全等三角形的七大模型綜合訓(xùn)練(一)(原卷版+解析)

全等三角形的七大模型綜合訓(xùn)練（一）1．如圖，為等腰直角三角形，，，，那么的面積為_______．2．如圖，在中，、的角平分線相交于點，①若，則__________，②若，，則___________.3．如圖，在中，為邊中點，為邊中點，為上一點且，連接，取中點并連接，取中點，延長與邊交于點，若，則_________．4．如圖，中，為的中點，是上一點，連接并延長交于，，且，，那么的長度為__．5．如圖，是的外角，平分，且與的延長線交于點，點是線段上一動點（點不與重合），若，，令，則的取值范圍是___________．6．如圖，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D為AB延長線上一點，點E在BC上，且BE＝BD，連接AE、DE、DC．若∠CAE＝30°，則∠BDC＝_____．7．如圖，在中，，，延長的內(nèi)角平分線BD至E，使得，則的度數(shù)為_________．8．如圖，在中，，CD為的角平分線，在AC邊上取點E，使，且，若，，則_______．（用x、y的代數(shù)式表示）9．如圖，，cm，cm，點P在線段AC上，以每秒2cm的速度從點A出發(fā)向C運動，到點C停止運動，點Q在射線AM上運動，且，當(dāng)點P的運動時間為_________秒時，△ABC才能和△PQA全等．10．如圖，在△ABC中，BD=CD，BE交AD于F，AE=EF，若BE=7CE，，則BF=_______．11．如圖，BD是△ABC的中線，E為AB邊上一點，且，連接CE交BD于F，連接AF并延長交BC于點G，則______．12．如圖四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，AC＝CD，BC＝4，則△BCD面積＝_____________．13．如圖，，則______．14．如圖，，，，，點M為的中點，，______．15．如圖，邊長為9的等邊三角形中，M是高所在直線上的一個動點，連接，將線段繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．則在點M運動過程中，線段長度的最小值是______．16．如圖，在中，平分，交于點D，過C作的垂線交的延長線于點E．若，則____________．17．如圖，點B為線段上的動點，，以為邊作等邊，以為底邊作等腰三角形，則的最小值為______．18．△ABC中，，點D是△ABC外一點，連接BD，CD，，點F是CD上一點，連接AF，若，，則BD的長為___________．19．如圖，在和中，，以點為頂點作，兩邊分別交于點，連接，則的周長為___________．20．如圖所示，平分，，于點E，，，那么的長度為________cm．21．如圖，在中，平分交于點D，若，，則__________．22．如圖，的角平分線、相交于點、若，交于、交于．直接寫出、、的數(shù)量關(guān)系____________________．23．如圖，是的角平分線，延長至點，使，若，，則__________．24．如圖，是等邊三角形，直線于點C，點D在直線MN上一動點，以AD為邊向右作等邊三角形ADE，連結(jié)CE，已知，則CE的最小值是_________．25．如圖，在四邊形ABCD中，AC是四邊形的對角線，∠CAD=30°，過點C作CE⊥AB于點E，∠B=2∠BAC，∠ACD+∠BAC=60°，若AB的長度比CD的長度多2，則BE的長為_______________．全等三角形的七大模型綜合訓(xùn)練（一）1．如圖，為等腰直角三角形，，，，那么的面積為_______．答案:8分析：如圖，過點A作AE⊥CD于D，根據(jù)同角的余角相等可得∠CAE=∠BCD，利用AAS可證明△ACE≌△CBD，可得AE=CD，根據(jù)三角形面積公式即可得答案.【詳解】如圖，過點A作AE⊥CD于D，∴∠CAE+∠ACE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACE=90°，∴∠CAE=∠BCD，∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC，在△ACE和△CBD中，，∴△ACE≌△CBD，∴AE=CD=4，∴S△ADC=CD·AE=×4×4=8.故答案為8【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定定理并正確作出輔助線是解題關(guān)鍵.2．如圖，在中，、的角平分線相交于點，①若，則__________，②若，，則___________.答案:

110°

70°分析：①先根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠BAC+∠BCA=140°，再根據(jù)角平分線的定義求出∠IAC+∠ICA的值，然后利用三角形內(nèi)角和即可求解；②在BC上取CD=AC，連接BI、DI，利用SAS證明△ACI與△DCI全等，可得AI=DI，∠CAI=∠CDI，再根據(jù)BC=AI+AC求出AI=BD，從而可得BD=DI，由三角形外角的性質(zhì)可得∠CDI=2∠DBI，再根據(jù)角平分線的定義即可求出∠CDI=∠ABC，又∠BAC=2∠CAI，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計算即可求解；【詳解】①∵，∴∠BAC+∠BCA=140°，∵AI、CI分別是、的角平分線，∴∠IAC+∠ICA=(∠BAC+∠BCA)=70°，∴∠AIC=180°-70°=110°；②如圖1，在BC上取CD=AC，連接BI、DI，∵CI平分∠ACB，∴∠ACI=∠BCI，在△ACI與△DCI中，，∴△ACI≌△DCI（SAS），∴AI=DI，∠CAI=∠CDI，∵BC=AI+AC，∴BD=AI，∴BD=DI，∴∠IBD=∠BID，∴∠CDI=∠IBD+∠BID=2∠IBD，又∵AI、CI分別是∠BAC、∠ACB的平分線，∴BI是∠ABC的平分線，∴∠ABC=2∠IBD，∠BAC=2∠CAI，∴∠CDI=∠ABC，∴∠BAC=2∠CAI=2∠CDI=2∠ABC，∵∠ABC=35°，∴∠BAC=35°×2=70°．