2024高考數(shù)學(xué)講義-統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例

2024高考數(shù)學(xué)講義一統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例

目錄

1.第1講隨機(jī)抽樣...........................................................1

1.1.基礎(chǔ)知識(shí)整理............................................................1

1.2.考試核心突破............................................................4

1.2.1.考向一簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣..............................................4

1.2.2.考向二分層抽樣...................................................6

1.3.課堂作業(yè).................................................................8

2.第2講用樣本估計(jì)總體....................................................13

2.1.基礎(chǔ)知識(shí)整理...........................................................13

2.2.考試核心突破..........................................................17

2.2.1.考向一統(tǒng)計(jì)圖表及應(yīng)用...........................................17

2.2.2.考向二用樣本估計(jì)總體...........................................23

2.3.課堂作業(yè)..............................................................26

3.第3講變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例.........................................35

3.1.基礎(chǔ)知識(shí)整理..........................................................35

3.2.考試核心突破..........................................................40

3.2.1.考向一兩個(gè)變量的相關(guān)性..........................................40

3.2.2.考向二回歸分析...................................................45

3.2.3.考向三獨(dú)立性檢驗(yàn)................................................48

3.3.課堂作業(yè)................................................................52

1.第1講隨機(jī)抽樣

1.1.基礎(chǔ)知識(shí)整理

1.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

(1)定義：設(shè)一個(gè)總體含有N個(gè)個(gè)體，從中畫逐個(gè)不放回地抽取〃個(gè)個(gè)體

作為樣本如果每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)畫都相等,

就把這種抽樣方法叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.

(2)最常用的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法：畫抽簽法和畫隨機(jī)數(shù)法.

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(3)抽簽法與隨機(jī)數(shù)法的區(qū)別與聯(lián)系

抽簽法和隨機(jī)數(shù)法都是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法，但是抽簽法適合在總體和樣本

都較少，容易攪拌均勻時(shí)使用，而隨機(jī)數(shù)法除了適合總體和樣本都較少的情況

外，還適用于總體較多但是需要的樣本較少的情況，這時(shí)利用隨機(jī)數(shù)法能夠快速

地完成抽樣.

2.分層抽樣

(1)定義：在抽樣時(shí)，將總體分成廚互不交叉的層,然后按照一定的畫比

例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，

這種抽樣方法是一種分層抽樣.

(2)分層抽樣的應(yīng)用范圍：當(dāng)總體是由畫差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí),往往

選用分層抽樣.

知識(shí)拓展

1.不論哪種抽樣方法，總體中的每一個(gè)個(gè)體入樣的概率是相同的.

2.分層抽樣是按比例抽樣，每一層入樣的個(gè)體數(shù)為該層的個(gè)體數(shù)乘以抽樣

比.

1.某班有男生36人，女生18人，用分層抽樣的方法從該班全體學(xué)生中抽

取一個(gè)容量為9的樣本，則抽取的女生人數(shù)為()

A.6B.4

C.3D.2

答案C

9

解析抽取的女生人數(shù)為*7■五X18=3,故選C.

30+18

2.為了了解全年級(jí)240名學(xué)生的身高情況，從中抽取40名學(xué)生進(jìn)行測(cè)量，

下列說(shuō)法正確的是()

A.總體是240B.個(gè)體是每一個(gè)學(xué)生

C.樣本容量是40名學(xué)生D.樣本容量為40

答案D

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解析研究此類問(wèn)題首先要弄清楚所要調(diào)查的對(duì)象是什么.本題調(diào)查的對(duì)

象是“學(xué)生的身高”這一項(xiàng)指標(biāo)，故A,B不正確；而樣本容量是數(shù)量，故C不

正確，D正確.

3.（2020.鄭州摸底）某電視臺(tái)在因特網(wǎng)上就觀眾對(duì)其某一節(jié)目的喜愛(ài)程度進(jìn)

行調(diào)查，參加調(diào)查的一共有20000人，其中各種態(tài)度對(duì)應(yīng)的人數(shù)如下表所示：

最喜愛(ài)喜愛(ài)一般不喜歡

4800720064001600

電視臺(tái)為了了解觀眾的具體想法和意見(jiàn)，打算從中抽選100人進(jìn)行更為詳

細(xì)的調(diào)查，為此要進(jìn)行分層抽樣，那么在分層抽樣時(shí)，每類人中應(yīng)抽選的人數(shù)分

別為（）

A.25,25,25,25B.48,72,64,16

C.20,40,30,10D.24,36,32,8

答案D

解析因?yàn)槌闃颖葹闇豃=擊，所以每類人中應(yīng)抽選的人數(shù)分別為

4800X念=24,7200X忐=36,6400X忐=32,1600X余=8.故選D.

4.（2021?廣西南寧高三月考）某公司在甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)分別有150

個(gè)、120個(gè)、180個(gè)、150個(gè)銷售點(diǎn).公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況，需從這600

個(gè)銷售點(diǎn)中抽取一個(gè)容量為100的樣本，記這項(xiàng)調(diào)查為①；在丙地區(qū)有10個(gè)特

大型銷售點(diǎn)，要從中抽取7個(gè)銷售點(diǎn)調(diào)查其銷售收入和售后服務(wù)等情況，記這

項(xiàng)調(diào)查為②，則完成①②這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法分別為.

