2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第七章 隨機(jī)變量及其分布 7.3.2 離散型隨機(jī)變量的方差（教師用書）教案 新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第七章隨機(jī)變量及其分布7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差（教師用書）教案新人教A版選擇性必修第三冊(cè)主備人備課成員教材分析本節(jié)課為人教A版選擇性必修第三冊(cè)高中數(shù)學(xué)第七章“隨機(jī)變量及其分布”中的7.3.2節(jié)“離散型隨機(jī)變量的方差”。該節(jié)內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)掌握了離散型隨機(jī)變量的期望的基礎(chǔ)上展開的，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生將掌握離散型隨機(jī)變量的方差的定義、計(jì)算方法及其性質(zhì)。

本節(jié)課的內(nèi)容與實(shí)際生活緊密相連，通過實(shí)例讓學(xué)生感受方差在實(shí)際生活中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。同時(shí)，本節(jié)課的內(nèi)容也為后續(xù)的概率論和數(shù)列的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

在教學(xué)過程中，我將以教材為依據(jù)，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，采用循序漸進(jìn)的教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生通過自主學(xué)習(xí)、合作交流等方式，掌握離散型隨機(jī)變量的方差的相關(guān)知識(shí)。在教學(xué)過程中，我會(huì)注重對(duì)學(xué)生的啟發(fā)和引導(dǎo)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，主要包括邏輯推理、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)思維等方面。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生將能夠：

1.理解離散型隨機(jī)變量的方差的定義和計(jì)算方法，能夠運(yùn)用方差分析和實(shí)際問題，提升數(shù)據(jù)分析的能力。

2.掌握方差的性質(zhì)，能夠運(yùn)用方差解釋和解決實(shí)際問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

3.通過方差的計(jì)算和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理和數(shù)學(xué)思維能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。重點(diǎn)難點(diǎn)及解決辦法重點(diǎn)：

1.離散型隨機(jī)變量的方差的定義和計(jì)算方法。

2.方差的性質(zhì)及其在實(shí)際問題中的應(yīng)用。

難點(diǎn)：

1.方差的計(jì)算方法的理解和應(yīng)用。

2.方差性質(zhì)的證明和運(yùn)用。

解決辦法：

1.通過具體的例子和練習(xí)題，讓學(xué)生多次實(shí)踐方差的計(jì)算方法，加深對(duì)其的理解和應(yīng)用。

2.通過小組討論和思維導(dǎo)圖的方式，讓學(xué)生直觀地理解和證明方差的性質(zhì)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。學(xué)具準(zhǔn)備多媒體課型新授課教法學(xué)法講授法課時(shí)第一課時(shí)師生互動(dòng)設(shè)計(jì)二次備課教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都有本節(jié)課所需的教材或?qū)W習(xí)資料，包括人教A版選擇性必修第三冊(cè)高中數(shù)學(xué)第七章“隨機(jī)變量及其分布”中的7.3.2節(jié)“離散型隨機(jī)變量的方差”的相關(guān)內(nèi)容。

2.輔助材料：準(zhǔn)備與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的圖片、圖表、視頻等多媒體資源，如離散型隨機(jī)變量的方差的定義和計(jì)算方法的示例圖、方差的應(yīng)用實(shí)例等，以幫助學(xué)生更好地理解和掌握方差的概念和應(yīng)用。

3.實(shí)驗(yàn)器材：如果涉及實(shí)驗(yàn)，確保實(shí)驗(yàn)器材的完整性和安全性。例如，可以準(zhǔn)備一些模擬隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的道具，如骰子、卡片等，讓學(xué)生親身體驗(yàn)和觀察隨機(jī)變量的方差現(xiàn)象。

4.教室布置：根據(jù)教學(xué)需要，布置教室環(huán)境，如分組討論區(qū)、實(shí)驗(yàn)操作臺(tái)等?？梢詫W(xué)生分成小組，設(shè)置討論區(qū)域，以便學(xué)生進(jìn)行合作交流和實(shí)驗(yàn)操作。

5.教學(xué)工具：準(zhǔn)備黑板、投影儀、電腦等教學(xué)工具，以便進(jìn)行課堂講解、展示和互動(dòng)。

6.練習(xí)題和作業(yè)：準(zhǔn)備一些與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的練習(xí)題和作業(yè)，以便學(xué)生進(jìn)行鞏固練習(xí)和檢驗(yàn)學(xué)習(xí)效果。

7.教學(xué)課件：制作教學(xué)課件，包括教學(xué)內(nèi)容的講解、實(shí)例分析、練習(xí)題等，以便引導(dǎo)學(xué)生逐步學(xué)習(xí)和掌握方差的相關(guān)知識(shí)。教學(xué)實(shí)施過程1.課前自主探索

