第1課時(shí)平方根與立方根-2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步考點(diǎn)知識(shí)清單＋例題講解＋課后練習(xí)(人教版)(原卷版+解析)

第1課時(shí)——平方根與立方根知識(shí)點(diǎn)一：算數(shù)平方根：算術(shù)平方根的定義：一般地，如果一個(gè)正數(shù)的平方等于，即，那么這個(gè)正數(shù)叫做的算術(shù)平方根．記為。所以就表示的算術(shù)平方根。其中叫做根號(hào)，叫做被開(kāi)方數(shù)。規(guī)定0的算術(shù)平方根是。算術(shù)平方根的性質(zhì)：①算術(shù)平方根的雙重非負(fù)性：只有才有算術(shù)平方根，且它的算術(shù)平方根也是一個(gè)。所以算術(shù)平方根本身，算術(shù)平方根的被開(kāi)方數(shù)。即0，0。非負(fù)性的應(yīng)用：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于0，則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)分別等于0。即若，則。②一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個(gè)數(shù)本身。即。③一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值。再根據(jù)這個(gè)數(shù)的正負(fù)去絕對(duì)值符號(hào)。即。求算術(shù)平方根：求一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根與求一個(gè)數(shù)的平方互為逆運(yùn)算，在求一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根時(shí)，可以借助乘方運(yùn)算來(lái)尋找。【類型一：求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根】1．實(shí)數(shù)2的算術(shù)平方根是（）A．± B．±4 C．4 D．2．4的算術(shù)平方根是（）A．16 B．±2 C．±16 D．23．（﹣9）2的算術(shù)平方根是（）A．±9 B．3 C．9 D．﹣94．的值等于（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．55．的算術(shù)平方根是（）A．4 B．2 C．±4 D．±26．的算術(shù)平方根是（）A．±6 B．6 C．± D．【類型二：算術(shù)平方根的非負(fù)性應(yīng)用】7．若，則3x+2y的值等于（）A．﹣5 B．5 C．13 D．﹣138．若a，b為實(shí)數(shù)，且滿足，則ab的值為﹣8．9．若，則mn的值是．10．已知，則（a+c）b等于（）A．1 B．﹣1 C．﹣4 D．4【類型三：算術(shù)平方根性質(zhì)】11．計(jì)算的結(jié)果是（）A．2022 B．﹣2022 C．20222 D．﹣2022212．下列二次根式中，化簡(jiǎn)結(jié)果為﹣5的是（）A． B．（﹣）2 C．﹣ D．13．下列各式成立的是（）A．＝﹣2 B．＝5 C．＝x D．＝±614．化簡(jiǎn)：＝．知識(shí)點(diǎn)二：平方根：平方根的定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于，則這個(gè)數(shù)就叫做的，也叫做的二次方根。表示為。平方根的性質(zhì)①正數(shù)的平方根有個(gè)，分別是與，他們互為。②規(guī)定0的平方根是。所以0的平方根只有一個(gè)，就是它本身。③負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。求一個(gè)數(shù)的平方根：求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算就做開(kāi)平方，與平方預(yù)算互為逆運(yùn)算。即，則。可表示為，。【類型一：求平方根】15．