誘導(dǎo)公式 講義（知識(shí)點(diǎn) 考點(diǎn) 練習(xí)）人教A版（2019）高一數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)

5.3誘導(dǎo)公式

知識(shí)點(diǎn)一公式二?四

終邊關(guān)系圖示公式

sin（兀+a）=~sin

a,

角n+a與角a的

A

公式二COS（TI+a）=-cos

終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱1

a,

tan（7i+a）=tana

sin（—g）=-sin

角一a與角a的終a,

公式三

邊關(guān)于工軸對(duì)稱41cos（"g）=cosa,

tan（~a）=-tana

sin（7i-g）=sina,

TT-ra

角Ti—a與角a的cos（?！猘）=-cos

公式四

終邊關(guān)于匕軸對(duì)稱a,

tan（7i-a）=-tana

思考誘導(dǎo)公式中角a只能是銳角嗎?

二、誘導(dǎo)公式五、六

思考1設(shè)a是任意角，其終邊與單位圓交于點(diǎn)尸i(x,仍，與角a的終邊關(guān)于直

線對(duì)稱的角的終邊與單位圓交于點(diǎn)尸2,點(diǎn)尸2的坐標(biāo)是什么？

思考2如何由公式四及公式五推導(dǎo)公式六?

考點(diǎn)一化簡(jiǎn)（求值）

cos（萬+x）sin（3萬-x）

【例1】（2020?浙江衢州?高一期末）化簡(jiǎn)：tan（-x）sin億+x

【練1】（2020?甘肅省會(huì)寧縣第四中學(xué)高二期末（文））sin780。的值為（）

考點(diǎn)二誘導(dǎo)公式與定義綜合運(yùn)用

【例2】（2020?四川省綿陽江油中學(xué)高三開學(xué)考試（文））已知ae（0,萬）,

叵C.2&D.一2&

【練2】（2020?科爾沁左翼后旗甘旗卡第二高級(jí)中學(xué)高一期末）若

,（71）3口（71>,...

sin—+a=一一，且cue—,7i.n貝ijsin（?—a）=（）.

12J5\2

433

A.—B.--C.-D.

555

考點(diǎn)三誘導(dǎo)公式與同角三角綜合運(yùn)用

【例3】（2020?山西應(yīng)縣一中高三開學(xué)考試（文））設(shè)tanc=3,則

sin(a-?)+cos(?一a)

:

.771\\771\

sin——a+cos—+a

U)12

A.3B.2C.1D.-1

【練3】（2018?福建高二期末（文））已知sinJ+e+3cos（?—8）=sin（—8）,則

12J

sin^cos^+cos26>=（）

A.-B.-C.-D.好

5555

考點(diǎn)四角的拼湊

【例4】（2020?全國高一課時(shí)練習(xí)）已知sinN+￡|=g,則cos5-金的值等于（

A,巫2夜_1

B.C.-D.

3333

(1711

【練4】（2020?山西應(yīng)縣一中高一期中（理））已知cos------a則

I85

cos佰+a[=.

0)---------

課后練習(xí)

1.（2020高一上?潮陽期末）sin?=（）

6

A.—B.--C.-

222

D.--

2

2.（2021?豐臺(tái)模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角a以。久為始邊，且

sina=|.把角a的終邊繞端點(diǎn)。逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)n弧度，這時(shí)終邊對(duì)

應(yīng)的角是B,則sin0=（）

22

A.—B.—

33

C.--D.—

33

3.（2021高一下?吳江期中）歐拉是瑞士著名數(shù)學(xué)家，他首先發(fā)現(xiàn)：產(chǎn)=

cos0+isin0（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，/為虛數(shù)單位），此結(jié)論被稱為“歐拉

公式”，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)

的關(guān)系.根據(jù)歐拉公式可知，e一譏=（）

A.1B.0

C.-1D.1+i

4.（2021高一下?昌平期末）sin”=（）

6

A-1

B.--

2

C.—

2

D.--

2

5.(2021高一下,西安月考)已知函數(shù)/(%)=asin(7rx+a)+bcos(nx+jS)—

1,(afbfatp均為非零實(shí)數(shù))，若/(2020)=3,則/(2021)=—

6.(2021高三上?安徽月考)已知sin(a+^)=|,則sin(2a*)=

37r

7.(2021高三上?黑龍江期中)化簡(jiǎn)：tanga)cos(2~a)sin(-a+3)的值

cos(-a-7r)sin(-7T-a)

為一.

8.(2021?聊城模擬)曲線y=婷+：%在久=。處的切線的傾斜角為

a,則sin(2a+])=—.

9.(2020高一上?欽州期末)計(jì)算cos^=____________.

6

10.(2021?湖北模擬)已知tan(a+7T)=3.

tan2a

求的值;

(1)tan(20217r-a)

sin2a+cos2a

(2)求值.

2+sin2a

11.(2021高一下?咸陽期末)已知"a)=sin(3…)3@+爭(zhēng)3(一兀)

，'，sin(a+7r)tan(-a+7r)

(1)化簡(jiǎn)/(a)；

(2)若角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(-6,-8),求/(a).

12.(2020高一上?蕪湖期末)已知/(。)=變空色誓坦

(1)化簡(jiǎn)f⑼;

(2)若tand=2,求+g)值.

13.(2021高三上?洪南月考)在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為

1

a,b,c,已知cos力=-.

(1)求cos(B+C)；

（2）若a=2,SAABC=V2,求b的值.

精講答案

思考

7T

答案誘導(dǎo)公式中角a可以是任意角，要注意正切函數(shù)中要求存E+,，kGZ.

思考一

答案Pi(y,x).

思考二

答案sin3+aj=sin兀

兀一

=S1ng-a=cos?,

尹a兀兀

cos|=COS兀―=-cos|

=-sma.

