知識點45 規(guī)律猜想型問題2021

一、選擇題

16.(2021?懷化)觀察等式:2+2?=23-2,2+22+23=24-2,2+22+23+24=25-2,已知按一定規(guī)律排列的

一組數(shù)：2100,2101,2陋，…，2199,若2必=〃?，用含初的代數(shù)式表示這組數(shù)的和是—.

【解析】由題意得

23,991002

2KX)+2101+2I02+...+2199=(2+2+2+-+2)-(2+22+23+…+299)=(2200_2)_(2⑼-2),=(2)

-2100=/M2-m.

10.（2021?濟寧）按規(guī)律排列的一組數(shù)據(jù)：工，3，口，79旦，…，其中口內(nèi)應(yīng)填的數(shù)是（)

25172637

A.2B.§c.$D.-1

31192

｛答案｝D

｛解析｝觀察這排數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：分子為連續(xù)的奇數(shù)，分母為序號的平方+1,...第"個數(shù)據(jù)為：軍一

n+1

當(dāng)〃=3時，口的分子為5,分母=3?+1=10,...這個數(shù)為巨=工.

102

11.（2021?玉林）觀察下列樹枝分杈的規(guī)律圖，若第〃個圖樹枝數(shù)用％表示，則的-冷=（）

第I個僧i第2個圖Y.3甯3個圖Y/7第4I

A.15X24B.31X24C.33X24D.63X24

23

B｛解析｝由第1個圖可知是Yi=l,第2個圖可知丫2=1+2=3,第3個圖丫3=1+2+2三7,第4個圖￥4=1+2+2+2=15,

可知丫產(chǎn)2。-1.即丫9=29-1.因此為-丫4=29-1-（24-1）=2*B9-24=24（25-1）=31X24.

10.（2021?紹興）數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)從“中國結(jié)”的圖案（圖1）中發(fā)現(xiàn)，用相同的菱形放置，可得到更多的菱形.如

圖2,用2個相同的菱形放置，得到3個菱形.下面說法正確的是（）

圖I圖2

A.用3個相同的菱形放置，最多能得到6個菱形

B.用4個相同的菱形放置，最多能得到16個菱形

C.用5個相同的菱形放置，最多能得到27個菱形

D.用6個相同的菱形放置，最多能得到41個菱形

B【解析】如圖所示，

最多能得到3個菱形;

念

用3個相同的菱形放置，最多能得到8個菱形,

7用4個相同的菱形放置，最多能得到16個菱形.

16.（2021?常德）如圖中的三個圖形都是邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，其中第一個圖形有1X1個小正方形,

所有線段的和為4,第二個圖形有2義2個小正方形，所有線段的和為12,第三個圖形有3X3個小正方形,

所有線段的和為24,按此規(guī)律，則第八個網(wǎng)格中所有線段的和為.（用含〃的代數(shù)式表示）

2〃（〃+1）【解析】?.?第一個圖形有1X1個小正方形，所有線段的和為4=2X1X2,第二個圖形有2X2個小

正方形，所有線段的和為12=2X2X3,第三個圖形有3X3個小正方形，所有線段的和為24=2X3X4,

按此規(guī)律，則第〃個網(wǎng)格中所有線段的和為2〃（n+1）.

6.（2021?云南）按一定規(guī)律排列的單項式：a2,4〃3,9/,16/,25a6,第〃個單項式是（）

A.n2a"+lB.n2a"'1C.n"a"+]D.（〃+l）2an

A【解析】?.?第1個單項式析=口.小i,

第2個單項式4a3=22爐+1,

第3個單項式9/=32?蘇+1,

第4個單項式16a5=42?/+I,

.??第〃（〃為正整數(shù)）個單項式為“2/+L

14.（2021?臨沂）實驗證實，放射性物質(zhì)在放出射線后，質(zhì)量將減少，減少的速度開始較快，后來較慢，實際上,

物質(zhì)所剩的質(zhì)量與時間成某種函數(shù)關(guān)系.

如圖為表示鐳的放射規(guī)律的函數(shù)圖象，據(jù)此可計算32mg鐳縮減為1”?所用的時間大約是（）

A.4860年B.6480年C.8100年D.9720年

C【解析】由圖可知：1620年時，鐳質(zhì)量縮減為原來的5

再經(jīng)過1620年，即當(dāng)3240年時，鐳質(zhì)量縮減為原來的乙=2，

再經(jīng)過1620x2=3240年，即當(dāng)4860年時，鐳質(zhì)量縮減為原來的;=高…，

823

再經(jīng)過1620x4=6480年，即當(dāng)8100年時，鐳質(zhì)量縮減為原來的卷=搟，

2°32

此時32x9=1〃?

