新教材高中數(shù)學(xué)11-3-1平行直線與異面直線課件新人教B版必修第四冊(cè)

11.3空間中的平行關(guān)系11.3.1平行直線與異面直線基礎(chǔ)預(yù)習(xí)初探1.在同一平面內(nèi),兩條直線有幾種位置關(guān)系?2.觀察如圖正方體ABCD-A1B1C1D1,回答下面的問題:(1)圖中∠C1A1B1和∠CAB有什么關(guān)系?(2)圖中A1C1∥AC,則“直線A1C1與直線BC1所成的角”與“直線AC與直線BC1所成的角”是否相等?繼續(xù)探究:1.空間中,沒有公共點(diǎn)的兩條直線一定平行嗎?提示:不一定,在平面內(nèi)沒有公共點(diǎn)的兩條直線平行,在空間沒有公共點(diǎn)的兩條直線可能平行,也可能異面.2.如圖長(zhǎng)方體,觀察圖中的直線,你能得出哪些位置關(guān)系?

提示:(1)平行關(guān)系:圖中AD與BC,BC與B1C1等所在直線是平行關(guān)系.(2)相交關(guān)系:圖中AB與BC,A1B與BC等所在直線是相交關(guān)系.(3)異面關(guān)系:圖中AA1與BC所在直線,它們既不相交也不平行,是異面關(guān)系.【概念生成】1.平行直線(1)過直線外一點(diǎn)_____________直線與已知直線平行;(2)平行直線的傳遞性:平行于同一條直線的兩條直線_________.這一性質(zhì)叫做空間平行線的_______.符號(hào)表述:

?b∥c.(3)等角定理如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別_________,并且方向_____,那么這兩個(gè)角_____.有且只有一條互相平行傳遞性對(duì)應(yīng)平行相同相等2.異面直線(1)畫法:如圖,為了表示異面直線a,b不共面的特點(diǎn),作圖時(shí),通常用一個(gè)或兩個(gè)平面襯托.

(2)判定:與一個(gè)平面相交于一點(diǎn)的直線與這個(gè)平面內(nèi)___________的直線異面.不經(jīng)過交點(diǎn)3.空間四邊形順次連接_______的4點(diǎn)所構(gòu)成的圖形,稱為空間四邊形.其中4個(gè)點(diǎn)都是空間四邊形的_____;連接相鄰頂點(diǎn)間的線段稱為空間四邊形的___;連接不相鄰頂點(diǎn)間的線段稱為空間四邊形的_______.空間四邊形用表示頂點(diǎn)的4個(gè)字母表示.不共面頂點(diǎn)對(duì)角線邊核心互動(dòng)探究探究點(diǎn)一等角定理的應(yīng)用【典例1】如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分別是棱AD和A1D1的中點(diǎn).求證:(1)四邊形BB1M1M為平行四邊形;(2)∠BMC=∠B1M1C1.核心互動(dòng)探究探究點(diǎn)一等角定理的應(yīng)用【典例1】如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分別是棱AD和A1D1的中點(diǎn).求證:(1)四邊形BB1M1M為平行四邊形;(2)∠BMC=∠B1M1C1.【思維導(dǎo)引】(1)欲證四邊形BB1M1M是平行四邊形,可證其一組對(duì)邊平行且相等;(2)可結(jié)合(1)利用等角定理證明或利用三角形全等證明.【證明】(1)因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1為正方體.所以AD=A1D1,且AD∥A1D1,又M,M1分別為棱AD,A1D1的中點(diǎn),所以AM=A1M1且AM∥A1M1,所以四邊形AMM1A1為平行四邊形,所以MM1=AA1且MM1∥AA1.又AA1=BB1且AA1∥BB1,所以MM1=BB1且MM1∥BB1,所以四邊形BB1M1M為平行四邊形;(2)方法一:由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形,所以B1M1∥BM.同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形,所以C1M1∥CM.因?yàn)椤螧MC和∠B1M1C1方向相同,所以∠BMC=∠B1M1C1.方法二:由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形,所以B1M1=BM.同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形,所以C1M1=CM.又因?yàn)锽1C1=BC,所以△BCM≌△B1C1M1,所以∠BMC=∠B1M1C1.【類題通法】平行線的傳遞性的應(yīng)用1.空間兩條直線平行的證明一是定義法:即證明兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi)且兩直線沒有公共點(diǎn);二是利用平面圖形的有關(guān)平行的性質(zhì),如三角形中位線,梯形,平行四邊形等關(guān)于平行的性質(zhì);三是利用平行線的傳遞性,找到一條直線,使所證的直線都與這條直線平行.2.求證角相等一是用等角定理;二是用平面幾何知識(shí).【類題通法】平行線的傳遞性的應(yīng)用1.空間兩條直線平行的證明一是定義法:即證明兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi)且兩直線沒有公共點(diǎn);二是利用平面圖形的有關(guān)平行的性質(zhì),如三角形中位線,梯形,平行四邊形等關(guān)于平行的性質(zhì);三是利用平行線的傳遞性,找到一條直線,使所證的直線都與這條直線平行.2.求證角相等一是用等角定理;二是用平面幾何知識(shí).【定向訓(xùn)練】如圖所示,已知E,F,G,H分別是空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn):(1)求證:E,F,G,H四點(diǎn)共面;(2)若四邊形EFGH是矩形,求證:AC⊥BD.【解析】(1)在△ABD中,因?yàn)镋,H分別是AB,AD的中點(diǎn),所以EH∥BD.同理FG∥BD,則EH∥FG.故E,F,G,H四點(diǎn)共面;(2)由(1)知EH∥BD,同理AC∥GH.又因?yàn)樗倪呅蜤FGH是矩形,所以EH⊥GH.故AC⊥BD.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是棱CD,AD的中點(diǎn).求證:(1)四邊形MNA1C1是梯形;(2)∠DNM=∠D1A1C1.【證明】(1)如圖,連接AC,在△ACD中,因?yàn)镸,N分別是CD,AD的中點(diǎn),所以MN是△ACD的中位線,所以MN∥AC,MN=AC,由正方體的性質(zhì)得AC∥A1C1,AC=A1C1.所以MN∥A1C1,且MN=A1C1,即MN≠A1C1,所以四邊形MNA1C1是梯形.(2)由(1)可知MN∥A1C1,又因?yàn)镹D∥A1D1,所以∠DNM與∠D1A1C1相等或互補(bǔ).而∠DNM與∠D1A1C1均是直角三角形的一個(gè)銳角,所以∠DNM=∠D1A1C1.探究點(diǎn)二空間直線位置關(guān)系的判定【典例2】(1)在正方體ABCD