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，利用“截長補短法”作輔助線構(gòu)造全等三角形以便于利用條件“BC=AI+AC”是解決本題的關(guān)鍵，也是難點．3．如圖，在中，為邊中點，為邊中點，為上一點且，連接，取中點并連接，取中點，延長與邊交于點，若，則_________．答案:1分析：連接QP，通過中位線定理求得PQ的長度并證明，再結(jié)合已知條件求得，最后根據(jù)即可得出答案．【詳解】如圖連接PQ，∵Q為AE中點，P為AC中點，∴由中位線定理得：且，∵，∴，，∵G為QD中點，∴，∵在與中：，∴，∴，∵，，∴，，∴，∵D為BC中點，∴,∴，∴故答案為：1．【點睛】本題考查三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造三角形中位線解決問題，屬于中考常考題型．4．如圖，中，為的中點，是上一點，連接并延長交于，，且，，那么的長度為__．答案:；分析：延長至使，連接，得出,得出，所以得出是等腰三角形，根據(jù)已知線段長度建立等量關(guān)系計算．【詳解】如圖：延長至使，連接在和中：∴∴∵∴∴∵∴，∴，∴即，∴【點睛】倍長中線是常見的輔助線、全等中相關(guān)的角的代換是解決本題的關(guān)鍵．5．如圖，是的外角，平分，且與的延長線交于點，點是線段上一動點（點不與重合），若，，令，則的取值范圍是___________．答案:4＜n＜8分析：可以在上截取，連接，證明，可得，進(jìn)而根據(jù)三角形三邊的關(guān)系即可求得的取值范圍．【詳解】解：如圖，在上截取，連接，平分，，在和中，，，，，，，，即，，令，則的取值范圍是．故答案為：．【點睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系、全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助線．6．如圖，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D為AB延長線上一點，點E在BC上，且BE＝BD，連接AE、DE、DC．若∠CAE＝30°，則∠BDC＝_____．答案:75°分析：延長AE交DC邊于點F，先判定Rt△ABE≌Rt△CBD（HL），由全等三角形的性質(zhì)可得∠AEB＝∠BDC，AB＝BC，則∠BAC＝∠ACB＝45°，再由∠AEB為△AEC的外角，可求得∠AEB的度數(shù)，即∠BDC的度數(shù)．【詳解】解：延長AE交DC邊于點F，如圖：∵∠ABC＝90°，∴∠CBD＝90°，在Rt△ABE與Rt△CBD中，∴Rt△ABE≌Rt△CBD（HL），∴∠AEB＝∠BDC，AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∵∠AEB為△AEC的外角，∠CAE＝30°，∴∠AEB＝∠ACB+∠CAE＝45°+30°＝75°，∴∠BDC＝75°．故答案為：75°．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在中，，，延長的內(nèi)角平分線BD至E，使得，則的度數(shù)為_________．答案:分析：在BC上截取FB=AB，連接DF，利用“SAS”可得△ABD≌△FBD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DF=DA，∠A=∠DFB，∠ADB=∠FDB，然后求出∠A的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ADB的度數(shù)，進(jìn)而得∠FDB的度數(shù)，證出∠CDE=∠CDF，根據(jù)“SAS”得出△DCE≌△DCF，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等即可得出答案．【詳解】解：在BC上截取FB=AB，連接DF，如圖所示：∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD=∠FBD=∠ABC=29.5°，在△ABD和△FBD中，，∴△ABD≌△FBD（SAS），∴DA=DF，∠ADB=∠FDB，∠A=∠DFB=180°-∠ABC-∠ACB=180°-59°-30.5°=90.5°，∴∠ADB=∠FDB=180°-∠A-∠ABD=180°-90.5°-29.5°=60°，∴∠CDE=∠ADB=60°，∴∠CDF=180°-60°-60°=60°，∴∠CDE=∠CDF，∵DE=DA，∴DE=DF，在△DCE和△DCF中，，∴△DCE≌△DCF（SAS），∴∠E=∠CFD=∠FBD+∠FDB=29.5°+60°=89.5°；故答案為：89.5°．【點睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，以及輔助線作法；通過添加輔助線證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．8．如圖，在中，，CD為的角平分線，在AC邊上取點E，使，且，若，，則_______．（用x、y的代數(shù)式表示）答案:180°-x°-y°分析：在AC上截取CF=BC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BD=DF=DE，可得∠AED=∠ABC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和可求解．【詳解】解：如圖，在AC上截取CF=BC，∵CD為∠ACB的角平分線，∴∠ACD=∠BCD，∵CF=BC，∠ACD=∠BCD，CD=CD，∴△BDC≌△FDC（SAS），∴∠ABC=∠CFD，DF=BD，∵BD=DE，∴DE=DF，∴∠DEF=∠DFE，∴∠AED=∠CFD，∵∠A=x°，∠ACB=y°，∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB=180°-x°-y°，∴∠AED=∠DBC=180°-x°-y°，故答案為：180°-x°-y°．