高中數(shù)學(xué)第三章概率3-3-1幾何概型課件新人教A版必修3

3.3幾何概型3.3.1幾何概型必備知識(shí)·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1.什么是幾何概型？2.幾何概型的概率計(jì)算公式是什么？幾何概型(1)定義如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的_____(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱幾何概型.(2)特點(diǎn)①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無(wú)限多個(gè).②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性_____.(3)幾何概型的概率公式P(A)=______________________________________.長(zhǎng)度相等【思考】(1)你是怎樣理解“長(zhǎng)度”一詞的？提示：公式中“長(zhǎng)度”的理解：公式中的“長(zhǎng)度”不一定是實(shí)際意義的長(zhǎng)度.有些書(shū)上也叫測(cè)度，測(cè)度的意義依試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域而定，若區(qū)域分別是線段、平面圖形和立體圖形時(shí)，相應(yīng)的測(cè)度分別是長(zhǎng)度、面積和體積.(2)幾何概型與古典概型有何異同？提示：①相同點(diǎn)：古典概型與幾何概型中每一個(gè)基本事件發(fā)生的可能性都是相等的.②不同點(diǎn)：古典概型要求隨機(jī)試驗(yàn)的基本事件的總數(shù)必須是有限多個(gè)；幾何概型要求隨機(jī)試驗(yàn)的基本事件的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，而且?guī)缀胃判徒鉀Q的問(wèn)題一般都與幾何知識(shí)有關(guān).【基礎(chǔ)小測(cè)】1.辨析記憶(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)幾何概型的基本事件有無(wú)數(shù)個(gè)，反之基本事件是無(wú)數(shù)個(gè)的隨機(jī)事件一定屬于幾何概型. (

)(2)幾何概型中的基本事件可能是一個(gè)數(shù)值、一個(gè)點(diǎn)、一個(gè)角等. (

)(3)幾何概型的概率與構(gòu)成事件的區(qū)域形狀無(wú)關(guān). (

)(4)在射擊中，運(yùn)動(dòng)員擊中靶心的概率在(0，1)內(nèi). (

)提示：(1)×.隨機(jī)事件是否屬于幾何概型，要看其發(fā)生的概率是否只與長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，不能只看基本事件的個(gè)數(shù).(2)√.幾何概型中的長(zhǎng)度包括區(qū)間長(zhǎng)度、面積、角度等.(3)√.幾何概型的概率與構(gòu)成事件的區(qū)域形狀無(wú)關(guān)，只與其大小有關(guān).(4)×.在射擊中運(yùn)動(dòng)員擊中靶心的概率在[0，1]內(nèi).2.在線段[0，3]上任投一點(diǎn)，則此點(diǎn)坐標(biāo)不大于1的概率為 (

)

A. B. C. D.1【解析】選B.坐標(biāo)不大于1的區(qū)間為[0，1]，長(zhǎng)度為1，[0，3]區(qū)間長(zhǎng)度為3，故所求概率為.2.在線段[0，3]上任投一點(diǎn)，則此點(diǎn)坐標(biāo)不大于1的概率為 (

)

A. B. C. D.1【解析】選B.坐標(biāo)不大于1的區(qū)間為[0，1]，長(zhǎng)度為1，[0，3]區(qū)間長(zhǎng)度為3，故所求概率為.3.(教材二次開(kāi)發(fā)：例題改編)若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖所示的長(zhǎng)方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，則質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是 (

)

A. B. C. D.【解析】選B..關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一與長(zhǎng)度(角度)有關(guān)的幾何概型(數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象)【題組訓(xùn)練】1.如圖A，B兩盞路燈之間的距離是30m，由于光線較暗，想在其間再隨意安裝兩盞路燈C，D，則A與C，B與D之間的距離都不小于10m的概率為_(kāi)_____.

2.如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線OT落在30°角的終邊上，任作一條射線OA，則射線OA落在∠yOT內(nèi)的概率為_(kāi)____.

3.如圖所示，在△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，高AD=，在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，則BM<1的概率為_(kāi)_____.