A1B1C1D1中,棱所在直線與直線BA1是異面直線的條數(shù)為 (

)

A.4 B.5C.6 D.7(2)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中點(diǎn),則下列敘述正確的是 (

)A.CC1與B1E是異面直線B.CC1與AE是共面直線C.AE與B1C1是異面直線D.AE與BB1是共面直線【思維導(dǎo)引】(1)根據(jù)異面直線的定義判斷.(2)根據(jù)異面直線的判定方法判斷.【解析】(1)選C.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中與BA1所在直線是異面直線的有DC,DA,D1C1,B1C1,DD1,CC1,共6條.(2)選C.由于CC1與B1E均在平面BCC1B1內(nèi),不是異面直線;CC1∩平面ABC=C,AE?平面ABC,點(diǎn)C不在直線AE上,所以CC1和AE是異面直線,同理BB1與AE是異面直線,AE∩平面BCC1B1=E,B1C1?平面BCC1B1,點(diǎn)E不在直線B1C1上,則AE與B1C1是異面直線.【類題通法】判斷空間中兩條直線位置關(guān)系的訣竅(1)建立空間觀念,全面考慮兩條直線平行、相交和異面三種位置關(guān)系.特別關(guān)注異面直線.(2)重視正方體等常見幾何體模型的應(yīng)用,會(huì)舉例說明兩條直線的位置關(guān)系.【定向訓(xùn)練】在四棱錐P-ABCD中,各棱所在的直線互相異面的有________對(duì).

