2025版新教材高中數(shù)學第四章概率與統(tǒng)計4.1條件概率與事件的獨立性4.1.3獨立性與條件概率的關系課時作業(yè)新人教B版選擇性必修第二冊

4．1.3獨立性與條件概率的關系必備學問基礎練進階訓練第一層1．(多選)已知P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(3,4)，P(C)＝eq\f(2,5)，P(D)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(2,5)，P(AC)＝eq\f(2,15)，P(BC)＝eq\f(2,5)，P(BD)＝eq\f(3,8)，則()A．事務A與事務C相互獨立B．事務A與事務B相互獨立C．事務B與事務C相互獨立D．事務B與事務D相互獨立2．如圖，一個質地勻稱的正八面體的八個面分別標以數(shù)字1到8，隨意拋擲一次這個正八面體，視察它與地面接觸的面上的數(shù)字，設該數(shù)字為x.若設事務A＝“x為奇數(shù)”，事務B＝“x為偶數(shù)”，事務C＝“x為3的倍數(shù)”，事務D＝“x≤3”，其中是相互獨立事務的是()A．事務A與事務BB．事務B與事務CC．事務A與事務DD．事務C與事務D3．下列A，B為獨立事務的是________(寫出全部正確選項的序號).①投擲骰子一次，A：投出點數(shù)為3，B：投出點數(shù)為2；②投擲骰子兩次，A：第一次投出點數(shù)為3，B：其次次投出點數(shù)為5；③從一副52張牌中，隨機不放回地依次抽取2張，A：第一張抽中7，B：其次張抽中7；④從一副52張牌中，隨機有放回地依次抽取2張，A：第一張抽中紅桃，B：其次張抽中黑桃．4．從1，2，3，4，5中任取2個數(shù)字，組成沒有重復數(shù)字的兩位數(shù)．(1)寫出此試驗的樣本空間；(2)求組成的兩位數(shù)是偶數(shù)的概率；(3)推斷事務“組成的兩位數(shù)是偶數(shù)”與事務“組成的兩位數(shù)是3的倍數(shù)”是否獨立，并說明理由．5．國家大力提倡高校生自主創(chuàng)業(yè)．小李高校畢業(yè)后在同一城市開了A，B兩家小店，每家店各有2名員工．五一期間，假設每名員工請假的概率都是eq\f(1,2)，且是否請假互不影響．若某店的員工全部請假，而另一家店沒有人請假，則調劑1人到該店以維持正常運轉，否則該店就關門停業(yè)．(1)求有員工被調劑的概率；(2)求至少有一家店停業(yè)的概率．6．在某校舉辦的元旦有獎學問問答中，甲、乙、丙三人同時回答一道有關環(huán)保學問的問題，已知甲回答對這道題的概率是eq\f(3,4)，甲、丙兩人都回答錯的概率是eq\f(1,12)，乙、丙兩人都回答對的概率是eq\f(1,4).(1)求乙、丙兩人各自回答對這道題的概率；(2)求甲、乙、丙三人同時回答這道題時恰有一人答錯該題的概率．關鍵實力綜合練進階訓練其次層7．(多選)下列四個命題正確的為()A．拋擲兩枚質地勻稱的骰子，則向上點數(shù)之和不小于10的概率為eq\f(1,6)B．新高考改革實行“3＋1＋2”模式，某同學須要從政治、地理、化學、生物四個學科中任選兩科參與高考，則選出的兩科中含有政治學科的概率為eq\f(1,2)C．某學生在上學的路上要經(jīng)過4個路口，假設在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是eq\f(1,3)，那么該生在上學路上到第3個路口首次遇到紅燈的概率為eq\f(1,3)D．設兩個獨立事務A和B都不發(fā)生的概率為eq\f(1,9)，A發(fā)生且B不發(fā)生的概率與B發(fā)生且A不發(fā)生的概率相同，則事務A發(fā)生的概率為eq\f(2,3)8．