新人教版高二暑期數(shù)學(xué)銜接第07講空間向量基本定理講義(學(xué)生版+解析)

第07講空間向量基本定理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解空間向量基本定理及其意義，2.掌握空間向量的正交分解【基礎(chǔ)知識(shí)】一、空間向量基本定理1.如果三個(gè)向量a,b,c不共面

,那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc

.我們把{a,b,c}叫做空間的一個(gè)基底

,a,b,c都叫做基向量

.空間任意三個(gè)不共面

的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底2.基向量的選擇和使用方法用已知向量表示未知向量時(shí),選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)幕卓梢允菇忸}過程簡(jiǎn)便易行,選擇和使用向

量應(yīng)注意:(1)所選向量必須不共面,可以利用共面向量定理或常見的幾何圖形的幾何性質(zhì)幫助判斷;(2)所選基向量與要表示的向量一般應(yīng)在同一封閉圖形內(nèi),能用基向量的線性運(yùn)算表示未知

向量;(3)盡可能選擇具有垂直關(guān)系的、從同一起點(diǎn)出發(fā)的三個(gè)向量作為基底.【解讀】3.用基底表示向量的步驟(1)定基底:根據(jù)已知條件,確定三個(gè)不共面的向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底.(2)找目標(biāo):用確定的基底(或已知基底)表示目標(biāo)向量,需要根據(jù)三角形法則或平行四邊形法則,結(jié)合相等向量的代換、向量的運(yùn)算進(jìn)行變形、化簡(jiǎn),最后求出結(jié)果.(3)下結(jié)論:利用空間向量的一個(gè)基底{a,b,c}可以表示出空間所有向量,即結(jié)果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量.二空間向量的正交分解如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量?jī)蓛纱怪?/p>

,且長(zhǎng)度都為1

,那么這個(gè)基底叫做單位正交基底,常用{i,j,k}表示.由空間向量基本定理可知,對(duì)空間中的任意向量a,均可以分解為三個(gè)向量xi,yj,zk,使a=xi+yj+zk.像這樣,把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量,叫做把空間向量進(jìn)行正交分解.【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：對(duì)平面向量基本定理的理解例1．(多選)(2023學(xué)年河北省邯鄲市高二上學(xué)期期末)已知，，是空間的一個(gè)基底，則下列說法中正確的是(

)A．若，則B．，，兩兩共面，但，，不共面C．一定存在實(shí)數(shù)x，y，使得D．，，一定能構(gòu)成空間的一個(gè)基底考點(diǎn)二：對(duì)基底的理解例2．設(shè)，，，且是空間的一個(gè)基底，給出下列向量組：①；②；③；④，則其中可以作為空間的基底的向量組有(

)A．1 B．2 C．3 D．4考點(diǎn)三：選擇基底表示某一向量例3．(2023學(xué)年河南省鄭州市高二上學(xué)期期末)已知三棱錐O—ABC，點(diǎn)M，N分別為線段AB，OC的中點(diǎn)，且，，，用，，表示，則等于(

)A． B． C． D．考點(diǎn)四：選擇基底求解向量的?；蚓€段長(zhǎng)度例4．(2023學(xué)年江蘇省常州市金壇區(qū)高二下學(xué)期期中)如圖，在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，若，且，則的長(zhǎng)為(

)A． B． C． D．考點(diǎn)五：選擇基底求解角度問題例6．(2023學(xué)年重慶市四川外語(yǔ)學(xué)院高二上學(xué)期10月月考)二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)、，線段與分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且垂直于棱，若，，，，則平面與平面的夾角為_________.考點(diǎn)六：選擇基底求解數(shù)量積問題例7．(2023學(xué)年江蘇省南通市海安市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二下學(xué)期期中)已知四面體，所有棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點(diǎn)，則(

)A．1 B．2 C．-1 D．-2【真題演練】1.(2023學(xué)年四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)高二下學(xué)期期中)已知O，A，B，C為空間四點(diǎn)，且向量，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則一定有(

)A．，，共線 B．O，A，B，C中至少有三點(diǎn)共線C．與共線 D．O，A，B，C四點(diǎn)共面2.(2023學(xué)年福建省福安市第一中學(xué)高二下學(xué)期第三次月考)如圖所示，在平行六面體中，M為與的交點(diǎn)，若，，，則(

