2025版新教材高中數(shù)學同步練習35平面與平面垂直的判定新人教A版必修第二冊

同步練習35平面與平面垂直的判定必備學問基礎練一、選擇題(每小題5分，共45分)1．已知直線l⊥平面α，則經(jīng)過l且和α垂直的平面()A．有一個B．有兩個C．有多數(shù)個D．不存在2．下列命題中正確的是()A．平面α和β分別過兩條相互垂直的直線，則α⊥βB．若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的兩條平行直線，則α⊥βC．若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的兩條相交直線，則α⊥βD．若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的多數(shù)條直線，則α⊥β3．AB是平面α的斜線，過AB作平面β垂直于平面α，則這樣的平面β有()A．0個B．1個C．2個D．多數(shù)個4．如圖所示，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，則二面角B-PA-C的大小為()A．90°B．60°C．45°D．30°5．如圖所示，在三棱錐D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點，則下列命題中正確的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE6．若一個正四棱錐的高和底面邊長都為a，則它的側面與底面所成角的余弦值為()A．eq\f(\r(3),3)B．eq\f(\r(5),5)C．eq\f(\r(11),11)D．eq\f(\r(13),13)7.如圖所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則點C1在平面ABC上的射影H必在()A．直線AB上B．直線BC上C．直線AC上D．△ABC的內(nèi)部8．(多選)已知直線l，m，平面α、β，l?α，m?β，則下列說法中正確的是()A．若l∥m，則必有α∥βB．若l⊥m，則必有α⊥βC．若l⊥β，則必有α⊥βD．若α∥β，則必有l(wèi)∥β9．(多選)如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD為矩形，則下列結論中正確的是()A．平面PAB⊥平面PADB．平面PAB⊥平面PBCC．平面PBC⊥平面PCDD．平面PCD⊥平面PAD二、填空題(每小題5分，共15分)10．如圖，P是二面角α-l-β內(nèi)的一點，PA⊥α，PB⊥β，垂足分別為A，B.若∠APB＝80°，則二面角α-l-β的大小為________．11．在△ABC中，∠BAC＝90°，P為△ABC所在平面外一點，且PA＝PB＝PC，則平面PBC與平面ABC的關系是________．12．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，將△ABC沿斜邊BC上的高AD折疊，使平面ABD⊥平面ACD，則BC＝________．三、解答題(共20分)13.(10分)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，E為AB的中點．求證：平面DD1E⊥平面CD1E.14.(10分)如圖，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD.(1)求證：平面ABC⊥平面ACD；(2)若AB＝eq\r(3)BC，求二面角A-CD-B的大?。P鍵實力提升練15.(5分)如圖，點P在二面角α-AB-β的棱AB上，分別在α，β內(nèi)引射線PM，PN，截得PM＝PN.若∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，則二面角α-AB-β的平面角的大小為()A．45°B．60°C．90°D．120°16.(5分)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿意________時，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認為是正確的條件即可)17.(10分)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，點E在棱AB上移動．(1)證明：D1E⊥A1D；(2)求AE等于何值時，二面角D1-EC-D的大小為45°？同步練習35平面與平面垂直的判定必備學問基礎練1．答案：C解析：由題知：經(jīng)過直線l的平面有多數(shù)個，依據(jù)面面垂直的判定可知：這些平面都和平面α垂直，所以經(jīng)過l且和α垂直的平面有多數(shù)個．故選C.2．答案：C解析：當平面α和β分別過兩條相互垂直且異面的直線時，平面α和β有可能平行，故A不正確；一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線才能得出線面垂直，由平面與平面垂直的判定定理知B，D均不正確，C正確．故選C.3．答案：B解析：過A作平面α的垂線，交平面α于O，則直線AB和直線AO確定的平面垂直α，假設存在另一過AB的平面γ⊥α，則設γ∩α＝l，則可過A作AO′⊥l，這與過平面外一點只能有一條直線與平面垂直沖突，故這樣的平面β只有1個．