教師活動(dòng)：

-發(fā)布預(yù)習(xí)任務(wù)：通過在線平臺(tái)或班級(jí)微信群，發(fā)布預(yù)習(xí)資料，包括PPT、視頻、文檔等，明確預(yù)習(xí)目標(biāo)和要求。

-設(shè)計(jì)預(yù)習(xí)問題：圍繞“離散型隨機(jī)變量的方差”課題，設(shè)計(jì)一系列具有啟發(fā)性和探究性的問題，引導(dǎo)學(xué)生自主思考。

-監(jiān)控預(yù)習(xí)進(jìn)度：利用平臺(tái)功能或?qū)W生反饋，監(jiān)控學(xué)生的預(yù)習(xí)進(jìn)度，確保預(yù)習(xí)效果。

學(xué)生活動(dòng)：

-自主閱讀預(yù)習(xí)資料：按照預(yù)習(xí)要求，自主閱讀預(yù)習(xí)資料，理解離散型隨機(jī)變量的方差的知識(shí)點(diǎn)。

-思考預(yù)習(xí)問題：針對(duì)預(yù)習(xí)問題，進(jìn)行獨(dú)立思考，記錄自己的理解和疑問。

-提交預(yù)習(xí)成果：將預(yù)習(xí)成果（如筆記、思維導(dǎo)圖、問題等）提交至平臺(tái)或老師處。

教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習(xí)法：引導(dǎo)學(xué)生自主思考，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)能力。

-信息技術(shù)手段：利用在線平臺(tái)、微信群等，實(shí)現(xiàn)預(yù)習(xí)資源的共享和監(jiān)控。

作用與目的：

-幫助學(xué)生提前了解“離散型隨機(jī)變量的方差”課題，為課堂學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。

-培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和獨(dú)立思考能力。

2.課中強(qiáng)化技能

教師活動(dòng)：

-導(dǎo)入新課：通過故事、案例或視頻等方式，引出“離散型隨機(jī)變量的方差”課題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

-講解知識(shí)點(diǎn)：詳細(xì)講解離散型隨機(jī)變量的方差的定義、計(jì)算方法及其性質(zhì)，結(jié)合實(shí)例幫助學(xué)生理解。

-組織課堂活動(dòng)：設(shè)計(jì)小組討論、角色扮演、實(shí)驗(yàn)等活動(dòng)，讓學(xué)生在實(shí)踐中掌握方差的計(jì)算和應(yīng)用。

-解答疑問：針對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的疑問，進(jìn)行及時(shí)解答和指導(dǎo)。

學(xué)生活動(dòng)：

-聽講并思考：認(rèn)真聽講，積極思考老師提出的問題。

-參與課堂活動(dòng)：積極參與小組討論、角色扮演、實(shí)驗(yàn)等活動(dòng)，體驗(yàn)方差的計(jì)算和應(yīng)用。

-提問與討論：針對(duì)不懂的問題或新的想法，勇敢提問并參與討論。

教學(xué)方法/手段/資源：

-講授法：通過詳細(xì)講解，幫助學(xué)生理解離散型隨機(jī)變量的方差的知識(shí)點(diǎn)。

-實(shí)踐活動(dòng)法：設(shè)計(jì)實(shí)踐活動(dòng)，讓學(xué)生在實(shí)踐中掌握方差的計(jì)算和應(yīng)用。

-合作學(xué)習(xí)法：通過小組討論等活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)和溝通能力。

作用與目的：

-幫助學(xué)生深入理解離散型隨機(jī)變量的方差的知識(shí)點(diǎn)，掌握方差的計(jì)算和應(yīng)用技能。

-通過實(shí)踐活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力和解決問題的能力。

-通過合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)和溝通能力。

3.課后拓展應(yīng)用

教師活動(dòng)：

-布置作業(yè)：根據(jù)“離散型隨機(jī)變量的方差”課題，布置適量的課后作業(yè)，鞏固學(xué)習(xí)效果。

-提供拓展資源：提供與“離散型隨機(jī)變量的方差”課題相關(guān)的拓展資源，如書籍、網(wǎng)站、視頻等，供學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)。

-反饋?zhàn)鳂I(yè)情況：及時(shí)批改作業(yè)，給予學(xué)生反饋和指導(dǎo)。

學(xué)生活動(dòng)：

-完成作業(yè)：認(rèn)真完成老師布置的課后作業(yè)，鞏固學(xué)習(xí)效果。

-拓展學(xué)習(xí)：利用老師提供的拓展資源，進(jìn)行進(jìn)一步的學(xué)習(xí)和思考。

-反思總結(jié)：對(duì)自己的學(xué)習(xí)過程和成果進(jìn)行反思和總結(jié)，提出改進(jìn)建議。

教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習(xí)法：引導(dǎo)學(xué)生自主完成作業(yè)和拓展學(xué)習(xí)。