【解析】以底邊所在直線為準(zhǔn)進(jìn)行考查,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平面圖形,4條邊在同一平面內(nèi),不可能組成異面直線,而每一邊所在直線能與2條側(cè)棱組成2對(duì)異面直線,所以共有4×2=8對(duì)異面直線.答案:8【補(bǔ)償訓(xùn)練】某正方體的平面展開圖如圖所示,則在這個(gè)正方體中 (

)A.NC與DE相交B.CM與ED平行C.AF與CN平行 D.AF與CM異面【解析】選B.根據(jù)題意得到正方體如圖所示:

對(duì)于A,NC與DE是異面直線,故不相交;對(duì)于B,CM與ED平行,由立體圖知是正確的;對(duì)于C,AF與CN不同在任何一個(gè)平面內(nèi),故不正確;對(duì)于D,AF與CM是相交的.探究點(diǎn)三空間四邊形的認(rèn)識(shí)【典例3】如圖,設(shè)E,F,G,H分別是四面體A-BCD的棱AB,BC,CD,DA上的點(diǎn),且

,求證:(1)當(dāng)λ=μ時(shí),四邊形EFGH是平行四邊形;(2)當(dāng)λ≠μ時(shí),四邊形EFGH是梯形.【思維導(dǎo)引】空間四邊形各邊中點(diǎn)連線構(gòu)成平行四邊形是空間四邊形的一個(gè)重要性質(zhì),這樣就可以利用平行四邊形性質(zhì)解決相關(guān)問題,因而先利用三角形中位線證明有關(guān)線段平行.【證明】(1)因?yàn)?λ,所以EH∥BD,所以=λ,同理GF∥BD,=μ,又因?yàn)棣?μ,所以EH=GF,所以EH

GF,所以四邊形EFGH是平行四邊形.(2)由(1)知EH∥GF,又因?yàn)棣恕佴?所以EH≠GF.所以四邊形EFGH是梯形.【類題通法】空間四邊形中的平行關(guān)系因空間圖形往往包含平面圖形,在解題時(shí)容易混淆,所以把相似的概念辨析一下,區(qū)分異同,解題時(shí)才不出錯(cuò),如本例中明確給出了“空間四邊形ABCD”,不包含平面四邊形,說明“A,B,C,D四點(diǎn)必不共面”,不能因直觀圖中AD與BC看似平行的關(guān)系認(rèn)為它們是平行的.【定向訓(xùn)練】已知四邊形ABCD是空間四邊形,E,H分別是邊AB,AD的中點(diǎn),F,G分別是邊CB,CD上的點(diǎn),且

求證:FE和GH的交點(diǎn)在直線AC上.【證明】連接BD,因?yàn)镋,H分別是邊AB,AD的中點(diǎn),所以EH∥BD.又因?yàn)?所以FG∥BD.因此EH∥FG,且EH≠FG,故四邊形EFGH是梯形;所以EF,HG相交,設(shè)EF∩HG=K.因?yàn)镵∈EF,EF?平面ABC,所以K∈平面ABC,同理K∈平面ACD.又平面ABC∩平面ACD=AC,所以K∈AC,故FE和GH的交點(diǎn)在直線AC上.【課堂小結(jié)】課堂素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,與AA1異面的棱是 (

)

A.AB B.BB1 C.DD1 D.B1C1【解析】選D.AA1∥BB1,AA1∥DD1,AA1∩AB=A,AA1與B1C1是異面直線.2.一條直線與兩條異面直線中的一條平行,則它和另一條的位置關(guān)系是 (

)A.平行或異面 B.相交或異面C.異面 D.相交【解析】選B.假設(shè)a與b是異面直線,而c∥a,則c顯然與b不平行(否則c∥b,則有a∥b,與a,b是異面直線矛盾),因此c與b可能相交或異面.3.已知直線a∥直線b,直線b∥直線c,直線c∥直線d,則a與d的位置關(guān)系是 (

)A.平行 B.相交 C.異面 D.不確定【解析】選A.因?yàn)閍∥b,b∥c,所以a∥c.又c∥d,所以a∥d.4.兩條直線a,b分別和異面直線c,d都相交,則直線a,b的位置關(guān)系是 (

)A.平行 B.相交C.異面 D.異面或相交【解析】選D.已知直線c與d是異面直線,直線a,b分別與直線c,d相交于點(diǎn)A,B,C,D,

根據(jù)題意可得,當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)(或當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C重合時(shí)),兩條直線相交,當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合且點(diǎn)A與點(diǎn)C不重合時(shí),兩條直線異面.Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個(gè)孩子在你的臂彎入睡,你會(huì)體會(huì)到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時(shí)候,一個(gè)人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時(shí)間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應(yīng)更堅(jiān)強(qiáng).勵(lì)志名言請(qǐng)您欣賞4.兩條直線a,b分別和異面直線c,d都相交,則直線a,b的位置關(guān)系是 (

)A.平行 B.相交C.異面 D.異面或相交2.一條直線與兩條異面