12.（2021?煙臺）由12個有公共頂點O的直角三角形拼成的圖形如圖所示，NAOB=NBOC="=/LOM=

30°.若04=16,則OG的長為（）

27>/3

D.-------

8

12.A.解析：由圖可知，ZABO=/BCO=i=NLA/O=90°,VAOB-ZBOC^-^ZLOM=30o,AZ

A=ZOBA=ZBCD=-=ZOLM=60°,：.AB=^OA,OB=y[3AB=^OA,同理可得，OC=亨。8=(fyOA,

。。=孚0C=(y)3OA,-OG=^OF=(y)6OA=(y)6X16=故選：A.

9.(2021?達州)在平面直角坐標系中，等邊△AOB如圖放置，點4的坐標為(1,0),每一次將△A08繞著點

O逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°,同時每邊擴大為原來的2倍，第一次旋轉(zhuǎn)后得到△AiOBi，第二次旋轉(zhuǎn)后得到△

A2OB2,…，依次類推，則點42021的坐標為（）

A.(-22020,-V3X22020)B.(22°21,-V3X22021)

C.(22020,-V3X22020)D.(-22021,—6x22021)

C【解析】由已知可得:

第一次旋轉(zhuǎn)后，4在第一象限，0Ai=2,

第二次旋轉(zhuǎn)后，A2在第二象限，0&=22,

第三次旋轉(zhuǎn)后，由在x軸負半軸，0A3=23,

第四次旋轉(zhuǎn)后，4在第三象限，044=23

第五次旋轉(zhuǎn)后，生在第四象限，0生=25,

第六次旋轉(zhuǎn)后，A6在x軸正半軸，04=26,

如此循環(huán)，每旋轉(zhuǎn)6次，A的對應(yīng)點又回到x軸正半軸，而2021=6X336+5,

.??A2021在第四象限,且042021=22°21,示意圖如下:

2020202020202020

OW=1OA2021=2,A2O21W=V3O/7=V3X2,AA2021（（2,-V3x2）.

9.（2021?十堰）將從1開始的連續(xù)奇數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列，例如，位于第4行第3列的數(shù)為27,則位于第

32行第13列的數(shù)是（）

A.2025B.2023C.2021D.2019

B【解析】由題意可知：

行數(shù)為1的方陣內(nèi)包含“1”，共1個數(shù)；

行數(shù)為2的方陣內(nèi)包含“1、3、5、7”，共22個數(shù)：

行數(shù)為3的方陣內(nèi)包含“1、3、5、7、9、11、13、15、17”，共32個數(shù);

行數(shù)為32的方陣內(nèi)包含“1、3、5、7....”共322個數(shù)，即共?4個數(shù),

，位于第32行第13列的數(shù)是連續(xù)奇數(shù)的第（1024-12）=1012個數(shù)，

二位于第32行第13列的數(shù)是：2X1012-1—2023.故選B.

9.（2021?隨州）根據(jù)圖中數(shù)字的規(guī)律，若第〃個圖中的q=143,則p的值為（）

.*./?=n2=112=121.

6.（2021?鄂州）已知q為實數(shù)，規(guī)定運算：出=1一—，%=1一一，/=1一一，%=1一一'……’

a

?（a24

4=1一——.按上述方法計算：當(dāng)q=3時，為021的值等于（）

%

21cl2

A.一一B.-C.一一D.-

3323

D

112211|1

｛解析｝把%=3代入—1---=1—=—,把a,——代入火=1----=—，把%=—代入a4=1----=3'

—q333a222%

2

把%=3代入得％=5，……，由此發(fā)現(xiàn)這幾個結(jié)果是4個一循環(huán)，20214-4=505……1,%岡的值與的的值

2

相同，為一.

3

二、填空題

22.（2021?綏化）下面各圖形是由大小相同的三角形擺放而成的，圖①中有1個三角形，圖②中有5個三角形，圖

③中有11個三角形，圖④中有19個三角形…依此規(guī)律，則第〃個圖形中三角形個數(shù)是.