)A． B．C． D．3.(2023學(xué)年安徽省六安中學(xué)高二上學(xué)期期中)如圖，已知空間四邊形，其對(duì)角線為，分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，，若，則(

)A． B． C． D．4.(2023學(xué)年福建省福州市八縣(市)一中高二上學(xué)期期中)若是空間的一個(gè)基底，則下列各組中能構(gòu)成空間一個(gè)基底的是(

)A． B．C． D．5.(多選)(2023學(xué)年福建省福州市高二下學(xué)期期中)如圖，在平行六面體中，，，．若，，則(

)A． B．C．A，P，三點(diǎn)共線 D．A，P，M，D四點(diǎn)共面6.(多選)(2023學(xué)年上海市控江中學(xué)高二下學(xué)期期中)如圖，在四面體中，是的中點(diǎn)，設(shè)，，，請(qǐng)用??的線性組合表示___________.7.(2023學(xué)年河北省邯鄲市高二上學(xué)期期末)已知平行六面體的棱長(zhǎng)均為4，，E為棱的中點(diǎn)，則___________.8.(2023學(xué)年江蘇省徐州市王杰中學(xué)高二下學(xué)期3月階段性測(cè)試)如圖，在空間四邊形中，已知是線段的中點(diǎn)，在上，且．(1)試用，，表示向量；(2)若，，，，，求的值．【過關(guān)檢測(cè)】1.(2023學(xué)年江蘇省蘇州市昆山市七校高二上學(xué)期12月聯(lián)考)如圖，在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形．若，且，則的長(zhǎng)為(

)A． B． C． D．22.(2023學(xué)年廣東省佛山市南海區(qū)桂城中學(xué)高二下學(xué)期第二次段考)四面體中，，，，點(diǎn)在上，且，是的中點(diǎn)，則(

)A． B．C． D．3.(2023學(xué)年廣東省揭陽(yáng)市揭西縣高二上學(xué)期期末)若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是(

)A．，， B．，，C．，， D．，，4.(2023學(xué)年四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)高二下學(xué)期3月月考)已知MN是正方體內(nèi)切球的一條直徑，點(diǎn)Р在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，正方體的棱長(zhǎng)是2，則的取值范圍為(

)A． B． C． D．5.(多選)(2023學(xué)年江蘇省徐州市沛縣高二下學(xué)期第一次學(xué)情調(diào)研)若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是(

)A．，， B．，， C．，， D．，，6.(多選)(2023學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高二下學(xué)期期中)如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是1，且它們彼此的夾角都是60°，M為與的交點(diǎn)，若，則下列正確的是(

)A． B．C．的長(zhǎng)為 D．7．(多選)(2023學(xué)年浙江省金華市曙光學(xué)校高二上學(xué)期10月月考)已知點(diǎn)為三棱錐的底面所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且(，)，則，的值可能為(

)A．， B．， C．， D．，8.(2023學(xué)年陜西省寶雞市渭濱區(qū)高二上學(xué)期期末)已知向量，，不共線，點(diǎn)在平面內(nèi)，若存在實(shí)數(shù)，，，使得，那么的值為________.9.(2023學(xué)年河南省名校聯(lián)盟高二上學(xué)期期末)在平行六面體中，底面ABCD為正方形，，，，若，則___________.10.如圖所示，在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱AM的長(zhǎng)為3，且，N是CM的中點(diǎn)，設(shè)，，，用、、表示向量，并求BN的長(zhǎng)．第07講空間向量基本定理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解空間向量基本定理及其意義，2.掌握空間向量的正交分解【基礎(chǔ)知識(shí)】一、空間向量基本定理1.如果三個(gè)向量a,b,c不共面

,那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc

.我們把{a,b,c}叫做空間的一個(gè)基底

,a,b,c都叫做基向量

.空間任意三個(gè)不共面

的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底2.基向量的選擇和使用方法用已知向量表示未知向量時(shí),選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)幕卓梢允菇忸}過程簡(jiǎn)便易行,選擇和使用向

量應(yīng)注意:(1)所選向量必須不共面,可以利用共面向量定理或常見的幾何圖形的幾何性質(zhì)幫助判斷;(2)所選基向量與要表示的向量一般應(yīng)在同一封閉圖形內(nèi),能用基向量的線性運(yùn)算表示未知