4的平方根是（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．1616．9的平方根是（）A．3 B．﹣3 C． D．±317．的平方根為（）A．± B． C． D．±【類型二：利用一個(gè)數(shù)的兩個(gè)平方根的關(guān)系求值】18．若x+1是16的一個(gè)平方根，則x的值為．19．一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根為a+3和a﹣8，則這個(gè)數(shù)為．20．某正數(shù)的平方根分別是2a+1和a+5，則a＝．21．已知：2m+1和m﹣3是正數(shù)a的兩個(gè)平方根，則a﹣m的值是．22．已知一個(gè)正數(shù)a的兩個(gè)平方根分別是x+5和4x﹣15，則a＝（）A．49 B．7 C．-49 D．﹣7【類型三：利用平方根解方程】23．解方程：（2x﹣1）2＝4．24．求式中的x的值：（x+3）2＝16．25．已知2（x+1）2﹣8＝0，求x的值．知識(shí)點(diǎn)三：立方根：立方根的定義：如果一個(gè)數(shù)的立方等于，那么這個(gè)數(shù)叫做的或。這就是說(shuō)，如果，那么叫做的立方根．記作。其中叫做三次根號(hào)。根指數(shù)3不能省略。求立方根：求一個(gè)數(shù)的立方根叫做開(kāi)立方，與立方運(yùn)算互為逆運(yùn)算。立方根的性質(zhì)：由立方運(yùn)算可知，任何數(shù)都有立方根，且都只有一個(gè)立方根。正數(shù)的立方根是；0的立方根是；負(fù)數(shù)的立方根是?！绢愋鸵唬呵罅⒎礁?6．8的立方根是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣427．（﹣8）2的立方根是．28．計(jì)算的結(jié)果是（）A．﹣4 B．2 C．±2 D．﹣229．下列說(shuō)法正確的是（）A．4的平方根是2 B．8的立方根是±2 C．＝﹣3 D．﹣6沒(méi)有平方根30．﹣27的立方根與9的平方根之和是（）A．0 B．6 C．﹣12或6 D．0或﹣631．已知27的立方根為a+3，則a+4的算術(shù)平方根是（）A．0 B．3 C．2 D．432．一個(gè)整數(shù)a的兩個(gè)平方根是2b﹣1和b+4，則a+b的立方根為（）A．2 B．8 C．﹣2 D．﹣833．一個(gè)正數(shù)b的平方根為a+1和2a﹣7，則9a+b的立方根是（）A．2 B．3 C．9 D．±3【類型二：利用立方根解方程】34．求下列各式中x的值：（1）（x﹣1）2﹣9＝0；（2）（2x﹣1）3﹣27＝0．35．求下列各式中的x的值：（1）x3+8＝0；（2）2x2﹣18＝0．36．求下列各式中x的值：（1）（x﹣3）2﹣1＝15；（2）．第1課時(shí)——平方根與立方根（答案卷）知識(shí)點(diǎn)一：算數(shù)平方根：算術(shù)平方根的定義：一般地，如果一個(gè)正數(shù)的平方等于，即，那么這個(gè)正數(shù)叫做的算術(shù)平方根．記為。所以就表示的算術(shù)平方根。其中叫做根號(hào)，叫做被開(kāi)方數(shù)。規(guī)定0的算術(shù)平方根是0。算術(shù)平方根的性質(zhì)：①算術(shù)平方根的雙重非負(fù)性：只有非負(fù)數(shù)才有算術(shù)平方根，且它的算術(shù)平方根也是一個(gè)非負(fù)數(shù)。所以算術(shù)平方根本身大于等于0，算術(shù)平方根的被開(kāi)方數(shù)也大于等于0。即≥0，≥0。非負(fù)性的應(yīng)用：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于0，則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)分別等于0。即若，則0。②一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個(gè)數(shù)本身。即。③一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值。再根據(jù)這個(gè)數(shù)的正負(fù)去絕對(duì)值符號(hào)。即。