A0X

AA

△AAAAAA

第〃個圖形

然AAAAAA

AAAAAAA

①②③C

22./+〃—1解析：觀察圖中三角形的個數(shù)與圖形的序號的關(guān)系，有如下規(guī)律:

第①個圖形：V+0,

第②個圖形：22+1,

第③個圖形:32+2,

第④個圖形：42+3,.

第n個圖形:n2+n_1.

故答案為：序+鼠一1.

16.（2021?仙桃）如圖，在平面直角坐標系中，動點尸從原點O出發(fā)，水平向左平移1個單位長度，再豎直向下

平移1個單位長度得點Pi（-1,-1）；接著水平向右平移2個單位長度，再豎直向上平移2個單位長度得到點P2；

接著水平向左平移3個單位長度，再豎直向下平移3個單位長度得到點尸3；接著水平向右平移4個單位長度，再豎

直向上平移4個單位長度得到點兒，…，按此作法進行下去，則點P202I的坐標為

y

P4

(-1011,-1011)【解析】先根據(jù)點坐標的平移變換規(guī)律求出點P2(1,1),P3(-2,-2),?4(2,2),P5(-3,-3),歸納類

推得：點P2,T(-〃,-〃)，其中〃為正整數(shù)，

,.,2021=2X1011-1,.,.點P2021的(-1011,-1011).

13.（2021?嘉興）觀察下列等式：1=P-02,3=22-12,5=32-22,…按此規(guī)律，則第〃個等式為2〃-1=.

n2-（n-1）2

18.（2021?泰安）如圖，點8在直線/：產(chǎn),上，點8的橫坐標為2,過點作山，交x軸于點A，以

AS為邊，向右作正方形48B2G，延長&G交x軸于點A2；以A2B2為邊，向右作正方形428283c2，延長

83c2交x軸于點A3；以A3B3為邊，向右作正方形A3B3&C3,延長&C3交x軸于點4；…；照這個規(guī)律進行

下去，則第"個正方形4瓦瓦+1富的邊長為（結(jié)果用含正整數(shù)〃的代數(shù)式表示）.

日x（|）w【解析】設(shè)直線產(chǎn)夕與x軸夾角為a,過囪作BSx軸于從如圖:

?.,點Bi的橫坐標為2,點Bi在直線/：y=3上，令x=2得y=l,

.'.OH=2,OB\=《OH?+BW=遍,tana=

中，48i=08i?tana=￥，即第1個正方形邊長是當(dāng)，

OB1=OB\+B\B2=V5+y=yX3,

RtzVhftO中,A2B2=QB2?tana=—x3xi=—x1,

即第2個正方形邊長是'X9,

083=082+8283=Yx3+苧xj=Yxp

RtAA3B3O中，4&=0&?tana=^x-xi=—x-,

22224

即第3個正方形邊長是=（1）2,

2422

cn八nnn69,7597527

??OB4—。自計必&二~x&+~X-=了X1，

Rt/XA&O中，4&=O&?tan（x==x—x-=.x—,

即第4個正方形邊長是當(dāng)x系=^x弓）3,......

觀察規(guī)律可知：第〃個正方形邊長是弓X（|）"r.

18.（2021?揚州）將黑色圓點按如圖所示的規(guī)律進行排列：

???

??????

??????????—

①②③④

圖中黑色圓點的個數(shù)依次為：1,3,6,10,…，將其中所有能被3整除的數(shù)按從小到大的順序重新排列成一

組新數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)中的第33個數(shù)為—.

1275【解析】第①個圖形中的黑色圓點的個數(shù)為：1,

第②個圖形中的黑色圓點的個數(shù)為：空等=3,

第③個圖形中的黑色圓點的個數(shù)為：&等=6,

第④個圖形中的黑色圓點的個數(shù)為：如警=10,

第n個圖形中的黑色圓點的個數(shù)為皮羅，

則這列數(shù)為1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91........

其中每3個數(shù)中，都有2個能被3整除，

33+2=16..」，16x3+2=50,

則第33個被3整除的數(shù)為原數(shù)列中第50個數(shù)，即竽=1275.

16.（2021?銅仁）觀察下列各項：1,，2-,3-,4—,則第〃項是

24816

n+\價析〉此題屬于數(shù)字類規(guī)律問題。根據(jù)題意可知：第一項：12=1+二，第二項：2-=2+-!?,第三

2"22'42-

項：3-=3+-^,第四項：4」-=4+1，…則第〃項是〃+[.