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．9．如圖，，cm，cm，點P在線段AC上，以每秒2cm的速度從點A出發(fā)向C運動，到點C停止運動，點Q在射線AM上運動，且，當(dāng)點P的運動時間為_________秒時，△ABC才能和△PQA全等．答案:2或4分析：據(jù)全等三角形的判定HL定理分AP=BC和AP=AC解答即可．【詳解】解：設(shè)點P的運動時間為t秒，∵，，∴當(dāng)AP=BC=4cm，時，Rt△QPA≌Rt△ABC（HL），∴t=4÷2=2秒；當(dāng)AP=AC=8cm，時，Rt△PQA≌Rt△ABC（HL），∴t=8÷2=4秒，綜上，當(dāng)點P的運動時間為2或4秒時，△ABC才能和△PQA全等．故答案為：2或4．【點睛】本題考查全等三角形的判定，熟練掌握證明直角三角形全等的HL定理，利用分類討論思想是解答的關(guān)鍵．10．如圖，在△ABC中，BD=CD，BE交AD于F，AE=EF，若BE=7CE，，則BF=_______．答案:分析：延長AD至G，使DG＝AD，連接BG，可證明，則BG＝AC，，根據(jù)AE＝EF，得到，可證出，即得出AC＝BF，從而得出BF的長．【詳解】解：如圖，延長AD至G，使DG＝AD，連接BG，在和中，∴∴BG＝AC，，又∵AE＝EF，∴，又∵，∴，∴，∴BG＝BF，∴AC＝BF，又∵BE＝7CE，AE＝，∴BF＋EF＝，即BF＋＝，解得BF＝．故答案為：【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明線段相等，一般轉(zhuǎn)化為證明三角形全等，正確地作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．11．如圖，BD是△ABC的中線，E為AB邊上一點，且，連接CE交BD于F，連接AF并延長交BC于點G，則______．答案:分析：作，交于，作，交于．通過平行線的性質(zhì)證明，，，即可求出．【詳解】解：作，交于，作，交于，是的中線，，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查三角形的面積，三角形全等，平行線的性質(zhì)，等高模型等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題，屬于中考?？碱}型．12．如圖四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，AC＝CD，BC＝4，則△BCD面積＝_____________．答案:8分析：根據(jù)和得到，再根據(jù)，得到，結(jié)合已知條件AC＝CD，可證明，從而得到，最終計算出△BCD面積．【詳解】如下圖所示，過點D做DE垂直于BC于點E，∵，∴，∵，∴，∴，∵,∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：8．【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的相關(guān)知識．13．如圖，，則______．答案:分析：如圖，延長交于點，證明≌，可得，結(jié)合，，從而可得答案．【詳解】解：如圖，延長交于點，，，，，是的外角，，，，在和中，，≌，，，，，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，作出正確的輔助線構(gòu)建全等三角形是解本題的關(guān)鍵．14．如圖，，，，，點M為的中點，，______．答案:6分析：延長至N，使，連接，證明，推出，，求出，再證明即可．【詳解】證明：延長AM至N，使，連接，∵點M為的中點，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴．故答案為：6．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，主要考查學(xué)生的推理能力，延長至N，使，再證即可，這就是“倍長中線”，實質(zhì)是“補短法”．15．如圖，邊長為9的等邊三角形中，M是高所在直線上的一個動點，連接，將線段繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．則在點M運動過程中，線段長度的最小值是______．答案:分析：取的中點，連接，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)可以證明，可得，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)時，最短，即最短，由直角三角形的性質(zhì)可求得線段長度的最小值．【詳解】解：如圖，取的中點G，連接，∵線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，又∵是等邊三角形，∴，即，∴，∵是等邊三角形的高，∴，∴，又∵旋轉(zhuǎn)到，∴，在和中，，∴（），∴，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)時，最短，即最短，此時，∴，∴，∴．∴線段長度的最小值是．故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．16．如圖，在中，平分，交于點D，過C作的垂線交的延長線于點E．若，則____________．答案:分析：延長交于點F，證，得，通過角之間的關(guān)系，得到，又由，可得，進(jìn)而可求解．【詳解】解：如圖所示，延長交于點F，∵，∴，∴又∴，∴，又∵∴，∴，在和中，∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；熟練掌握全等三角形的性質(zhì)及判定，會利用一些簡單的輔助線輔助解題．