高中數學第三章概率3-3-1幾何概型課件新人教A版必修3

3.3幾何概型3.3.1幾何概型必備知識·自主學習導思1.什么是幾何概型？2.幾何概型的概率計算公式是什么？幾何概型(1)定義如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的_____(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型.(2)特點①試驗中所有可能出現(xiàn)的結果(基本事件)有無限多個.②每個基本事件出現(xiàn)的可能性_____.(3)幾何概型的概率公式P(A)=______________________________________.長度相等【思考】(1)你是怎樣理解“長度”一詞的？提示：公式中“長度”的理解：公式中的“長度”不一定是實際意義的長度.有些書上也叫測度，測度的意義依試驗的全部結果構成的區(qū)域而定，若區(qū)域分別是線段、平面圖形和立體圖形時，相應的測度分別是長度、面積和體積.(2)幾何概型與古典概型有何異同？提示：①相同點：古典概型與幾何概型中每一個基本事件發(fā)生的可能性都是相等的.②不同點：古典概型要求隨機試驗的基本事件的總數必須是有限多個；幾何概型要求隨機試驗的基本事件的個數是無限的，而且?guī)缀胃判徒鉀Q的問題一般都與幾何知識有關.【基礎小測】1.辨析記憶(對的打“√”，錯的打“×”)(1)幾何概型的基本事件有無數個，反之基本事件是無數個的隨機事件一定屬于幾何概型. (

)(2)幾何概型中的基本事件可能是一個數值、一個點、一個角等. (

)(3)幾何概型的概率與構成事件的區(qū)域形狀無關. (

)(4)在射擊中，運動員擊中靶心的概率在(0，1)內. (

)提示：(1)×.隨機事件是否屬于幾何概型，要看其發(fā)生的概率是否只與長度(面積或體積)成比例，不能只看基本事件的個數.(2)√.幾何概型中的長度包括區(qū)間長度、面積、角度等.(3)√.幾何概型的概率與構成事件的區(qū)域形狀無關，只與其大小有關.(4)×.在射擊中運動員擊中靶心的概率在[0，1]內.2.在線段[0，3]上任投一點，則此點坐標不大于1的概率為 (

)

A. B. C. D.1【解析】選B.坐標不大于1的區(qū)間為[0，1]，長度為1，[0，3]區(qū)間長度為3，故所求概率為.2.在線段[0，3]上任投一點，則此點坐標不大于1的概率為 (

)

A. B. C. D.1【解析】選B.坐標不大于1的區(qū)間為[0，1]，長度為1，[0，3]區(qū)間長度為3，故所求概率為.3.(教材二次開發(fā)：例題改編)若將一個質點隨機投入如圖所示的長方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，則質點落在以AB為直徑的半圓內的概率是 (

)

A. B. C. D.【解析】選B..關鍵能力·合作學習類型一與長度(角度)有關的幾何概型(數學運算、直觀想象)【題組訓練】1.如圖A，B兩盞路燈之間的距離是30m，由于光線較暗，想在其間再隨意安裝兩盞路燈C，D，則A與C，B與D之間的距離都不小于10m的概率為______.

2.如圖，在直角坐標系內，射線OT落在30°角的終邊上，任作一條射線OA，則射線OA落在∠yOT內的概率為_____.

3.如圖所示，在△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，高AD=，在∠BAC內作射線AM交BC于點M，則BM<1的概率為______.

【解析】1.記E：“A與C，B與D之間的距離都不小于10m”，把AB三等分，由于中間長度為30×=10m，故P(E)==.答案：

2.如題圖，因為射線OA在坐標系內是等可能分布的，所以OA落在∠yOT內的概率為.答案：

【解析】1.記E：“A與C，B與D之間的距離都不小于10m”，把AB三等分，由于中間長度為30×=10m，故P(E)==.答案：

2.如題圖，因為射線OA在坐標系內是等可能分布的，所以OA落在∠yOT內的概率為.答案：

3.因為∠B=60°，∠C=45°，所以∠BAC=75°.在Rt△ABD中，AD=，∠B=60°，所以BD==1，∠BAD=30°.記事件N為“在∠BAC內作射線AM交BC于點M，使BM<1”，則可得∠BAM<∠BAD時事件N發(fā)生.由幾何概型的概率公式，得：P(N)=.答案：

【解題策略】求解與長度、角度有關的幾何概型的方法求與長度(角度)有關的幾何概型的概率的方法是把題中所表示的幾何模型轉化為長度(角度)，然后求解.要特別注意“長度型”與“角度型”的不同.解題的關鍵是構建事件的區(qū)域(長度或角度).【補償訓練】某汽車站每隔15min有一輛汽車到達，乘客到達車站的時刻是任意的，求一位乘客到達車站后等車時間超過10min的概率.【解析】設上一輛車于時刻T1到達，而下一輛車于時刻T2到達，則線段T1T2的長度為15，設T是線段T1T2上的點，且T1T=5，T2T=10，如圖所示.