【解析】1.記E：“A與C，B與D之間的距離都不小于10m”，把AB三等分，由于中間長(zhǎng)度為30×=10m，故P(E)==.答案：

2.如題圖，因?yàn)樯渚€OA在坐標(biāo)系內(nèi)是等可能分布的，所以O(shè)A落在∠yOT內(nèi)的概率為.答案：

【解析】1.記E：“A與C，B與D之間的距離都不小于10m”，把AB三等分，由于中間長(zhǎng)度為30×=10m，故P(E)==.答案：

2.如題圖，因?yàn)樯渚€OA在坐標(biāo)系內(nèi)是等可能分布的，所以O(shè)A落在∠yOT內(nèi)的概率為.答案：

3.因?yàn)椤螧=60°，∠C=45°，所以∠BAC=75°.在Rt△ABD中，AD=，∠B=60°，所以BD==1，∠BAD=30°.記事件N為“在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，使BM<1”，則可得∠BAM<∠BAD時(shí)事件N發(fā)生.由幾何概型的概率公式，得：P(N)=.答案：

【解題策略】求解與長(zhǎng)度、角度有關(guān)的幾何概型的方法求與長(zhǎng)度(角度)有關(guān)的幾何概型的概率的方法是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度(角度)，然后求解.要特別注意“長(zhǎng)度型”與“角度型”的不同.解題的關(guān)鍵是構(gòu)建事件的區(qū)域(長(zhǎng)度或角度).【補(bǔ)償訓(xùn)練】某汽車站每隔15min有一輛汽車到達(dá)，乘客到達(dá)車站的時(shí)刻是任意的，求一位乘客到達(dá)車站后等車時(shí)間超過(guò)10min的概率.【解析】設(shè)上一輛車于時(shí)刻T1到達(dá)，而下一輛車于時(shí)刻T2到達(dá)，則線段T1T2的長(zhǎng)度為15，設(shè)T是線段T1T2上的點(diǎn)，且T1T=5，T2T=10，如圖所示.

記“等車時(shí)間超過(guò)10min”為事件A，則當(dāng)乘客到達(dá)車站的時(shí)刻t落在線段T1T上(不含端點(diǎn))時(shí)，事件A發(fā)生.所以，即該乘客等車時(shí)間超過(guò)10min的概率是.類型二與面積有關(guān)的幾何概型(直觀想象，數(shù)學(xué)運(yùn)算)角度1幾何圖形面積問(wèn)題

【典例】(1)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中把三角形的田稱為“圭田”，把直角梯形的田稱為“邪田”，稱底是“廣”，稱高是“正從”，“步”是丈量土地的單位.現(xiàn)有一邪田，廣分別為十步和二十步，正從為十步，其內(nèi)有一塊廣為八步，正從為五步的圭田.若在邪田內(nèi)隨機(jī)種植一株茶樹(shù)，則該株茶樹(shù)恰好種在圭田內(nèi)的概率為 (

)

A. B. C. D.(2)七巧板是一種古老的中國(guó)傳統(tǒng)智力玩具，顧名思義，是由七塊板組成的.而這七塊板可拼成許多圖形.如圖中的正方形七巧板就是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形組成的.若向正方形內(nèi)隨機(jī)地拋10000顆小米粒(大小忽略不計(jì))，則落在陰影部分的小米粒的顆粒大約為 (

)A.3750 B.2500 C.1875 D.1250【思路導(dǎo)引】(1)轉(zhuǎn)化為面積比問(wèn)題解決.(2)轉(zhuǎn)化為面積比問(wèn)題解決.【解析】(1)選A.因?yàn)樾疤锏膹V分別為十步和二十步，正從為十步，圭田廣為八步，正從為五步，在邪田內(nèi)隨機(jī)種植一株茶樹(shù)，所以利用面積公式，算出圭田的面積為×8×5，邪田的面積為×10，所以根據(jù)幾何概型概率公式可得該株茶樹(shù)恰好種在圭田內(nèi)的概率為P=.(2)選D.設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為2，則陰影部分是由2個(gè)小等腰直角三角形構(gòu)成的，由圖知，圖中大等腰直角三角形的直角邊為，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為a，則小等腰直角三角形的直角邊為a，即2a=，解得a=，所以小等腰直角三角形的面積為，所以陰影部分的面積為S陰影=，因?yàn)榇笳叫蔚拿娣eS正=2×2=4，由與面積有關(guān)的幾何概型概率公式可得，向正方形內(nèi)撒小米粒，落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為，設(shè)向大正方形內(nèi)隨機(jī)地拋10000顆小米粒(大小忽略不計(jì))，則落在陰影部分的小米粒大約為x顆，所以，解得x=1250.角度2約會(huì)問(wèn)題