17．如圖，點B為線段上的動點，，以為邊作等邊，以為底邊作等腰三角形，則的最小值為______．答案:2分析：連接，證明，得，從而點P在射線上運動，再利用垂線段最短解決問題．【詳解】解：連接,∵是等邊三角形，∴，在和中，，∴,∴，∴，∴點P在射線上運動，∴當(dāng)時，的值最小，∴故答案為：【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，點的運動軌跡問題，證明點P在射線上運動是解題的關(guān)鍵．18．△ABC中，，點D是△ABC外一點，連接BD，CD，，點F是CD上一點，連接AF，若，，則BD的長為___________．答案:8分析：作的垂直平分線交的延長線于點，交于點，連接，則，設(shè)，則，利用AAS求證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：如圖，作的垂直平分線交的延長線于點，交于點，連接，則，，設(shè)，則，，，，，，，，，，（AAS），，，，，，，故答案為：8【點睛】本題考查全等三角形的判定及其性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作圖構(gòu)造全等三角形，熟練運用全等三角形的判定求證．19．如圖，在和中，，以點為頂點作，兩邊分別交于點，連接，則的周長為___________．答案:8分析：延長到點E，使，連接，先由證明，再由得，即可證明，再證明，得，，再證明，得，即可推導(dǎo)出．【詳解】解：如圖，延長到點E，使，連接，∵∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∴，故答案為：8．【點睛】此重點考查等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、多邊形的內(nèi)角和等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．20．如圖所示，平分，，于點E，，，那么的長度為________cm．答案:分析：通過輔助線構(gòu)造全等三角形，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行線段之間的轉(zhuǎn)化，最后代入長度計算即可．【詳解】解：如圖作，交的延長線于點，平分，，故答案為【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，主要相關(guān)知識點有：全等三角形的判定、同角的補角相等、全等三角形的性質(zhì)等，輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．21．如圖，在中，平分交于點D，若，，則__________．答案:6分析：延長到E，使得，連接，可得，即可得，進(jìn)而解題即可．【詳解】如圖，延長到E，使得，連接，則,又∵∴∵平分∴∵∴∴∵,∴解得：故答案為：6．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形．22．如圖，的角平分線、相交于點、若，交于、交于．直接寫出、、的數(shù)量關(guān)系____________________．答案:分析：由三角形定理得由角平分線定義得，，在上截取，連接，證明進(jìn)一步得出，再證明得出，從而可得出結(jié)論【詳解】在中，∵平分，平分∴∴∴∴在上截取，連接在和中，∴∴在和中，∴∵∴【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段的和與差，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵23．如圖，是的角平分線，延長至點，使，若，，則__________．答案:102°分析：在BC上截取BF＝AB，連DF，如圖，先根據(jù)SAS證明△ABD≌△FBD，得出DF＝DA＝DE，∠ADB＝∠BDF＝60°，∠A=∠BFD，進(jìn)而可得∠EDC＝∠FDC，然后可根據(jù)SAS證明△CDE≌△CDF，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】解：在BC上截取BF＝AB，連接DF，如圖，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠FBD，∵BA=BF，∠ABD＝∠FBD，BD=BD，∴△ABD≌△FBD（SAS），∴DF＝DA＝DE，∠ADB＝∠BDF＝60°，∠A=∠BFD=78°，∴∠FDC＝60°，∠DFC=102°，又∵∠EDC＝∠ADB＝60°，∴∠EDC＝∠FDC，∵DE＝DF，∠EDC＝∠FDC，DC＝DC，∴△CDE≌△CDF（SAS），∴∠E=∠DFC=102°；故答案為：102°．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義以及對頂角相等的性質(zhì)等知識，正確添加輔助線、構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．24．如圖，是等邊三角形，直線于點C，點D在直線MN上一動點，以AD為邊向右作等邊三角形ADE，連結(jié)CE，已知，則CE的最小值是_________．答案:分析：連接BD，由等邊三角形的性質(zhì)得出∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝AC＝BC＝12，AD＝AE，證明△BAD≌△CAE（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出BD＝CE，過點B作BH⊥CM于點H，由直角三角形的性質(zhì)求出BH的值，則可得出答案．【詳解】解：連接BD，∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴∠ACB＝∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝AC＝BC＝