高考數(shù)學(xué)考前30天回歸課本知識(shí)技法精細(xì)過(guò)（8）：立體幾何

高考數(shù)學(xué)考前30天回歸課本知識(shí)技法精細(xì)過(guò)（八）第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖一、必記4個(gè)知識(shí)點(diǎn)1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征：幾何體旋轉(zhuǎn)圖形旋轉(zhuǎn)軸圓柱矩形⑦_(dá)_________所在的直線圓錐直角三角形⑧__________所在的直線圓臺(tái)直角梯形⑨__________所在的直線球半圓⑩__________所在的直線2.空間幾何體的三視圖(1)三視圖的形成與名稱：(ⅰ)形成：空間幾何體的三視圖是用平行投影得到的，在這種投影之下，與投影面平行的平面圖形留下的影子，與平面圖形的?________和?________是完全相同的．(ⅱ)名稱：三視圖包括?______、?______、?________.(2)三視圖的畫(huà)法：(ⅰ)在畫(huà)三視圖時(shí)，重疊的線只畫(huà)一條，擋住的線要畫(huà)成?______.(ⅱ)三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從幾何體的?______方、?______方、?______方觀察幾何體畫(huà)出的輪廓線．3．空間幾何體的直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測(cè)畫(huà)法來(lái)畫(huà)，基本步驟是：(1)畫(huà)幾何體的底面：在已知圖形中取互相垂直的x軸，y軸，兩軸相交于點(diǎn)O，畫(huà)直觀圖時(shí)，把它們畫(huà)成對(duì)應(yīng)的x′軸、y′軸，兩軸相交于點(diǎn)O′，且使∠x(chóng)′O′y′＝?________，已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中長(zhǎng)度eq\o(○,\s\up1(21))______，平行于y軸的線段，長(zhǎng)度eq\o(○,\s\up1(22))______.(2)畫(huà)幾何體的高：在已知圖形中過(guò)O點(diǎn)作z軸垂直于xOy平面，在直觀圖中對(duì)應(yīng)的z′軸，也垂直于x′O′y′平面，已知圖形中平行于z軸的線段，在直觀圖中仍平行于z′軸且長(zhǎng)度不變．4．正棱柱、正棱錐的結(jié)構(gòu)特征(1)正棱柱：側(cè)棱eq\o(○,\s\up1(23))________于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是eq\o(○,\s\up1(24))________的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是eq\o(○,\s\up1(25))________，側(cè)棱eq\o(○,\s\up1(26))________于底面，側(cè)面是矩形．(2)正棱錐：底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐．特別地，各棱均相等的正三棱錐叫正四面體．二、必明3個(gè)易誤點(diǎn)1．臺(tái)體可以看成是由錐體截得的，易忽視截面與底面平行且側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)．2．空間幾何體不同放置時(shí)其三視圖不一定相同．3．對(duì)于簡(jiǎn)單組合體，若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，易忽視實(shí)虛線的畫(huà)法．三、技法1.空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的解題策略(1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定．(2)通過(guò)舉反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，即要說(shuō)明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即可.2.3.根據(jù)幾何體確認(rèn)三視圖的技巧由實(shí)物圖畫(huà)三視圖或判斷選擇三視圖，按照“正側(cè)一樣高，正俯一樣長(zhǎng)，俯側(cè)一樣寬”的特點(diǎn)確認(rèn)．4．根據(jù)三視圖還原幾何體的技巧策略(1)對(duì)柱、錐、臺(tái)、球的三視圖要熟悉．(2)明確三視圖的形成原理，并能結(jié)合空間想象將三視圖還原為直觀圖．(3)遵循“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”的原則．參考答案①平行且相等②全等③多邊形④公共點(diǎn)⑤平行于底面⑥相似⑦任一邊⑧任一直角邊⑨垂直于底邊的腰⑩直徑?形狀?大小?正視圖?側(cè)視圖?俯視圖?虛線?正前?正左?正上?45°(或135°)eq\o(○,\s\up1(21))不變eq\o(○,\s\up1(22))減半eq\o(○,\s\up1(23))垂直eq\o(○,\s\up1(24))正多邊形eq\o(○,\s\up1(25))正多邊形eq\o(○,\s\up1(26))垂直第二節(jié)空間幾何體的表面積和體積一、必記4個(gè)知識(shí)點(diǎn)1．柱、錐、臺(tái)和球的側(cè)面積和體積面積體積圓柱S側(cè)＝①________V＝②________＝③________圓錐S側(cè)＝④________V＝⑤________＝⑥________＝eq\f(1,3)πr2eq\r(l2－r2)圓臺(tái)S側(cè)＝⑦_(dá)_______V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h＝eq\f(1,3)π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2)h直棱柱S側(cè)＝⑧________V＝⑨________正棱錐S側(cè)＝⑩________V＝?________正棱臺(tái)S側(cè)＝?________V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S球面＝?________V＝?________2.長(zhǎng)方體的外接球(1)球心：體對(duì)角線的交點(diǎn)．(2)半徑：r＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)(a，b，c為長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高)．