湖南省長沙市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試卷含解析

湖南省長沙市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共8頁．時量120分鐘．滿分150分．第I卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.在等差數(shù)列中，若，，則的公差為（）A. B.2 C. D.3【答案】B【解析】【分析】依據(jù)等差數(shù)列的定義，列出方程，解之即可.【詳解】設(shè)的公差為，則，解得．故選：B．2.假如直線平面，直線平面，且，則a與b（）A.共面 B.平行C.是異面直線 D.可能平行，也可能是異面直線【答案】D【解析】【分析】依據(jù)線面和面面的位置關(guān)系干脆得出結(jié)論.【詳解】，說明a與b無公共點，與b可能平行也可能是異面直線．故選：D．3.4位同學(xué)到3個小區(qū)參與垃圾分類宣揚活動，每位同學(xué)只能去一個小區(qū)，則不同的支配方法共有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】A【解析】【分析】由分步計數(shù)原理可得答案.【詳解】4位同學(xué)到3個小區(qū)參與垃圾分類宣揚活動，每位同學(xué)只能去一個小區(qū)，則每位同學(xué)都有3種選擇，所以共有種不同的支配方法，故選：A4.的綻開式的第6項的系數(shù)是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先寫出二項式綻開式的通項，通過通項求解.【詳解】由題得，令r=5,所以，所以的綻開式的第6項的系數(shù)是.故選C【點睛】本題主要考查二項式綻開式的系數(shù)問題，意在考查學(xué)生對該學(xué)問的理解駕馭水平，屬于基礎(chǔ)題.5.已知等差數(shù)列的前n項和為；等比數(shù)列的前n項和為，且，則（）A.22 B.34 C.46 D.50【答案】C【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，解出d和q，再求出和，即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，因為，解得：d=1，q=2.則，，所以15+31=46.故選：C【點睛】等差（比）數(shù)列問題解決的基本方法：基本量代換和敏捷運用性質(zhì)．6.已知編號為1，2，3的三個盒子，其中1號盒子內(nèi)裝有兩個1號球，一個2號球和一個3號球；2號盒子內(nèi)裝有兩個1號球，一個3號球；3號盒子內(nèi)裝有三個1號球，兩個2號球．若第一次先從1號盒子內(nèi)隨機抽取1個球，將取出的球放入與球同編號的盒子中，其次次從放入球的盒子中任取一個球，則其次次抽到3號球的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】記第一次抽到第i號球的事務(wù)分別為，記其次次在第i號盒內(nèi)抽到3號球的事務(wù)分別為，再利用全概率公式求解即可.【詳解】記第一次抽到第i號球的事務(wù)分別為，則有，，記其次次在第i號盒內(nèi)抽到3號球的事務(wù)分別為，而，，兩兩互斥，和為，，，，記其次次抽到3號球的事務(wù)為B，．故選:C．7.已知橢圓的中心是坐標原點，是橢圓的焦點.若橢圓上存在點，使是等邊三角形，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)點為橢圓上位于第一象限內(nèi)的點，設(shè)為橢圓的左焦點，計算出、，利用橢圓的定義可得出關(guān)于、的等式，進而可求得橢圓的離心率.【詳解】設(shè)點為橢圓上位于第一象限內(nèi)的點，設(shè)為橢圓的左焦點，因為是等邊三角形，則，，，所以，，，所以，，由橢圓的定義可得，因此，橢圓的離心率為.故選：C.【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，依據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特別值法：通過取特別位置或特別值，求得離心率.8.設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)在上的單調(diào)性可得到、的大小關(guān)系，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出、的大小關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，當(dāng)時，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，則，即，即，所以，，因為，故，即，即，因此，.故選：D.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.已知曲線：，則（）A.時，則的焦點是，B.當(dāng)時，則的漸近線方程為C.當(dāng)表示雙曲線時，則的取值范圍為D.存在，使表示圓【答案】ABD【解析】【分析】AB選項，代入的值，分別得出是什么類型的曲線，進而作出推斷；C選項，要想使曲線表示雙曲線要滿意；D選項，求出曲線表示圓時m的值.