2021-2022學年河北省保定師范附屬學校九年級（上）期末數(shù)學試卷（學生版+解析版）

2021-2022學年河北省保定師范附屬學校九年級（上）期末數(shù)學

試卷

一、選擇題（本大題共16個小題：1-10小題，每小題3分；11-16小題，每小題3分，共

42分。在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意）。

1.（3分）方程/=2x的解是（）

A.x—2B.x\=2,X2=OC.xi=V2,X2=OD.x=0

2.（3分）如圖是一段空心的鋼管，則它的主視圖是（）

4.（3分）某學習小組做“用頻率估計概率”的實驗時，統(tǒng)計了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制

了如下的表格，則符合這一結(jié)果的實驗最有可能的是（）

實驗次數(shù)10020030050080010002000

頻率0.3650.3280.3300.3340.3360.3320.333

A.一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃

B.在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機出的是“剪刀”

C.拋一個質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點數(shù)是5

D.拋一枚硬幣，出現(xiàn)反面的概率

5.（3分）如圖，在4X5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1,ZVIBC的頂點都

在這些小正方形的頂點上，那么sin/ACB的值為（）

6.（3分）在解方程2?+4x+l=0時，對方程進行配方，文本框①中是嘉嘉作的，文本框②

中是琪琪作的，對于兩人的做法，說法正確的是（）

2XMX=-1,

4x"8x=-2,

4X2+8X+4=2,

(2X+》2=Z

②

A.兩人都正確B.嘉嘉正確，琪琪不正確

C.嘉嘉不正確，琪琪正確D.兩人都不正確

7.（3分）如圖，四邊形ABCO和A5CD是以點。為位似中心的位似圖形，若OA：0A'

=2：3,則四邊形ABC。與A'8'CD'的面積比是（）

A.4：9B.2：5C.2：3D.V2：V3

8.（3分）雙曲線、=［與丫=稱在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，作一條平行于y軸的直線分

