新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8-3-2圓柱圓錐圓臺(tái)球的表面積和體積素養(yǎng)課件新人教A版必修第二冊(cè)

8.3.2圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積【情境探究】1.觀察下面幾個(gè)幾何體的側(cè)面展開圖:必備知識(shí)生成(1)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖分別是什么圖形?提示:它們的側(cè)面展開圖分別為矩形、扇形、扇環(huán).(2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積與其側(cè)面展開圖的面積有何關(guān)系?提示:它們的側(cè)面積分別等于側(cè)面展開圖的平面圖形面積.2.底面半徑和高都是R的圓錐和圓柱的體積分別是什么?根據(jù)這些你猜想半球的體積是什么?提示:圓錐的體積V=πR3,圓柱的體積V=πR3,猜想半球的體積V=πR3.3.如圖,以“小球面片”為底,球心為頂點(diǎn)的“小錐體”近似地看成棱錐,那么這些小棱錐的底面和高近似地看成什么?它們的體積之和近似地等于多少?提示:小棱錐的底面可近似地看成小平面四邊形面,高近似地等于半徑,體積之和近似地等于球的體積.【知識(shí)生成】1.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積公式幾何體側(cè)面展開圖表面積公式圓柱

S圓柱=2πr(r+l),r為_________,l為_______圓錐

S圓錐=πr(r+l),r為_________,l為_______底面半徑母線長底面半徑母線長【知識(shí)生成】1.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積公式幾何體側(cè)面展開圖表面積公式圓柱

S圓柱=2πr(r+l),r為_________,l為_______圓錐

S圓錐=πr(r+l),r為_________,l為_______底面半徑母線長底面半徑母線長幾何體側(cè)面展開圖表面積公式圓臺(tái)

S圓臺(tái)=π(r′2+r2+r′l+rl),r′為___________,r為___________,l為_______上底面半徑下底面半徑母線長2.柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式其中S′,S分別表示上、下底面的面積,h表示高,r′和r分別表示上、下底面圓的半徑,R表示球的半徑.名稱體積(V)柱體棱柱___圓柱πr2h錐體棱錐____圓錐πr2h臺(tái)體棱臺(tái)__________圓臺(tái)_____________Sh3.球的表面積與體積公式(1)球的體積公式:V=_____(R為球的半徑).(2)球的表面積公式:S=_____(R為球的半徑).πR34πR2關(guān)鍵能力探究探究點(diǎn)一圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積和體積【典例1】(1)過圓錐的高的中點(diǎn)且與底面平行的截面把圓錐分成兩部分的體積之比是 (

)A.1∶1

B.1∶6

C.1∶7

D.1∶8(2)已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是2,6,且側(cè)面面積等于兩底面面積之和.①求圓臺(tái)的母線長.②求圓臺(tái)的表面積.【思維導(dǎo)引】利用軸截面中平行線分線段成比例求體積.關(guān)鍵能力探究探究點(diǎn)一圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積和體積【典例1】(1)過圓錐的高的中點(diǎn)且與底面平行的截面把圓錐分成兩部分的體積之比是 (

)A.1∶1

B.1∶6

C.1∶7

D.1∶8(2)已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是2,6,且側(cè)面面積等于兩底面面積之和.①求圓臺(tái)的母線長.②求圓臺(tái)的表面積.【思維導(dǎo)引】利用軸截面中平行線分線段成比例求體積.【解析】(1)選C.如圖,設(shè)圓錐底面半徑OB=R,高PO=h,因?yàn)镺′為PO中點(diǎn),所以PO′=,因?yàn)?=,所以O(shè)′A=,所以V圓錐PO′=π·

·=πR2h.V圓臺(tái)O′O=·

·=πR2h.所以=.(2)①設(shè)圓臺(tái)的母線長為l,則由題意得π(2+6)l=π×22+π×62,所以8πl(wèi)=40π,所以l=5,所以該圓臺(tái)的母線長為5.②由(1)可得圓臺(tái)的表面積為S=π×(2+6)×5+π·22+π×62=40π+4π+36π=80π.【類題通法】旋轉(zhuǎn)體的表面積與體積求法1.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的相關(guān)幾何量都集中體現(xiàn)在軸截面上,因此準(zhǔn)確把握軸截面中的相關(guān)量是求解旋轉(zhuǎn)體表面積的關(guān)鍵.2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面,計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展開為平面圖形計(jì)算,而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和.【定向訓(xùn)練】圓臺(tái)的母線長為8cm,母線與底面成60°角,軸截面的兩條對(duì)角線互相垂直,求圓臺(tái)的表面積.【解析】如圖所示的是圓臺(tái)的軸截面ABB1A1,其中∠A1AB=60°,過A1作A1H⊥AB于H,則O1O=A1H=A1A·sin60°=4(cm),AH=A1A·cos60°=4(cm).設(shè)O1A1=r1,OA=r2,則r2-r1=AH=4.①設(shè)A1B與AB1的交點(diǎn)為M,則A1M=B1M.又因?yàn)锳1B⊥AB1,所以∠A1MO1=∠B1MO1=45°.所以O(shè)1M=O1A1=r1.同理OM=OA=r2.所以O(shè)1O=O1M+OM=r1+r2=4,②由①②可得r1=2(-1),r2=2(+1).所以S表=π+π+π(r1+r2)l=32(1+)π(cm2).【補(bǔ)償訓(xùn)練】

1.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問:積及為米幾何?”其意為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個(gè)圓錐的四分之一),米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”若圓周率約為3,估算出堆放的米約有______立方尺.(

)

A. B. C. D.

【解析】選B.設(shè)米堆所在圓錐的底面半徑為r尺,則×2πr=8,解得:r=,所以米堆的體積為V=××πr2×5=≈(立方尺),所以堆放的米約有立方尺.2.在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,∠ABC=90°,把△ABC繞其斜邊AC所在的直線旋轉(zhuǎn)一周后,所形成的幾何體的體積是多少?【解析】由題意,所形成的幾何體為兩個(gè)圓錐的組合體,如圖所示,兩個(gè)圓錐的底面半徑為斜邊上的高BD,且BD==,兩個(gè)圓錐的高分別為AD和DC,所以V=V1+V2=πBD2·AD+πBD2·CD=πBD2·(AD+CD)=πBD2·AC=π××5=π.故所形成的幾何體的體積是π.探究點(diǎn)二球的表面積和體積【典例2】(1)(2020·全國Ⅰ卷)已知A,B,C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn),☉O1為△ABC的外接圓,若☉O1的面積為4π,AB=BC=AC=OO1,則球O的表面積為(

)A.64π B.48π C.36π D.32π(2)17世紀(jì)日本數(shù)學(xué)家們對(duì)于數(shù)學(xué)關(guān)于體積方法的問題還不了解,他們將體積公式“V=kD3”中的常數(shù)k稱為“立圓術(shù)”或“玉積率”,創(chuàng)用了求“玉積率”的獨(dú)特方法“會(huì)玉術(shù)”,其中,D為直徑,類似地,對(duì)于等邊圓柱(軸截面是正方形的圓柱叫做等邊圓柱)、正方體也有類似的體積公式V=kD3,其中,在等邊圓柱中,D表示底面圓的直徑;在正方體中,D表示棱長.假設(shè)運(yùn)用此“會(huì)玉術(shù)”求得的球、等邊圓柱、正方體的“玉積率”分別為k1,k2,k3,那么,k1∶k2∶k3=(

)A.∶∶1 B.∶∶2C.1∶3∶ D.1∶∶【思維導(dǎo)引】由已知可得等邊△ABC的外接圓半徑,進(jìn)而求出其邊長,得出OO1的值,根據(jù)球截面性質(zhì),求出球的半徑,即可得出結(jié)論.(2)根據(jù)球、等邊圓柱、正方體的體積公式分別求出k1,k2,k3的值,即得結(jié)論.【解析】(1)選A.設(shè)圓O1的半徑為r,球的半徑為R,依題意,得πr2=4π,所以r=2,由正弦定理可得AB=2rsin60°=2,所以O(shè)O1=AB=2,根據(jù)球截面性質(zhì)得OO1⊥平面ABC,所以O(shè)O1⊥O1A,R=OA=所以球O的表面積S=4πR2=64π.(2)選D.球中,V=πR3=π=D3=k1D3,所以k1=;等邊圓柱中,V=π·D=D3=k2D3,所以k2=;正方體中,V=D3=k3D3,所以k3=1;所以k1∶k2∶k3=∶∶1=1∶∶.【類題通法】求球的體積與表面積的策略(1)計(jì)算球的體積或表面積,必須知道半徑R或者通過條件能求出半徑R,然后代入體積或表面積公式求解.(2)球的截面特點(diǎn)①當(dāng)截面過球心時(shí),截面圓的半徑即為球的半徑;②球心與截面圓圓心的連線垂直于截面;③若球的半徑為R,截面圓的半徑為r,則球心到截面的距離為d=.【定向訓(xùn)練】1.把一個(gè)鐵制的底面半徑為r,高為h的實(shí)心圓錐熔化后鑄成一個(gè)鐵球,則這個(gè)鐵球的半徑為 (

)A. B. C. D.【解析】選C.因?yàn)棣衦2h=πR3,所以R=.2.已知半徑為5的球的兩個(gè)平行截面圓的周長分別為6π和8π,則這兩個(gè)截面間的距離為________.

