定義域上是單調(diào)遞增函數(shù),故B正確;令,則,所以函數(shù)是奇函數(shù),故C錯誤;因為,所以函數(shù)的圖象關于點對稱,故D正確.故選:ABD10.甲、乙、丙、丁四名同學報名參與假期社區(qū)服務活動,社區(qū)服務活動共有“關懷老人”、“環(huán)境檢測”、“圖書義賣”這三個項目,每人都要報名且限報其中一項.記事務A為“恰有兩名同學所報項目相同”,事務B為“只有甲同學一人報‘關懷老人’項目”,則()A.四名同學的報名狀況共有種B.“每個項目都有人報名”的報名狀況共有72種C.“四名同學最終只報了兩個項目”的概率是D.【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)分步乘法計數(shù)原理可求得四名同學的報名狀況的種數(shù),推斷A;依據(jù)古典概型的概率公式可推斷;依據(jù)條件概率的概率公式,可推斷D.【詳解】由題意甲、乙、丙、丁四名同學每人都要報名且限報一項,每人都有3種選擇,則共有種,A正確;“每個項目都有人報名”,則必有兩人報同一個項目,故此時報名狀況有種,B錯誤;“四名同學最終只報了兩個項目”,此時可先選出兩個項目,報名狀況為分別有兩人報這兩個項目,或者一人報其中一個,另三人報名另一個項目,故共有種報名狀況,則“四名同學最終只報了兩個項目”的概率是,C正確;事務A為“恰有兩名同學所報項目相同”,有種報名方法,則,事務B為“只有甲同學一人報關懷老人項目”,若同時發(fā)生,即恰有2名同學所報項目相同且只有甲同學一人報關懷老人項目,則有種報名方法,則,故,D正確,故選:11.正方體的棱長為1,點P在線段BC上運動,則下列結論正確的是()A.異面直線與所成的角為60°B.異面直線與所成角的取值范圍是C.二面角的正切值為D.直線與平面所成的角為45°【答案】BC【解析】【分析】建立空間直角坐標系,利用向量法確定AB,由二面角的平面角的定義法確定C,利用向量法求線面角推斷D.【詳解】如圖,在正方體中建立空間直角坐標系,則,設,對A,由,,即異面直線與所成的角為90°,故A錯誤;對B,,則,當時,,,當時,,因為的對稱軸為,所以當時,,即,由,知,綜上,,故B正確;對C,取中點,連接,則,所以為二面角的平面角,在中,,故C正確;對D,在正方體中,,平面,所以平面,即平面一個法向量為,又,所以,故D錯誤.故選:BC12.已知拋物線上的兩點,及拋物線上的動點,直線PA,PB的斜率分別為,,坐標軸原點記為O,下列結論正確的是()A.拋物線的準線方程為B.三角形AOB為正三角形時,它的面積為C.當為定值時,為定值D.過三點,,的圓的周長大于【答案】BCD【解析】【分析】由拋物線方程推斷A,依據(jù)正三角形求出直線斜率,聯(lián)立拋物線求點A坐標即可推斷B,干脆計算結合在拋物線方程上化簡可推斷C,依據(jù)題意及圓的性質(zhì)求出半徑,結合點在拋物線上可得出半徑范圍,即可推斷D.【詳解】對A,由拋物線知準線方程為,故A錯誤;對B,當三角形AOB為正三角形時,不妨設A在第一象限,則,直線方程為,聯(lián)立,可得,故,所以,故B正確;對C,,當為定值時,為定值,故C正確;對D,因為圓過三點,,,所以可設圓心為,則,平方后可得,故,因為,所以,即,故,所以圓的周長,故D正確.故選:BCD三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在答題卡中對應題號后的橫線上.)13.已知,,,均為銳角,則______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系、誘導公式、兩角和的余弦公式求解.【詳解】因為,,且,均為銳角,所以,,所以.故答案:14.已知某車間在上半年的六個月中,每個月的銷售額y(萬元)與月份()滿意線性回來方程,則該車間上半年的總銷售額約為______萬元.【答案】198【解析】【分析】依據(jù)線性回來方程,分別將x的值代入,結果相加,即可得答案.【詳解】由題意可得該車間上半年的總銷售額約為:(萬元),故答案為:19815.已知橢圓E:的左、右焦點分別為、,圓P:分別交線段、于M、N兩點,則______.【答案】##1.2【解析】【分析】依據(jù)橢圓的定義及圓的半徑確定,再由數(shù)量積坐標運算求解.詳解】由知圓心,半徑,又橢圓方程為,所以在橢圓上,且橢圓的焦點,,所以,,因為,所以,又,所以.故答案為:16.數(shù)列的前n項和為,,且對隨意的都有,則(1)若,則實數(shù)m的取值范圍是______;(2)若存在,使得,則實數(shù)m為______.【答案】①.②.或【解析】【分析】(1)由求得的取值范圍.(2)求得的規(guī)律,對進行分類探討,由此列方程求得的值.【詳解】依題意,,對隨意的都有,則,,,,,以此類推,結合兩式相減得,可知數(shù)列的奇數(shù)項是首項為,公差為的等差數(shù)列;偶數(shù)項是首項為,公差為的等差數(shù)列.(1)若,即.所以的取值范圍是.(2)若存在,使得,.當為奇數(shù)時,為偶數(shù),由得:,解得.當為偶數(shù)時,為奇數(shù),由得:,解得.綜上所述,的值為或.故答案為:;或【點睛】依據(jù)遞推關系求解數(shù)列的有關問題,關鍵是從遞推關系中求得數(shù)列的通項公式.本題中的遞推關系,通過分析后可知奇數(shù)項和偶數(shù)項是不同的,所以在求解時,要對的奇偶性進行分類探討.四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)17.