別交雙曲線于A、B兩點,連接OA、0B,則AAOB的面積為（）

C.3D.4

9.（3分）小明用四根長度相同的木條制作了能夠活動的菱形學具，他先活動學具成為圖1

所示菱形，并測得NB=60°,接著活動學具成為圖2所示正方形，并測得對角線AC=

40V2c/n,則圖1中對角線AC的長為（）

D.20\/2cm

10.（3分）如圖，用長為20機的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為115），圍成中間

隔有一道籬笆的長方形花圃，為了方便出入，在建造籬笆花圃時、在BC上用其他材料

做了寬為加的兩扇小門.若花圃的面積剛好為40機2,設AB段的長為X,*,則可列方程

為（）

墻長11m

D

B'一W

A.x(22-3x)=40B.x(20-2x)=40

C.x(18-3x)=40D.x(20-3x)=40

11.（2分）如圖，在三角形紙片ABC中，A8=9,AC=6,BC=12,沿虛線剪下的涂色部

分的三角形與△ABC相似的是（）

C.34CD.B4C

12.（2分）如圖，已知A、8是反比例函數(shù)尸W（左>0,x>0）圖象上的兩點，8C〃x軸，

交y軸于點C,動點P從坐標原點0出發(fā)，沿Of/lfB-C勻速運動，終點為C,過點

P作PAMx軸，PNLy軸，垂足分別為M、N.設四邊形OMPN的面積為S,點P運動

的時間為f,則S關于/的函數(shù)圖象大致為（）

13.（2分）關于x的方程，/+工-巾+1=0,有以下三個結(jié)論：①當帆=0時，方程只有一個

實數(shù)解；②當"中0時，方程有兩個不相等的實數(shù)解；③無論，"取何值，方程都有一個

負數(shù)解，其中正確的是（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

14.（2分）如圖，拋物線），=0?+加葉°的對稱軸為直線x=l,與x軸一個交點的坐標為（-

1,0）,其部分圖象如圖所示，下列結(jié)論：①"V0：②匕V0；③方程ax2+bx+c=0的兩

個根是xi=-1,X2=3；④當y>0時,x的取值范圍是-l<x<3.其中結(jié)論錯誤的是（）

A.①B.②C.③D.④

15.（2分）如圖，矩形ABCZ）中，AB=8,A￡>=3.點E從。向C以每秒1個單位的速度

運動，以AE為一邊在AE的右下方作正方形AEFG.同時垂直于CD的直線MN也從C

向。以每秒2個單位的速度運動，當經(jīng)過多少秒時.直線MN和正方形4EFG開始有公

16.（2分）對于題目：在平面直角坐標系中，直線y=—1r+4分別與x軸、y軸交于兩點A、

B,過點A且平行y軸的直線與過點B且平行x軸的直線相交于點C,若拋物線

-2ax-3a（d^O）與線段BC有唯一公共點，求〃的取值范圍.甲的計算結(jié)果是“2部

乙的計算結(jié)果是〃<一號則（）

A.甲的結(jié)果正確

B.乙的結(jié)果正確

C.甲與乙的結(jié)果合在一起正確

D.甲與乙的結(jié)果合在一起也不正確

二、填空題（本大題共3個小題，共10分，17和18題每空3分，19題每空2分，把答案

寫在答題卡對應橫線上）

x5%+v

17.（3分）如果一=一，那么一上=

y3y

18.（3分）若x=-1是關于x的一元二次方程（v?+bx-1=0的一個根，則2022-2a+2b

的值為.

19.（4分）如圖，正方形ABCD的邊長為2,連接BQ,點尸是線段延長線上的一個動

點，NPBQ=45°,點。是8。與線段CD延長線的交點，當BD平分NP8。時，PD

Q￡>（填“>”“V"或“="）；當BQ不平分/尸2。時，PD?QD=.

三、解答題(本大題共7小題，共68分。第20題12分；21題-23題每題8分，24和25

題每題1()分：26題12分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。)

20.(12分)解下列一元二次方程：

(1)4(x+3)2=25；

(2)/+3x-4=0.

21.(8分)已知：如圖，在菱形ABC。中，對角線AC、BD相交于點。，DE//AC,AE//

BD.

(1)求證：四邊形AOOE是矩形；

(2)若AB=2,DE=\,求四邊形AODE的面積.

E

22.(8分)從2021年起，江蘇省高考采用“3+1+2”模式：“3”是指語文、數(shù)學、外語3

科為必選科目，“1”是指在物理、歷史2科中任選1科，“2”是指在化學、生物、思想

政治、地理4科中任選2科.

(1)若小麗在“1”中選擇了歷史,在“2”中已選擇了地理，則她選擇生物的概率是

(2)若小明在“1”中選擇了物理，用畫樹狀圖的方法求他在“2”中選化學、生物的概

率.

23.(8分)圖①是一種手機平板支架，由托板、支撐板和底座構(gòu)成，手機放置在托板上，

托板長AB=115mm,支撐板長8=70〃?〃?，且CB^35mm,托板AB可繞點C轉(zhuǎn)動.

圖①圖②備用圖

(1)當/C￡>E=60°時，

①求點C到直線OE的距離；(計算結(jié)果保留根號)

②若N￡)CB=70°時，求點A到直線?！甑木嚯x(計算結(jié)果精確到個位)；

(2)為了觀看舒適，把(1)中N￡>a=70°調(diào)整為90°,再將CO繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)，

使點B落在力E上，則C。旋轉(zhuǎn)的角度為.(直接寫出結(jié)果)(參考數(shù)據(jù)：sin50°

Q0.8,COS50°七。5tan50°弋1.2.sin26.6°^0.4,cos26.6°*0.9,tan26.6°55so.5,

V3=1.7)