記“等車時間超過10min”為事件A，則當乘客到達車站的時刻t落在線段T1T上(不含端點)時，事件A發(fā)生.所以，即該乘客等車時間超過10min的概率是.類型二與面積有關的幾何概型(直觀想象，數學運算)角度1幾何圖形面積問題

【典例】(1)《九章算術》是我國古代的數學名著，書中把三角形的田稱為“圭田”，把直角梯形的田稱為“邪田”，稱底是“廣”，稱高是“正從”，“步”是丈量土地的單位.現(xiàn)有一邪田，廣分別為十步和二十步，正從為十步，其內有一塊廣為八步，正從為五步的圭田.若在邪田內隨機種植一株茶樹，則該株茶樹恰好種在圭田內的概率為 (

)

A. B. C. D.(2)七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具，顧名思義，是由七塊板組成的.而這七塊板可拼成許多圖形.如圖中的正方形七巧板就是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形組成的.若向正方形內隨機地拋10000顆小米粒(大小忽略不計)，則落在陰影部分的小米粒的顆粒大約為 (

)A.3750 B.2500 C.1875 D.1250【思路導引】(1)轉化為面積比問題解決.(2)轉化為面積比問題解決.【解析】(1)選A.因為邪田的廣分別為十步和二十步，正從為十步，圭田廣為八步，正從為五步，在邪田內隨機種植一株茶樹，所以利用面積公式，算出圭田的面積為×8×5，邪田的面積為×10，所以根據幾何概型概率公式可得該株茶樹恰好種在圭田內的概率為P=.(2)選D.設大正方形的邊長為2，則陰影部分是由2個小等腰直角三角形構成的，由圖知，圖中大等腰直角三角形的直角邊為，設小正方形的邊長為a，則小等腰直角三角形的直角邊為a，即2a=，解得a=，所以小等腰直角三角形的面積為，所以陰影部分的面積為S陰影=，因為大正方形的面積S正=2×2=4，由與面積有關的幾何概型概率公式可得，向正方形內撒小米粒，落在陰影區(qū)域內的概率為，設向大正方形內隨機地拋10000顆小米粒(大小忽略不計)，則落在陰影部分的小米粒大約為x顆，所以，解得x=1250.角度2約會問題

【典例】某校早上8：00開始上課，假設該校學生小張與小王在早上7：30～7：50之間到校，且每人在該時間段的任何時刻到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為______(用數字作答).

【思路導引】構造兩個變量，轉化為平面直角坐標系中的面積問題解決.【解析】設小張與小王的到校時間分別為7：00后第x分鐘，第y分鐘，根據題意可畫出圖形，如圖所示，則總事件所占的面積為(50-30)2=400.小張比小王至少早5分鐘到校表示的事件A={(x，y)|y-x≥5，30≤x≤50，30≤y≤50}，如圖中陰影部分所示，陰影部分所占的面積為，所以小張比小王至少早5分鐘到校的概率為答案：

【解題策略】求解與面積有關的幾何概型的注意點求解與面積有關的幾何概型時，關鍵是弄清某事件對應的面積，必要時可根據題意構造兩個變量，把變量看成點的坐標，找到全部試驗結果構成的平面圖形，以便求解.【題組訓練】1.1876年4月1日，加菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了勾股定理的一種證明方法，即在如圖的直角梯形ABCD中，利用“兩個全等的直角三角形和一個等腰直角三角形的面積之和等于直角梯形的面積”，可以簡潔明了地推證出勾股定理.1881年加菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng).后來，人們?yōu)榱思o念他對勾股定理直觀、易懂的證明，就把這一證明方法稱為“總統(tǒng)證法”.如圖，設∠BEC=15°，在梯形ABCD中隨機取一點，則此點取自等腰直角△CDE中(陰影部分)的概率是 (

)【解析】選C.在直角△BCE中，a=ccos15°，b=csin15°，則2.古代人常常會研究“最大限度”問題，如圖是一個正三角形內最大限度地可以放入三個同樣大小的圓，若將一個質點隨機投入如圖所示的正三角形ABC中(陰影部分是三個半徑相同的圓，三個圓彼此互相外切，且三個圓與正三角形ABC的三邊分別相切)，則質點落在陰影部分的概率是 (