求算術(shù)平方根：求一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根與求一個(gè)數(shù)的平方互為逆運(yùn)算，在求一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根時(shí)，可以借助乘方運(yùn)算來(lái)尋找?！绢愋鸵唬呵笠粋€(gè)數(shù)的算術(shù)平方根】1．實(shí)數(shù)2的算術(shù)平方根是（）A．± B．±4 C．4 D．分析：如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2＝a，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根．記為，由此即可得到答案．【解答】解：2的算術(shù)平方根是．故選：D．2．4的算術(shù)平方根是（）A．16 B．±2 C．±16 D．2分析：依據(jù)算術(shù)平方根的定義求解即可．【解答】解：∵22＝4，∴4的算術(shù)平方根是2．故選：D．3．（﹣9）2的算術(shù)平方根是（）A．±9 B．3 C．9 D．﹣9分析：根據(jù)算術(shù)平方根的定義解答即可．【解答】解：∵（﹣9）2＝81，∴81的算術(shù)平方根是9．故選：C．4．的值等于（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．5分析：根據(jù)算術(shù)平方根定義解答．【解答】解：∵32＝9，∴，故選：A．5．的算術(shù)平方根是（）A．4 B．2 C．±4 D．±2分析：利用算術(shù)平方根的意義解答即可．【解答】解：∵＝4，4的算術(shù)平方根為2，∴的算術(shù)平方根是2，故選：B．6．的算術(shù)平方根是（）A．±6 B．6 C．± D．分析：先求出36的算術(shù)平方根＝6，然后再求6的算術(shù)平方根即可．【解答】解：∵＝6，∴6的算術(shù)平方根為．故選：D．【類型二：算術(shù)平方根的非負(fù)性應(yīng)用】7．若，則3x+2y的值等于（）A．﹣5 B．5 C．13 D．﹣13分析：根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求出x、y的值，再將它們代入3x+2y求解即可．【解答】解：∵+＝0，∴x+3＝0，x＝﹣3；y﹣2＝0，y＝2；則3x+2y＝3×（﹣3）+2×2＝﹣9+4＝﹣5．故選：A．8．若a，b為實(shí)數(shù)，且滿足，則ab的值為﹣8．分析：根據(jù)絕對(duì)值和算術(shù)平方根的非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出方程求出a、b的值，代入所求代數(shù)式計(jì)算即可．【解答】解：∵a，b為實(shí)數(shù)，且滿足|a+4|+＝0，|a+4|≥0，≥0，∴a+4＝0，b﹣2＝0，解得a＝﹣4，b＝2，∴ab＝﹣4×2＝﹣8．故答案為：﹣8．9．若，則mn的值是．分析：根據(jù)算術(shù)平方根、偶次方的非負(fù)性求出m、n的值，再代入計(jì)算即可．【解答】解：∵+（n﹣3）2＝0，，≥0，（n﹣3）2≥0，∴m+2＝0，n﹣3＝0，解得m＝﹣2，n＝3，∴mn＝（﹣2）3＝﹣8，故答案為：﹣8．10．已知，則（a+c）b等于（）A．1 B．﹣1 C．﹣4 D．4分析：根據(jù)絕對(duì)值，算術(shù)平方根以及偶次方的非負(fù)性，求出a、b、c的值，再代入計(jì)算即可．【解答】解：∵，∴a﹣1＝0，b﹣2＝0，c+3＝0，∴a＝1，b＝2，c＝﹣3，∴（a+c）b＝（1﹣3）2＝4，故選：D．【類型三：算術(shù)平方根性質(zhì)】11．計(jì)算的結(jié)果是（）A．2022 B．﹣2022 C．20222 D．﹣20222分析：利用二次根式的化簡(jiǎn)的法則進(jìn)行求解即可．【解答】解：＝2022．故選：A．12．下列二次根式中，化簡(jiǎn)結(jié)果為﹣5的是（）A． B．（﹣）2 C．﹣ D．分析：利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行求解．【解答】解：A的答案是5，B的結(jié)果是5，C的結(jié)果是﹣5，D的結(jié)果是5，故選：C．13．下列各式成立的是（）A．