2023湘教版新教材高中數(shù)學必修第二冊同步練習1. 5 向量的數(shù)量積

1.5向量的數(shù)量積

1.5.1數(shù)量積的定義及計算

基礎過關練

題組一向量數(shù)量積的運算及運算律

L下列命題中錯誤的是（）

A.對于任意向量a,有0?a=Q

B.若a?b=Q,則a=0或b=Q

C.對于任意向量a?6,有|a?引W||引

D.若a,b共線，則a?b=±\a\\b\

2.已知向量a,6,c和實數(shù)九則下列各式一定正確的是.（填序號）

①a?lb?a;

②（4a）?b=a?（48）;

③（a+6）?c=a,c+b,c;

④（a?6）,c-a?（6?c）.

3.已知|a|=10,1同=12,a與6的夾角為120°,求：

（1）a?b;

⑵（3a）?《匕）；

⑶（3?2a）?（4a+⑸.

4.（2020江西南昌第十中學期末）如圖，在比1中，已知/廬2,力作6,ZBA（=60°,

點D,￡分別在邊AB,ACh,且荏=2而,AC=5AE.

（1）若點F為小的中點，用向量前和前表示加；

⑵在⑴的條件下,求而?麗的值.

題組二投影

5.已知|a|=8,e為單位向量，當它們的夾角為宇寸，a在e方向上的投影長為（

A.4V3B.4C.4V2D.8+y

6.（2022山西太原期中）已知|a|=l,與非零向量6同向的單位向量為e,且

<a,力號,則向量a在6方向上的投影向量為（

A.-bB.--eC.-eD.--b

2222

7.已知|a|=6,|〃=3,a?爐-12,則向量a在向量力方向上的投影是（

A.-4B.4C.-2D.2

8.已知a?爐16,若向量a在6方向上的投影向量為46,則|引=.

題組三利用數(shù)量積求向量的模

9.若向量a與。的夾角為60°,|b|=4,（a+26）?（才38）=-72,則|a|=（

A.2B.4C.6D.12

10.（2022山西臨汾期末）已知向量a,5的夾角為學|a|=l,㈤=2,貝I]

Ia+b\-.

題組四利用數(shù)量積求向量的夾角

11.（2022湖南長沙長郡中學期中）若e,&是夾角為60。的兩個單位向量，向量

a=2a+o,左-3?+2&,則a與6的夾角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

12.（2022江蘇省外國語學校期中）已知向量a,6滿足|a|=2,|引=4,a?左5,則向

量a與年少的夾角的余弦值等于（）

A.-叵B.回

2020

八3V10「3730

C.--------D.-------

2020

13.（多選）（2022廣東仲元中學期中）已知e,6是兩個單位向量，4￡R

時，M+4金|的最小值為當則下列結論正確的是（）

A.e,6的夾角可能是］

B.已，桂的夾角可能是:

C.|臺+改|=1或手

D.陌+&|=1或百

14.若非零向量a"滿足|a|=3|引=|-2引，則a與6的夾角的余弦值

為?

15.已知|a|=2,山=3,&與6的夾角為60。.若為48與Ha+6的夾角為銳角，則

實數(shù)4的取值范圍為.

題組五向量的垂直

16.若向量a,5是非零向量，且a_L8,|a|W|引，則函數(shù)f（x）=（xa+6）?（X/F）是

（）

A.一次函數(shù)且是奇函數(shù)

B.一次函數(shù)但不是奇函數(shù)

C.二次函數(shù)且是偶函數(shù)

D.二次函數(shù)但不是偶函數(shù)

17.已知中,AB2=AB?AC+BA?~BC+CA?CB,則a1一定是（）

A.等邊三角形B.銳角三角形

C.直角三角形D.鈍角三角形

18.已知0,44C〃在同一平面內(nèi)，1"1=1網(wǎng)1協(xié)=1,且耐?而=0,則

|前+前|的最大值為（）

A.2V2B.2+V2

C.1+V2D.4

19.若非零向量a,b,滿足|a+引=|引，a_L（a+48）,則4=.

20.（2022吉林東北師大附中期中）已知向量|a|=l,|4=2.

⑴若方與6的夾角為《求12K引;

（2）若a+b與a垂直,求a與b的夾角.

能力提升練

題組一向量數(shù)量積的運算及其運算律

1.（2022浙江寧波期中）在等腰中，N2=120°,9則福?正等于

（）

A.--B.—C.--D.-

2222

2.（2022江西九江一中期中）已知%中，9=3,AC=4,AB?AC=6,0為AABC所

在平面內(nèi)一點，且成+2赤+3玩=0,則而?近的值為（）

A.-4B.-1C.1D.4

3.（2022江西南昌期末）如圖,在平面四邊形ABCD^,AD1CD,A廬遮,則

AB?AD+CB?'DA=.