已知數(shù)列滿意,且數(shù)列的前n項和為.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設,求數(shù)列的前n項和.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)由對數(shù)運算及等比數(shù)列的定義推斷數(shù)列為等比數(shù)列即可得解;(2)依據(jù)裂項相消法求數(shù)列的和即可.【小問1詳解】因為,所以.所以數(shù)列是首項為1公比為3的等比數(shù)列,所以數(shù)列的通項為.【小問2詳解】由(1)知數(shù)列的前n項和,所以.所以數(shù)列前n項和.18.8月5日晚,2024首屆湖南·岳陽“洞庭漁火季”開幕式在洞庭南路歷史文化街區(qū)工業(yè)遺址公園(岳陽港工業(yè)遺址公園)實行,舉辦2024首屆湖南·岳陽“洞庭漁火季”,是我市深化實行中心和省委“穩(wěn)經(jīng)濟、促消費、激活力”要求,推出的大型文旅活動,旨在進一步深挖岳陽“名樓”底蘊、深耕“江湖”文章,打造“大江大湖大岳陽”文旅IP,為加快推動文旅融合發(fā)展拓展新維度、增加新動力.活動期間,某小吃店的生意異樣火爆,對該店的一個服務窗口的顧客從排隊到取到食品的時間進行統(tǒng)計,結果如下:取到食品所需的時間(分)12345頻率0.050.450.350.10.05假設每個顧客取到食品所需的時間相互獨立,且都是整數(shù)分鐘.從排隊的第一個顧客等待取食品起先計時.(1)試估計“恰好4分鐘后,第三個顧客起先等待取食品”的概率;(2)若隨機變量X表示“至第2分鐘末,已取到食品的顧客人數(shù)”,求X的分布列及數(shù)學期望.【答案】(1);(2)分布列見解析,【解析】【分析】(1)由頻率估計概率得出Y的分布列,“恰好4分鐘后,第三個顧客起先等待取食品”對應3個互斥事務,據(jù)此求概率即可;(2)X全部可能的取值為0,1,2,結合(1)求出對應概率得分布列,由期望定義求期望.【小問1詳解】設Y表示每個顧客取到食品所需的時間,用頻率估計概率,得Y的分布列如下:123450.050.450.350.10.05A表示事務“恰好4分鐘后,第三個顧客起先等待取食品”,則事務A對應三種情形:①第一個人取到食品所需的時間為1分鐘,且其次個人取到食品所需的時間為3分鐘;②第一人取到食品所需的時間為3分鐘,且其次人取到食品所需的時間為1分鐘;③第一個和其次個人取到食品所需的時間均為2分鐘.所以.【小問2詳解】X全部可能的取值為0,1,2.對應第一個人取到食品所需的時間超過2分鐘,所以;對應第一個人取到食品所需的時間為1分鐘且其次個人取到食品所需的時間超過1分鐘,或第一個人取到食品所需的時間為2分鐘,所以;對應兩個人取到食品所需的時間均為1分鐘,所以;所以X的分布列為:0120.50.49750.0025所以19.在中,三個內(nèi)角A,B,C的對應邊分別為a,b,c,.(1)證明:;(2)求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)利用余弦定理、正弦定理化簡已知條件,結合三角恒等變換的學問證得.(2)轉(zhuǎn)化為只含的三角函數(shù)的形式,利用換元法、構造函數(shù)法,結合導數(shù)求得的取值范圍【小問1詳解】依題意,由余弦定理得,,由正弦定理得,,,,由于,所以,則由于,所以,則,所以或(舍去),所以.【小問2詳解】由于,所以為銳角,即,而,即.,令,,,所以在區(qū)間上,遞增;在區(qū)間上遞減.,所以,所以的取值范圍是.20.已知直三棱柱中,E,F(xiàn)分別為棱和的中點,,,.(1)求證:平面平面;(2)若直線與平面EFC所成角的正弦值為且,證明:平面平面EFC.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】【分析】(1)建立空間直角坐標系,利用向量法證得平面平面;(2)利用直線與平面EFC所成角的正弦值求得,然后利用向量法證得平面平面EFC.【小問1詳解】如圖所示,以為原點為軸和軸的正方向,在平面內(nèi),過作軸的垂線為軸建立空間直角坐標系,設,則,所以,,設平面的法向量為,則,令,故.設平面的法向量為,則,令,故,由于,所以,所以平面平面;【小問2詳解】,由(1)知平面的一個法向量為,由直線與平面EFC所成角的正弦值為,得,整理得,由于,所以解得,即,此時,,所以,所以平面,由于平面,所以平面平面EFC.21.已知直線:和直線:,過動點E作平行的直線交于點A,過動點E作平行的直線交于點B,且四邊形OAEB(O為原點)的面積為4.(1)求動點E的軌跡方程;(2)當動點E的軌跡的焦點在x軸時,記軌跡為曲線,若過點的直線m與曲線交于P,Q兩點,且與y軸交于點N,若,,求證:為定值.【答案】(1)或;(2)證明見解析.【解析】【分析】(1)設,依據(jù)直線相交求出點的橫坐標,再求出,點到直線的距離表示出四邊形面積,化簡方程可得解;(2)驗證特別狀況可知,再由一般狀況設設直線m的方程為,由題意求出,聯(lián)立直線與雙曲線方程,由根與系數(shù)關系代入化簡即可得證.【小問1詳解】設,過且平行的直線方程為,由得交點的橫坐標為,所以,點到直線的距離為,所以四邊形OAEB的面積為,即或,故動點E的軌跡方程為或.【小問2詳解】由題知的方
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