3．正方體的外接球、內(nèi)切球及與各條棱相切的球(1)外接球：球心是正方體中心；半徑r＝eq\f(\r(3),2)a(a為正方體的棱長(zhǎng))．(2)內(nèi)切球：球心是正方體中心；半徑r＝eq\f(a,2)(a為正方體的棱長(zhǎng))．(3)與各條棱都相切的球：球心是正方體中心；半徑r＝eq\f(\r(2),2)a(a為正方體的棱長(zhǎng))．4．正四面體的外接球與內(nèi)切球(正四面體可以看作是正方體的一部分)(1)外接球：球心是正四面體的中心；半徑r＝eq\f(\r(6),4)a(a為正四面體的棱長(zhǎng))．(2)內(nèi)切球：球心是正四面體的中心；半徑r＝eq\f(\r(6),12)a(a為正四面體的棱長(zhǎng))．二、必明3個(gè)易誤點(diǎn)1．求組合體的表面積時(shí)：組合體的銜接部分的面積問(wèn)題易出錯(cuò)．2．由三視圖計(jì)算幾何體的表面積與體積時(shí)，由于幾何體的還原不準(zhǔn)確及幾何體的結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識(shí)不準(zhǔn)易導(dǎo)致失誤．3．易混側(cè)面積與表面積的概念．三、技法1.幾何體表面積的求法(1)多面體：其表面積是各個(gè)面的面積之和．(2)旋轉(zhuǎn)體：其表面積等于側(cè)面面積與底面面積的和．計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時(shí)，一般采用轉(zhuǎn)化的方法來(lái)進(jìn)行，即將側(cè)面展開(kāi)化為平面圖形來(lái)解決．(3)簡(jiǎn)單組合體：應(yīng)搞清各構(gòu)成部分，并注意重合部分的處理．(4)若以三視圖的形式給出，解題的關(guān)鍵是對(duì)給出的三視圖進(jìn)行分析，從中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系，得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解.2.空間幾何體體積的求法(1)求簡(jiǎn)單幾何體的體積．若所給的幾何體為柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式求解．(2)求組合體的體積．若所給定的幾何體是組合體，不能直接利用公式求解，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等進(jìn)行求解．(3)求以三視圖為背景的幾何體的體積．應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解.3.空間幾何體與球接、切問(wèn)題的求解方法(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及接、切點(diǎn)作截圖，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解．(2)若球面上四點(diǎn)P，A，B，C構(gòu)成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解.參考答案①2πrh②Sh③πr2h④πrl⑤eq\f(1,3)Sh⑥eq\f(1,3)πr2h⑦π(r1＋r2)l⑧Ch⑨Sh⑩eq\f(1,2)Ch′?eq\f(1,3)Sh?eq\f(1,2)(C＋C′)h′?4πR2?eq\x(\f(4,3)πR3)第三節(jié)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系一、必記6個(gè)知識(shí)點(diǎn)1．平面的基本性質(zhì)表示公理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)公理2①__________的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面A，B，C三點(diǎn)不共線?有且只有一個(gè)平面α，使A∈α，B∈α，C∈α公理3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有②______過(guò)該點(diǎn)的公共直線eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(P∈αP∈β))?α∩β＝l，且P∈l2.空間兩條直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系分類(lèi)：eq\x(位置,關(guān)系)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(③直線：同一平面內(nèi)，,有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；,④直線：同一平面內(nèi)，,沒(méi)有公共點(diǎn)；)),異面直線：不同在⑤內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn).))(2)平行公理(公理4)和等角定理：平行公理：平行于同一條直線的兩條直線⑥________.等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角⑦_(dá)_______.(3)異面直線所成的角：①定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的⑧________叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．②范圍：⑨____________.3．空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言公共點(diǎn)直線與平面相交⑩________1個(gè)平行?________0個(gè)在平面內(nèi)?________無(wú)數(shù)個(gè)平面與平面平行?________0個(gè)相交?________無(wú)數(shù)個(gè)4.唯一性定理(1)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行．(2)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直．(3)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．(4)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直．5．異面直線的判定定理經(jīng)過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線互為異面直線．6．確定平面的三個(gè)推論(1)經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．(2)兩條相交直線確定一個(gè)平面．(3)兩條平行直線確定一個(gè)平面．二、必明2個(gè)易誤點(diǎn)1．異面直線易誤解為“分別在兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線”，實(shí)質(zhì)上兩異面直線不能確定任何一個(gè)平面，因此異面直線既不平行，也不相交．2．直線與平面的位置關(guān)系在判斷時(shí)最易忽視“線在面內(nèi)”．三、技法1.證明空間點(diǎn)共線問(wèn)題的方法(1)公理法：一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，再根據(jù)公理3證明這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線上．(2)納入直線法：選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其余點(diǎn)也在該直線上．2．點(diǎn)、線共面的常用判定方法(1)納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)．(2)輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α，β重合.3.異面直線的判定方法(1)反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定兩條直線異面．此法在異面直線的判定中經(jīng)常用到．(2)定理：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線是異面直線.4.求異面直線所成的角的三步曲[提醒]在求異面直線所成的角時(shí)，如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角.參考答案①過(guò)不在一條直線上②一條③相交④平行⑤任何一個(gè)平面⑥平行⑦相等或互補(bǔ)⑧銳角(或直角)⑨eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))⑩a∩α＝A?a∥α?a?α?α∥β?α∩β＝l第四節(jié)直線、平面平行的判定和性質(zhì)一、必記3個(gè)知識(shí)點(diǎn)1．直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(線線平行?線面平行)因?yàn)棰賍_____，______，______，所以l∥α性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?線線平行”)因?yàn)棰赺_____，______，______，所以l∥b2.平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?面面平行”)因?yàn)棰踎_____，______，______，______，______，所以α∥β性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行因?yàn)棰躝_____，______，______，所以a∥b3.平行關(guān)系中的兩個(gè)重要結(jié)論(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.(2)平行于同一平面的兩個(gè)平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.二、必明3個(gè)易誤點(diǎn)1．直線與平面平行的判定中易忽視“線在面內(nèi)”這一關(guān)鍵條件．2．面面平行的判定中易忽視“面內(nèi)兩條相交線”這一條件．3．如果一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與另一個(gè)平面平行，易誤認(rèn)為這兩個(gè)平面平行，實(shí)質(zhì)上也可以相交．三、技法1.判定線面平行的4種方法(1)利用線面平行的定義(無(wú)公共點(diǎn))．(2)利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β，a?α?a∥β)．(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α，a?β，a∥α?a∥β)．2．解決直線與平面平行的3個(gè)思維趨向(1)利用線面平行的判定定理證明直線與平面平行的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線．(2)構(gòu)造平行的常見(jiàn)形式：三角形的中位線、平行四邊形、利用比例關(guān)系證明兩直線平行等．(3)在解決線面、面面平行的判定時(shí)，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”，而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序恰好相反.3.判定平面與平面平行的5種方法(1)面面平行的定義，即證兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)(不常用)．(2)面面平行的判定定理(主要方法)．(3)利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行(客觀題可用)．(4)利用平面平行的傳遞性，兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行(客觀題可用)．(5)利用向量法，通過(guò)證明兩個(gè)平面的法向量平行證得兩平面平行.4.平行關(guān)系中的探索性問(wèn)題，主要是對(duì)點(diǎn)的存在性問(wèn)題的探索，一般用轉(zhuǎn)化方法求解，即先確定點(diǎn)的位置，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明問(wèn)題，而證明線面平行時(shí)又有兩種轉(zhuǎn)化方法，一是轉(zhuǎn)化為線線平行，二是轉(zhuǎn)化為面面平行．5．這類(lèi)問(wèn)題也可以按類(lèi)似于分析法的格式書(shū)寫(xiě)步驟：從結(jié)論出發(fā)“要使……成立”，“只需使……成立”.參考答案①l∥aa?αl?α②l∥αl?βα∩β＝b③a∥βb∥βa∩b＝Pa?αb?