4.對任意兩個非零向量m,n,定義新運算"③"：/鹿）/7="豈.若兩個非零向量a,b滿

nn

足a與b的夾角6￡（討）,且和足a都在集合e\nez｝中,則

幽k,

題組二向量數(shù)量積的綜合應用

5.（2022黑龍江哈師大附中期末）已知向量a與6的夾角"零|a|=VX則a在

8方向上的投影為（）

A.—B.—C.--D.--

2222

6.（2022湖北武漢期末）向量a,6滿足|a|=1,且（2?）_La,（a+6）±（3a-8）,則

以=（）

A.2B.V5C.V6D.V7

7.（2022河南聯(lián)考）已知向量a"滿足（a+0-（年26）=142,|司=2|引，則向量a

與6的夾角8=.

8.（2022甘肅酒泉市實驗中學月考）已知平面向量a,6滿足a?b=~2,已知a方向

上的單位向量為e,向量5在向量a方向上的投影向量為-已

⑴若a+25與口）垂直,求|引的大小;

⑵若a與。的夾角為斗，求向量6與2A36夾角的余弦值.

4

9.如圖,在中，CA=1,CB2N4?60°.

⑴求I荏I;

⑵已知點〃是邊4?上一點,滿足而=4屈，點￡是邊”上一點,滿足雇=入前.

①當幾弓時，求荏?CD;

②是否存在非零實數(shù)人使得荏，而?若存在，求出入的值;若不存在,請說明

理由.

C

D

答案全解全析

基礎過關練

1.B根據(jù)數(shù)量積的定義,得0?a=|0||a|cos<0,a>=Q,故A正確；當a,6都是非零

向量,且a_L6時，a?ZFO也成立,故B錯誤；由

Ia*6|=||a||引cos〈a,|W|a||6|,知C正確;當a,6共線時,<a,b>=0或

<a,b>=n,則cos<a,b>=±1,所以a?b=+|a||引，故D正確.

2.答案①②③

解析由數(shù)量積的運算律可知①②③正確；令-&止b-c,則

(a?6),c=mc,a,(b?c)=na,a,c均為任意向量，所以(a?6),c=a?(b?c)不一

定成立,故④錯誤.

3解析(l)a,ZF|a||Z?|cos<a,Z>>=1OX12Xcos1200=-60.

(2)(3a)?Qb)=|(a?Z?)=|X(-60)=-36.

(3)(3Zr-2a)?(4a+b)=12b-a+3Z72-8a-2a-b=1Qa-ZT+3|Z?|2-8|a|2=10X(-

60)+3X12-8X102=-968.

4.解析(1)JF=~BD+DF=--AB+-DE

22

=--AB+-(AE-AD)

22

=」荏+工(工就-工荏)

22\527

=-4-AB10+-AC.

(2)EF=^ED=I(AD-AE),

'：AB=2AD,AC=5AE,：.EF=-AB~—AC,

410

：.BA-EF=-AB-^AB-^AC)

=--AB2+-AB-AC

410

=-1X4+—X2X6Xcos60°

410

二一一2

5,

5.B設a,e的夾角為a,則a=g,a在e方向上的投影長為|a||cosa|=4.故選

B.

6.B由題意，可得向量a在6方向上的投影向量為噌a當警

聞\b\2

7.A解法一:設向量a,5的夾角為。，則cos。=黑:-三=-；,則向量a在向量

\ci\\b\3X63

6方向上的投影為|a|cos。=-4.

解法二：由題意,可得向量a在向量b方向上的投影為略=-4.

聞

8.答案2

解析設a,6的夾角為。，則a?岳|司|61cos。=16,因為向量a在6方向上的

投影向量為|a|cos。?卷=46,

所以Ia|cos。=4|引，所以4|引J16,所以|引=2.

9.CV(a+2Z?)?(a-35)=-72,

a-a-b-6甘=T2,

：.\a\2-\a\|Z>|cos60°-6\b\2=~72,

A|a|-2|a|-24=0.又：|a|NO,，|a|=6.

10.答案V3

解析因為|a+6|2=|a「+|引2+2㈤?㈤cosg=l+4+2XlX2X(—3=3,所以

Ia+b\=y/3.

11.C由已知，得人?日=|ej|cos<ebe^>=|,

所以a?爐(2芻+金)*(-36+2e)=-6比+丹,殳+2或=一(，

2

Ia|=12|=7(2^+e2)=V4ef+4e1-e2+e^=V7,

IZ?|=|-3ei+2e217(—3%+2e2)2=j9e,—12e1?e?+4e'=?.

設向量a與力的夾角為a,

7

￡^_~2_1

貝ljcosa=；==

|a||b|V7Xx/72

因為0°WaW180°,所以a=120°.

12.A|a-b\=y/(a-Z))2=Va2+b2—2a-b=V22+42—2x5=V10,

設a與廿人的夾角為。，則cos不篙-常:「嬴=嚼

13.ABD7e,會是兩個單位向量,且Ie+丘|的最小值為f,

...（4+4會尸的最小值為?，

4

即（a+4a）2=1+223?位+卜的最小值為:，

4

...乂+2-電2=0在1￡R上有兩個相等的實數(shù)根,

4

△=（2ei?82尸-1=0,；.e?e2=±|,

...&與桂的夾角為舞等故A,B正確；

I。+改12=1或|6+&12=3,

Ia+0|=1或|e+e21=V3,故C錯誤,D正確.

