新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8-3-2圓柱圓錐圓臺球的表面積和體積素養(yǎng)課件新人教A版必修第二冊

8.3.2圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積【情境探究】1.觀察下面幾個幾何體的側(cè)面展開圖:必備知識生成(1)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖分別是什么圖形?提示:它們的側(cè)面展開圖分別為矩形、扇形、扇環(huán).(2)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積與其側(cè)面展開圖的面積有何關(guān)系?提示:它們的側(cè)面積分別等于側(cè)面展開圖的平面圖形面積.2.底面半徑和高都是R的圓錐和圓柱的體積分別是什么?根據(jù)這些你猜想半球的體積是什么?提示:圓錐的體積V=πR3,圓柱的體積V=πR3,猜想半球的體積V=πR3.3.如圖,以“小球面片”為底,球心為頂點的“小錐體”近似地看成棱錐,那么這些小棱錐的底面和高近似地看成什么?它們的體積之和近似地等于多少?提示:小棱錐的底面可近似地看成小平面四邊形面,高近似地等于半徑,體積之和近似地等于球的體積.【知識生成】1.圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式幾何體側(cè)面展開圖表面積公式圓柱

S圓柱=2πr(r+l),r為_________,l為_______圓錐

S圓錐=πr(r+l),r為_________,l為_______底面半徑母線長底面半徑母線長【知識生成】1.圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式幾何體側(cè)面展開圖表面積公式圓柱

S圓柱=2πr(r+l),r為_________,l為_______圓錐

S圓錐=πr(r+l),r為_________,l為_______底面半徑母線長底面半徑母線長幾何體側(cè)面展開圖表面積公式圓臺

S圓臺=π(r′2+r2+r′l+rl),r′為___________,r為___________,l為_______上底面半徑下底面半徑母線長2.柱體、錐體、臺體的體積公式其中S′,S分別表示上、下底面的面積,h表示高,r′和r分別表示上、下底面圓的半徑,R表示球的半徑.名稱體積(V)柱體棱柱___圓柱πr2h錐體棱錐____圓錐πr2h臺體棱臺__________圓臺_____________Sh3.球的表面積與體積公式(1)球的體積公式:V=_____(R為球的半徑).(2)球的表面積公式:S=_____(R為球的半徑).πR34πR2關(guān)鍵能力探究探究點一圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積【典例1】(1)過圓錐的高的中點且與底面平行的截面把圓錐分成兩部分的體積之比是 (

)A.1∶1

B.1∶6

C.1∶7

D.1∶8(2)已知圓臺的上、下底面半徑分別是2,6,且側(cè)面面積等于兩底面面積之和.①求圓臺的母線長.②求圓臺的表面積.【思維導(dǎo)引】利用軸截面中平行線分線段成比例求體積.關(guān)鍵能力探究探究點一圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積【典例1】(1)過圓錐的高的中點且與底面平行的截面把圓錐分成兩部分的體積之比是 (

)A.1∶1

B.1∶6

C.1∶7

D.1∶8(2)已知圓臺的上、下底面半徑分別是2,6,且側(cè)面面積等于兩底面面積之和.①求圓臺的母線長.②求圓臺的表面積.【思維導(dǎo)引】利用軸截面中平行線分線段成比例求體積.【解析】(1)選C.如圖,設(shè)圓錐底面半徑OB=R,高PO=h,因為O′為PO中點,所以PO′=,因為==,所以O(shè)′A=,所以V圓錐PO′=π·

·=πR2h.V圓臺O′O=·

·=πR2h.所以=.(2)①設(shè)圓臺的母線長為l,則由題意得π(2+6)l=π×22+π×62,所以8πl(wèi)=40π,所以l=5,所以該圓臺的母線長為5.②由(1)可得圓臺的表面積為S=π×(2+6)×5+π·22+π×62=40π+4π+36π=80π.【類題通法】旋轉(zhuǎn)體的表面積與體積求法1.圓柱、圓錐、圓臺的相關(guān)幾何量都集中體現(xiàn)在軸截面上,因此準(zhǔn)確把握軸截面中的相關(guān)量是求解旋轉(zhuǎn)體表面積的關(guān)鍵.2.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面,計算側(cè)面積時需要將這個曲面展開為平面圖形計算,而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和.【定向訓(xùn)練】圓臺的母線長為8cm,母線與底面成60°角,軸截面的兩條對角線互相垂直,求圓臺的表面積.【解析】如圖所示的是圓臺的軸截面ABB1A1,其中∠A1AB=60°,過A1作A1H⊥AB于H,則O1O=A1H=A1A·sin60°=4(cm),AH=A1A·cos60°=4(cm).設(shè)O1A1=r1,OA=r2,則r2-r1=AH=4.①設(shè)A1B與AB1的交點為M,則A1M=B1M.又因為A1B⊥AB1,所以∠A1MO1=∠B1MO1=45°.所以O(shè)1M=O1A1=r1.同理OM=OA=r2.所以O(shè)1O=O1M+OM=r1+r2=4,②由①②可得r1=2(-1),r2=2(+1).所以S表=π+π+π(r1+r2)l=32(1+)π(cm2).【補(bǔ)償訓(xùn)練】