向量;(3)盡可能選擇具有垂直關(guān)系的、從同一起點(diǎn)出發(fā)的三個(gè)向量作為基底.【解讀】3.用基底表示向量的步驟(1)定基底:根據(jù)已知條件,確定三個(gè)不共面的向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底.(2)找目標(biāo):用確定的基底(或已知基底)表示目標(biāo)向量,需要根據(jù)三角形法則或平行四邊形法則,結(jié)合相等向量的代換、向量的運(yùn)算進(jìn)行變形、化簡(jiǎn),最后求出結(jié)果.(3)下結(jié)論:利用空間向量的一個(gè)基底{a,b,c}可以表示出空間所有向量,即結(jié)果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量.二空間向量的正交分解如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量?jī)蓛纱怪?/p>

,且長(zhǎng)度都為1

,那么這個(gè)基底叫做單位正交基底,常用{i,j,k}表示.由空間向量基本定理可知,對(duì)空間中的任意向量a,均可以分解為三個(gè)向量xi,yj,zk,使a=xi+yj+zk.像這樣,把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量,叫做把空間向量進(jìn)行正交分解.【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：對(duì)平面向量基本定理的理解例1．(多選)(2023學(xué)年河北省邯鄲市高二上學(xué)期期末)已知，，是空間的一個(gè)基底，則下列說法中正確的是(

)A．若，則B．，，兩兩共面，但，，不共面C．一定存在實(shí)數(shù)x，y，使得D．，，一定能構(gòu)成空間的一個(gè)基底答案:ABD解析：∵，，是空間的一個(gè)基底，則，，不共面，且兩兩共面?不共線，∴若，則，A正確，B正確；若存在x，y使得，則，，共面，與已知矛盾，C錯(cuò)誤；設(shè)，則，此方程組無(wú)解，∴，，不共面，D正確.故選ABD.考點(diǎn)二：對(duì)基底的理解例2．設(shè)，，，且是空間的一個(gè)基底，給出下列向量組：①；②；③；④，則其中可以作為空間的基底的向量組有(

)A．1 B．2 C．3 D．4答案:C解析：如圖，作平行六面體，，，，則，，，，由平行六面體知，共面，不共面，不共面，不共面，因此可以作為空間的基底的有3組．故選C．考點(diǎn)三：選擇基底表示某一向量例3．(2023學(xué)年河南省鄭州市高二上學(xué)期期末)已知三棱錐O—ABC，點(diǎn)M，N分別為線段AB，OC的中點(diǎn)，且，，，用，，表示，則等于(

)A． B． C． D．答案:A解析：.故選A考點(diǎn)四：選擇基底求解向量的模或線段長(zhǎng)度例4．(2023學(xué)年江蘇省常州市金壇區(qū)高二下學(xué)期期中)如圖，在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，若，且，則的長(zhǎng)為(

)A． B． C． D．答案:C解析：由題意得，，因?yàn)?所以，所以，故選C考點(diǎn)五：選擇基底求解角度問題例6．(2023學(xué)年重慶市四川外語(yǔ)學(xué)院高二上學(xué)期10月月考)二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)、，線段與分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且垂直于棱，若，，，，則平面與平面的夾角為_________.答案:解析：設(shè)平面與平面的夾角為，因?yàn)椋?，所以，由題意得，所以所以，所以，所以，即平面與平面的夾角為.考點(diǎn)六：選擇基底求解數(shù)量積問題例7．(2023學(xué)年江蘇省南通市海安市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二下學(xué)期期中)已知四面體，所有棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點(diǎn)，則(

)A．1 B．2 C．-1 D．-2答案:D解析：四面體的所有棱長(zhǎng)均為2，則向量不共面，兩兩夾角都為，則，因點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點(diǎn)，則，，，所以.故選D【真題演練】1.(2023學(xué)年四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)高二下學(xué)期期中)已知O，A，B，C為空間四點(diǎn)，且向量，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則一定有(

)A．，，共線 B．O，A，B，C中至少有三點(diǎn)共線C．與共線 D．O，A，B，C四點(diǎn)共面答案:D解析：由于向量，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底知，，共面，所以O(shè)，A，B，C四點(diǎn)共面，故選D2.(2023學(xué)年福建省福安市第一中學(xué)高二下學(xué)期第三次月考)如圖所示，在平行六面體中，M為與的交點(diǎn)，若，，，則(