24.(10分)閱讀材料：各類方程的解法：求解一元一次方程，根據(jù)等式的基本性質(zhì)，把方

程轉(zhuǎn)化為x=a的形式，求解二元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解；類似的，

三元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組.求解一元二次方程，把它轉(zhuǎn)化為兩個

一元一次方程來解.求解分式方程，把它轉(zhuǎn)化為整式方程來解，由于“去分母”可能產(chǎn)

生增根，所以解分式方程必須檢驗.各類方程的解法不盡相同，但是它們有一個共同的

基本數(shù)學思想一一轉(zhuǎn)化，把未知轉(zhuǎn)化為已知.用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學思想，我們還可以解一

些新的方程.例如，一元三次方程/+/-2x=0,可以通過因式分解把它轉(zhuǎn)化為x(/+x

-2)=0,解方程x=0和/+x-2=0,可得方程9+/-2x=0的解.

(1)問題：方程6『+14--12x=0的解是：xi=0,X2—,X3—;

(2)拓展：用“轉(zhuǎn)化”思想求方程后行=%的解；

(3)應用：如圖，已知矩形草坪ABCD的長AO=21機，寬AB=8m,點P在AO上(4P

>PO),小華把一根長為27m的繩子一段固定在點B,把長繩PB段拉直并固定在點P,

App

.%

????

?*、?

??、、

??、?

*、■

*??■

??、?

*??、

再拉直，長繩的另一端恰好落在點C,求AP的長.BC

25.(10分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，函數(shù)y=5(x>0)的圖象與直線y=2v+l

交于點A(1,/n)

(1)求2,m的值；

(2)已知點P(0,〃)(?>0),過點尸作平行于x軸的直線，交直線y=2x+l于點5,

交函數(shù)),=5(%>0)的圖象于點C橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點.

①當〃=1時，寫出線段BC上的整點的坐標；

②若y=((x>0)的圖象在點A,C之間的部分與線段A8,8C所圍成的區(qū)域內(nèi)(包括

邊界)恰有6個整點，直接寫出〃的取值范圍.

26.(12分)某公司生產(chǎn)A型活動板房成本是每個425元.圖①表示A型活動板房的一面墻，

它由長方形和拋物線構(gòu)成，長方形的長AD=4,〃，寬48=3%,拋物線的最高點E到BC

的距離為4八

(1)按如圖①所示的直角坐標系，拋物線可以用y="2+優(yōu)"wo)表示.求該拋物線的

函數(shù)表達式；

(2)現(xiàn)將A型活動板房改造為8型活動板房.如圖②，在拋物線與A力之間的區(qū)域內(nèi)加

裝一扇長方形窗戶BGMM點G,M在AO上，點N,尸在拋物線上，窗戶的成本為50

元/"P.已知GM=2m,求每個B型活動板房的成本是多少？(每個B型活動板房的成本

=每個A型活動板房的成本+一扇窗戶FGMN的成本)

(3)根據(jù)市場調(diào)查，以單價650元銷售(2)中的8型活動板房，每月能售出100個，

而單價每降低10元，每月能多售出20個.公司每月最多能生產(chǎn)160個8型活動板房.不

考慮其他因素，公司將銷售單價〃（元）定為多少時，每月銷售B型活動板房所獲利潤w

（元）最大？最大利潤是多少？

2021-2022學年河北省保定師范附屬學校九年級（上）期末數(shù)學

試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共16個小題：1-10小題，每小題3分；11-16小題，每小題3分，共

42分。在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意）。

1.（3分）方程f=2x的解是（）

A.X'—Q.B.xi=:2,X2^OC.xi=y/2.,X2^OD.x=0

【解答】解:，-2x=0,

x（x-2）=0,

x=0或x-2=0,

所以工1=0,X2=2.