1.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問:積及為米幾何?”其意為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個圓錐的四分之一),米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”若圓周率約為3,估算出堆放的米約有______立方尺.(

)

A. B. C. D.

【解析】選B.設(shè)米堆所在圓錐的底面半徑為r尺,則×2πr=8,解得:r=,所以米堆的體積為V=××πr2×5=≈(立方尺),所以堆放的米約有立方尺.2.在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,∠ABC=90°,把△ABC繞其斜邊AC所在的直線旋轉(zhuǎn)一周后,所形成的幾何體的體積是多少?【解析】由題意,所形成的幾何體為兩個圓錐的組合體,如圖所示,兩個圓錐的底面半徑為斜邊上的高BD,且BD==,兩個圓錐的高分別為AD和DC,所以V=V1+V2=πBD2·AD+πBD2·CD=πBD2·(AD+CD)=πBD2·AC=π××5=π.故所形成的幾何體的體積是π.探究點二球的表面積和體積【典例2】(1)(2020·全國Ⅰ卷)已知A,B,C為球O的球面上的三個點,☉O1為△ABC的外接圓,若☉O1的面積為4π,AB=BC=AC=OO1,則球O的表面積為(

)A.64π B.48π C.36π D.32π(2)17世紀(jì)日本數(shù)學(xué)家們對于數(shù)學(xué)關(guān)于體積方法的問題還不了解,他們將體積公式“V=kD3”中的常數(shù)k稱為“立圓術(shù)”或“玉積率”,創(chuàng)用了求“玉積率”的獨(dú)特方法“會玉術(shù)”,其中,D為直徑,類似地,對于等邊圓柱(軸截面是正方形的圓柱叫做等邊圓柱)、正方體也有類似的體積公式V=kD3,其中,在等邊圓柱中,D表示底面圓的直徑;在正方體中,D表示棱長.假設(shè)運(yùn)用此“會玉術(shù)”求得的球、等邊圓柱、正方體的“玉積率”分別為k1,k2,k3,那么,k1∶k2∶k3=(

)A.∶∶1 B.∶∶2C.1∶3∶ D.1∶∶【思維導(dǎo)引】由已知可得等邊△ABC的外接圓半徑,進(jìn)而求出其邊長,得出OO1的值,根據(jù)球截面性質(zhì),求出球的半徑,即可得出結(jié)論.(2)根據(jù)球、等邊圓柱、正方體的體積公式分別求出k1,k2,k3的值,即得結(jié)論.【解析】(1)選A.設(shè)圓O1的半徑為r,球的半徑為R,依題意,得πr2=4π,所以r=2,由正弦定理可得AB=2rsin60°=2,所以O(shè)O1=AB=2,根據(jù)球截面性質(zhì)得OO1⊥平面ABC,所以O(shè)O1⊥O1A,R=OA=所以球O的表面積S=4πR2=64π.(2)選D.球中,V=πR3=π=D3=k1D3,所以k1=;等邊圓柱中,V=π·D=D3=k2D3,所以k2=;正方體中,V=D3=k3D3,所以k3=1;所以k1∶k2∶k3=∶∶1=1∶∶.【類題通法】求球的體積與表面積的策略(1)計算球的體積或表面積,必須知道半徑R或者通過條件能求出半徑R,然后代入體積或表面積公式求解.(2)球的截面特點①當(dāng)截面過球心時,截面圓的半徑即為球的半徑;②球心與截面圓圓心的連線垂直于截面;③若球的半徑為R,截面圓的半徑為r,則球心到截面的距離為d=.【定向訓(xùn)練】1.把一個鐵制的底面半徑為r,高為h的實心圓錐熔化后鑄成一個鐵球,則這個鐵球的半徑為 (

)A. B. C. D.【解析】選C.因為πr2h=πR3,所以R=.2.已知半徑為5的球的兩個平行截面圓的周長分別為6π和8π,則這兩個截面間的距離為________.