α④α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b第五節(jié)直線、平面垂直的判定和性質(zhì)一、必記6個(gè)知識(shí)點(diǎn)1．直線與平面垂直(1)定義：直線l與平面α內(nèi)的①________一條直線都垂直，就說(shuō)直線l與平面α互相垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行?a∥b2.直線和平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的④________叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是直角；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0°的角．(2)范圍：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3．平面與平面垂直(1)二面角：從一條直線出發(fā)的⑤________所組成的圖形叫做二面角．(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作⑥________的兩條射線，這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角．4．平面和平面垂直的定義兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是⑦_(dá)_______，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直．5．平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直?α⊥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直?l⊥α6.垂直關(guān)系中的兩個(gè)重要結(jié)論(1)若兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面．(2)若一條直線垂直于一個(gè)平面，則它垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個(gè)重要方法)．二、必明3個(gè)易誤點(diǎn)1．證明線面垂直時(shí)，易忽視面內(nèi)兩條線為相交線這一條件．2．面面垂直的判定定理中，直線在面內(nèi)且垂直于另一平面易忽視．3．面面垂直的性質(zhì)定理在使用時(shí)易忘面內(nèi)一線垂直于交線而盲目套用造成失誤．三、技法1.判定線面垂直的四種方法(1)利用線面垂直的判定定理．(2)利用“兩平行線中的一條與平面垂直，則另一條也與這個(gè)平面垂直”．(3)利用“一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則與另一個(gè)也垂直”．(4)利用面面垂直的性質(zhì)定理.2.面面垂直的證明方法(1)定義法：利用面面垂直的定義，即判定兩平面所成的二面角為直二面角，將證明面面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問(wèn)題．(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即證明其中一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成證明線線垂直加以解決．[提醒]兩平面垂直，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個(gè)平面．這是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)．運(yùn)用時(shí)要注意“平面內(nèi)的直線”.3.對(duì)于翻折問(wèn)題，應(yīng)明確：在同一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)可能會(huì)發(fā)生變化．解決這類(lèi)問(wèn)題就是要據(jù)此研究翻折以后的空間圖形中的線面關(guān)系和幾何量的度量值，這是解決翻折問(wèn)題的主要方法.參考答案①任意②a∩b＝O③a⊥αb⊥α④銳角⑤兩個(gè)半平面⑥垂直于棱⑦直二面角⑧l(xiāng)⊥αl?β⑨α∩β＝a第六節(jié)空間向量及其運(yùn)算一、必記3個(gè)知識(shí)點(diǎn)1．空間向量及其有關(guān)概念語(yǔ)言描述共線向量(平行向量)表示空間向量的有向線段所在的直線互相①________共面向量平行于②________的向量共線向量定理對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b?存在λ∈R，使③________共面向量定理若兩個(gè)向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面?存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝④________空間向量基本定理定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}使得p＝⑤________推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)平面ABC內(nèi)任一點(diǎn)P都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x，y，z，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))且x＋y＋z＝12.數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積：(ⅰ)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(ⅱ)a⊥b＝⑥____________(a，b為非零向量)．(ⅲ)|a|2＝a2，|a|＝eq\r(x2＋y2＋z2).(2)向量的坐標(biāo)運(yùn)算：a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)向量和a＋b＝⑦_(dá)___________向量差a－b＝⑧____________數(shù)量積a·b＝⑨____________共線a∥b?⑩____________(λ∈R，b≠0)垂直a⊥b??____________夾角公式cos〈a，b〉＝?____________________3.直線的方向向量與平面的法向量(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l?________或?________，則稱此向量a為直線l的方向向量．(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的?________向量a，則向量a叫做平面α的法向量．二、必明4個(gè)易誤點(diǎn)1．共線向量定理中a∥b?存在λ∈R，使a＝λb易忽視b≠0.2．共面向量定理中，注意有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)是唯一存在的．3．一個(gè)平面的法向量有無(wú)數(shù)個(gè)，但要注意它們是共線向量，不要誤為是共面向量．4．利用空間向量證明空間平行與垂直關(guān)系時(shí)，書(shū)寫(xiě)步驟時(shí)一定明確判定定理的條件，否則，會(huì)犯步驟不規(guī)范的錯(cuò)誤．三、技法1.用已知向量表示某一向量的方法(1)用已知向量來(lái)表示未知向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，我們可把這個(gè)法則稱為向量加法的多邊形法則．(3)在立體幾何中要靈活應(yīng)用三角形法則，向量加法的平行四邊形法則在空間中仍然成立.2.證明點(diǎn)共線的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為證明向量共線的問(wèn)題，①如證明A，B，C三點(diǎn)共線，即證明Aeq\o(B,\s\up6(→))，Aeq\o(C,\s\up6(→))共線，亦即證明Aeq\o(B,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))(λ≠0)；②A，B，C三點(diǎn)共線，對(duì)空間內(nèi)任意一點(diǎn)O，有Oeq\o(A,\s\up6(→))＝(1－t)Oeq\o(B,\s\up6(→))＋teq\o(OC,\s\up6(→)).3.證明點(diǎn)共面問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為證明向量共面問(wèn)題，如要證明P，A，B，C四點(diǎn)共面，只要能證明Peq\o(A,\s\up6(→))＝xeq\o(PB,\s\up6(→))＋yeq\o(PC,\s\up6(→))或?qū)臻g任一點(diǎn)O，有Oeq\o(A,\s\up6(→))＝Oeq\o(P,\s\up6(→))＋xeq\o(PB,\s\up6(→))＋yeq\o(PC,\s\up6(→))或Oeq\o(P,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)即可.4.空間向量數(shù)量積的計(jì)算方法(1)定義法：設(shè)向量a，b的夾角為θ，則a·b＝|a||b|cosθ.(2)坐標(biāo)法：設(shè)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，則a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.5．?dāng)?shù)量積的應(yīng)用(1)求夾角：設(shè)向量a，b所成的角為θ，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，進(jìn)而可求兩異面直線所成的角．(2)求長(zhǎng)度(距離)：運(yùn)用公式|a|2＝a·a，可使線段長(zhǎng)度的計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問(wèn)題．(3)解決垂直問(wèn)題：利用a⊥b?a·b＝0(a≠0，b≠0)，可將垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問(wèn)題.6.用空間向量證平行的方法(1)線線平行：證明兩直線的方向向量共線．(2)線面平行：①證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；②證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行．(3)面面平行：證明兩平面的法向量平行(即為共線向量)．7．用空間向量證垂直的方法(1)線線垂直：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零．(2)線面垂直：證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示．(3)面面垂直：證明兩個(gè)平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎?參考答案①平行或重合②同一平面③a＝λb④xa＋yb⑤xa＋yb＋zc⑥a·b＝0⑦(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)⑧(a1－b1，a2－b2，a3－b3)⑨a1b1＋a2b2＋a3b3⑩a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0?eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))?平行?重合?方向第七節(jié)立體幾何中的向量方法一、必記4個(gè)知識(shí)點(diǎn)1．異面直線所成角的求法設(shè)a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則a與b的夾角βl1與l2所成的角θ范圍[0，π]①____________求法cosβ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝|cosβ|＝②____________2.直線和平面所成角的求法如圖所示，設(shè)直線l的方向向量為e，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為φ，兩向量e與n的夾角為θ，則有sinφ＝|cosθ|＝③________________.3．二面角的求法(1)如圖①，AB，CD是二面角α－l－β兩個(gè)半平面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉．①②③(2)如圖②③，n1，n2分別是二面角α－l－β的兩個(gè)半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足cosθ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．4．空間距離的求法(1)利用|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))可以求