14.答案q

解析V|a|=31b\=\a+2b\,

|a12=9\b\i=(a+2Z?)'=|a\J+41b\J+4a?b,

a?b=~\b\\

???cosG,，就/

15.答案（―8,士券至）U

解析由題意可知，養(yǎng)|ar=4,爐=|引2=9,「?月a」引?os600=2X3x|=3,

/.(a+46)?(4a+b)=力才+(AJ+l)a?b+b2=31'+134+3,

?.?a+H6與Ha+力的夾角為銳角,

A342+134+3>0,

解得X>T3+G或4〈士衛(wèi).

66

當4=1時，與共線，其夾角不為銳角，

.?.4的取值范圍是(―8,一】3浮)u(-13浮,°u(1,+8).

16.Af{x)=(xa+B)?{xb-a)=(a,Z>);r+(|Z?|2-|a|2)x-a?6,由al.b,得a?b=Q,

所以f(x)=(|02-|由于?#㈤,所以㈤2二山|2/0,故/*(￡)=(I。2一㈤2)x

是一次函數(shù),顯然也是奇函數(shù).

17.C由荏2一通,JC=BA?BC+CA?CB,

得荏?(AB-AC)=BC?(BA-CA),

即荏?CB=BC-BC,

：.AB-BC+BC-BC=Q,

：.~BC?(AB+~BC)=O,

：.BC?AC=Q,J.BC1.AC,：.BC±AC,

...△/%是直角三角形，故選C.

18.B'：0A?OB=0,：.0A1.0B,又

'：\OA\=\OB\=\,：.\0A+0B\=V2,：.\AC+BD\=\OC-OA+OD-OB\=\OC+OD-

(OA+OB)I,

/.當方,而同向，且反,而與U1+而反向時，|AC+BD|取得最大值,最大值為

2+V2.

19.答案2

解析V|a+b\=\b\,：.|a+b\2=\b\\

/.去+2a,b=0.①

又al.(a+48),/.a?(a+A6)=0,

4+4a?ZJ=0.②

由①②可得4=2.

20.解析(1)由題意，得a?左|a||6|cos色1,

故|2a+6|=y/(2a+b)2=V4a2+4a?b+b2=2V3.

(2)(a+6).La,/.(a+Z?),a=0,即a--a,b,又|a|=l,」a?b=~l,

又?.”,力￡[(),n],「.a與6的夾角為學

能力提升練

1.C因為在等腰△/回中，ZA=12G°,AB=A(=1,

所以荏?BC=AB?(AC-AB)=AB?AC-AB2=\AB\*I前IcosA-

|XS|2=1X1X(-|)-1=-|.

2.D因為Ul+2礪+3瓦=0,

所以Ul+2(OA+AB)+3(OA+AC)=0,

所以6OA+2AB+3AC=0,所以存河,所以稱海+屏，

因此而?BC=(-AB+-AC)?(AC-AB)=-AC2--AB2--AB?X42--X32-

\32/23623

-1X6=4.

6

方法點睛

向量運算的技巧

(1)構造向量加、減法的三角形法則和平行四邊形法則；

(2)樹立“基”的意識，利用基向量進行運算.

3.答案3

解析如圖，連接AC,AB=AD+DC+CB,所以

AB?AD+CB?DA=(AD+DC+CB)?AD+CB?DA=AD2+DC?AD+CB?AD+CB?

兩①

又因為AD上CD,所以反?AD=0,

又因為萬?AD+CB?DA=Q,

所以①式可化為荏?AD+CB?D1=XD2=(V3)2=3.

4.答案I

解析根據(jù)新定義，得

因為和b?a都在集合｛5\n6z｝中,所以可設a?b=-^-,b?a=-^-(ni,/?2Z),那

么(a(8)6)?(Z/8)a)=cos?.又。金nit，所以0＜功功＜2.

4.4'2.

所以整數(shù)A,總的值均為1.故松爐段三.

5.D因為向量a與。的夾角為拳|&|=/,

所以a在6方向上的投影為|a|cos妻-今

6.D因為(2a-。)_La,(a+力)_1_(3a-6),

所以(2a-6),a=0,(a+b)?(3a-6)=0,

所以2a~-a,b=0,①

3a+2a?b~6=3②

①X2+②，得7才-4=o,

因為㈤=1,所以后7,所以|6|二夕.

7.答案?

解析(a+力),(a-26=寸-a?

因為Ia|=21引，所以4Z?-2Z?2cos。-2斤="

所以cos*，所以。三.

8.解析設向量的夾角為0,

由題意得㈤cos8=苦=-1,

|a|

所以a?左-|司，又&?慶-2,所以|a|=2.

(1)因為a+26與a-b垂直，

所以(a+26)?(0-力)=0,所以|?b-2\Z?|