【例11

【答案】COSX

cos(萬+x)sin(3萬一x)(-cosx)sinx

------------------=cosx

【解析】tan(-x)sinI+x(-tanx)cosx

【練1】

【答案】D

走故選：D

【解析】sin780°=sin(720°+60°)=sin600=

2

【例2】

【答案】D

（n1

【解析】因?yàn)閟in--a=cosa-——,且ee（0,%）所以

I23

2V2

sina=A/1-COS2a

亍

sina小式

所以tana----=一2。2,所以tan（a+?）=tana=-2下，故選：D

cosa

【練2】

【答案】A

.（71y3

【解析】根據(jù)誘導(dǎo)公式得:sin—+a=cosa=——,

（2）5

、

’71一I---------;44

又因?yàn)椴?兀,所以sini=COSa=—9所以sin（萬一a）=sina=y.故

\27

選：A.

【例3】

【答案】B

【解析】由誘導(dǎo)公式，可得

sin（a-+cos一a）—sina—cosasina+cosa

cosa-sinasina-cosa

sin——a+cos一+a

12）12

siny+cos。

=.cosa_=tan?±l=3±l=2B

sma—cosstana—13-1

cosa

【練3】

【答案】C

【解析】由已知

sin—+0+3cos（萬一。）=sin（—。）ncos0-3cos0=-sin。ntan。=2,

sinOcosO+cos2。tanO+1_3

則sin&osO+cos?。=故選C.

sin%+cos2。tan%+15

【例4】

【答案】c

【解析】因?yàn)閟in(a+?J

3

故選：C

【練4】

【答案】~

(7兀

【解析】因?yàn)閏os---a所以

\O

故答案為：-不

練習(xí)答案

1.【答案】D

【考點(diǎn)】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值

【解析】sin?=sin(兀+g)=-sing=一；.

6662

故答案為：D

【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值，可得答案。

2.【答案】A

【考點(diǎn)】誘導(dǎo)公式

【解析】解：依題意蠹=凝#亶，因?yàn)閟ina--,所以sin^=sin(a+兀)=

.2

—sina=——

3

故答案為：A

【分析】根據(jù)題意即可得出籟=凝帶窕，再由誘導(dǎo)公式計(jì)算出結(jié)果即可。

3.【答案】C

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值

【解析】【解答】根據(jù)eie=cos0+isinO)

可知e~in-cos(—TT)+isin(-7r)——1。

故選：C

【分析】利用歐拉公式結(jié)合代入法和誘導(dǎo)公式，進(jìn)而求出e-譏的值。

4.【答案】B

【考點(diǎn)】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值

［解析1sin——sin(-----F4兀)—sin(—)——sin———.

666，62

故答案為：B

【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求解即可。

5.【答案】-5

【考點(diǎn)】函數(shù)的值，誘導(dǎo)公式

【解析】因?yàn)?(2020)=3,所以/(2020)=asin(2020兀+a)+

hcos(2020?r+?)-1=3,

化簡(jiǎn)得：asina+bcos0—1=3=asina+bcos。=4,

所以/(2021)=asin(2021兀+a)+bcos(2021兀+3)-1=-asina—bcosR—

1=-5

故答案為：-5

【分析】由已知條件結(jié)合誘導(dǎo)公式整理即可得到asina+匕cos?=4,代入數(shù)

值結(jié)合誘導(dǎo)公式由主題思想計(jì)算出結(jié)果即可。

6.【答案】

【考點(diǎn)】二倍角的余弦公式，誘導(dǎo)公式

【解析】因?yàn)閟in(a+^)=|，則sin(2a-9=sin［2(a+勺-芻=

一cos［2(a+勺］

—2sin2(a+勺-1=一看■

故答案為：一卷.

【分析】由已知結(jié)合誘導(dǎo)公式及二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解.

7.【答案】-1

【考點(diǎn)】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值

［解析］解?tan(7Ta)cos(27ra)sin(-a+當(dāng)

cos(-a-7r)sin(-7r-a)

—tana-cosa?(―cosa)

—cosa?sina

=-1.

故答案為：-1

【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值即可。

8.【答案】|

【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)

求值

【解析】由題得y'=/'(%)=靖+2%—|,所以/'(0)=6。一［=1，

所以tana=aG(01),二cosa=合，

所以sin(2a+1)=cos2a=2cos2a—l=2x^—

故答案為:

9.【答案】立

【考點(diǎn)】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值

【解析】cos等-cos(471+~)-

故答案為：叵.

2

【分析】利用誘導(dǎo)公式可得解。

10.【答案】(1)解：因?yàn)閠an(a+TT)=tana:,所以tana=3，

因?yàn)閠an(20217r—a)=—tana,tan2a=

1-tan2a

tan2a_2_1

所以

tan(20217r-a)tan2a-l4

2sinacosa+cos2a2tana+l

2(sin2a+cos2a)+sin2a3tan2a+2

所以sin2a+cos2a2x3+1

2+sin2a3x32+229

【考點(diǎn)】二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式，二倍角的正切公式，同角三

角函數(shù)間的基本關(guān)系，誘導(dǎo)公式

【解析】(1)首先由誘導(dǎo)公式整理化簡(jiǎn)即可得出tana=3,再由二倍角的正

切公式代入數(shù)值計(jì)算出結(jié)果即可。

(2)由二倍角的正、余弦公式以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡(jiǎn)整理，代入

數(shù)值計(jì)算出結(jié)果即可。

11.【答案】(1)解：/(a)=sin(37r-a)cos(a+—)cos(-a-7r)

sin(a+7r)tan(-a+7r)

sinasina(-cosa)

(-sina)(-tana)

sinasinacosa

=COSCt.

(2)?.,角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(—6,8