【典例】某校早上8：00開(kāi)始上課，假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7：30～7：50之間到校，且每人在該時(shí)間段的任何時(shí)刻到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為_(kāi)_____(用數(shù)字作答).

【思路導(dǎo)引】構(gòu)造兩個(gè)變量，轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中的面積問(wèn)題解決.【解析】設(shè)小張與小王的到校時(shí)間分別為7：00后第x分鐘，第y分鐘，根據(jù)題意可畫(huà)出圖形，如圖所示，則總事件所占的面積為(50-30)2=400.小張比小王至少早5分鐘到校表示的事件A={(x，y)|y-x≥5，30≤x≤50，30≤y≤50}，如圖中陰影部分所示，陰影部分所占的面積為，所以小張比小王至少早5分鐘到校的概率為答案：

【解題策略】求解與面積有關(guān)的幾何概型的注意點(diǎn)求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的面積，必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解.【題組訓(xùn)練】1.1876年4月1日，加菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了勾股定理的一種證明方法，即在如圖的直角梯形ABCD中，利用“兩個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)等腰直角三角形的面積之和等于直角梯形的面積”，可以簡(jiǎn)潔明了地推證出勾股定理.1881年加菲爾德就任美國(guó)第二十任總統(tǒng).后來(lái)，人們?yōu)榱思o(jì)念他對(duì)勾股定理直觀、易懂的證明，就把這一證明方法稱為“總統(tǒng)證法”.如圖，設(shè)∠BEC=15°，在梯形ABCD中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自等腰直角△CDE中(陰影部分)的概率是 (

)【解析】選C.在直角△BCE中，a=ccos15°，b=csin15°，則2.古代人常常會(huì)研究“最大限度”問(wèn)題，如圖是一個(gè)正三角形內(nèi)最大限度地可以放入三個(gè)同樣大小的圓，若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖所示的正三角形ABC中(陰影部分是三個(gè)半徑相同的圓，三個(gè)圓彼此互相外切，且三個(gè)圓與正三角形ABC的三邊分別相切)，則質(zhì)點(diǎn)落在陰影部分的概率是 (

)A. B.C. D.【解析】選D.設(shè)“質(zhì)點(diǎn)落在陰影部分”為事件M.如圖所示：設(shè)圓的半徑為r，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a.因?yàn)椤螾BO1=30°，所以=tan30°=，解得BP=r.同理，CQ=r.又因?yàn)镻Q=O1O2=2r，所以BP+CQ+PQ=r+r+2r=(2+2)r=BC=a，所以由幾何概型得，質(zhì)點(diǎn)落在陰影部分的概率是類型三與體積有關(guān)的幾何概型(直觀想象，數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】已知正三棱錐S-ABC的底面邊長(zhǎng)為a，高為h，在正三棱錐內(nèi)取點(diǎn)M，試求點(diǎn)M到底面的距離小于的概率.步驟內(nèi)容理解題意條件：正三棱錐S-ABC的底面邊長(zhǎng)為a，高為h，在正三棱錐內(nèi)取點(diǎn)M.結(jié)論：求點(diǎn)M到底面的距離小于的概率.思路探求作出圖形，根據(jù)圖形把概率問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三棱錐的體積的比的問(wèn)題.步驟內(nèi)容書(shū)寫(xiě)表達(dá)如圖，分別在SA，SB，SC上取點(diǎn)A1，B1，C1，使A1，B1，C1分別為SA，SB，SC的中點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)M位于平面ABC和平面A1B1C1之間時(shí)，點(diǎn)M到底面的距離小于.步驟內(nèi)容書(shū)寫(xiě)表達(dá)設(shè)△ABC的面積為S，由△ABC∽△A1B1C1，且相似比為2，得△A1B1C1的面積為.由題意，知區(qū)域D(三棱錐S-ABC)的體積為Sh，區(qū)域d(三棱臺(tái)ABC-A1B1C1)的體積為所以點(diǎn)M到底面的距離小于的概率為P=.步驟內(nèi)容題后反思解決與體積有關(guān)的幾何概型的關(guān)鍵點(diǎn)是注意幾何概型的條件，分清所求的概率是與體積有關(guān)還是與長(zhǎng)度有關(guān)，不要將二者混淆.【解題策略】關(guān)于與體積有關(guān)的幾何概型(1)首先要明確所求事件構(gòu)成的幾何體的類型，如正方體、球等，再根據(jù)相應(yīng)的公式求體積.(2)注意幾何體的結(jié)構(gòu)特征，一是可能是幾何體的一部分，二是需不需要對(duì)幾何體進(jìn)行組合、割補(bǔ).【題組訓(xùn)練】在體積為V的三棱錐S-ABC的棱AB上任取一點(diǎn)P，則三棱錐S-APC的體積大于的概率是______.

