九年級數(shù)學上冊 第24章　解直角三角形 單元測試卷（華師版 2024年秋）

九年級數(shù)學上冊第24章解直角三角形單元測試卷（華師版2024年秋）一、選擇題(每題3分，共24分)題序12345678答案1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝30°，AC＝2eq\r(3)，則BC＝()A．2eq\r(6) B．2 C．4eq\r(3) D．62．用計算器求cos15°的值，正確的按鍵順序是()A.eq\x(cos)eq\x(1)eq\x(5)eq\x(＝) B.eq\x(SHIFT)eq\x(cos)eq\x(1)eq\x(5)eq\x(＝)C.eq\x(SHIFT)eq\x(1)eq\x(5)eq\x(＝) D.eq\x(15)eq\x(cos)eq\x(＝)3．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，D為AC的中點，BD＝2，則BC的長為()A.eq\r(3) B．2eq\r(3) C．2 D．4(第3題)(第4題)4．如圖，一架3m長的梯子AB斜靠在一豎直的墻上，M為AB的中點，當梯子的上端沿墻壁下滑時，OM的長度將()A．變大 B．變小 C．不變 D．先變大后變小5.如圖是我們經(jīng)?？吹降囊环N折疊桌子的示意圖，它是由下面的支架AD，BC與桌面構(gòu)成的，已知OA＝OB＝OC＝OD＝20eq\r(3)cm，∠COD＝60°，則點A到地面(CD所在的平面)的距離是()(第5題)A．30eq\r(3)cm B．60eq\r(3)cm C．40eq\r(3)cm D．60cm6．在△ABC中，∠B，∠C都是銳角，tanB＝1，cosC＝eq\f(\r(2),2)，則對△ABC的形狀最確切的判斷是()A．銳角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形7．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，且有c2＋4b2－4bc＝0，則sinA＋cosA的值為()A.eq\f(\r(3)－1,2) B.eq\f(1＋\r(3),2) C.eq\f(1＋\r(2),2) D.eq\f(\r(3)＋\r(2),2)8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，點F是AB的中點，連結(jié)CF，將線段CF沿射線BC方向平移到ED，且點D在AC上，則線段CF在平移過程中掃過的區(qū)域(四邊形CFDE)的周長和面積分別是()(第8題)A．16，6 B．18，18 C．16，12 D．12，16二、填空題(每題3分，共18分)9．如果α是銳角，sinα＝cos30°，那么α為________．10．將一把直尺與一把三角尺按如圖所示的方式放置，若sin∠1＝eq\f(\r(2),2)，則∠2的度數(shù)為________．(第10題)(第11題)(第12題)(第14題)11．如圖，A，B，C是小正方形的頂點，且每個小正方形的邊長為1，則cos∠BAC的值為______．12．如圖，一束光線照在坡度i＝1eq\r(3)的斜坡上，被斜坡上的平面鏡反射成與地面平行的光線，則這束光線與坡面的夾角α是________度．13．若三角形兩邊長分別為6和8，這兩邊的夾角為60°，則其面積為________．14．如圖，AB＝6，O是AB的中點，直線l經(jīng)過點O，∠1＝120°，P是直線l上一點，當△APB為直角三角形時，AP＝______________．三、解答題(15，16題每題8分，17～19題每題10分，20題12分，共58分)15．計算：(1)eq\f(tan260°＋2cos45°,2sin260°－cos60°)；(2)2tan30°＋tan45°－4cos30°.16．(1)在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝8，求AB和AC的長；(2)在△ABC中，∠C＝90°，BC＝eq\r(6)，AC＝3eq\r(2)，解這個直角三角形．17．如圖，某人為了測量小山頂上的塔DE的高，他在山下的點A處測得塔尖點D的仰角為45°，再沿AC方向前進48m到達山腳點B，測得塔尖點D的仰角為60°，塔底點E的仰角為37°，求塔DE的高度.