故選B.4．答案：A解析：由題意，因為PA⊥平面ABC，則PA⊥AB，PA⊥AC，所以∠BAC即為二面角BPAC的平面角．又∠BAC＝90°，所以二面角BPAC的平面角為90°.故選A.5．答案：C解析：因為AB＝CB，且E是AC的中點，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因為AC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故選C.6．答案：B解析：如圖所示，正四棱錐PABCD，取AB的中點為H，底面正方形的中心為O，連接OH，PH,因為PH⊥AB，OH⊥AB，所以∠PHO為側面與底面所成的角，又OH＝eq\f(a,2)，PO＝a，PH＝eq\r(OH2＋PO2)＝eq\f(\r(5),2)a，因為PO為高，所以PO⊥平面ABCD，所以PO⊥OH，所以在直角三角形POH中cos∠PHO＝eq\f(OH,PH)＝eq\f(\r(5),5)，所以側面與底面所成角的余弦值為eq\f(\r(5),5).故選B.7．答案：A解析：連接AC1，∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1，又AC?平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴點C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上．故選A.8．答案：CD解析：對于A，平面α，β可能相交，所以選項A錯誤；對于B，平面α，β可能平行或斜交，所以選項B錯誤；對于C，因為l?α且l⊥β，則必有α⊥β，所以C正確；對于D，因為α∥β，則必有l(wèi)∥β，所以D正確．故選CD.9．答案：ABD解析：已知PA⊥底面ABCD，可得PA⊥AD，PA⊥CD，又底面ABCD為矩形，∴AD⊥AB，CD⊥AD，而AB∩PA＝A，AD∩PA＝A，∴AD⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PAD，又BC∥AD，∴BC⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，選項A，B，D可證明．故選ABD.10．答案：100°解析：設二面角αlβ的大小為θ，因為PA⊥α，PB⊥β，垂足分別為A，B，所以θ＋∠APB＝180°，所以θ＝180°－∠APB＝100°.11．答案：垂直解析：因為P在ABC平面外，則P在平面ABC上的射影是△ABC的外心，因為∠BAC＝90°，所以三角形是直角三角形，又PA＝PB＝PC，所以P在平面ABC的射影是BC的中點，因此平面PBC垂直于平面ABC.12．答案：1解析：平面ABD∩平面ACD＝AD，且CD⊥AD，CD?平面ACD，所以CD⊥平面ABD.又因為BD?平面ABD，所以CD⊥BD.所以∠BDC＝90°.又AB＝AC＝1，所以BD＝CD＝eq\f(\r(2),2)，所以BC＝eq\r(BD2＋CD2)＝1.13．證明：在矩形ABCD中，E為AB的中點，AD＝2，AB＝4，所以DE＝CE＝2eq\r(2)，因為CD＝4，所以CE⊥DE，因為D1D⊥平面ABCD，所以D1D⊥CE，因為D1D∩DE＝D，所以CE⊥平面D1DE，又CE?平面CED1，所以平面DD1E⊥平面CD1E.14．解析：(1)證明：∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，∴AB⊥CD，∵BC⊥CD，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC，∵CD?平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD.(2)由(1)得CD⊥平面ABC，∵AC?平面ABC，∴CD⊥AC，∵BC⊥CD，∴∠ACB即為二面角ACDB的平面角，在直角三角形ABC中，AB＝eq\r(3)BC，則tan∠ACB＝eq\f(AB,BC)＝eq\r(3)，∴∠ACB＝eq\f(π,3)，即二面角ACDB的大小為eq\f(π,3).關鍵實力提升練15．答案：C解析：過AB上一點Q分別在α、β內(nèi)作AB的垂線，交PM、PN于點M、N，則∠MQN即為二面角αABβ的平面角，如圖所示，設PQ＝a，∵∠QPN＝∠QPM＝45°，∴QN＝QM＝a，PN＝PM＝eq\r(2)a，又∵∠MPN＝60°，∴△MPN為等邊三角形，則MN＝eq\r(2)a，∴QN2＋QM2＝MN2，∴∠MQN＝90°.故選C.16．答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)解析：由定理可知，BD⊥PC.∴當DM⊥PC(或BM⊥PC)時，即有PC⊥平面MBD，而PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.17．解析：(1)證明：連接D1A，D1B.∵在長方形A1ADD1中，AD＝AA1＝1，∴四邊形A1ADD1為正方形，∴A1D⊥AD1.又由題意知AB⊥A1D，且AB∩AD1＝A，∴A1D⊥平面ABD1.∵D1E?平面ABD1，∴A1D⊥D1E.(2)過D作DF⊥EC于點F