)A. B.C. D.【解析】選D.設“質點落在陰影部分”為事件M.如圖所示：設圓的半徑為r，正三角形ABC的邊長為a.因為∠PBO1=30°，所以=tan30°=，解得BP=r.同理，CQ=r.又因為PQ=O1O2=2r，所以BP+CQ+PQ=r+r+2r=(2+2)r=BC=a，所以由幾何概型得，質點落在陰影部分的概率是類型三與體積有關的幾何概型(直觀想象，數學運算)【典例】已知正三棱錐S-ABC的底面邊長為a，高為h，在正三棱錐內取點M，試求點M到底面的距離小于的概率.步驟內容理解題意條件：正三棱錐S-ABC的底面邊長為a，高為h，在正三棱錐內取點M.結論：求點M到底面的距離小于的概率.思路探求作出圖形，根據圖形把概率問題轉化為三棱錐的體積的比的問題.步驟內容書寫表達如圖，分別在SA，SB，SC上取點A1，B1，C1，使A1，B1，C1分別為SA，SB，SC的中點，則當點M位于平面ABC和平面A1B1C1之間時，點M到底面的距離小于.步驟內容書寫表達設△ABC的面積為S，由△ABC∽△A1B1C1，且相似比為2，得△A1B1C1的面積為.由題意，知區(qū)域D(三棱錐S-ABC)的體積為Sh，區(qū)域d(三棱臺ABC-A1B1C1)的體積為所以點M到底面的距離小于的概率為P=.步驟內容題后反思解決與體積有關的幾何概型的關鍵點是注意幾何概型的條件，分清所求的概率是與體積有關還是與長度有關，不要將二者混淆.【解題策略】關于與體積有關的幾何概型(1)首先要明確所求事件構成的幾何體的類型，如正方體、球等，再根據相應的公式求體積.(2)注意幾何體的結構特征，一是可能是幾何體的一部分，二是需不需要對幾何體進行組合、割補.【題組訓練】在體積為V的三棱錐S-ABC的棱AB上任取一點P，則三棱錐S-APC的體積大于的概率是______.

【解析】如圖，三棱錐S-ABC的高與三棱錐S-APC的高相同.作PM⊥AC于M，BN⊥AC于N，則PM，BN分別為△APC與△ABC的高，所以

又，所以時，滿足條件.設，則P在BD上，所求的概率.答案：

【補償訓練】如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，有一動點在此長方體內隨機運動，則此動點在三棱錐A-A1BD內的概率為_____.

【解析】設長、寬、高分別為a，b，c，則此點在三棱錐A-A1BD內運動的概率

答案：

課堂檢測·素養(yǎng)達標1.下列關于幾何概型的說法中，錯誤的是 (

)

A.幾何概型是古典概型的一種，基本事件都具有等可能性B.幾何概型中事件發(fā)生的概率與它的位置或形狀無關C.幾何概型在一次試驗中可能出現(xiàn)的結果有無限多個D.幾何概型中每個結果的發(fā)生都具有等可能性【解析】選A.幾何概型和古典概型是兩種不同的概率模型.2.設A(0，0)，B(4，0)，在線段AB上任投一點P，則|PA|<1的概率為 (

)A. B. C. D.【解析】選C.滿足|PA|<1的區(qū)間長度為1，故所求其概率為.3.有四個游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機會，應選擇的游戲盤是 (

)

【解析】選A.中獎的概率依次為P(A)=，P(B)=，P(C)=，P(D)=.4.(教材二次開發(fā)：練習改編)在1000mL水中有一個草履蟲，現(xiàn)從中隨機取出3mL水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率是______.

【解析】由幾何概型知.答案：

5.一只海豚在水池中自由游弋，水池為長30m，寬20m的長方形，求此刻海豚嘴尖離岸邊不超過2m的概率.【解析】如圖所示，區(qū)域Ω是長30m、寬20m的長方形.圖中陰影部分表示事件A：“海豚嘴尖離岸邊不超過2m”，問題可以理解為求海豚嘴尖出現(xiàn)在圖中陰影部分的概率.由于區(qū)域Ω的面積為30×20=600(m2)，陰影部分的面積為30×20-26×16=184(m2).所以.即海豚嘴尖離岸邊不超過2m的概率約為0.31.Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個孩子在你的臂彎入睡,你會體會到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時候,一個人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一