＝﹣2 B．＝5 C．＝x D．＝±6分析：根據(jù)二次根式的性質(zhì)＝|a|，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：A、＝2，故A不符合題意；B、＝5，故B符合題意；C、＝|x|，故C不符合題意；D、＝6，故D不符合題意；故選：B．14．化簡(jiǎn)：＝．分析：二次根式的性質(zhì)：＝a（a≥0），根據(jù)性質(zhì)可以對(duì)上式化簡(jiǎn)．【解答】解：＝＝π﹣3．故答案是：π﹣3．知識(shí)點(diǎn)二：平方根：平方根的定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于，則這個(gè)數(shù)就叫做的平方根，也叫做的二次方根。表示為。平方根的性質(zhì)①正數(shù)的平方根有2個(gè)，分別是與，他們互為相反數(shù)。②規(guī)定0的平方根是0。所以0的平方根只有一個(gè)，就是它本身。③負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。求一個(gè)數(shù)的平方根：求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算就做開(kāi)平方，與平方預(yù)算互為逆運(yùn)算。即，則。可表示為，?！绢愋鸵唬呵笃椒礁?5．4的平方根是（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．16分析：根據(jù)平方根的定義，求數(shù)a的平方根，也就是求一個(gè)數(shù)x，使得x2＝a，則x就是a的一個(gè)平方根．【解答】解：∵（±2）2＝4，∴4的平方根是±2，故選：A．16．9的平方根是（）A．3 B．﹣3 C． D．±3分析：根據(jù)平方根的含義和求法，可得9的平方根是：±＝±3，據(jù)此解答即可．【解答】解：9的平方根是：±＝±3．故選：D．17．的平方根為（）A．± B． C． D．±分析：直接根據(jù)平方根的意義進(jìn)行解答．【解答】解：∵（±）2＝．∴的平方根為±．故選：A．【類型二：利用一個(gè)數(shù)的兩個(gè)平方根的關(guān)系求值】18．若x+1是16的一個(gè)平方根，則x的值為．分析：根據(jù)平方根的定義即可求解．【解答】解：∵（±4）2＝16，∴16的平方根是±4，∴①當(dāng)x+1＝4時(shí)，解得x＝3，②當(dāng)x+1＝﹣4時(shí)，解得x＝﹣5，故答案為：3或﹣5．19．一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根為a+3和a﹣8，則這個(gè)數(shù)為．分析：根據(jù)一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根且它們互為相反數(shù)直接計(jì)算求出a的值，然后再根據(jù)平方根的的定義求出這個(gè)數(shù)．【解答】解：由題意得，a+3+a﹣8＝0，解得a＝，∴a+3＝，a﹣8＝﹣，∵（±）2＝，∴這個(gè)數(shù)為．故答案為：．20．某正數(shù)的平方根分別是2a+1和a+5，則a＝．分析：應(yīng)用平方根的性質(zhì)：正數(shù)a有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)，進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．【解答】解：根據(jù)題意可得，2a+1+a+5＝0，解得：a＝﹣2．故答案為：﹣2．21．已知：2m+1和m﹣3是正數(shù)a的兩個(gè)平方根，則a﹣m的值是．分析：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，由此即可計(jì)算．【解答】解：∵2m+1和m﹣3是正數(shù)a的兩個(gè)平方根，∴2m+1+m﹣3＝0，∴m＝，∴2m+1＝2×+1＝，∴a＝＝，∴a﹣m＝﹣＝．故答案為：．22．已知一個(gè)正數(shù)a的兩個(gè)平方根分別是x+5和4x﹣15，則a＝（）A．49 B．7 C．-49 D．﹣7分析：根據(jù)平方根的性質(zhì)：正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，0的平方根是0即可求解．