82316242"

18.（2021?甘肅省卷18題）一組按規(guī)律排列的代數(shù)式：〃+26,屏-2b3,〃+2/A/.2分,…，則第〃個式子是.

-1）"+、2廬「I

14.（2021?遂寧）下面圖形都是由同樣大小的小球按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律排列下去，第一個圖形共有

210個小球.

?

@?

??@

@???@@@@@@

第1個圖第2個圖第3個圖第4個圖

20【解析】解：第1個圖中有1個小球，第2個圖中有3個小球，3=1+2,

第3個圖中有6個小球，5=1+2+3,第4個圖中有10個小球，10=1+2+3+4,

照此規(guī)律，第〃個圖中有1+2+3+……+〃=里用個小球,

當(dāng)約羅=210時，解得〃|=20,“2=-21（舍），故答案為：20.

16.（2021?荊門）如圖，將正整數(shù)按此規(guī)律排列成數(shù)表，

1

23

456

78910

1112131415

圖82

則2021是表中第行第個數(shù).

（答案｝64,5

｛解析｝第"行的最后一個數(shù)是嗎經(jīng)過試算可知當(dāng)〃=63時-，必等D=63X32=2016,即第63行的最后

一個數(shù)是2016,所以2021是表中第64行第5個數(shù).

17.（2021?涼山州）如圖，用火柴棍拼成一個由三角形組成的圖形，拼第一個圖形共需要3根火柴棍；拼第二個

圖形共需要5根火柴棍；拼第三個圖形共需要7根火柴棍；…照這樣拼圖，則第〃個圖形需要

根火柴棍.

圖1@2圖3

（2〃+1）【解析】設(shè)第〃個圖形需要如（〃為正整數(shù)）根火柴棒，

觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律：第一個圖形需要火柴棍：3=1x2+1,

第二個圖形需要火柴棍：5=2x2+1；

第三個圖形需要火柴棍：7=3x2+l,

.??第〃個圖形需要火柴棍：2?+1.

17.（2021?眉山）觀察下列等式：Xi=h+J+l=J=l+~

"\lJ.ZZJ.XZ

根據(jù)以上規(guī)律，計算X1+X2+X3+...+X2020-2021=

一蠢【解析】■?■JC1=1+/+/=|=1+土;

X2=1+專+專=3=1+*;

l+t+a=,T+*;

工3=

!

「?X]+X2+X3+…+”2020-2021=1+—+l+r--+l+-+-+1+—-2021=2020+l-i+i-i+i-i+

1X22x33X42020X2021

]-3-2021=--

202020212021

V5-1

15.（2021?黃岡）人們把—這個數(shù)叫做黃金分割數(shù)，著名數(shù)學(xué)家華羅庚優(yōu)選法中的0.618法就應(yīng)用了黃金分

2

割數(shù)?設(shè)“=早'b=空,得"=1,記$尸$+告,$2=備+占’…，Sio=J而+品n，

貝!]S1+S2+…+Sio=10.

1s0，版土二/1??c_11_l+b+1+a_2+a+b_2+a+b__1,1

【解析*S1一中+(用一(l+a)(l+b)-1+Q+b+Qb-2+a+b-11'c52+

1+b2+I+Q2_11_1+Q1。+1+力10

1+a2+b2+Q2b2=L…'+1+a10+b10+ai0b1。=】'

???Si+S2+…+Sio=1+1+…+1=10,

14.（2021?荷澤）如圖，一次函數(shù)y=x與反比例函數(shù)y=￡（x>0）的圖象交于點A,過點A作ABJ_OA,交x

軸于點B；作BAi〃OA,交反比例函數(shù)圖象于點4；過點4作交x軸于點8；再作8也〃84,

交反比例函數(shù)圖象于點A2,依次進行下去，…，則點A202I的橫坐標為

反+V5UK【解析】如圖，分別過點A,Ai，A2，作x軸的垂線，垂足分別為C,D,E,

；一次函數(shù)y=x與反比例函數(shù)y=[(x>0)的圖象交于點A,

(y=x

.?.聯(lián)立11,解得A(1,1),；.AC=OC=1,/4OC=45°.

\y=x

,：ABVOA,.?.△OA8是等腰直角三角形，：.OB=2OC=2.,：A\B//OA,：.ZA\BD=45°.

設(shè)則4。="?,(〃?+2,〃?)，：點4在反比例函數(shù)y=1上，

：.m(m+2)=1,解得m=-l+VL(m=-1-V2,負值舍去)，：.A\(V2+1,V2-1).