答案分層抽樣、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

解析由調(diào)查①可知個(gè)體差異明顯，故宜用分層抽樣；調(diào)查②中個(gè)體數(shù)較

少，且個(gè)體之間沒(méi)有明顯差異，故宜用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.

5.（2020.廣東省七校聯(lián)考）假設(shè)要考察某公司生產(chǎn)的狂犬疫苗的劑量是否達(dá)

標(biāo)，現(xiàn)用隨機(jī)數(shù)法從500支疫苗中抽取50支進(jìn)行檢驗(yàn)，利用隨機(jī)數(shù)表抽取樣本

時(shí)，先將500支疫苗按000,001，…，499進(jìn)行編號(hào)，若從隨機(jī)數(shù)表第7行第8

列的數(shù)開(kāi)始向右讀，則抽取的第3支疫苗的編號(hào)為.（下面摘取了隨機(jī)數(shù)

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表的第7行至第9行）

844217533157245506887704744767217633502583921206

76

630163785916955567199810507175128673580744395238

79

332112342978645607825242074438155100134299660279

54

答案068

解析由題意，得從隨機(jī)數(shù)表第7行第8列的數(shù)開(kāi)始向右讀，符合條件的

前三個(gè)編號(hào)依次是331,455,068,故抽取的第3支疫苗的編號(hào)是068.

1.2.考試核心突破

1.2.1.考向一簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

例1（1）下列抽取樣本的方式屬于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的個(gè)數(shù)為（）

①?gòu)臒o(wú)限多個(gè)個(gè)體中抽取100個(gè)個(gè)體作為樣本；

②盒子里共有80個(gè)零件，從中選出5個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn).在抽樣操作時(shí)，

從中任意拿出一個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)后再把它放回盒子里；

③從20件玩具中一次性抽取3件進(jìn)行質(zhì)量檢查；

④某班有56名同學(xué)，指定個(gè)子最高的5名同學(xué)參加學(xué)校組織的籃球賽.

A.0B.1

C.2D.3

答案A

解析①不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.因?yàn)楸怀槿颖镜目傮w的個(gè)體數(shù)是無(wú)限的，而

不是有限的.②不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.因?yàn)樗欠呕爻闃?③不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.因

為這是“一次性”抽取，而不是“逐個(gè)”抽取.④不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.因?yàn)橹付?/p>

個(gè)子最高的5名同學(xué)是56名同學(xué)中特指的，不具有隨機(jī)性，不是等可能的抽

樣.故選A.

⑵總體由編號(hào)為01,02,…，19,20的20個(gè)個(gè)體組成.利用下面的隨機(jī)數(shù)表

選取5個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列數(shù)字開(kāi)始由左到右依次

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選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來(lái)的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為()

78166572080263140702436997280198

32049234493582003623486969387481

A.08B.07

C.02D.01

答案D

解析選出來(lái)的5個(gè)個(gè)體的編號(hào)依次是08,02,14,07,01,故選D.

(1)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣需滿足：①被抽取的樣本總體的個(gè)體數(shù)有限;

②逐個(gè)抽??；③是不放回抽??；④是等可能抽取.

(2)抽簽法與隨機(jī)數(shù)法的適用情況

①抽簽法適用于總體中個(gè)數(shù)較少的情況，隨機(jī)數(shù)法適用于總體中個(gè)數(shù)較多

的情況；

②一個(gè)抽樣試驗(yàn)?zāi)芊裼贸楹灧?，關(guān)鍵看兩點(diǎn)：一是抽簽是否方便；二是號(hào)簽

是否易攪勻.

1.某中學(xué)開(kāi)學(xué)后從高一年級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取90名學(xué)生進(jìn)行

家庭情況調(diào)查，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后再次從這個(gè)年級(jí)隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行學(xué)情

調(diào)查，發(fā)現(xiàn)有20名同學(xué)上次被抽到過(guò)，估計(jì)這個(gè)學(xué)校高一年級(jí)的學(xué)生人數(shù)為

()

A.180B.400

C.450D.2000

答案C

9020

解析設(shè)這個(gè)學(xué)校高一年級(jí)的學(xué)生人數(shù)約為％,則工=而，...x=450.故選

C.

2.福利彩票“雙色球”中紅色球的號(hào)碼可從編號(hào)為01,02,33的33

個(gè)數(shù)中隨機(jī)選取，某彩民利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取6個(gè)數(shù)作為6個(gè)紅色球的號(hào)

碼，選取方法是從下列隨機(jī)數(shù)表中第1行第6列的數(shù)字開(kāi)始由左到右依次選取

兩個(gè)數(shù)字，則選出來(lái)的第6個(gè)紅色球的號(hào)碼為()

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4954435482173793237887352096438426349164

5724550688770474476721763350258392120676

A.23B.09

C.02D.17

答案C

解析從隨機(jī)數(shù)表第1行第6列的數(shù)字開(kāi)始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，

則選出的6個(gè)紅色球的號(hào)碼依次為21,32,09,16,17,02,故選出的第6個(gè)紅色球的

號(hào)碼為02.故選C.

1.2.2.考向二分層抽樣

例2（1）某學(xué)校高一年級(jí)1802人，高二年級(jí)1600人，高三年級(jí)1499

人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取98名學(xué)生參加全國(guó)中學(xué)生禁毒知識(shí)競(jìng)

賽，則在高課堂作業(yè)高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)中抽取的人數(shù)分別為（）

A.35,33,30B.36,32,30

C.36,33,29D.35,32,31

答案B

解析先將每個(gè)年級(jí)的人數(shù)湊整，得高一1800人，高二1600人，高三1500

人，則三個(gè)年級(jí)的人數(shù)所占比例分別為目，￡工，因此，各年級(jí)抽取人數(shù)分別

為98送=36,98X隼32,98義魯=30,故選B.

（2）（2020.河南百校聯(lián)盟仿真）2020年夏季來(lái)臨，某品牌飲料舉行夏季促銷活

動(dòng)，瓶蓋內(nèi)部分別印有標(biāo)識(shí)A“謝謝惠顧”、標(biāo)識(shí)8“再來(lái)一瓶”以及標(biāo)識(shí)?！捌?/p>

牌紀(jì)念幣一枚”，每箱中印有A,B,。標(biāo)識(shí)的飲料數(shù)量之比為3：1：2,若顧

客購(gòu)買了一箱（12瓶）該品牌飲料，則兌換“品牌紀(jì)念幣”的數(shù)量為（）

A.2B.4

C.6D.8

答案B

21

解析根據(jù)題意，得“品牌紀(jì)念幣一枚”的瓶數(shù)占總體的&=一-二不則一

JI1?乙J

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箱中兌換“品牌紀(jì)念幣”的數(shù)量為)X12=4.

觸類旁通］分層抽樣的步驟

(1)將總體按一定標(biāo)準(zhǔn)分層.

⑵計(jì)算各層的個(gè)體數(shù)與總體數(shù)的比，按各層個(gè)體數(shù)占總體數(shù)的比確定各層

應(yīng)抽取的樣本容量.

(3)在每一層進(jìn)行抽樣(可用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣).

即時(shí)訓(xùn)練3.如下餅圖，某學(xué)校共有教師120A,從中選出一個(gè)30人的樣

本，其中被選出的青年女教師的人數(shù)為(

A.12B.6

C.4D.3

答案D

解析青年教師的人數(shù)為120X(1-30%-40%)=36,所以青年女教師有36

30

-24=12A,故青年女教師被選出的人數(shù)為12X礪=3.故選D.

4.經(jīng)調(diào)查，某市騎行共享單車的老年人、中年人、青年人的比例為1：3：

6,用分層抽樣的方法抽取了一個(gè)容量為〃的樣本進(jìn)行調(diào)查，其中中年人人數(shù)為

12,則〃=()

A.30B.40

C.60D.80

答案B

解析由題意，設(shè)老年人和青年人人數(shù)分別為X,y,由分層抽樣，得X：12：

y=1：3：6,解得x=4,y=24,貝"〃=4+12+24=40,故選B.

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1.3.課堂作業(yè)

一、單項(xiàng)選擇題

1.某政府機(jī)關(guān)在編人員共100人，其中副處級(jí)以上干部10人，一般干部

70人，工人20人，上級(jí)部門為了了解該機(jī)關(guān)對(duì)政府機(jī)構(gòu)改革的意見(jiàn)，要從中抽

取20人，用下列哪種方法最合適？（）

A.抽簽法B.隨機(jī)數(shù)法

C.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法D.分層抽樣法

答案D

解析總體由差異明顯的三部分構(gòu)成，應(yīng)選用分層抽樣法.

2.在“世界讀書日”前夕，為了了解某地5000名居民某天的閱讀時(shí)間，從

中抽取了200名居民的閱讀時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，在這個(gè)問(wèn)題中，5000名居民的

閱讀時(shí)間的全體是（）

A.總體B.個(gè)體

C.樣本容量D.從總體中抽取的一個(gè)樣本

答案A

解析根據(jù)題意，結(jié)合總體、樣本、個(gè)體、樣本容量的定義可知，5000名

居民的閱讀時(shí)間的全體是總體.

3.（2021.廣東揭陽(yáng)高三月考）某單位200名職工的年齡分布情況如圖所示，現(xiàn)

要從中抽取40名職工作樣本，若用分層抽樣方法，則40歲以下年齡段應(yīng)抽取

（）

A.10人B.15人

C.20人D.25人

答案C

解析由年齡分布情況圖可得40歲以下年齡段應(yīng)抽取40X50%=20人.故

選C.

第8頁(yè)共60頁(yè)

4.有一批計(jì)算機(jī)，其編號(hào)分別為001,002,003,…，112,為了調(diào)查計(jì)算機(jī)

的質(zhì)量問(wèn)題，打算抽取4臺(tái)人樣.現(xiàn)在利用隨機(jī)數(shù)表法抽樣，在下面隨機(jī)數(shù)表中

選第1行第6個(gè)數(shù)“0”作為開(kāi)始，向右讀，那么抽取的第4臺(tái)計(jì)算機(jī)的編號(hào)為

()

53797076269429274399551981068501

92644607202139207766381732561640

58587766317005002593054553707814

A.072B.021

C.077D.058

答案B

解析依次可得到需要的編號(hào)是076,068,072,021,故抽取的第4臺(tái)計(jì)算機(jī)

的編號(hào)為021.

5.某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比為3:5:7,現(xiàn)

用分層抽樣的方法抽出容量為〃的樣本，其中甲種產(chǎn)品有18件，則樣本容量〃

=()

A.54B.90

C.45D.126

答案B

3

解析依題意得壬百X〃=18,解得〃=90,即樣本容量為90.

6.利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，從〃個(gè)個(gè)體中抽取一個(gè)容量為10的樣本.若第二

次抽取時(shí)，余下的每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為4則在整個(gè)抽樣過(guò)程中，每個(gè)個(gè)體

被抽到的概率為()

1

A1B

「5-10

C-UD-27

答案c

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解析根據(jù)題意，^77=1，解得〃=28.故每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為多得

7.某工廠的一、二、三車間在12月份共生產(chǎn)了3600雙皮靴，在出廠前

檢查這批產(chǎn)品的質(zhì)量，決定采用分層抽樣的方法進(jìn)行抽取.若從一、二、三車

間抽取的產(chǎn)品數(shù)分別為a,b,c,且20=a+c,則二車間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)為

（）

A.800B.1000

C.1200D.1500

答案C

解析因?yàn)?8=a+c,所以從二車間抽取的產(chǎn)品數(shù)占抽取產(chǎn)品總數(shù)的;，根

據(jù)分層抽樣的性質(zhì)可知二車間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)占總數(shù)的;，即為3600x4=1200,

故選C.

8.（2020.蘇州模擬）蘇州市6月1日起正式實(shí)施的《生活垃圾分類管理?xiàng)l例》

將城市生活垃圾分為“可回收物”“有害垃圾”“廚余垃圾”和“其他垃圾”

四大類.某社區(qū)為了分析不同年齡段的人群對(duì)垃圾分類知識(shí)的了解情況，對(duì)轄區(qū)

內(nèi)的居民進(jìn)行分層抽樣調(diào)查.已知該社區(qū)的青年人、中年人和老年人分別有800

人、900人、700人，若在老年人中的抽樣人數(shù)是35,則在青年人中的抽樣人數(shù)

是（）

A.20B.40

C.60D.80

答案B

解析由題可知抽取的比例為Z=益=古，故青年人應(yīng)該抽取的人數(shù)為N

=800X4=40.故選B.

9.某高中的三個(gè)興趣小組的人數(shù)分布如下表（每名同學(xué)只參加一個(gè)小組）:

象棋組圍棋組橋牌組

局一9060X

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高二302040

現(xiàn)要對(duì)這三個(gè)小組的活動(dòng)效果進(jìn)行抽樣調(diào)查，從參加這三個(gè)興趣小組的學(xué)

生中按小組采用分層抽樣的方法抽取60人，已知圍棋組被抽出16人，則x的

值為（）

A.30B.60

C.80D.100

答案B

解析由題意，知肅齊=然上，解得》=60,故選B.

oO+20Z4U+X

二、多項(xiàng)選擇題

10.某學(xué)校有體育特長(zhǎng)生25人，美術(shù)特長(zhǎng)生35人，音樂(lè)特長(zhǎng)生40人，用

分層抽樣的方法從中抽取40人，貝女）

A.抽取的體育特長(zhǎng)生為10人

B.抽取的美術(shù)特長(zhǎng)生為15人

C.抽取的音長(zhǎng)特長(zhǎng)生為16人

D.抽取的體育特長(zhǎng)生和美術(shù)特長(zhǎng)生共25人

答案AC

25

解析抽取的體育特長(zhǎng)生、美術(shù)特長(zhǎng)生、音樂(lè)特長(zhǎng)生分別為

冒/J一IU二I五IX40

=10（A）,六亂4nx*14（人）,又二建4nx*16（人）.故選AC.

11.某公司生產(chǎn)三種型號(hào)的轎車，產(chǎn)量分別為1200輛,6000輛和2000輛.為

檢驗(yàn)該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，公司質(zhì)監(jiān)部門要抽取46輛進(jìn)行檢驗(yàn)，則下列說(shuō)法正確

的是（）

A.應(yīng)采用分層抽樣法抽取

B.應(yīng)采用抽簽法抽取

C.三種型號(hào)的轎車依次抽取6輛、30輛、10輛

D.這三種型號(hào)的轎車，每一輛被抽到的概率都是相等的

答案ACD

第11頁(yè)共60頁(yè)

解析由于總體按型號(hào)分為三個(gè)子總體，所以應(yīng)采用分層抽樣法抽取，A正

確；因?yàn)榭傮w量較大，故不宜采用抽簽法，所以B錯(cuò)誤；設(shè)三種型號(hào)的轎車依

xyz

次抽取X輛、y輛、z輛，則有＜1200一6000一2000，解得

x+y+z=46,

x=6,

y=30,所以三種型號(hào)的轎車依次抽取6輛、30輛、10輛，故C正確；

{z=10,

由分層抽樣的意義可知D也正確.

三、填空題

12.某小學(xué)三年級(jí)有甲、乙兩個(gè)班，其中甲班有男生30人、女生20人，乙

班有男生25人、女生25人，現(xiàn)在需要各班按男女生分層抽取20%的學(xué)生進(jìn)行

某項(xiàng)調(diào)查，則兩個(gè)班共抽取男生的人數(shù)是_______.

答案11

解析根據(jù)題意，知兩個(gè)班共抽取男生的人數(shù)為3OX2O%+25X2O%=11.

13.某報(bào)社做了一次關(guān)于“什么是新時(shí)代的雷鋒精神”的調(diào)查，在A,B,

C,。四個(gè)單位回收的問(wèn)卷數(shù)依次成等差數(shù)列，且共回收1000份，因報(bào)道需要，

再?gòu)幕厥盏膯?wèn)卷中按單位分層抽取容量為150的樣本，若在B單位抽取30份,

則在D單位抽取的問(wèn)卷是份.

答案60

解析由題意，設(shè)在A,B,C,。四個(gè)單位回收的問(wèn)卷數(shù)分別為0,42,

。3,。4,在。單位抽取的問(wèn)卷數(shù)為%則有鄧=喘素解得Q2=200,又G+G

+a3+a4=1000,即3a2+=1000,=400,*'-4QQ=?QQQ,解得〃=60.

14.（2020.江蘇無(wú)錫期末）如表是關(guān)于某校高一年級(jí)男女生選科意向的調(diào)查

數(shù)據(jù)，人數(shù)如表所示：

選修物理選修歷史

男生16040

第12頁(yè)共60頁(yè)

女生80120

現(xiàn)要在所有參與調(diào)查的人中用分層抽樣的方法抽取〃個(gè)人做進(jìn)一步的調(diào)查,

若在“選修物理的男生”中抽取了8人，則〃的值為.

答案20

Q匕

解析由分層抽樣的性質(zhì)得而160+40+80+12。，

解得〃=20.

2.第2講用樣本估計(jì)總體

2.1.基礎(chǔ)知識(shí)整理

1.用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布

(1)作頻率分布直方圖的步驟

①求極差(即一組數(shù)據(jù)中回1最大值與同最小值的差).

②決定畫組距與畫組數(shù).

③將數(shù)據(jù)畫分組.

④列1061頻率分布表.

⑤畫畫頻率分布直方圖.

(2)頻率分布折線圖和總體密度曲線

①頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上端的碉中點(diǎn),就

得到頻率分布折線圖.

②總體密度曲線：隨著畫樣本容量的增加,作圖時(shí)回所分的組數(shù)增加，

回組距減小，相應(yīng)的頻率折線圖會(huì)越來(lái)越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計(jì)中稱這條

光滑曲線為總體密度曲線.

(3)莖葉圖

莖是指間中間的一列數(shù),葉是從莖的叵旁邊生長(zhǎng)出來(lái)的數(shù).

2.用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征

第13頁(yè)共60頁(yè)

(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).

(2)中位數(shù)：將數(shù)據(jù)從小到大排列，若有奇數(shù)個(gè)數(shù)，則最中間的數(shù)是中位數(shù)；

若有偶數(shù)個(gè)數(shù)，則中間兩數(shù)的平均數(shù)是中位數(shù).

(3)平均數(shù)：x=Q4]反映了一組數(shù)據(jù)的平均水平.

(4)標(biāo)準(zhǔn)差：是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，s=

回_弋夕(XI-+(X2一$)2+…+(泡一丑1.

(5)方差：?=回力3__-導(dǎo)尸+(X2-與+…+(也一與■)2](x”是樣本數(shù)據(jù)，n是

樣本容量，I是樣本平均數(shù)).

知識(shí)拓展

1.頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系

(1)最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù).

(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的.

(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)

方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.

2.標(biāo)準(zhǔn)差與方差的特點(diǎn)

反映了各個(gè)樣本數(shù)據(jù)聚集于樣本平均數(shù)周圍的程度.標(biāo)準(zhǔn)差(方差)越小，表

明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越集中；標(biāo)準(zhǔn)差(方差)越大，表明各個(gè)樣本數(shù)

據(jù)在樣本平均數(shù)的兩邊越分散.

3.平均數(shù)、方差的公式推廣

(1)若數(shù)據(jù)xi,X2,?,,,%”的平均數(shù)為x,那么mx\+a,mxi+a,mx3+a,,,,,

mxn+a的平均數(shù)是mx+a.

(2)若數(shù)據(jù)XI,X2,—,X"的方差為$2,則:

①數(shù)據(jù)xi+a,X2+a,-,X"+a的方差也為52;

②數(shù)據(jù)?I,0X2,…,""的方差為a2s2.

I雙基自測(cè)

第14頁(yè)共60頁(yè)

1.為評(píng)估一種農(nóng)作物的種植效果，選了〃塊地作試驗(yàn)田.這〃塊地的畝產(chǎn)

量（單位：kg）分別為幻，X2,…，X",下面給出的指標(biāo)中可以用來(lái)評(píng)估這種農(nóng)作

物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是（）

A.XI,X2,尤”的平均數(shù)B.X\,X2,…，龍"的標(biāo)準(zhǔn)差

C.XI,X2,?,,,X"的最大值D.XI,X2,…，X"的中位數(shù)

答案B

解析因?yàn)榭梢杂脴O差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)描述數(shù)據(jù)的離散程度，所以要評(píng)估

畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度，應(yīng)該用樣本數(shù)據(jù)的極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差.故選B.

2.（2020.云川貴百校聯(lián)考）某課外小組的同學(xué)們從社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中調(diào)查了20

戶家庭某月的用電量，如下表所示:

用電量/度120140160180200

戶數(shù)23582

則這20戶家庭該月用電量的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）

A.180,170B.160,180

C.160,170D.180,160

答案A

解析用電量為180度的家庭最多，有8戶，故這20戶家庭該月用電量的

眾數(shù)是180,排除B,C;將用電量按從小到大的順序排列后，處于最中間位置

的兩個(gè)數(shù)是160,180,故這20戶家庭該月用電量的中位數(shù)是170.故選A.

3.在樣本頻率分布直方圖中，共有9個(gè)小長(zhǎng)方形，若中間一個(gè)小長(zhǎng)方形的

2

面積等于其他8個(gè)長(zhǎng)方形的面積和的彳且樣本容量為140,則中間一組的頻數(shù)

為（）

A.28B.40

C.56D.60

答案B

解析設(shè)中間一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積為，其他8個(gè)長(zhǎng)方形的面積和為|x,因

第15頁(yè)共60頁(yè)

522

止匕工+/=1,所以x=］.所以中間一組的頻數(shù)為140X,=40.故選B.

4.（2019?全國(guó)卷II）演講比賽共有9位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)

定該選手的成績(jī)時(shí)，從9個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)

有效評(píng)分.7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分相比，不變的數(shù)字特征是（）

A.中位數(shù)B.平均數(shù)

C.方差D.極差

答案A

解析中位數(shù)是將9個(gè)數(shù)據(jù)從小到大或從大到小排列后，處于中間位置的

數(shù)據(jù)，因而去掉1個(gè)最高分和1個(gè)最低分，不變的是中位數(shù)，平均數(shù)、方差、極

差均受影響.故選A.

5.（2020.全國(guó)卷III）設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)汨，孫…，X”的方差為0.01,則數(shù)據(jù)

10X1,10X2,…，10X"的方差為（）

A.0.01B.0.1

C.1D.10

答案C

解析因?yàn)閿?shù)據(jù)"j+b（i=1,2,…,〃）的方差是數(shù)據(jù)加0=1,2,…,"）的方

差的倍，所以所求數(shù)據(jù)的方差為=1.故選C.

6.對(duì)一批產(chǎn)品的長(zhǎng)度（單位：毫米）進(jìn)行抽樣檢測(cè)，樣本容量為200,如圖為

檢測(cè)結(jié)果的頻率分布直方圖，根據(jù)產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn)，單件產(chǎn)品長(zhǎng)度在區(qū)間［25,30）的為一

等品，在區(qū)間［20,25）和［30,35）的為二等品，其余均為三等品，則該樣本中三等品

的件數(shù)為.

答案50

解析根據(jù)題中的頻率分布直方圖可知，三等品的頻率為1-（0.0500+

第16頁(yè)共60頁(yè)

0.0625+0.0375）X5=0.25,因此該樣本中三等品的件數(shù)為200X0.25=50.

2.2.考試核心突破

多角度探究突破

2.2.1.考向一統(tǒng)計(jì)圖表及應(yīng)用

角度1扇形圖

例1（2018.全國(guó)卷I）某地區(qū)經(jīng)過(guò)一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加

了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地

區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖：

則下面結(jié)論中不正確的是（）

A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少

B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上

C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過(guò)了經(jīng)濟(jì)收入的一半

答案A

解析設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前的收入為M,則新農(nóng)村建設(shè)后的收入為2M,新農(nóng)村

建設(shè)前種植收入為0.6M,新農(nóng)村建設(shè)后的種植收入為0.74M,所以種植收入增

加了，所以A不正確；新農(nóng)村建設(shè)前其他收入為0Q4M,新農(nóng)村建設(shè)后其他收

入為0.1M,故增加了一倍以上，所以B正確；新農(nóng)村建設(shè)前，養(yǎng)殖收入為0.3M,

新農(nóng)村建設(shè)后為0.6M,增加了一倍，所以C正確；新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與

第三產(chǎn)業(yè)收入的總和占經(jīng)濟(jì)收入的30%+28%=58%>50%,所以超過(guò)了經(jīng)濟(jì)收

第17頁(yè)共60頁(yè)

入的一半，所以D正確.故選A.

角度2折線圖

例2（多選）（2020?海南高考調(diào)研）如圖所示的折線圖是2020年1月25日至

2020年2月12日陜西省及西安市新冠肺炎累計(jì)確診病例的折線圖，則下列判斷

正確的是（）

A.1月31日陜西省新冠肺炎累計(jì)確診病例中西安市占比超過(guò)了"

B.1月25日至2月12日陜西省及西安市新冠肺炎累計(jì)確診病例都呈遞增

趨勢(shì)

C.2月2日后到2月10日陜西省新冠肺炎累計(jì)確診病例增加了97例

D.2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累計(jì)確診病例的增長(zhǎng)率大于2月

6日到2月8日的增長(zhǎng)率

答案ABC

解析1月31日陜西省新冠肺炎累計(jì)確診病例共有87例，其中西安32例，

321

所以西安市所占比例為記〉），故A正確；由折線圖可知，1月25日到2月12

日陜西省及西安市新冠肺炎累計(jì)確診病例都呈遞增趨勢(shì)，故B正確；2月2日

后到2月10日陜西省新冠肺炎累計(jì)確診病例增加了213-116=97例，故C正

98-885

確；2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累計(jì)確診病例增加了一—=在，2

88-74775

月6日到2月8日西安市新冠肺炎累計(jì)確診病例增加了一^—=為，顯然萬(wàn)〉石，

故D錯(cuò)誤.