【解答】解：∵一個(gè)正數(shù)a的兩個(gè)平方根分別是x+5和4x﹣15，∴x+5+4x﹣15＝0，∴x＝2，∴a＝（x+5）2＝（2+7）2＝49，故選：A．【類型三：利用平方根解方程】23．解方程：（2x﹣1）2＝4．分析：根據(jù)平方根的定義先求出2x﹣1＝±2，再分別求出x的值即可．【解答】解：∵（2x﹣1）2＝4，∴2x﹣1＝±2，∴2x﹣1＝2或2x﹣1＝﹣2，∴x1＝，x2＝﹣．24．求式中的x的值：（x+3）2＝16．分析：根據(jù)平方根的定義計(jì)算即可．【解答】解：（x+3）2＝16，x+3＝﹣4或x+3＝4，解得x1＝﹣7，x2＝1．25．已知2（x+1）2﹣8＝0，求x的值．分析：根據(jù)等式的性質(zhì)和平方根的意義，將一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程，進(jìn)而求出答案．【解答】解：2（x+1）2﹣8＝0，移項(xiàng)得，2（x+1）2＝8，兩邊都除以2得，（x+1）2＝4，直接開(kāi)方得，x+1＝±2，即x+1＝2或x+1＝﹣2，解得x＝1或x＝﹣3，所以x的值為1或﹣3．知識(shí)點(diǎn)三：立方根：立方根的定義：如果一個(gè)數(shù)的立方等于，那么這個(gè)數(shù)叫做的立方根或三次方根。這就是說(shuō)，如果，那么叫做的立方根．記作。其中叫做三次根號(hào)。根指數(shù)3不能省略。求立方根：求一個(gè)數(shù)的立方根叫做開(kāi)立方，與立方運(yùn)算互為逆運(yùn)算。立方根的性質(zhì)：由立方運(yùn)算可知，任何數(shù)都有立方根，且都只有一個(gè)立方根。正數(shù)的立方根是正數(shù)；0的立方根是0；負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)?！绢愋鸵唬呵罅⒎礁?6．8的立方根是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4分析：利用立方根的意義解答即可．【解答】解：8的立方根為2，故選：A．27．（﹣8）2的立方根是．分析：先求出（﹣8）2，再利用立方根定義即可求解．【解答】解：∵（﹣8）2＝64，64的立方根是4，∴（﹣8）2的立方根是4．故答案4．28．計(jì)算的結(jié)果是（）A．﹣4 B．2 C．±2 D．﹣2分析：利用立方根的定義計(jì)算判斷即可．【解答】解：＝﹣2，故選：D．29．下列說(shuō)法正確的是（）A．4的平方根是2 B．8的立方根是±2 C．＝﹣3 D．﹣6沒(méi)有平方根分析：根據(jù)平方根、算術(shù)平方根、立方根的定義逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A.4的平方根是±2，因此選項(xiàng)A不符合題意；B.8的立方根是2，因此選項(xiàng)B不符合題意；C.＝3，因此選項(xiàng)C不符合題意；D．﹣6沒(méi)有平方根，因此選項(xiàng)D符合題意；故選：D．30．﹣27的立方根與9的平方根之和是（）A．0 B．6 C．﹣12或6 D．0或﹣6分析：依據(jù)平方根和立方根的定義求得這兩個(gè)數(shù)，然后利用加法法則計(jì)算即可．【解答】解：﹣27的立方根是﹣3，9的平方根是±3，﹣3+3＝0，﹣3+（﹣3）＝﹣6．故選：D．31．已知27的立方根為a+3，則a+4的算術(shù)平方根是（）A．0 B．3 C．2 D．4分析：根據(jù)立方根的定義求出a的值，再代入求出a+4的值，最后由算術(shù)平方根的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：∵27的立方根為a+3，∴a+3＝3，解得a＝0，∴a+4＝0+4＝4，∴a+4的算術(shù)平方根為＝2，故選：C．32．一個(gè)整數(shù)a的兩個(gè)平方根是2b﹣1和b+4，則a+b的立方根為（）A．2 B．8 C．﹣2 D．﹣8分析：先根據(jù)平方根的性質(zhì)求出a，b的值，再根據(jù)立方根的定義即可求解．【解答】解：∵一個(gè)整數(shù)a的兩個(gè)平方根是2b﹣1和b+4，∴2b﹣1+b+4＝0，解得b＝﹣1，∴a＝（b+4）2＝（﹣1+