'：AiB[±A\B,：.BB\=2BD=2yf2-2,：.OB\=2近.

'：B\Ai//BA\,：.ZA2BIE=45°,設(shè)BiE=f,則&￡：=/,：.Ai(/+2V2,/),.

?.?點A2在反比例函數(shù)上，（r+2應(yīng)）=1,解得/=一迎+V5,（仁一迎一百，負值舍去），

.?.A2（V3+V2,V3-V2）.

同理可求得上（2+V3,2-V3）,以此類推，可得點A202I的橫坐標為同下+/位I.

16.（2021?廣安）如圖，在平面直角坐標系中，ABJ_），軸，垂足為8,將△AB。繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到△ABIOI

的位置，使點B的對應(yīng)點Bi落在直線>=-上上，再將△ABiOi繞點8］逆時針旋轉(zhuǎn)到△A4Q2的位置，使

點Oi的對應(yīng)點02也落在直線y=-*上，以此進行下去…若點8的坐標為（0,3）,則點歷1的縱坐標為___.

一

387o

丁【解析】軸，點3(0,3),...02=3,則點A的縱坐標為3,代入y=

得：3=-力，得：x=-4,即A(-4,3),：.0B=3,A8=4,0A=V32+42=5,

由旋轉(zhuǎn)可知:OB=O\B\=OIB2—...—3,OA—O\A-O2A\---—5,AB—AB]—AtBi=AzB2=——4,

：.0B\=OA+ABi=4+5=9,883=3+4+5=12,：.OB2i=OB\+BiB2i=9+(21-1)+2X12=129,

設(shè)B21*a),則。821=Ja2+(—,a)2=129,解得：a=—或一^-(舍)，

則一=-'x(-^^)=里乙即點821的縱坐標為

16.（2021?恩施州）古希臘數(shù)學(xué)家定義了五邊形數(shù)，如下表所示，將點按照表中方式排列成五邊形點陣，圖形中

的點的個數(shù)即五邊形數(shù)；

1第一行

512第二行

223551第三行

觀察這個數(shù)表，則這個數(shù)表中的第八行從左至右第2個數(shù)為察35

1335【解析】觀察表中圖形及數(shù)字的變化規(guī)律可得第"個五邊形數(shù)可表示為：1+2+3+...+（n-1）+產(chǎn)，

由數(shù)表可知前七行數(shù)的個數(shù)和為：1+2+3+...+7=28,

二數(shù)表中的第八行從左至右第2個數(shù)是第30個五邊形數(shù)即”=30,

.?.把〃=30代入得：1+2+3+...+29+3。2,=1335.

16.（2021?荊州）如圖，過反比例函數(shù)y=［（斤>0,x>0）圖象上的四點Pi，Pi，乃，尸4分別作x軸的垂線，

垂足分別為Al，A2,A3,A4,再過P1，尸2,尸3,均分別作y軸，P1A1，尸洶2,尸3A3的垂線，構(gòu)造了四個相鄰

的矩形.若這四個矩形的面積從左到右依次為Si，*，S3,S4,OAl=AlA2^A2A3=A3A4,則Si與S4的數(shù)量

SI=4S4【解析】???過雙曲線上任意一點、向坐標軸作垂線所圍成的矩形面積S是個定值，04=442=4乂3

=ASA4，?,?SI—k>S2=訝%,$3=可&,S4=4%,Si=4S4-

20.（2021?青海）觀察下列各等式:

根據(jù)以上規(guī)律，請寫出第5個等式：.

6循=&+盤【解析】第5個等式,等號左邊根號外面是6,被開方數(shù)的分子也是6,分母是62-1,等號

右邊是這個整數(shù)與這個分數(shù)的和的算術(shù)平方根，故答案為6徑=小+募

17.（2021?齊齊哈爾）如圖，拋物線的解析式為y=/,點Ai的坐標為（1,1）,連接04；過Ai作4位，04，

分別交y軸、拋物線于點P1、所；過BI作分別交y軸、拋物線于點P2、42；過上作A2B2，BIA2,

分別交y軸、拋物線于點乃、歷；…；按照如此規(guī)律進行下去，則點Pn（〃為正整數(shù)）的坐標

是.

(0,n2+n)｛解析｝?.?點41的坐標為(1,1),.?.直線。Al的解析式為y=x.

VAiBiXOAi,：.OPi=2,APi(0,2).