故選：B,

2.（3分）如圖是一段空心的鋼管，則它的主視圖是（）

AC1

3.(3分)如圖，AB//CD//EF,若一=一，BD=5,則。尸=()

CE2

A.5B.10C.15D.2.5

【解答】W：'."AB//CD//EF,

.BDAC1

''DF一CE-2’

BP—=

DF2

解得：DF=IO.

故選：B.

4.（3分）某學習小組做“用頻率估計概率”的實驗時，統(tǒng)計了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制

了如下的表格，則符合這一結(jié)果的實驗最有可能的是（）

實驗次數(shù)10020030050080010002000

頻率0.3650.3280.3300.3340.3360.3320.333

A.一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃

B.在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機出的是“剪刀”

C.拋一個質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點數(shù)是5

D.拋一枚硬幣，出現(xiàn)反面的概率

【解答】解：A、一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃的

概率為3不符合題意；

8、在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機出的是“剪刀”的概率是1,符合題意；

C、拋一個質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點數(shù)是5的概率為；，不符合題意；

。、拋一枚硬幣，出現(xiàn)反面的概率為點不符合題意，

故選：B.

5.（3分）如圖，在4X5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1,△ABC的頂點都

在這些小正方形的頂點上，那么sin/ACB的值為（）

【解答】解：如圖，過點A作4H_L8C于H.

在RtZXAC”中，?.?A”=4,CH=3,

：.AC=VAH2+CH2=J42+32=5,

An4

**.sinZAC//=—寧

故選：D.

6.（3分）在解方程2?+4x+l=0時，對方程進行配方，文本框①中是嘉嘉作的，文本框②

中是琪琪作的，對于兩人的做法，說法正確的是（）

2X2-4X=-1,

jisn-白+1

4X2-8X+4=2,）1

I⑵荔=2.|J（x-l）2=》

②①

A.兩人都正確B.嘉嘉正確，琪琪不正確

C.嘉嘉不正確，琪琪正確D.兩人都不正確

【解答】解：兩人的做法都正確.

故選：A.

7.（3分）如圖，四邊形ABCD和是以點0為位似中心的位似圖形，若OA：0A'

=2：3,則四邊形ABC。與AEC/7的面積比是（）

A.4：9B.2：5C.2：3D.在：遮

【解答】解：???四邊形ABCO和A'B'CD'是以點。為位似中心的位似圖形，。4

0Ar=2：3,

：.DA：D'A'=OA：OAr=2：3,

24

--

???四邊形ABC。與四邊形4‘B'CD'的面積比為:39

故選：A.

8.（3分）雙曲線y=1^y=,在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，作一條平行于y軸的直線分

別交雙曲線于A、B兩點，連接OA、0B,則AAOB的面積為（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：設直線AB與x軸交于點C.

軸，

；.AC_Lx軸，BC_Lx軸.

,/點A在雙曲線y='的圖象上，.?.△40C的面積=1x5=f.

點B在雙曲線y=|的圖象上，.IACOB的面積=|x3=1.

CQ

A/XAOB的面積=ZV1OC的面積-△COB的面積=^-^=1.

故選：A.

9.（3分）小明用四根長度相同的木條制作了能夠活動的菱形學具，他先活動學具成為圖1

所示菱形，并測得NB=60°,接著活動學具成為圖2所示正方形，并測得對角線AC=

圖1圖2

A.20cmB.30cmC.40cmD.20V2c/n

【解答】解：如圖1,2中，連接AC

圖1圖2

在圖2中，?.?四邊形ABC。是正方形，

ZB=90°,

"：AC=40V2cm,

：.AB=BC=苧AC=40cm,

在圖①中，VZB=60°,BA=BC,

.?.△ABC是等邊三角形，

：.AC^BC=40cm,

故選：C.

