新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8-4-1平面素養(yǎng)課件新人教A版必修第二冊(cè)

8.4空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系8.4.1平面

【情境探究】1.生活中的一些物體通常呈平面形,課桌面、黑板面、海平面都給我們以平面的形象,請(qǐng)問(wèn):生活中的平面有大小之分嗎?幾何中的“平面”呢?如何表示平面?提示:生活中的平面有大小之分.而幾何中的“平面”是從生活中的物體抽象出來(lái)的,是平的,無(wú)限延展的,且無(wú)大小之分;平面可用α,β,γ等表示,也可用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫字母表示.必備知識(shí)生成2.如圖所示,直線a與直線b相交于點(diǎn)A,用符號(hào)表示能否記為a∩b={A}?

提示:一般不記作a∩b={A},而記作a∩b=A,這里的A既是一個(gè)點(diǎn),又可以理解為只含一個(gè)元素(點(diǎn))的集合.3.若把直尺邊緣上的任意兩點(diǎn)放在桌面上,直尺的邊緣上的其余點(diǎn)和桌面有何關(guān)系?提示:直尺邊緣上的其余點(diǎn)都在桌面上.4.兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn),這兩個(gè)平面重合嗎?提示:不一定,當(dāng)三點(diǎn)在同一條直線上時(shí),不能判斷兩個(gè)平面重合;當(dāng)三點(diǎn)不在同一條直線上時(shí),根據(jù)不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面,兩平面重合.5.觀察正方體ABCD-A1B1C1D1(如圖所示),平面AB1D1與平面BCC1B1只有公共點(diǎn)B1嗎?提示:因?yàn)槠矫媸强梢詿o(wú)限延展的,所以平面AB1D1與平面BCC1B1不只有公共點(diǎn)B1,而是有一條公共直線.【知識(shí)生成】1.平面的概念(1)平面是一個(gè)不加定義,只需理解的原始概念.(2)立體幾何里的平面是從呈現(xiàn)平面形的物體中抽象出來(lái)的.如課桌面、黑板面、平靜的水面都給我們平面的局部形象.2.平面的畫法常常把水平的平面畫成一個(gè)___________,并且其銳角畫成_____,且橫邊長(zhǎng)等于鄰邊長(zhǎng)的__倍

一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住,為了增強(qiáng)立體感,被遮擋部分用_____畫出來(lái)

平行四邊形45°2虛線3.平面的表示方法(1)用_________表示,如平面α,平面β,平面γ.(2)用表示平面的平行四邊形的_________的大寫字母表示,如平面ABCD.(3)用表示平面的平行四邊形的相對(duì)的兩個(gè)_____表示,如平面AC,平面BD.希臘字母四個(gè)頂點(diǎn)頂點(diǎn)3.平面的表示方法(1)用_________表示,如平面α,平面β,平面γ.(2)用表示平面的平行四邊形的_________的大寫字母表示,如平面ABCD.(3)用表示平面的平行四邊形的相對(duì)的兩個(gè)_____表示,如平面AC,平面BD.希臘字母四個(gè)頂點(diǎn)頂點(diǎn)4.基本事實(shí)1文字語(yǔ)言過(guò)_______的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面圖形語(yǔ)言

符號(hào)語(yǔ)言A,B,C三點(diǎn)_______?有且只有一個(gè)平面α,使A∈α,B∈α,C∈α作用確定平面證明四點(diǎn)共面不共線不共線5.基本事實(shí)2文字語(yǔ)言如果一條直線上的_______在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi)圖形語(yǔ)言

符號(hào)語(yǔ)言A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α?_____作用判斷點(diǎn)在平面內(nèi)判斷直線在平面內(nèi)用直線檢驗(yàn)平面兩個(gè)點(diǎn)l?α6.基本事實(shí)3文字語(yǔ)言如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線圖形語(yǔ)言

符號(hào)語(yǔ)言P∈α,且P∈β?α∩β=l,且P∈l作用確定平面相交證明三線共點(diǎn)或三點(diǎn)共線7.基本事實(shí)的推論推論1經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面(圖①).推論2經(jīng)過(guò)兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面(圖②).推論3經(jīng)過(guò)兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面(圖③).關(guān)鍵能力探究探究點(diǎn)一三種語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化【典例1】(1)點(diǎn)P在直線a上,直線a在平面α內(nèi)可記為(

)A.P∈a,a?α

B.P?a,a?αC.P?a,a∈α D.P∈a,a∈α(2)用符號(hào)表示下列語(yǔ)句,并畫出圖形.①平面α與β相交于直線l,直線a與α,β分別相交于點(diǎn)A,B.②點(diǎn)A,B在平面α內(nèi),直線a與平面α交于點(diǎn)C,點(diǎn)C不在直線AB上.關(guān)鍵能力探究探究點(diǎn)一三種語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化【典例1】(1)點(diǎn)P在直線a上,直線a在平面α內(nèi)可記為(

)A.P∈a,a?α

B.P?a,a?αC.P?a,a∈α D.P∈a,a∈α(2)用符號(hào)表示下列語(yǔ)句,并畫出圖形.①平面α與β相交于直線l,直線a與α,β分別相交于點(diǎn)A,B.②點(diǎn)A,B在平面α內(nèi),直線a與平面α交于點(diǎn)C,點(diǎn)C不在直線AB上.【思維導(dǎo)引】解決本例的關(guān)鍵是,要正確理解立體幾何中表示點(diǎn)、線、面之間位置關(guān)系的符號(hào)“∈”“?”“?”“?”“∩”的意義.【解析】(1)選A.點(diǎn)可看成元素,而直線、平面可看成是由點(diǎn)構(gòu)成的集合,故選A.(2)①用符號(hào)表示:α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B,如圖.

②用符號(hào)表示:A∈α,B∈α,a∩α=C,C?AB,如圖.【類題通法】三種語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換方法(1)用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表示一個(gè)圖形時(shí),首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何,試著用文字語(yǔ)言表示,再用符號(hào)語(yǔ)言表示.(2)根據(jù)符號(hào)語(yǔ)言或文字語(yǔ)言畫相應(yīng)的圖形時(shí),要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別.(3)轉(zhuǎn)化時(shí)要注意符號(hào)的使用,“∈”或“?”反映的是點(diǎn)與線,點(diǎn)與面的關(guān)系,而“?”或“?”反映的是直線與平面的關(guān)系.【定向訓(xùn)練】根據(jù)下列符號(hào)表示的語(yǔ)句,說(shuō)明點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系,并畫出相應(yīng)的圖形.(1)A∈α,B?α.(2)l?α,m∩α=A,A?l.(3)P∈l,P?α,Q∈l,Q∈α.【解析】(1)點(diǎn)A在平面α內(nèi),點(diǎn)B不在平面α內(nèi).(2)直線l在平面α內(nèi),直線m與平面α相交于點(diǎn)A,且點(diǎn)A不在直線l上.(3)直線l經(jīng)過(guò)平面α外一點(diǎn)P和平面α內(nèi)一點(diǎn)Q.圖形分別如圖①,②,③所示.探究點(diǎn)二點(diǎn)、線共面問(wèn)題【典例2】如圖,已知在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,E,F分別是BC,PC的中點(diǎn),點(diǎn)G在PD上,且PG=PD.證明:點(diǎn)A,E,F,G四點(diǎn)共面.【思維導(dǎo)引】連接EF,AG,在平面ABCD內(nèi),連接AE并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,在平面PCD內(nèi),連接GF并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M1,證明點(diǎn)M與點(diǎn)M1重合,進(jìn)而可得結(jié)論.【證明】連接EF,AG,在平面ABCD內(nèi),連接AE并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,則有CM=CD.在平面PCD內(nèi),連接GF并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M1.取GD的中點(diǎn)N,連接CN.則由PG=PD可知PG=GN=ND.因?yàn)辄c(diǎn)F為PC的中點(diǎn).所以在△PCN中有FG∥CN,即GM1∥CN.所以在△GM1D中有CM1=CD.所以點(diǎn)M與點(diǎn)M1重合,即AE與GF相交于點(diǎn)M.所以A,E,F,G四點(diǎn)共面.【類題通法】證明點(diǎn)線共面的常用方法(1)納入平面法:先由基本事實(shí)1或其推論確定一個(gè)平面,再由基本事實(shí)2證明有關(guān)點(diǎn)線在此平面內(nèi).(2)輔助平面法:先證明有關(guān)的點(diǎn)線確定平面α,再證明其余元素確定平面β,最后證明平面α,β重合.【定向訓(xùn)練】1.求證:如果兩兩平行的三條直線都與另一條直線相交,那么這四條直線共面.【證明】已知:a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求證:直線a,b,c和l共面.如圖所示,因?yàn)閍∥b,所以直線a與b確定一個(gè)平面,設(shè)為α.因?yàn)閘∩a=A,l∩b=B,所以A∈a,B∈b,則A∈α,B∈α.又因?yàn)锳∈l,B∈l,所以由基本事實(shí)2可知l?α.因?yàn)閎∥c,所以直線b與c確定一個(gè)平面β,同理可知l?β.因?yàn)槠矫姒梁推矫姒露及本€b與l,且l∩b=B,而由推論2知:經(jīng)過(guò)兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面,所以平面α與平面β重合,所以直線a,b,c和l共面.2.已知E、F分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB,BC的中點(diǎn).求證:A1,C1,E,F四點(diǎn)共面.【證明】在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1∥CC1,所以四邊形ACC1A1為平行四邊形,所以A1C1∥AC.因?yàn)镋,F分別為AB,BC的中點(diǎn),所以EF∥AC.所以A1C1∥EF.所以直線A1C1與EF確定一個(gè)平面α,所以A1,C1,E,F四點(diǎn)共面于平面α.探究點(diǎn)三點(diǎn)共線、線共點(diǎn)問(wèn)題【典例3】已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如圖.求證:P,Q,R三點(diǎn)共線.【思維導(dǎo)引】(1)考慮P,Q,R三點(diǎn)分別在哪幾個(gè)平面上.(2)考慮在兩個(gè)相交平面上的點(diǎn),有什么特點(diǎn).【證明】方法一:因?yàn)锳B∩α=P,所以P∈AB,P∈平面α.又AB?平面ABC,所以P∈平面ABC.所以由基本事實(shí)3可知點(diǎn)P在平面ABC與平面α的交線上,同理可證Q,R也在平面ABC與平面α的交線上.所以P,Q,R三點(diǎn)共線.

方法二:因?yàn)锳P∩AR=A,所以直線AP與直線AR確定平面APR.又因?yàn)锳B∩α=P,AC∩α=R,所以平面APR∩平面α=PR.因?yàn)锽∈面APR,C∈面APR,所以BC?面APR.又因?yàn)镼∈面APR,Q∈α,所以Q∈PR.所以P,Q,R三點(diǎn)共線.【類題通法】證明多點(diǎn)共線的方法(1)選擇兩點(diǎn)確定一條直線,然后證明其他點(diǎn)在這條直線上;(2)證明這些點(diǎn)都在兩個(gè)平面內(nèi),而兩平面相交,因此這些點(diǎn)都在兩平面的交線上.【定向訓(xùn)練】1.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,對(duì)角線A1C與平面BDC1交于點(diǎn)O,AC,BD交于點(diǎn)M,求證:C1,O,M三點(diǎn)共線.【證明】連接A1C1,由AA1∥CC1,得AA1與CC1確定一個(gè)平面A1ACC1.因?yàn)锳1C?平面A1ACC1,而O∈A1C,所以O(shè)∈平面A1ACC1.又A1C∩平面BC1D=O,所以O(shè)∈平面BC1D.所以O(shè)點(diǎn)在平面BC1D與平面A1ACC1的交線上.又AC∩BD=M,所以M∈平面BC1D且M∈平面A1ACC1.又C1∈平面BC1D且C1∈平面A1ACC1,所以平面A1ACC1∩平面BC1D=C1M,所以O(shè)∈C1M,即C1,O,M三點(diǎn)共線.2.如圖,已知平面α,β,且α∩β=l.設(shè)梯形ABCD中,AD∥BC,且AB?α,CD?β.

求證:AB,CD,l共點(diǎn)(相交于一點(diǎn)).

【證明】因?yàn)樘菪蜛BCD中,AD∥BC,所以AB,CD是梯形ABCD的兩腰.所以AB,CD必定相交于一點(diǎn).設(shè)AB∩CD=M.又因?yàn)锳B?α,CD?β,所以M∈α,M∈β.所以M∈α∩β.又因?yàn)棣痢搔?l,所以M∈l.即AB,CD,l共點(diǎn)(相交于一點(diǎn)).

【課堂小結(jié)】課堂素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)為 (

)①書桌面是平面;②8個(gè)平面重疊后,要比6個(gè)平面重疊后厚;③有一個(gè)平面的長(zhǎng)是100m,寬是90m;④平面是絕對(duì)平滑,無(wú)厚度,無(wú)限延展的抽象概念.A.0

B.1

C.2

D.3【解析】選B.①錯(cuò)誤,因?yàn)槠矫婢哂醒诱剐?②錯(cuò)誤,平面無(wú)厚度;③錯(cuò)誤,因?yàn)槠矫鏌o(wú)厚度、大小之分;④正確,符合平面的概念.2.平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,既與AB共面又與CC1共面的棱的條數(shù)為(

)A.3 B.4 C.5 D.6【解析】選C.依題意,與AB和CC1都相交的棱有BC;與AB相交且與CC1平行的棱有AA1,BB1;與AB平行且與CC1相交的棱有CD,C1D1,故符合條件的棱共有5條.3.任意三點(diǎn)可確定平面的個(gè)數(shù)是 (

)A.0 B.1 C.2 D.1或無(wú)數(shù)個(gè)【解析】選D.當(dāng)這三點(diǎn)共線時(shí),可確定無(wú)數(shù)個(gè)平面;當(dāng)這三點(diǎn)不共線時(shí),可確定一個(gè)平面.4.看圖填空:(1)AC∩BD=__________;

(2)平面AA1B1B∩平面A1D1C1B1=__________;

(3)平面A1C1CA∩平面ABCD=__________;

(4)平面A1C1CA∩平面D1B1BD=____________.

答案:(1)O

(2)A1B1

(3)AC

(4)OO1Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個(gè)孩子在你的臂彎入睡,你會(huì)體會(huì)到世間最安寧的感覺(jué).Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時(shí)候,一個(gè)人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時(shí)間,而是愛(ài).Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應(yīng)