設(shè)AiP的解析式為y=h+",

(kA-h=1(k=-]

，，「，解得，一、，，直線48的解析式為y=-x+2.

也=2也=2

fy=-X+2

解,求得8](-2,4).

[y=x-

-：A2B\//OA\,設(shè)B1P2的解析式為y=x+/?2，

二-2+歷=4,二歷=6,：.Pi(0,6).

v=x+6

解！2求得(3,9)

y=x'

設(shè)4比的解析式為y=-x+b3,

.?.-3+63=9,二的=12,：.Py(0,12),…，：.P?(0,n2+n).

17.(2021?通遼)如圖,△O4B1,汨2,△A2A3B3,…,△A”-iA血都是斜邊在x軸上的小腰直角三角形,

點4,心A3，…，4都在x軸上，點B”82,由，…，&都在反比例函數(shù)產(chǎn)工(x>0)的圖象上，則點

x

4的坐標為.(用含有正整數(shù)〃的式子表示)

(yjn+s/n—1,\[n-—1)

｛解析｝過8作81MLe軸于M，易知M(1,0)是。4的中點，(2,0).

可得以的坐標為(1,1),的解析式為：尸x.

-：P\O//A\Pz，：.A\B2的表達式一次項系數(shù)相等，

將4(2,0)代入y=x+8,.,2=-2,.”四的表達式是y=x-2,與y=2(x>0)聯(lián)立,

x

解得比(1+V2--1+加).仿上，上(2加，0).83(V2+V3--V2+V3)-

依此類推，點8”的坐標為WnT+Vii，_Vn-l+Vn)-

20.(2021.龍東)如圖，菱形A8CO中，NABC=120。，AB=1,延長CO至A”使/)4=CD,以4c為一邊，

在8c的延長線上作菱形ACG5，連接AA”得到△AOAi，再延長G。至4，使OM2=GZZ,以A2G為

一邊，在CG的延長線上作菱形42cle2。2,連接

41A2,得到A\D\A2-...按此規(guī)律,得到A2020D2020A2021>記△AD4］的面積為S\f△4。兇2的面積為S2,....

△^2020/^2020^2021的面積為§2021，則$202尸.

(答案｝20206【解析】山題意得S尸且，S2=—x4=V3,53=—x4x2=2V3,S202i=—x4x2020=2020

4444

G,因此本題答案為20206.

18.(2021.東營)如圖，正方形A5C與中，AB=5A8與直線/所夾銳角為60。，延長Cg交直線/于點4，

作正方形4片。/2,延長G約交直線/于點4,作正方形482c2與，延長GB、交直線/于點A、，作正方形

44。3名....依此規(guī)律，則線段4O2O4O2I=.

2（#）2。2?！窘馕觥扛鶕?jù)題意可知A8i=AB=b，/844=90°-60°=30°,

.?.tan/BiAAi-/Bl.?.①①一AB]X返二?X返=1,AAi=2AiBi=2,

AB1333

4招2=482><返=48iX返=3，AIA2=2A，B2=2X返，

3333_

A、B3=A，BaX?=A、B2義昱=昱乂叵=（返）2,4M3=2A3B3=2X（返）2,

333333

??d202182021=A202082021X返=（返）202°,A202（）42021=242021比021=2X（返）2020

333

三、解答題

18.（2021?安徽18題）某矩形人行道由相同的灰色正方形地磚與相同的白色等腰直角三角形地磚排列而成，圖

1表示此人行道的地磚排列方式，其中正方形地轉(zhuǎn)為連續(xù)排列.

［觀察思考］

當(dāng)正方形地磚只有1塊時，等腰直角三角形地磚有6塊（如圖2）；當(dāng)正方形地磚有2塊時，等腰直角三角形

地磚有8塊（如圖3）；以此類推.

圖1圖2圖3

［規(guī)律總結(jié)1

（1）若人行道上每增加1塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚增加一塊；

（2）若一條這樣的人行道一共有n（n為正整數(shù)）塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚的塊數(shù)為（用

含n的代數(shù)式表示）.

［問題解決1

（3）現(xiàn)有2021塊等腰直角三角形地磚，若按此規(guī)律再建一條人行道，要求等腰直角三角形地磚剩余最少，

則需要正方形地磚多少塊？

解：（1）觀察圖1可知：中間的每個正方形都對應(yīng)了兩個等腰直角三角形，所以每增加一塊正方形地磚，等

腰直角三角形地磚就增加2塊；

故答案為：2