10.（3分）如圖，用長為20〃?的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為11〃?），圍成中間

隔有一道籬笆的長方形花圃，為了方便出入，在建造籬笆花圃時，在BC上用其他材料

做了寬為所的兩扇小門.若花圃的面積剛好為40序，設AB段的長為切b則可列方程

為（）

墻長11m

A.x(22-3x)=40B.x(20-2x)=40

C.x(18-3x)=40D.x(20-3x)=40

【解答】解：設AB=x米，則BC=（20-3x+2）米，

依題意，得：x（20-3x+2）=40,即x（22-3%）=40.

故選：A.

11.（2分）如圖，在三角形紙片ABC中，AB=9,AC=6,BC=12,沿虛線剪下的涂色部

分的三角形與△4BC相似的是（）

B1?C

【解答】解：在三角形紙片48c中，A8=9,AC=6,BC=\2.

661AB9313

A.因為荔=不=不對應邊二=n=二，-5t故沿虛線剪下的涂色部分的三角

BC122BC12424

形與△ABC不相似，故此選項錯誤；

B.因為三=：=:對應邊經(jīng)=，=二又/4=NA,故沿虛線剪下的涂色部分的三

AC63AB93

角形與aABC相似，故此選項正確；

44AB9343

C.因為——=一，對應邊一=一=一，即：-豐一.故沿虛線剪下的涂色部分的三角形

AB9BC12494

與aABC不相似，故此選項錯誤；

D、因為：=對應邊經(jīng)===：,故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與4

63BC12232

ABC不相似，故此選項錯誤；

故選：B.

12.（2分）如圖，已知4、B是反比例函數(shù)），（A>0,x>0）圖象上的兩點，8C〃x軸，

交y軸于點C,動點P從坐標原點。出發(fā)，沿O-A-BfC勻速運動，終點為C,過點

尸作PMLx軸，PN，y軸，垂足分別為M、N.設四邊形OMPN的面積為S,點P運動

的時間為f,則S關于r的函數(shù)圖象大致為（）

s.

C.nD.n

【解答】解：①點P在AB上運動時，此時四邊形OMPN的面積S=K，保持不變，故排

除8、D；

②點P在上運動時，設路線。一4一8一。的總路程為/，點P的速度為“，則S=OC

XCP=OCXa-at),因為/,OC,a均是常數(shù),

所以S與f成一次函數(shù)關系.故排除C.

故選：A.

13.（2分）關于x的方程"M+x-機+1=0,有以下三個結(jié)論：①當相=0時，方程只有一個

實數(shù)解；②當機W0時，方程有兩個不相等的實數(shù)解；③無論，"取何值，方程都有一個

負數(shù)解，其中正確的是（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

【解答】解：當機=0時，x=-l,方程只有一個解，①正確：

當mWO時，方程nvr+x-加+1=0是一元二次方程，△=1-4m（1-m）=1-4m+4m2

=（2巾-1）220,方程有兩個實數(shù)解，②錯誤；

把zn^+x-，〃+1=0分解為（x+1）（mx-m+1）=0,

當x=-l時,m-1-m+l=O,即x=-1是方程“M+x-〃[+]=o的根，③正確；

故選：C.

14.（2分）如圖，拋物線y=a?+〃x+c,的對稱軸為直線x=l,與x軸一個交點的坐標為（-

1,0）,其部分圖象如圖所示，下列結(jié)論：①ac<0；②b<0；③方程ax2+/?x+c=O的兩

個根是xi=-1,雙=3；④當y>0時,x的取值范圍是-l<x<3.其中結(jié)論錯誤的是（）

A.①B.②C.③D.④

【解答】解：???拋物線開口向下,

：.a<0,

Vc=3>0,

/.ac<0,所以①正確；

拋物線的對稱軸為直線x=1,

.b_

.?一而-1'

：.b=-2a>0,所以②錯誤；

?.?拋物線的對稱軸為直線x=\,

而點（-1,0）關于直線x=l的對稱點的坐標為（3,0）,

二方程蘇+云+。=0的兩個根是xi=-1,X2=3,所以③正確；

二當-1<尤<3時，>->0,所以④正確；

故選:B.