【解析】如圖，三棱錐S-ABC的高與三棱錐S-APC的高相同.作PM⊥AC于M，BN⊥AC于N，則PM，BN分別為△APC與△ABC的高，所以

又，所以時(shí)，滿足條件.設(shè)，則P在BD上，所求的概率.答案：

【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，有一動(dòng)點(diǎn)在此長(zhǎng)方體內(nèi)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，則此動(dòng)點(diǎn)在三棱錐A-A1BD內(nèi)的概率為_(kāi)____.

【解析】設(shè)長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c，則此點(diǎn)在三棱錐A-A1BD內(nèi)運(yùn)動(dòng)的概率

答案：

課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.下列關(guān)于幾何概型的說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是 (

)

A.幾何概型是古典概型的一種，基本事件都具有等可能性B.幾何概型中事件發(fā)生的概率與它的位置或形狀無(wú)關(guān)C.幾何概型在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有無(wú)限多個(gè)D.幾何概型中每個(gè)結(jié)果的發(fā)生都具有等可能性【解析】選A.幾何概型和古典概型是兩種不同的概率模型.2.設(shè)A(0，0)，B(4，0)，在線段AB上任投一點(diǎn)P，則|PA|<1的概率為 (

)A. B. C. D.【解析】選C.滿足|PA|<1的區(qū)間長(zhǎng)度為1，故所求其概率為.3.有四個(gè)游戲盤(pán)，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎(jiǎng)，小明要想增加中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，應(yīng)選擇的游戲盤(pán)是 (

)

【解析】選A.中獎(jiǎng)的概率依次為P(A)=，P(B)=，P(C)=，P(D)=.4.(教材二次開(kāi)發(fā)：練習(xí)改編)在1000mL水中有一個(gè)草履蟲(chóng)，現(xiàn)從中隨機(jī)取出3mL水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)現(xiàn)草履蟲(chóng)的概率是______.

【解析】由幾何概型知.答案：

5.一只海豚在水池中自由游弋，水池為長(zhǎng)30m，寬20m的長(zhǎng)方形，求此刻海豚嘴尖離岸邊不超過(guò)2m的概率.【解析】如圖所示，區(qū)域Ω是長(zhǎng)30m、寬20m的長(zhǎng)方形.圖中陰影部分表示事件A：“海豚嘴尖離岸邊不超過(guò)2m”，問(wèn)題可以理解為求海豚嘴尖出現(xiàn)在圖中陰影部分的概率.由于區(qū)域Ω的面積為30×20=600(m2)，陰影部分的面積為30×20-26×16=184(m2).所以.即海豚嘴尖離岸邊不超過(guò)2m的概率約為0.31.Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個(gè)孩子在你的臂彎入睡,你會(huì)體會(huì)到世間最安寧的感覺(jué).Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時(shí)候,一個(gè)人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一