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(結(jié)果保留根號，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈\f(3,5)，cos37°≈\f(4,5)，tan37°≈\f(3,4)))(第17題)18．如圖①，某款線上教學設(shè)備由底座、支撐臂AB、連桿BC、懸臂CD和安裝在D處的攝像頭組成．如圖②是該款設(shè)備放置在水平桌面上的示意圖．已知支撐臂AB⊥l，AB＝18cm，BC＝40cm，CD＝44cm，固定∠ABC＝148°，可通過調(diào)試懸臂CD與連桿BC的夾角提高拍攝效果．(1)當懸臂CD與桌面l平行時，∠BCD＝________°；(2)問懸臂端點C到桌面l的距離約為多少？(3)已知攝像頭點D到桌面l的距離為30cm時拍攝效果較好，那么此時懸臂CD與連桿BC的夾角∠BCD的度數(shù)約為多少？(參考數(shù)據(jù)：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60)(第18題)19．為了美化環(huán)境，提高民眾的生活質(zhì)量，市政府在三角形花園ABC邊上修建一個四邊形人工湖泊ABDE，并沿湖泊修建了人行步道．如圖，點C在點A的正東方向170m處，點E在點A的正北方向，點B，D都在點C的正北方向，BD長為100m，點B在點A的北偏東30°方向，點D在點E的北偏東58°方向．(1)求步道DE的長度；(2)點D處有一個小商店，某人從點A出發(fā)沿人行步道去商店購物，可以經(jīng)過點B到達點D，也可以經(jīng)過點E到達點D，他走哪條路較近？請說明理由．(結(jié)果精確到個位，參考數(shù)據(jù)：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，eq\r(3)≈1.73)(第19題)20．如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形OABC的頂點A在x軸上，頂點C在y軸上，OA＝8，OC＝4，點P為對角線AC上一動點，過點P作PQ⊥PB，PQ交x軸于點Q.(1)tan∠ACB＝________；(2)在點P從點C運動到點A的過程中，eq\f(PQ,PB)的值是否發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，請求出其變化范圍；如果不發(fā)生變化，請求出其值；(3)若將△QAB沿直線BQ折疊后，點A與點P重合，請直接寫出PC的長．(第20題)

答案一、1.B2.A3.C4.C5.D6.B7.B8．C點撥：由平移的性質(zhì)可知DF∥CE，DF＝CE，∴四邊形CFDE是平行四邊形．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC＝eq\r(AB2－BC2)＝eq\r(102－62)＝8.∵點F是AB的中點，∴CF＝AF＝eq\f(1,2)AB＝5.∵DF∥CE，∴eq\f(AD,AC)＝eq\f(AF,AB)＝eq\f(1,2)，∠CDF＝180°－∠ACB＝90°，∴點D是AC的中點，CD＝eq\f(1,2)AC＝4，∴DF是△ABC的中位線，∴DF＝eq\f(1,2)BC＝3.∴四邊形CFDE的周長為2(DF＋CF)＝2×(3＋5)＝16，四邊形CFDE的面積為DF·CD＝3×4＝12.二、9.60°10.135°11.eq\f(\r(2),2)12.3013.12eq\r(3)14．3或3eq\r(3)或3eq\r(7)三、15.解：(1)原式＝eq\f(（\r(3)）2＋2×\f(\r(2),2),2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2)－\f(1,2))＝eq\f(3＋\r(2),\f(3,2)－\f(1,2))＝3＋eq\r(2).(2)原式＝2×eq\f(\r(3),3)＋1－4×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(2\r(3),3)＋1－2eq\r(3)＝1－eq\f(4\r(3),3).16．