15.（2分）如圖，矩形A8CC中，AB=8,AD=3.點E從。向C以每秒1個單位的速度

運動，以AE為一邊在4E的右下方作正方形AEFG.同時垂直于C。的直線MN也從C

向。以每秒2個單位的速度運動，當經(jīng)過多少秒時.直線MN和正方形4EFG開始有公

【解答】解：過點尸作尸。_LC￡＞于點。，

;在正方形AEFG中，ZAEF=90°,AE=EF,

：.Z1+Z2=9O0,

VZDAF+Z1=90°,

：.ZDAE^Z2,

在△4?！旰?￡'(26中，

(ZD=ZFQE

]Z.DAE=乙QEF，

(AE=EF

.MADEm/\EQF(AAS),

：.AD=EQ=3,

當直線MN和正方形AEFG開始有公共點時：DQ+CM^,

t+3+2t》8,

解得：t>

故當經(jīng)過1秒時.直線MN和正方形AEFG開始有公共點.

故選：A.

16.（2分）對于題目：在平面直角坐標系中，直線）=一，+4分別與x軸、y軸交于兩點A、

B,過點4且平行y軸的直線與過點B且平行x軸的直線相交于點C,若拋物線

-2ax-3a（?^0）與線段BC有唯一公共點，求〃的取值范圍.甲的計算結(jié)果是

4

-貝

乙的計算結(jié)果是3

A.甲的結(jié)果正確

B.乙的結(jié)果正確

C.甲與乙的結(jié)果合在一起正確

D.甲與乙的結(jié)果合在一起也不正確

【解答】解：y=ax^-2ax-3a,令y=0,則x=-l或3,令x=0,貝！Iy=-3a,

故拋物線與x軸的交點坐標分別為：（-1,0）、（3,0）,與y軸的交點坐標為：（0,-

3〃），

函數(shù)的對稱軸為：x=l,頂點坐標為：（1,-44），

4

直線）=一尋+4分別與x軸、y軸交于兩點4B,則點A、B的坐標分別為：（5,0）、（0,

4）,則點C（5,4）.

（1）當”>0時，

當拋物線過點C時，拋物線與線段8C有一個公共點，

將點C的坐標代入拋物線表達式得：4=254-10a-3a,解得：a=

故拋物線與線段有唯一公共點時，?>|；

（2）當aVO時,

當頂點過BC時，此時拋物線與8C有唯一公共點，

即-4。=4,解得：〃=-1；

當拋物線過點8時，拋物線與8c有兩個交點，

將點8的坐標代入拋物線表達式得：-3a=4,解得：。=-箓

故當拋物線與線段3c有一個公共點時，a<-1,

14

綜上，a>可或a<-可或a=-1；

故選：D.

二、填空題（本大題共3個小題，共10分，17和18題每空3分，19題每空2分，把答案

寫在答題卡對應橫線上）

,x5x+y8

17.（3分）如果一=一，那么---

y3yS—

x5

【解答】解：???一=

y3

?二設x=5攵，y=3kf

.x+y5k+3k

??y-3k

8k

=3k

8

=y

故答案為：

18.（3分）若x=-1是關于x的一元二次方程aj?+bx-1=0的一個根，則2022-2a+2h

的值為2020.

【解答】解：把x=-1代入方程a^+bx-1=0QW0）得。-/?-1=0,

??ci~b1,

A2022-2a+2b

=2022-2（a-b）

=2022-2X1

=2022-2

=2020.

故答案為：2020.

19.（4分）如圖，正方形A8CO的邊長為2,連接30,點P是線段AO延長線上的一個動

點，NP8Q=45°,點。是8。與線段延長線的交點，當8。平分NP8。時，PD=

QQ（填"V"或"=”）；當3。不平分NP3。時，PD?OD=8.