【詳解】當(dāng)時，曲線：，是焦點在y軸上的橢圓，且，所以交點坐標為，，A正確；當(dāng)時，曲線：，是焦點在在y軸上的雙曲線，則的漸近線為，B正確；當(dāng)表示雙曲線時，要滿意：，解得：或，C錯誤；當(dāng)，即時，，表示圓，D正確故選：ABD10.設(shè)直線與圓，則下列結(jié)論正確的為（）A.與可能相離B.不行能將的周長平分C.當(dāng)時，被截得的弦長為D.被截得的最短弦長為【答案】BD【解析】【分析】求出直線所過定點的坐標，可推斷A選項的正誤；假設(shè)假設(shè)法可推斷B選項的正誤；利用勾股定理可推斷CD選項的正誤.【詳解】對于A選項，直線過定點，且點在圓內(nèi)，則直線與圓必相交，A選項錯誤；對于B選項，若直線將圓平分，則直線過原點，此時直線斜率不存在，B選項正確；對于C選項，當(dāng)時，直線的方程為，圓心到直線的距離為，所以，直線被截得的弦長為，C選項錯誤；對于D選項，圓心到直線的距離為，所以，直線被截得的弦長為，D選項正確.故選：BD.【點睛】方法點睛：圓的弦長的常用求法（1）幾何法：求圓的半徑為，弦心距為，弦長為，則；（2）代數(shù)方法：運用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式.11.如圖，在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點P在線段BC1上運動，則下列推斷中正確的是（）A.DP∥面AB1D1B.三棱錐A﹣D1PC的體積為C.平面PB1D與平面ACD1所成二面角為90°D.異面直線與所成角的范圍是【答案】ACD【解析】【分析】A利用面面平行的性質(zhì)證面；B應(yīng)用等體積法，依據(jù)特別點：與重合時求的體積；C先證明面，再利用面面垂直的判定定理證面面即可；D由，依據(jù)在線段的位置，即可確定異面直線與所成角的范圍.【詳解】A：連接，，，，由于，由面面平行的判定定理，可證明面面，又面，所以面，正確；B：，因為到面的距離不變，且△的面積不變，所以三棱錐的體積不變，當(dāng)與重合時得，錯誤；C：由三垂線定理，可證明，再由線面垂直的判定定理可得面，又面，則面面，正確；D：由，異面直線與所成角即為與所成角，又為等邊三角形，當(dāng)與線段的兩端點重合時，與所成角取最小值，當(dāng)與線段的中點重合時，與所成角取最大值，故與所成角的范圍，正確.故選：ACD．12.已知拋物線的焦點為，過原點的動直線交拋物線于另一點，交拋物線的準線于點，下列說法正確的是（）A.若為線段中點，則 B.若，則C.存在直線，使得 D.面積的最小值為2【答案】AD【解析】【分析】對于A，求出點的橫坐標，再依據(jù)拋物線的定義求出，即可推斷；對于B，依據(jù)拋物線的定義求出點的橫坐標，再求出，即可推斷，對于C，，則，推斷是否有解，即可推斷；對于D，依據(jù)，結(jié)合基本不等式即可推斷.【詳解】解：拋物線的準線為，焦點，若為中點，所以，所以，故A正確；若，則，所以，故B錯誤；設(shè)，則，所以，，所以，所以與不垂直，故C錯誤；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以面積的最小值為2，故D正確.故選：AD.第Ⅱ卷三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.圓與圓的公共弦所在直線的方程為________．【答案】【解析】【分析】利用兩圓的一般方程相減即可得出結(jié)果.【詳解】聯(lián)立兩圓的方程得，兩式相減并化簡，得，所以兩圓公共弦所在直線的方程為．故答案為：.14.函數(shù)在其圖象上的點處的切線方程為________．【答案】【解析】【分析】對求導(dǎo)，求出，再由點斜式方程即可得出答案.【詳解】，，又切點為，切線斜率，即切線方程為，即．故答案為：.15.已知，則________．【答案】243【解析】【分析】利用賦值法，依據(jù)方程思想，可得答案.【詳解】令，得，①令，得，②②①，得，即．①②，得，即．所以．故答案：.16.已知甲、乙兩人的投籃命中率都為，丙的投籃命中率為，假如他們?nèi)嗣咳送痘@一次，則至少一人命中的概率的最小值為______．【答案】【解析】【分析】利用對立事務(wù)概率公式可求得，利用導(dǎo)數(shù)可求得的最小值.【詳解】設(shè)事務(wù)為“三人每人投籃一次，至少一人命中”，則，，設(shè)，，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即三人每人投籃一次，則至少一人命中的概率的最小值為.故答案為：.【點睛】思路點睛：利用相互獨立事務(wù)求困難事務(wù)概率的求解思路為：（1）將待求困難事務(wù)轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥簡潔事務(wù)的和；（2）將彼此互斥簡潔事務(wù)中的簡潔事務(wù)，轉(zhuǎn)化為幾個已知（易求）概率的相互獨立事務(wù)的積事務(wù)；（3）代入概率的積、和公式求解．四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步聚）17.已知的二項綻開式中，只有第四項的二項式系數(shù)最大.（1）求綻開式中第三項系數(shù)；（2）求出綻開式中全部有理項(即x的指數(shù)為整數(shù)的項).【答案】（1）240；（2），，.