解：(1)在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝8，∴AB＝eq\f(BC,sin60°)＝eq\f(8,\f(\r(3),2))＝eq\f(16\r(3),3)，AC＝eq\f(BC,tan60°)＝eq\f(8,\r(3))＝eq\f(8\r(3),3).(2)在△ABC中，∠C＝90°，BC＝eq\r(6)，AC＝3eq\r(2)，∴tanA＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(\r(6),3\r(2))＝eq\f(\r(3),3)，∴∠A＝30°，∴AB＝2BC＝2eq\r(6)，∠B＝90°－∠A＝60°.17．解：由題意知∠BCD＝90°，∠EBC＝37°，∠A＝45°，∠DBC＝60°.設(shè)BC＝xm，在Rt△BCE中，EC＝BC·tan∠EBC＝BC·tan37°≈eq\f(3,4)xm，在Rt△BCD中，DC＝BC·tan∠DBC＝BC·tan60°＝eq\r(3)xm．∵∠A＝45°，∴易得AC＝CD，∴x＋48＝eq\r(3)x，解得x＝24＋24eq\r(3)，∴EC≈(18＋18eq\r(3))m，DC＝(72＋24eq\r(3))m，∴DE＝DC－EC≈(72＋24eq\r(3))－(18＋18eq\r(3))＝54＋6eq\r(3)(m)．答：塔DE的高度約為(54＋6eq\r(3))m.18．解：(1)58(2)如圖，過點C作CF⊥l，垂足為點F，過點B作BN⊥CF，垂足為點N，則易得四邊形ABNF是矩形，∴FN＝AB＝18cm，∠ABN＝90°.∵∠ABC＝148°，∴∠CBN＝∠ABC－∠ABN＝148°－90°＝58°，在Rt△CBN中，BC＝40cm，∴CN＝40·sin58°≈40×0.85＝34(cm)，∴CF＝CN＋FN≈34＋18＝52(cm)，∴懸臂端點C到桌面l的距離約為52cm.(第18題)(3)如圖，過點D作DE⊥l，垂足為點E，過點D作DM⊥CF，垂足為點M，則易得四邊形DEFM是矩形，∴MF＝DE.由題意得DE＝30cm，∴MF＝30cm，∴CM＝CF－MF≈52－30＝22(cm)，在Rt△CDM中，CD＝44cm，CM≈22cm，∴cos∠DCM＝eq\f(CM,CD)≈eq\f(1,2)，∴∠DCM≈60°.在Rt△CBN中，∵∠CBN＝58°，∴∠BCN＝32°，∴∠BCD＝∠DCM－∠BCN≈60°－32°＝28°.∴此時懸臂CD與連桿BC的夾角∠BCD的度數(shù)約為28°.19．解：(1)如圖，過點D作DF⊥AE，交AE的延長線于點F.(第19題)由題易得四邊形ACDF是矩形，∴DF＝AC＝170m，在Rt△EFD中，∠DEF＝58°，∴DE＝eq\f(DF,sin58°)≈eq\f(170,0.85)＝200(m)，∴步道DE的長度約為200m.(2)從點A出發(fā)，經(jīng)過點B到達點D的路較近．理由：在Rt△EFD中，∠DEF＝58°，DF＝170m，∴EF＝eq\f(DF,tan58°)≈eq\f(170,1.60)＝106.25(m)．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°－30°＝60°，AC＝170m，∴BC＝AC·tan60°＝170eq\r(3)m，AB＝eq\f(AC,cos60°)＝eq\f(170,\f(1,2))＝340(m)．∵BD＝100m，∴CD＝BC＋BD＝(170eq\r(3)＋100)m.∵四邊形ACDF是矩形，∴AF＝CD＝(170eq\r(3)＋100)m，∴AE＝AF－EF≈170eq\r(3)＋100－106.25≈288(m)．因此，某人從點A出發(fā)，經(jīng)過點B到達點D的路程為AB＋BD＝340＋100＝440(m)，從點A出發(fā)，經(jīng)過點E到達點D的路程為AE＋DE≈288＋200＝488(m)．∵440＜488，∴從點A出發(fā)，經(jīng)過點B到達點D的路較近．20．解：(1)eq\f(1,2)(2)eq\f(PQ,PB)的值不發(fā)生變化．過點P作PF⊥OA于點F，反向延長PF交BC于點E，∴PE⊥BC，∴易得四邊形OFEC是矩形，∴EF＝OC＝4.設(shè)PE＝a，則P