【解答】解：①當8。平分NP8Q時，

???NP8Q=45°,

：.ZQBD=ZPBD=22.5°,

???四邊形A8CO是正方形，

：.AB=BC,NA=NC=90°,ZABD=ZCBD=450,

ZABP=ZCBQ=22.5Q+45°=67.5°,

在aAB尸和△C3Q中，

(ZA=ZC

^\AB=BC，

{^ABP=乙CBQ

:AABPmACBQ(ASA),

；?BP=BQ,

在△Q3。和△P3。中，

BQ=BP

:"80=乙PBD,

BD=BD

:AQBD迫4PBD(SAS),

:?PD=QD；

②當8。不平分NPB。時，

*：AB//CQ,

：./ABQ=/CQB,

VZQBD+ZDBP=ZQBD+ZABQ=45°,

，ZDBP=ZABQ=NCQB,

VZBDQ=ZADQ+ZADB=900+45°=135°,

NBDP=/CDP+/BDC=90°+45°=135°,

:?/BDQ=/BDP,

:?叢BQDs叢PBD,

.BDQD

??—=,

PDBD

：.PD*0D=BD2=22+22=8,

故答案為：—,8.

三、解答題(本大題共7小題，共68分。第20題12分；21題-23題每題8分，24和25

題每題10分；26題12分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。)

20.(12分)解下列一元二次方程：

(1)4G+3)2=25；

(2)X2+3X-4=0.

【解答】解：⑴方程整理得：(x+3)2=竽，

開方得：x+3=±|,

解得：Xl=—2，X2=一學；

(2)方程/+3工-4=0,

分解因式得：(K-1)(x+4)=0,

所以x-1=0或x+4=0,

解得：Xl=l,X2=-4.

21.(8分)已知：如圖，在菱形A5CO中，對角線AC、8。相交于點O,DE//AC,AE//

BD.

(1)求證：四邊形AOQE是矩形；

(2)若AB=2,DE=1,求四邊形AODE的面積.

E

BC

【解答】（1）證明：AE//BD,

二四邊形AODE是平行四邊形，

???四邊形ABC。是菱形，

：.AC1BD,

：.ZAOD=90°,

四邊形AO0E是矩形；

（2）解：：四邊形4OOE是矩形，

：.AO=DE=\,

；4B=2,

：.BO=\IAB2-AO2=V3,

：.OD=BO=V3,

二四邊形AOOE的面積=AO?OO=lxb=V3.

22.（8分）從2021年起，江蘇省高考采用“3+1+2”模式：“3”是指語文、數(shù)學、外語3

科為必選科目，“1”是指在物理、歷史2科中任選1科，“2”是指在化學、生物、思想

政治、地理4科中任選2科.

（1）若小麗在“1”中選擇了歷史，在“2”中已選擇了地理，則她選擇生物的概率是

1

（2）若小明在“1”中選擇了物理，用畫樹狀圖的方法求他在“2”中選化學、生物的概

率.

【解答】解：（1）在“2”中已選擇了地理，從剩下的化學、生物，思想政治三科中選一

科，因此選擇生物的概率為點

故答案為：—；

（2）用樹狀圖表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下:

可就佶良

《化學、生物）

《化字、思想獨方）

《化學?河理）

《生物、化學）

《生物?思想做若）

《生物地理）

《思理詼自、化學）

《思津世治、生物》

《思想讀言、168）

《惚度化學）

《地理生物）

（他建，（售款治,

共有12種可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中選中“化學”“生物”的有2種，

.口_2_1

=

??r（化學生物）=Y26*

23.（8分）圖①是一種手機平板支架，由托板、支撐板和底座構(gòu)成，手機放置在托板上,

托板長48=115，"〃?，支撐板長C￡>=70〃?〃?，且CB=35w，〃，托板A8可繞點C轉(zhuǎn)動.