【解析】若兩個(gè)平行截面在球心同側(cè),如圖①,則兩個(gè)截面間的距離為

=1;若兩個(gè)平行截面在球心異側(cè),如圖②,則兩個(gè)截面間的距離為+=7.

答案:1或7探究點(diǎn)三常見幾何體與球的切、接問題【典例3】(1)已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上,若這個(gè)正方體的表面積為18,則這個(gè)球的體積為________.

(2)如圖,在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1,球O的體積為V2,則的值是__________.

【思維導(dǎo)引】(1)正方體的體對(duì)角線的長即為外接球的直徑.(2)根據(jù)球的直徑等于圓柱的高和圓柱的底面直徑求解.

【解析】(1)設(shè)正方體棱長為a,則6a2=18?a2=3,外接球直徑為2R=a=3,V=πR3=π×=π.答案:

(2)設(shè)球半徑為r,則=.答案:【類題通法】常見的幾何體與球的切、接問題的解決策略(1)解決球與幾何體的切、接問題的關(guān)鍵是根據(jù)“切點(diǎn)”和“接點(diǎn)”,作出軸截面圖,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來計(jì)算.(2)具體作法①內(nèi)切球問題:找過切點(diǎn)和球心的截面.②外接球問題:由球心和幾何體頂點(diǎn)抽象得出新幾何體或過球心作截面.【定向訓(xùn)練】1.一球與棱長為2的正方體的各個(gè)面相切,則該球的體積為______.

【解析】由題意可知球是正方體的內(nèi)切球,因此球的半徑為1,其體積為π.答案:π2.在半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體,試求這個(gè)半球的體積與正方體的體積之比.

【解析】方法一:作正方體對(duì)角面的截面,如圖所示,設(shè)半球的半徑為R,正方體的棱長為a,則CC′=a,OC=.在Rt△C′CO中,由勾股定理得CC′2+OC2=OC′2,即a2+=R2,所以R=a.從而V半球=×R3=×=a3.又V正方體=a3,因此V半球∶V正方體=a3∶a3=π∶2.方法二:將半球補(bǔ)成整個(gè)的球,同時(shí)把原半球的內(nèi)接正方體再補(bǔ)接一個(gè)同樣的正方體,構(gòu)成的長方體剛好是這個(gè)球的內(nèi)接長方體,則這個(gè)長方體的體對(duì)角線便是它的外接球的直徑.設(shè)原正方體棱長為a,球的半徑為R,則根據(jù)長方體的對(duì)角線性質(zhì),得(2R)2=a2+a2+(2a)2,即4R2=6a2,所以R=a.從而V半球=×R3=×=a3.又V正方體=a3,因此V半球∶V正方體=a3∶a3=π∶2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積核心知識(shí)方法總結(jié)易錯(cuò)提醒核心素養(yǎng)求圓錐的表面積應(yīng)注意側(cè)面展開圖，底面圓的周長是展開圖的弧長．圓臺(tái)通常還要還原為圓錐．1.數(shù)學(xué)抽象：圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積與體積公式；2.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求旋轉(zhuǎn)體及組合體的表面積或體積；3.數(shù)學(xué)建模：運(yùn)用圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積公式進(jìn)行計(jì)算和解決有關(guān)實(shí)際問題.1.圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的體積。(1)公式法(2)等積法(3)補(bǔ)體法(4)分割法求幾何體體積的常用方法課堂素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.一個(gè)圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形,則這個(gè)圓柱的表面積與側(cè)面積的比是(

)

A. B. C. D.【解析】選A.設(shè)底面圓半徑為r,母線長為h,所以h=2πr,則====.2.圓錐的母線長為5,底面半徑為3,則其體積為 (

)A.15π B.30 C.12π D.36π【解析】選C.圓錐的高h(yuǎn)==4,故V=π×32×4=12π.3.將邊長為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周,所得幾何體的側(cè)面積是 (

)A.4π B.3π C.2π D.π【解析】選C.所得旋轉(zhuǎn)體為圓柱,圓柱的底面圓半徑為1,高為1,側(cè)面積S=2πrh=2π×1×1=2π.4.已知兩個(gè)球的半徑之比為1∶2,則這兩個(gè)球的表面積之比為 (

)A.1∶2 B.1∶4 C.1∶6 D.1∶8【解析】選B.====.5.半徑為2的半圓卷成一個(gè)圓錐,則它的體積為________.

【解析】由題意可知該圓錐的側(cè)面展開圖為半圓,如圖所示,設(shè)圓錐底面半徑為r,高為h,則所以所以它的體積為×π×12×=π.答案:πThebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個(gè)孩子在你的臂彎入睡,你會(huì)體會(huì)到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)