-反思總結(jié)法：引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自己的學(xué)習(xí)過程和成果進(jìn)行反思和總結(jié)。

作用與目的：

-鞏固學(xué)生在課堂上學(xué)到的離散型隨機(jī)變量的方差的知識(shí)點(diǎn)和技能。

-通過拓展學(xué)習(xí)，拓寬學(xué)生的知識(shí)視野和思維方式。

-通過反思總結(jié)，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的不足并提出改進(jìn)建議，促進(jìn)自我提升。拓展與延伸1.提供與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的拓展閱讀材料：

-《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》：建議學(xué)生閱讀該教材中關(guān)于離散型隨機(jī)變量的方差的相關(guān)章節(jié)，以加深對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解。

-《離散數(shù)學(xué)及其應(yīng)用》：引導(dǎo)學(xué)生閱讀該書中的相關(guān)章節(jié)，了解離散型隨機(jī)變量的方差在實(shí)際應(yīng)用中的重要性。

-《數(shù)學(xué)建模及其應(yīng)用》：鼓勵(lì)學(xué)生閱讀該書中的相關(guān)案例，掌握離散型隨機(jī)變量的方差在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用。

2.鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行課后自主學(xué)習(xí)和探究：

-引導(dǎo)學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)資源，如“中國(guó)大學(xué)MOOC”、“學(xué)堂在線”等平臺(tái)，觀看離散型隨機(jī)變量的方差的公開課程，拓寬知識(shí)視野。

-推薦學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽或研究性學(xué)習(xí)項(xiàng)目，將所學(xué)的離散型隨機(jī)變量的方差知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問題中，提高解決問題的能力。

-鼓勵(lì)學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)論文或研究性文章，了解離散型隨機(jī)變量的方差的最新研究動(dòng)態(tài)和發(fā)展趨勢(shì)。

六、拓展與延伸

1.提供與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的拓展閱讀材料：

-《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》（第三版）：該教材詳細(xì)介紹了離散型隨機(jī)變量的方差的概念、計(jì)算方法及其性質(zhì)，建議學(xué)生閱讀。

-《離散數(shù)學(xué)及其應(yīng)用》（第二版）：該書涵蓋了離散型隨機(jī)變量的方差在計(jì)算機(jī)科學(xué)、信息科學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用，適合學(xué)生拓展閱讀。

-《數(shù)學(xué)建模及其應(yīng)用》（第四版）：該書提供了大量的實(shí)際案例，展示了離散型隨機(jī)變量的方差在數(shù)學(xué)建模中的重要作用，鼓勵(lì)學(xué)生閱讀。

2.鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行課后自主學(xué)習(xí)和探究：

-利用網(wǎng)絡(luò)資源，如“中國(guó)大學(xué)MOOC”、“學(xué)堂在線”等平臺(tái)，觀看離散型隨機(jī)變量的方差的公開課程，提高學(xué)生的自學(xué)能力。

-參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽或研究性學(xué)習(xí)項(xiàng)目，將所學(xué)的離散型隨機(jī)變量的方差知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問題中，提升學(xué)生的實(shí)踐能力。

-閱讀數(shù)學(xué)論文或研究性文章，了解離散型隨機(jī)變量的方差的最新研究動(dòng)態(tài)和發(fā)展趨勢(shì)，培養(yǎng)學(xué)生的科研素養(yǎng)。

3.開展小組討論和學(xué)術(shù)報(bào)告：

-學(xué)生在課后組成小組，就離散型隨機(jī)變量的方差的相關(guān)話題進(jìn)行深入討論，并撰寫研究報(bào)告。

-組織學(xué)術(shù)報(bào)告活動(dòng)，讓學(xué)生在班級(jí)分享自己的研究成果，提升學(xué)生的表達(dá)能力和交流能力。

4.布置實(shí)踐性作業(yè)：

-設(shè)計(jì)一些實(shí)踐性作業(yè)，如使用編程語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)離散型隨機(jī)變量的方差的計(jì)算，讓學(xué)生在實(shí)踐中鞏固所學(xué)知識(shí)。

-鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用離散型隨機(jī)變量的方差解決實(shí)際問題，如數(shù)據(jù)分析、概率論等方面的應(yīng)用，提高學(xué)生的應(yīng)用能力。典型例題講解例題1：已知離散型隨機(jī)變量X的可能取值為1,2,3,4，對(duì)應(yīng)的概率分別為0.1,0.2,0.3,0.4，求隨機(jī)變量X的方差。

