廣西專版2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第7章隨機(jī)變量及其分布7.5正態(tài)分布訓(xùn)練提升新人教版選擇性必修第三冊

7.5正態(tài)分布課后·訓(xùn)練提升基礎(chǔ)鞏固1.設(shè)隨機(jī)變量X聽從正態(tài)分布,且正態(tài)密度函數(shù)為f(x)=18πe-(xA.10與8 B.10與2C.8與10 D.2與10答案:B解析:由正態(tài)密度函數(shù)的定義可知,均值μ=10,方差σ2=4,即σ=2.2.已知隨機(jī)變量X聽從正態(tài)分布N(2,σ2)(σ>0),P(X<4)=0.84,則P(X≤0)等于()A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84答案:A解析:∵隨機(jī)變量X聽從正態(tài)分布N(2,σ2),∴μ=2.∵P(X<4)=0.84,∴P(X≥4)=1-0.84=0.16,∴P(X≤0)=P(X≥4)=0.16.3.已知某批零件的長度誤差X(單位:mm)聽從正態(tài)分布N(0,32),從中隨機(jī)取一件,其長度誤差落在區(qū)間[3,6]上的概率為()(附:若隨機(jī)變量X聽從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545)A.0.0456 B.0.1359C.0.2718 D.0.3174答案:B解析:由正態(tài)分布的概率公式,知P(-3≤X≤3)≈0.6827,P(-6≤X≤6)≈0.9545,故P(3≤X≤6)=P(-6≤X≤4.在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10000個點(diǎn),則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線)的點(diǎn)的個數(shù)的估計值為()A.2386 B.2718 C.3414 D.4772附:若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545.答案:C解析:由P(-1≤X≤1)≈0.6827,得P(0≤X≤1)≈0.3414,則陰影部分的面積約為0.3414,故估計落入陰影部分的點(diǎn)的個數(shù)為10000×0.341415.設(shè)X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),這兩個正態(tài)密度曲線如圖所示A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C.對隨意正數(shù)t,P(X≤t)≥P(Y≤t)D.對隨意正數(shù)t,P(X≥t)≥P(Y≥t)答案:C解析:由題圖可知μ1<0<μ2,σ1<σ2,∴P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1),故A錯;P(X≤σ2)>P(X≤σ1),故B錯;當(dāng)t為隨意正數(shù)時,由題圖可知P(X≤t)≥P(Y≤t),而P(X≤t)=1-P(X≥t),P(Y≤t)=1-P(Y≥t),∴P(X≥t)≤P(Y≥t),故C正確,D錯.6.假如正態(tài)變量的取值落在區(qū)間(-3,-1)內(nèi)的概率和落在區(qū)間(3,5)內(nèi)的概率相等,那么這個正態(tài)變量的均值是()A.0 B.1 C.2 D.3答案:B解析:由題意知,正態(tài)曲線關(guān)于直線x=1對稱,即μ=1,因此正態(tài)變量的均值是1.7.已知一次考試共有60名學(xué)生參與,考生的成果X~N(110,52),據(jù)此估計,大約應(yīng)有57人的分?jǐn)?shù)位于區(qū)間()A.[90,110] B.[95,125]C.[100,120] D.[105,115]答案:C解析:∵X~N(110,52),∴μ=110,σ=5.∵5760=0.∴可得大約應(yīng)有57人的分?jǐn)?shù)位于區(qū)間[μ-2σ,μ+2σ]內(nèi),即區(qū)間[100,120]內(nèi).8.在某次高三聯(lián)考數(shù)學(xué)測試中,學(xué)生成果X聽從正態(tài)分布(100,σ2)(σ>0),若X在(85,115)內(nèi)的概率為0.75,則隨意選取一名學(xué)生,該學(xué)生成果不低于115的概率為()A.0.25 B.0.1 C.0.125 D.0.5答案:C解析:由學(xué)生成果X聽從正態(tài)分布(100,σ2)(σ>0),且P(85<X<115)=0.75,得P(X≥115)=1-P(85<X<9.某正態(tài)密度函數(shù)是偶函數(shù),而且該函數(shù)的最大值為12π,則總體落在區(qū)間[0,2]上的概率為.(精確到0答案:0.4773解析:已知正態(tài)密度函數(shù)是f(x)=1σ2π·e若它是偶函數(shù),則μ=0.∵f(x)的最大值為f(μ)=1σ2π=∴P(0≤X≤2)=12P(-2≤X≤2)=12P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈12×0.9545≈010.從某校的一次學(xué)科學(xué)問競賽成果中,隨機(jī)抽取了50名同學(xué)的成果,統(tǒng)計如下:組別[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻數(shù)3101215622(1)求這50名同學(xué)成果的樣本平均數(shù)x(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);(2)由頻數(shù)分布表可知,本次學(xué)科學(xué)問競賽的成果Z聽從正態(tài)分布N(μ,196),其中μ近似為樣本平均數(shù)x.①利用該正態(tài)分布,求P(Z>74);②某班級共有20名同學(xué)參與此次學(xué)科學(xué)問競賽,記X表示這20名同學(xué)中成果超過74分的人數(shù),利用①的結(jié)果,求E(X).附:若Z~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.9545.解(1)樣本平均數(shù)x=35×350+45×1050+55×1250+65×1550+75×650+85×250(2)①由(1)可知,Z~N(60,196),故P(Z>74)=1-P(60②由①知,某名同學(xué)參與學(xué)科學(xué)問競賽的成果Z超過74分的概率為0.15865,依題意可知,X~B(20,0.15865),因此E(X)=20×0.15865=3.173.實力提升1.某市高三質(zhì)量檢測考試中,學(xué)生的數(shù)學(xué)成果聽從正態(tài)分布N(98,100).已知參與本次考試的全市學(xué)生約有9450人,假如某學(xué)生在這次考試中的數(shù)學(xué)成果是108分,那么他的數(shù)學(xué)成果大約排在全市第()A.1500名 B.1700名 C.4500名 D.8000名答案:A解析:因為學(xué)生的數(shù)學(xué)成果X聽從正態(tài)分布N(98,100),所以P(X>108)=12[1-P(88≤X≤108)]=12[1-P(μ-σ≤X≤μ+σ)]≈12×(1-0.所以0.1587×9450≈1500,故該學(xué)生的數(shù)學(xué)成果大約排在全市第1500名.2.設(shè)某地區(qū)某一年齡段的兒童的身高聽從均值為135cm,方差為100的正態(tài)分布,令X表示從中隨機(jī)抽取的一名兒童的身高,則下列概率中最大的是()A.P(120<X<130) B.P(125<X<135)C.P(130<X<140) D.P(135<X<145)答案:C解析:由題意知X~N(135,100),因此在長度都是10的區(qū)間上,概率最大的應(yīng)當(dāng)是在對稱軸兩側(cè)關(guān)于對稱軸對稱的區(qū)間.故選C.3.已知隨機(jī)變量X聽從正態(tài)分布N(0,1),若P(X≤-1.96)=0.025,則P(|X|<1.96)等于()A.0.025 B.0.050 C.0.950 D.0.975答案:C解析:由隨機(jī)變量X聽從正態(tài)分布N(0,1),知P(X≥1.96)=P(X≤-1.96)=0.025.所以P(|X|<1.96)=P(-1.96<X<1.96)=1-2P(X≤-1.96)=1-2×0.025=0.950.4.某廠生產(chǎn)的零件外徑(單位:cm)X~N(10,0.04),今從該廠上午、下午生產(chǎn)的零件中各取一件,測得其外徑分別為9.9cm,9.3cm,則依據(jù)3σ原則可認(rèn)為()A.上午生產(chǎn)狀況正常,下午生產(chǎn)狀況異樣B.上午生產(chǎn)狀況異樣,下午生產(chǎn)狀況正常C.上午、下午生產(chǎn)狀況均正常D.上午、下午生產(chǎn)狀況均異樣答案:A解析:因為測量值X為隨機(jī)變量,且X~N(10,0.04),所以μ=10,σ=0.2.記I=[μ-3σ,μ+3σ]=[9.4,10.6],則9.9∈I,9.3?I.所以上午生產(chǎn)狀況正常,下午生產(chǎn)狀況異樣.5.(多選題)已知隨機(jī)變量X聽從正態(tài)分布N(μ,σ2)(σ>0),其正態(tài)曲線在區(qū)間(-∞,80)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(80,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,且P(72≤X≤88)≈0.6827,則()A.μ=80 B.σ=4C.P(X≥64)=0.97725 D.P(64≤X≤72)=0.1359答案:ACD解析:因為正態(tài)曲線在區(qū)間(-∞,80)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(80,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x=80對稱,所以μ=80,A正確;因為P(72≤X≤88)≈0.6827,結(jié)合P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,可知σ=8,B錯誤;因為P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,且P(X<64)=P(X>96),所以P(X<64)≈12×(1-0.9545)=12×0.0455=0所以P(X≥64)=0.97725,C正確;因為P(X<72)=12×[1-P(72≤X≤88)]≈12×(1-0.6827)=0所以P(64≤X≤72)=P(X≥64)-P(X>72)=0.97725-(1-0.15865)=0.1359.6.為了解某地區(qū)高三男生的身體發(fā)育狀況,抽查了該地區(qū)1000名年齡在17.5歲至19歲的高三男生的體重狀況,抽查結(jié)果表明他們的體重X(單位:kg)聽從正態(tài)分布N(μ,22),且正態(tài)密度曲線如圖所示.若體重范圍在[58.5,62.5]屬于正常狀況,則這1000名男生中屬于正常狀況的人數(shù)約為.

答案:683解析:依題意可知,μ=60.5,σ=2,故P(58.5≤X≤62.5)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,從而屬于正常狀況的人數(shù)為1000×0.6827≈683.7.已知正態(tài)分布N(μ,σ2)的密度曲線是f(x)=1σ2πe-(①對隨意x∈R,f(μ+x)=f(μ-x)成立;②假如隨機(jī)變量X聽從N(μ,σ2),且F(x)=P(X<x),那么F(x)是R上的增函數(shù);③假如隨機(jī)變量X聽從N(108,100),那么X的均值是108,標(biāo)準(zhǔn)差是100;④若隨機(jī)變量X聽從N(μ,σ2),P(X<1)=12,P(X>2)=p,則P(0<X<2)=1-2其中,真命題是.(寫出全部真命題的序號)

答案:①②④解析:假如隨機(jī)變量X~N(108,100),所以μ=108,σ2=100,即σ=10,故③錯;又f(μ+x)=1σf(μ-x)=1σ故①正確;由正態(tài)密度函數(shù)性質(zhì)以及概率的計算知②④正確,故填①②④.8.從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件,測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值,由測量結(jié)果得頻率分布直方圖如下圖所示.(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);(2)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z聽從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ近似為樣本平均數(shù)x,σ2近似為樣本方差s2.①利用該正態(tài)分布,求P(187.8≤Z≤212.2);②某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品,記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間[187.8,212.2]上的產(chǎn)品件數(shù),利用①的結(jié)果,求E(X).(附:150≈12.2)解(1)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2分別為x=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=2