【解析】【分析】（1）依據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)可知n＝6，求出綻開式通項，令r＝2可求第三項系數(shù)；（2）依據(jù)綻開式通項，當(dāng)r＝0，3，6時為有理項，代入計算即可.【小問1詳解】由題可知，，則二項綻開式通項為，綻開式中第三項系數(shù)為：；【小問2詳解】綻開式中有理項為時，即，，.18.設(shè)數(shù)列滿意，．（1）計算，，猜想的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和．【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)遞推關(guān)系計算，并結(jié)合等差數(shù)列猜想求解即可；（2）結(jié)合（1）得，進而依據(jù)錯位相減法求解即可.【小問1詳解】解：因為數(shù)列滿意，，所以，，，所以，由數(shù)列的前三項可猜想數(shù)列是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，即．【小問2詳解】解：由（1）知，代入檢驗知其滿意，所以，，，所以，，①，②由①②得，，所以，．19.如圖，直三棱柱的側(cè)面菱形，．（1）證明：；（2）設(shè)為的中點，，記二面角為，求的值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】(1)連接,利用菱形的性質(zhì)可得,利用線面垂直的判定定理可得平面,即可證明結(jié)論;(2)建立合適的空間直角坐標系,求出所需點的坐標和向量的坐標,然后利用待定系數(shù)法求出平面和平面的法向量,由向量的夾角公式求解即可.【小問1詳解】證明：如圖，連接BC1，因為側(cè)面BCC1B1是菱形，則BC1⊥B1C，因為平面,則平面,因為平面,所以;【小問2詳解】因為直三棱柱中,,而，由(1)可得,,又,平面，則平面,故以點為坐標原點,建立空間直角坐標系如圖所示,設(shè),則,所以,設(shè)平面的法向量為,則，令,則,故,設(shè)平面的法向量為,則,令,則,故,所以,因為二面角為，故的值為.20.選手甲分別與乙、丙兩選手進行象棋競賽，假如甲、乙競賽，那么每局競賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，假如甲、丙競賽，那么每局競賽甲、丙獲勝的概率均為．（1）若采納局勝制，兩場競賽甲獲勝的概率分別是多少？（2）若采納局勝制，兩場競賽甲獲勝的概率分別是多少？你能否據(jù)此說明賽制與選手實力對競賽結(jié)果的影響？【答案】（1）甲、乙競賽甲獲勝的概率，甲、丙競賽甲獲勝的概率；（2）甲、乙競賽，甲獲勝的概率，甲、丙競賽，甲獲勝的概率；答案見解析．【解析】【分析】（1）分甲獲勝的可能分、兩種狀況分計算出兩場競賽甲獲勝的概率，即可得解；（2）分甲獲勝的可能有、或三種狀況，分別計算出兩場競賽甲獲勝的概率，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）采納局勝制，甲獲勝的可能分，，因為每局的競賽結(jié)果相互獨立，所以甲、乙競賽甲獲勝概率，甲、丙競賽甲獲勝的概率；（2）采納局勝制，甲獲勝的狀況有、或，甲、乙競賽，甲獲勝的概率，甲、丙競賽，甲獲勝的概率，因為，所以甲、乙競賽，采納局勝制對甲有利，，所以甲、丙競賽，采納局勝制還是局勝制，甲獲勝的概率都一樣，這說明競賽局數(shù)越多對實力較強者有利．【點睛】思路點睛：求相互獨立事務(wù)同時發(fā)生的概率的步驟：（1）首先確定各事務(wù)是相互獨立的；（2）再確定各事務(wù)會同時發(fā)生；（3）先求出每個事務(wù)發(fā)生的概率，再求其積.21.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，漸近線方程是，點，且的面積為6．（1）求雙曲線C的標準方程；（2）直線與雙曲線C交于不同的兩點P，Q，若，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）（2）或．【解析】【分析】（1）依據(jù)題意，由條件結(jié)合雙曲線的關(guān)系，列出方程，即可得到結(jié)果；（2）依據(jù)題意，設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓方程結(jié)合韋達定理，由知，列出不等式即可得到結(jié)果.小問1詳解】由題意得，①，②，③由①②③可得，，雙曲線C的標準方程是．【小問2詳解】由題意知直線l不過點A．設(shè)，，線段PQ的中點為，連接AD將與聯(lián)立，消去y，整理得，由且，得，④，，，．由知，，又，，化簡得，⑤由④⑤，得或．由，得．綜上，實數(shù)m的取值范圍是或．22.已知函數(shù)．（1）若在上恒成立，求的取值范圍；（2）在（1）的條件下證明:對隨意，都有；（3）設(shè)，探討函數(shù)的零點個數(shù)．【答案】（1）（2）證明見解析（3）答案見解析【解析】【分析】（1）由題知在上恒成立，進而構(gòu)造函數(shù)并求最大值即可得答案；（2）結(jié)合（1）得當(dāng)時，在時恒成立，令得，再依據(jù)對數(shù)運算即可得答案.（3）由題知，進而構(gòu)造函數(shù)，探討其性質(zhì)，進而求解即可.【小問1詳解】解：由在上恒成立，可得在上恒成立，令，則，當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞減，故在處取得極