第18頁(yè)共60頁(yè)

角度3頻率分布直方圖

例3（1）（2020?天津高考）從一批零件中抽取80個(gè),測(cè)量其直徑（單位：mm）,

將所得數(shù)據(jù)分為9組：［5.31,5.33）,［5.33,5.35）,…，［5.45,5.47）,［5.47,5.49］,并

整理得到如下頻率分布直方圖，則在被抽取的零件中，直徑落在區(qū)間［5.43,5.47）

內(nèi)的個(gè)數(shù)為（）

C.20D.36

答案B

解析根據(jù)頻率分布直方圖可知，直徑落在區(qū)間［5.43,5.47）之間的頻率為

（6.25+5.00）X0.02=0.225,則直徑落在區(qū)間［5.43,5.47）內(nèi)零件的個(gè)數(shù)為

80X0.225=18.故選B.

（2）（多選）（2020.臨沂模擬）在某次高中學(xué)科競(jìng)賽中，4000名考生的參賽成績(jī)

統(tǒng)計(jì)如圖所示,60分以下視為不及格，若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)作代表，

則下列說(shuō)法中正確的有（）

A.成績(jī)?cè)冢?0,80］分的考生人數(shù)最多

B.不及格的考生人數(shù)為1000人

C.考生競(jìng)賽成績(jī)的平均分約為70.5分

第19頁(yè)共60頁(yè)

D.考生競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)為75分

答案ABC

解析根據(jù)頻率分布直方圖得，成績(jī)出現(xiàn)在［70,80］的頻率最大，故A正確；

不及格考生數(shù)為10X(0.010+0.015)X4000=1000,故B正確；根據(jù)頻率分布直

方圖估計(jì)考試的平均分為45X0.1+55X0.15+65X0.2+75X0.3+85X0.15+

95X0.1=70.5,故C正確；0.1+0.15+0.2=0.45<0.5,0.1+0.15+0.2+0.3=0.75

0.5-0.45

>0.5,所以考生競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)為70+―記一X10七71.67,故D錯(cuò)誤.故

選ABC.

觸類旁通

(1)通過(guò)扇形統(tǒng)計(jì)圖可以很清楚的表示出各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系.

(2)折線圖可以顯示隨時(shí)間(根據(jù)常用比例放置)而變化的連續(xù)數(shù)據(jù)，因此非常

適用于顯示在相等時(shí)間間隔下數(shù)據(jù)的趨勢(shì).

(3)準(zhǔn)確理解頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)特點(diǎn)

①頻率分布直方圖中縱軸上的數(shù)據(jù)是各組的頻率除以組距的結(jié)果，不要誤

以為縱軸上的數(shù)據(jù)是各組的頻率，不要和條形圖混淆；

②頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形的面積之和為1,這是解題的關(guān)鍵，常利用

頻率分布直方圖估計(jì)總體分布.

P即時(shí)訓(xùn)練1.(2020.葫蘆島模擬)書籍是人類的智慧結(jié)晶和進(jìn)步階梯，閱讀

是一個(gè)國(guó)家的文化根基和創(chuàng)造源泉.2014年以來(lái)，“全民閱讀”連續(xù)6年被寫入

政府工作報(bào)告.某高中為了解學(xué)生假期自主閱讀書籍類型，在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽

取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.學(xué)生選擇的書籍大致分為以下四類：A歷史類、B文學(xué)

類、C科學(xué)類、D哲學(xué)類.根據(jù)調(diào)查的結(jié)果，將數(shù)據(jù)整理成如下的兩幅不完整的

統(tǒng)計(jì)圖，其中a=10.

第20頁(yè)共60頁(yè)

根據(jù)上述信息，可知本次隨機(jī)抽查的學(xué)生中選擇A歷史類的人數(shù)為（）

A.45B.30

C.25D.22

答案B

30-18

解析由題可知，樣本容量為一b=120,所以選擇A歷史類的人數(shù)為

120-42-30-18=30.故選B.

2.（2020.汕頭二模）新型冠狀病毒疫情發(fā)生后，口罩的需求量大增，某口罩

工廠為提高生產(chǎn)效率，開(kāi)展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出兩種新的生產(chǎn)方式，為比較兩種

生產(chǎn)方式的效率，選取80名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組40人，第一組工

人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.

第一種生產(chǎn)方式40名工人完成同一生產(chǎn)任務(wù)所用時(shí)間（單位：min）如表:

6787889888

8257320394

8879798989

8761907162

8887996887

8716543751

9678998876

6345297259

第二種生產(chǎn)方式40名工人完成同一生產(chǎn)任務(wù)所用時(shí)間（單位：min）如扇形圖

所示：

第21頁(yè)共60頁(yè)

(1)請(qǐng)?zhí)顚懙谝环N生產(chǎn)方式完成任務(wù)所用時(shí)間的頻數(shù)分布表并作出頻率分布

直方圖:

生產(chǎn)

[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

時(shí)間

頻數(shù)

(2)試從扇形圖中估計(jì)第二種生產(chǎn)方式的平均數(shù)；

(3)根據(jù)頻率分布圖和扇形圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說(shuō)明理由.

解(1)第一種生產(chǎn)方式完成任務(wù)所用時(shí)間的頻數(shù)分布表如下：

生產(chǎn)

[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

時(shí)間

頻數(shù)481810

頻率分布直方圖如下:

(2)從扇形圖中估計(jì)第二種生產(chǎn)方式的平均數(shù)為

65X0.25+75X0.5+85X0.2+95X0.05=75.5min.