【解析】若兩個平行截面在球心同側(cè),如圖①,則兩個截面間的距離為

=1;若兩個平行截面在球心異側(cè),如圖②,則兩個截面間的距離為+=7.

答案:1或7探究點三常見幾何體與球的切、接問題【典例3】(1)已知一個正方體的所有頂點在一個球面上,若這個正方體的表面積為18,則這個球的體積為________.

(2)如圖,在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1,球O的體積為V2,則的值是__________.

【思維導(dǎo)引】(1)正方體的體對角線的長即為外接球的直徑.(2)根據(jù)球的直徑等于圓柱的高和圓柱的底面直徑求解.

【解析】(1)設(shè)正方體棱長為a,則6a2=18?a2=3,外接球直徑為2R=a=3,V=πR3=π×=π.答案:

(2)設(shè)球半徑為r,則=.答案:【類題通法】常見的幾何體與球的切、接問題的解決策略(1)解決球與幾何體的切、接問題的關(guān)鍵是根據(jù)“切點”和“接點”,作出軸截面圖,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來計算.(2)具體作法①內(nèi)切球問題:找過切點和球心的截面.②外接球問題:由球心和幾何體頂點抽象得出新幾何體或過球心作截面.【定向訓(xùn)練】1.一球與棱長為2的正方體的各個面相切,則該球的體積為______.

【解析】由題意可知球是正方體的內(nèi)切球,因此球的半徑為1,其體積為π.答案:π2.在半球內(nèi)有一個內(nèi)接正方體,試求這個半球的體積與正方體的體積之比.

【解析】方法一:作正方體對角面的截面,如圖所示,設(shè)半球的半徑為R,正方體的棱長為a,則CC′=a,OC=.在Rt△C′CO中,由勾股定理得CC′2+OC2=OC′2,即a2+=R2,所以R=a.從而V半球=×R3=×=a3.又V正方體=a3,因此V半球∶V正方體=a3∶a3=π∶2.方法二:將半球補(bǔ)成整個的球,同時把原半球的內(nèi)接正方體再補(bǔ)接一個同樣的正方體,構(gòu)成的長方體剛好是這個球的內(nèi)接長方體,則這個長方體的體對角線便是它的外接球的直徑.設(shè)原正方體棱長為a,球的半徑為R,則根據(jù)長方體的對角線性質(zhì),得(2R)2=a2+a2+(2a)2,即4R2=6a2,所以R=a.從而V半球=×R3=×=a3.又V正方體=a3,因此V半球∶V正方體=a3∶a3=π∶2.圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積核心知識方法總結(jié)易錯提醒核心素養(yǎng)求圓錐的表面積應(yīng)注意側(cè)面展開圖，底面圓的周長是展開圖的弧長．圓臺通常還要還原為圓錐．1.數(shù)學(xué)抽象：圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積與體積公式；2.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求旋轉(zhuǎn)體及組合體的表面積或體積；3.數(shù)學(xué)建模：運(yùn)用圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積公式進(jìn)行計算和解決有關(guān)實際問題.1.圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積2.圓柱、圓錐、圓臺、球的體積。(1)公式法(2)等積法(3)補(bǔ)體法(4)分割法求幾何體體積的常用方法課堂素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形,則這個圓柱的表面積與側(cè)面積的比是(

)

A. B. C. D.【解析】選A.設(shè)底面圓半徑為r,母線長為h,所以h=2πr,則====.2.圓錐的母線長為5,底面半徑為3,則其體積為 (

)A.15π B.30 C.12π D.36π【解析】選C.圓錐的高h(yuǎn)==4,故V=π×32×4=12π.3.將邊長為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周,所得幾何體的側(cè)面積是 (

)A.4π B.3π C.2π D.π【解析】選C.所得旋轉(zhuǎn)體為圓柱,圓柱的底面圓半徑為1,高為1,側(cè)面積S=2πrh=2π×1×1=2π.4.已知兩個球的半徑之比為1∶2,則這兩個球的表面積之比為 (

)A.1∶2 B.1∶4 C.1∶6 D.1∶8【解析】選B.====.5.半徑為2的半圓卷成一個圓錐,則它的體積為________.

【解析】由題意可知該圓錐的側(cè)面展開圖為半圓,如圖所示,設(shè)圓錐底面半徑為r,高為h,則所以所以它的體積為×π×12×=π.答案:πThebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個孩子在你的臂彎入睡,你會體會到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)