)A． B．C． D．答案:D解析：由題意得，.故選D3.(2023學(xué)年安徽省六安中學(xué)高二上學(xué)期期中)如圖，已知空間四邊形，其對(duì)角線為，分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，，若，則(

)A． B． C． D．答案:C解析：由題意，又，所以，．故選C．4.(2023學(xué)年福建省福州市八縣(市)一中高二上學(xué)期期中)若是空間的一個(gè)基底，則下列各組中能構(gòu)成空間一個(gè)基底的是(

)A． B．C． D．答案:ABD解析：由于不共面,可A,B,D中三個(gè)向量也不共面,可以作為一組基向量.對(duì)于C,有，故這三個(gè)向量是共面的,不能構(gòu)成基底.故選ABD5.(多選)(2023學(xué)年福建省福州市高二下學(xué)期期中)如圖，在平行六面體中，，，．若，，則(

)A． B．C．A，P，三點(diǎn)共線 D．A，P，M，D四點(diǎn)共面答案:BD解析：，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.，B選項(xiàng)正確.則是的中點(diǎn)，，，則不存在實(shí)數(shù)使，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.，由于直線，所以四點(diǎn)共面，所以D選項(xiàng)正確.故選BD6.(多選)(2023學(xué)年上海市控江中學(xué)高二下學(xué)期期中)如圖，在四面體中，是的中點(diǎn)，設(shè)，，，請(qǐng)用??的線性組合表示___________.答案:解析：在中，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以.7.(2023學(xué)年河北省邯鄲市高二上學(xué)期期末)已知平行六面體的棱長(zhǎng)均為4，，E為棱的中點(diǎn)，則___________.答案:6解析：設(shè)，，，則，∴，∴.8.(2023學(xué)年江蘇省徐州市王杰中學(xué)高二下學(xué)期3月階段性測(cè)試)如圖，在空間四邊形中，已知是線段的中點(diǎn)，在上，且．(1)試用，，表示向量；(2)若，，，，，求的值．解析：(1)解：，，又(2)解：由(1)可得知【過關(guān)檢測(cè)】1.(2023學(xué)年江蘇省蘇州市昆山市七校高二上學(xué)期12月聯(lián)考)如圖，在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形．若，且，則的長(zhǎng)為(

)A． B． C． D．2答案:A解析：，故，故，故選A2.(2023學(xué)年廣東省佛山市南海區(qū)桂城中學(xué)高二下學(xué)期第二次段考)四面體中，，，，點(diǎn)在上，且，是的中點(diǎn)，則(

)A． B．C． D．答案:D解析：由已知，所以，，故選D.3.(2023學(xué)年廣東省揭陽(yáng)市揭西縣高二上學(xué)期期末)若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是(

)A．，， B．，，C．，， D．，，答案:B解析：對(duì)于A：，因此A不滿足題意；對(duì)于B：根據(jù)題意知道，，不共面，而和顯然位于向量和向量所成平面內(nèi)，與向量不共面，因此B正確；對(duì)于C：，故C不滿足題意；對(duì)于D：顯然有，選項(xiàng)D不滿足題意．故選B4.(2023學(xué)年四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)高二下學(xué)期3月月考)已知MN是正方體內(nèi)切球的一條直徑，點(diǎn)Р在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，正方體的棱長(zhǎng)是2，則的取值范圍為(

)A． B． C． D．答案:B解析：設(shè)正方體內(nèi)切球的球心為，則,,因?yàn)镸N是正方體內(nèi)切球的一條直徑，所以，，所以，又點(diǎn)Р在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)為正方體頂點(diǎn)時(shí)，最大，且最大值為；當(dāng)為內(nèi)切球與正方體的切點(diǎn)時(shí)，最小，且最小為；所以，所以的取值范圍為，故選B5.(多選)(2023學(xué)年江蘇省徐州市沛縣高二下學(xué)期第一次學(xué)情調(diào)研)若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是(

)A．，， B．，， C．，， D．，，答案:ABD解析：對(duì)于A，因?yàn)?，故，，共面；?duì)于B，因?yàn)椋?，，共面；?duì)于D，因?yàn)?，故，，共面；?duì)于C，若，，共面，則存在實(shí)數(shù)，使得：，，故共面，這與構(gòu)成空間的一