圖①圖②備用圖

（1）當/CDE=60°時，

①求點C到直線DE的距離；（計算結(jié)果保留根號）

②若NDCB=70。時，求點A到直線OE的距離（計算結(jié)果精確到個位）；

（2）為了觀看舒適，把（1）中NDCB=70°調(diào)整為90°,再將CO繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)，

使點8落在￡>E上，則CD旋轉(zhuǎn)的角度為33.4°.（直接寫出結(jié)果）（參考數(shù)據(jù):sin50°

-0.8,cos500-0.6,tan500仁1.2.sin26.6°七0.4,cos26.6°-0.9,tan26.6°七0.5,

V3=1.7）

【解答】解：（1）①如圖，過點C作CFLDE于E,過點C、A分別作DE的平行線和垂

線相交于點G,

在RtZkCQF中，ZCDF=60°，CD=70mmf

：.CF=CD^in60°

=70x坐

=35V3(mm),

即點C到直線DE的距離為35Wmm；

②當NOCB=70°時，

VCG//DE,

???NGCO=NCD尸=60°,

又?：NDCB=70。,

AZACG=180°-70°-60°=50°,

在RtZXACG中，AC=AC-BC=H5-35=S0(/WH),ZACG=50Q

???AG=AC?sin50°

^80X0.8

=64(mm),

點A到直線DE的距離為AG+CF=64+35V3?124(mm)；

(2)旋轉(zhuǎn)后的圖形如圖③所示，

在RtaB'C。中，B'C=35mm,CD=CD=70mn,

D,C,

AtanZCZDB'=合=0.5,

又；tan26.6°~0.5,

：.ZCDB'=26.6°,

J.ZCDC'=60°-26.6°=33.4°,

故答案為：33.4°.

圖③

G

B/：\

EFD

圖②

24.(10分)閱讀材料：各類方程的解法：求解一元一次方程，根據(jù)等式的基本性質(zhì)，把方

程轉(zhuǎn)化為x=a的形式，求解二元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解；類似的，

三元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組.求解一元二次方程，把它轉(zhuǎn)化為兩個

一元一次方程來解.求解分式方程，把它轉(zhuǎn)化為整式方程來解，由于“去分母”可能產(chǎn)

生增根，所以解分式方程必須檢驗.各類方程的解法不盡相同，但是它們有一個共同的

基本數(shù)學思想一一轉(zhuǎn)化，把未知轉(zhuǎn)化為已知.用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學思想，我們還可以解一

些新的方程.例如，一元三次方程*3+/_"=0,可以通過因式分解把它轉(zhuǎn)化為x(/+x

-2)=0,解方程x=0和/+x-2=0,可得方程9+/-2x=0的解.

2

(1)問題：方程6/+14/-12x=0的解是：xi=0,X2--.X3=3；

(2)拓展：用“轉(zhuǎn)化”思想求方程7^月=%的解；

(3)應用：如圖，已知矩形草坪ABCO的長AD=2L”，寬48=8%,點P在AO上(AP

>PD),小華把一根長為27,"的繩子一段固定在點B,把長繩PB段拉直并固定在點P,

A____________￡____________p

再拉直，長繩的另一端恰好落在點C,求AP的長.B

【解答】解：⑴V6?+14x2-12r=0,

：.2x(3x2+7x-6)=0.

：.2x(3x-2)(x+3)=0.

?*.2x=0或3x-2=0或x+3=0.

2

?=0,X2=w，X3=~3.

2

故答案為：-3；

(2)方程C2x+3=x,兩邊平方得2x+3=/,

A?--3=0.

(%-3)(x+1)=0.

，X1=3,X2=-I.

經(jīng)檢驗，x=3是原方程的根，x=-1不是原方程的根.

所以原方程的解為x=3.

(3)設AP的長為xm,則。P的長為(21-x)in.

由題意，得忡+刀+”21一小尸+8?=27,

移項，得“21-％)2+82=27-迎2+02,

兩邊平方，得(21-x)2+64=27