第22頁(yè)共60頁(yè)

（3）從頻率分布直方圖中估計(jì)第一種生產(chǎn)方式的平均數(shù)為

65X0.1+75X0.2+85X0.45+95X0.25=83.5min,

從平均數(shù)的角度發(fā)現(xiàn)：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需要的時(shí)

間高于80分鐘；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需要的時(shí)間低于80

分鐘，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.

2.2.2.考向二用樣本估計(jì)總體

例4（1）（多選）為了了解某校高一年級(jí)1600名學(xué)生的體能情況，隨機(jī)抽查

了部分學(xué)生，測(cè)試1分鐘仰臥起坐的成績(jī)（次數(shù)），將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖所示

的頻率分布直方圖，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖的數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是（）

A.該校高一年級(jí)學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)的中位數(shù)為26.25次

B.該校高一年級(jí)學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)的眾數(shù)為27.5次

C.該校高一年級(jí)學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過(guò)30次的約有320人

D.該校高一年級(jí)學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20次的約有32人

答案ABC

解析由題圖可知中位數(shù)是26.25次，眾數(shù)是27.5次，1分鐘仰臥起坐的次

數(shù)超過(guò)30次的頻率為0.2,所以估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)

超過(guò)30次的約有320人；1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20次的頻率為0.1,所以

該校高一年級(jí)學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20次的約有160人.故A,B,

C正確，D錯(cuò)誤，故選ABC.

（2）（2020.香坊區(qū)校級(jí)二模）2020年初新冠病毒疫情爆發(fā)，全國(guó)范圍開(kāi)展了

“停課不停學(xué)”的線上教學(xué)活動(dòng).哈六中數(shù)學(xué)組積極研討網(wǎng)上教學(xué)策略：先采取

甲、乙兩套方案教學(xué)，并對(duì)分別采取兩套方案教學(xué)的班級(jí)的7次線上測(cè)試成績(jī)

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進(jìn)行統(tǒng)計(jì)如圖所示:

①請(qǐng)?zhí)顚懭绫?要求寫出計(jì)算過(guò)程)

平均數(shù)方差

甲

乙

②從下列三個(gè)不同的角度對(duì)這次方案選擇的結(jié)果進(jìn)行分析：

a.從平均數(shù)和方差相結(jié)合看(分析哪種方案的成績(jī)更好)；

b.從折線圖上兩種方案的走勢(shì)看(分析哪種方案更有潛力).

解①由圖象可得，工甲=；X(109+111+113+115+117+119+121)=115,

1乙=；乂(121+115+109+115+113+117+115)=115,

貝1]5%=；*(62+42+22+()2+22+42+62)=16,

1Qf)

=jX(62+02+62+02+22+22+02)=11.43,

故表格第一行：115,16;第二行：115,約為11.43.

②a.因?yàn)楣ぜ?工乙，s%>s"故乙方案更好.

b.由折線圖可知甲走勢(shì)穩(wěn)定上升，故甲方案更好.

觸類旁通眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差的意義及常用結(jié)論

(1)平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對(duì)總體的一種簡(jiǎn)明的描述，它們

所反映的情況有著重要的實(shí)際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì),

方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小.

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(2)方差的簡(jiǎn)化計(jì)算公式：=+焉+…+粉或?qū)懗?2=：("+

M+…+京)-\2,即方差等于原始數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方.

即時(shí)訓(xùn)練3.某學(xué)校共有學(xué)生2000人，其中高一800人，高二、高三各

600人，學(xué)校對(duì)學(xué)生在暑假期間每天的讀書時(shí)間做了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，全體學(xué)生每天的

讀書時(shí)間的平均數(shù)為工=3小時(shí)，方差為$2=1.966,其中三個(gè)年級(jí)學(xué)生每天讀

書時(shí)間的平均數(shù)分別為11=2.7,12=3.1,13=3.3,又已知高一學(xué)生、高二學(xué)

生每天讀書時(shí)間的方差分別為6=1,0=2,則高三學(xué)生每天讀書時(shí)間的方差考

答案3

解析由題意可得，1.966=微義口+(2.7-3)2]+毀><[2+(3.1—3)2]+

雅義武+(3.3-3月,解得*=3.

4.(2020.南寧模擬)為了檢測(cè)某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，從生產(chǎn)線

上隨機(jī)抽取一批零件，根據(jù)其尺寸的數(shù)據(jù)得到如圖所示的頻率分布直方圖.若尺

寸落在區(qū)間(1-2s,x+2s)之外，則認(rèn)為該零件屬于“不合格”的零件，其中

%,s分別為樣本平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差，計(jì)算可得s七15(同一組中的數(shù)據(jù)用該組

區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).

(1)求樣本平均數(shù)的大??；

(2)若一個(gè)零件的尺寸是100cm,試判斷該零件是否屬于“不合格”的零件.

解⑴1=35X10X0.005+45X10X0.010+55X10X0.015+

65X10X0.030+75X10X0.020+85X10X0.015+95X10X0.005=66.5.

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(2)x+2s=66.5+30=96.5,x-2s=66.5-30=36.5,100>96.5，二該零件屬

于“不合格”的零件.

---------------------------------------P課時(shí)作業(yè)］---------------------------------------

2.3.課堂作業(yè)

一、單項(xiàng)選擇題

1.如圖，樣本A和8分別取自兩個(gè)不同的總體，它們的樣本平均數(shù)分別為

工A和工8,樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為S4和SB,貝女)

A.XA>X