解：首先計(jì)算隨機(jī)變量X的期望值E(X)：

E(X)=1×0.1+2×0.2+3×0.3+4×0.4=0.1+0.4+0.9+1.6=2.0

接著計(jì)算隨機(jī)變量X的方差D(X)：

D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2

E(X^2)=1^2×0.1+2^2×0.2+3^2×0.3+4^2×0.4=0.1+0.8+0.9+1.6=3.4

D(X)=3.4-2.0^2=3.4-4.0=-0.6

所以，隨機(jī)變量X的方差為-0.6。

例題2：已知離散型隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2，對(duì)應(yīng)的概率分別為0.3,0.5,0.2，求隨機(jī)變量X的方差。

解：首先計(jì)算隨機(jī)變量X的期望值E(X)：

E(X)=0×0.3+1×0.5+2×0.2=0+0.5+0.4=0.9

接著計(jì)算隨機(jī)變量X的方差D(X)：

D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2

E(X^2)=0^2×0.3+1^2×0.5+2^2×0.2=0+0.25+0.4=0.65

D(X)=0.65-0.9^2=0.65-0.81=0.04

所以，隨機(jī)變量X的方差為0.04。

例題3：已知離散型隨機(jī)變量X的可能取值為-1,0,1，對(duì)應(yīng)的概率分別為0.2,0.5,0.3，求隨機(jī)變量X的方差。

解：首先計(jì)算隨機(jī)變量X的期望值E(X)：

E(X)=(-1)×0.2+0×0.5+1×0.3=-0.2+0+0.3=0.1

接著計(jì)算隨機(jī)變量X的方差D(X)：

D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2

E(X^2)=(-1)^2×0.2+0^2×0.5+1^2×0.3=0.04+0+0.09=0.09

D(X)=0.09-0.1^2=0.09-0.01=0.08

所以，隨機(jī)變量X的方差為0.08。

例題4：已知離散型隨機(jī)變量X的可能取值為2,4,6，對(duì)應(yīng)的概率分別為0.3,0.5,0.2，求隨機(jī)變量X的方差。

解：首先計(jì)算隨機(jī)變量X的期望值E(X)：

E(X)=2×0.3+4×0.5+6×0.2=0.6+2+1.2=3.8

接著計(jì)算隨機(jī)變量X的方差D(X)：

D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2

E(X^2)=2^2×0.3+4^2×0.5+6^2×0.2=0.06+16+14.4=30.4

D(X)=30.4-3.8^2=30.4-14.44=16.06

所以，隨機(jī)變量X的方差為16.06。

例題5：已知離散型隨機(jī)變量X的可能取值為-2,0,2，對(duì)應(yīng)的概率分別為0.1,0.4,0.5，求隨機(jī)變量X的方差。

解：首先計(jì)算隨機(jī)變量X的期望值E(X)：

E(X)=(-2)×0.1+0×0.4+2×0.5=-0.2+0+1=0.8

接著計(jì)算隨機(jī)變量X的方差D(X)：

D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2

E(X^2)=(-2)^2×0.1+0^2×0.4+2^2×0.5=0.04+0+0.4=0.44

D(X)=0.44-0.8^2=0.44-0.64=0.08

所以，隨機(jī)變量X的方差為0.08。教學(xué)反思與總結(jié)在本次關(guān)于離散型隨機(jī)變量的方差的教學(xué)中，我嘗試采用了多種教學(xué)方法，以期達(dá)到更好的教學(xué)效果。首先，我在課前布置了預(yù)習(xí)任務(wù)，讓學(xué)生通過閱讀教材和觀看視頻，對(duì)離散型隨機(jī)變量的方差有一個(gè)初步的了解。這有助于他們?cè)谡n堂上更好地理解和掌握知識(shí)點(diǎn)。同時(shí)，我設(shè)計(jì)了具有啟發(fā)性和探究性的問題，引導(dǎo)學(xué)生自主思考，培養(yǎng)他們的自主學(xué)習(xí)能力。

在課堂上，我通過講解知識(shí)點(diǎn)、組織課堂活動(dòng)和解答疑問等方式，幫助學(xué)生深入理解和掌握離散型隨機(jī)變量的方差的概念、計(jì)算方法及其性質(zhì)。我嘗試采用直觀的教學(xué)方法，通過實(shí)例和圖表幫助學(xué)生更好地理解方差的計(jì)算和應(yīng)用。同時(shí)，我鼓勵(lì)學(xué)生積極參與課堂活動(dòng)，通過小組討論、角色扮演和實(shí)驗(yàn)等活動(dòng)，培養(yǎng)他們的動(dòng)手能力和解決問題的能力。

課后，我布置了適量的作業(yè)，讓學(xué)生通過實(shí)踐鞏固所學(xué)知識(shí)。同時(shí)，我提供了拓展資源，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行進(jìn)一步的學(xué)習(xí)和思考。通過這些教學(xué)方法，我期望能夠幫助學(xué)生全面掌握離散型隨機(jī)變量的方差的知識(shí)點(diǎn)和技