(多選)拋擲兩枚質地勻稱的骰子，設事務A＝“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點”，事務B＝“其次枚出現(xiàn)偶數(shù)點”，事務C＝“兩枚骰子出現(xiàn)點數(shù)和為8”，事務D＝“兩枚骰子出現(xiàn)點數(shù)和為9”，則()A．A與B互斥B．C與D互斥C．A與D獨立D．B與C獨立9．袋內有3個白球和2個黑球，從中有放回地摸球，假如“第一次摸得白球”記為事務A，“其次次摸得白球”記為事務B，那么事務A與B，A與eq\o(B,\s\up6(－))間的關系是()A.A與B，A與eq\o(B,\s\up6(－))均相互獨立B．A與B相互獨立，A與eq\o(B,\s\up6(－))互斥C．A與B，A與eq\o(B,\s\up6(－))均互斥D．A與B互斥，A與eq\o(B,\s\up6(－))相互獨立10．甲、乙兩隊進行籃球競賽，實行五場三勝制(先勝三場者獲勝，競賽結束)，依據(jù)前期競賽成果，甲隊的主客場支配依次為“客客主主客”，設甲隊主場取勝的概率為0.5，客場取勝的概率為0.4，且各場競賽相互獨立，則甲隊在0∶1落后的狀況下最終獲勝的概率為()A．0.24B．0.25C．0.2D．0.311．2024年2月6日，中國女足在亞洲杯賽場上以3∶2逆轉擊敗韓國女足，勝利奪冠．之前半決賽中，中國女足通過點球大戰(zhàn)6∶5驚險戰(zhàn)勝日本女足．假設罰點球的球員等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向射門，門將也會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方一直撲點球，而且即使方向推斷正確也有eq\f(1,2)的可能性撲不到球，不考慮其它因素，在一次點球大戰(zhàn)中，門將在第一次射門就撲出點球的概率為()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,6)C．eq\f(1,9)D．eq\f(1,18)12．某學校組織數(shù)學學問競賽．競賽共分為兩輪，每位參賽選手均須參與兩輪競賽，若其在兩輪競賽中均勝出，則視為贏得競賽．已知在第一輪競賽中，選手甲、乙勝出的概率分別為eq\f(3,5)，eq\f(3,4)，在其次輪競賽中，甲、乙勝出的概率分別為eq\f(2,3)，eq\f(1,2).甲、乙兩人在每輪競賽中是否勝出互不影響．(1)從甲、乙兩人中選取1人參與競賽，派誰參賽贏得競賽的概率更大？(2)若甲、乙兩人均參與競賽，求兩人中至少有一人贏得競賽的概率．核心素養(yǎng)升級練進階訓練第三層13．甲、乙、丙三人組成一個小組參與電視臺舉辦的聽曲猜歌名活動，在每一輪活動中，依次播放三首樂曲，然后甲猜第一首，乙猜其次首，丙猜第三首，若有一人猜錯，則活動馬上結束；若三人均猜對，則該小組進入下一輪，該小組最多參與三輪活動．已知每一輪甲猜對唱名的概率是eq\f(3,4)，乙猜對唱名的概率是eq\f(2,3)，丙猜對唱名的概率是eq\f(1,2)，甲、乙、丙猜對與否互不影響．(1)求該小組未能進入其次輪的概率；(2)該小組能進入第三輪的概率；(3)乙猜歌曲的次數(shù)不小于2的概率．14．某場學問競賽競賽中，甲、乙、丙三個家庭同時回答一道有關環(huán)保學問的問題．已知甲家庭回答正確這道題的概率是eq\f(3,4)，甲、丙兩個家庭都回答錯誤的概率是eq\f(1,12)，乙、丙兩個家庭都回答正確的概率是eq\f(1,4)，若各家庭回答是否正確互不影響．(1)求乙、丙兩個家庭各自回答正確這道題的概率；(2)求甲、乙、丙三個家庭中不少于2個家庭回答正確這道題的概率．4．1.3獨立性與條件概率的關系必備學問基礎練1．答案：AD解析：對于A：因為P(A)＝eq\f(1,3)，P(C)＝eq\f(2,5)，P(AC)＝eq\f(2,15)，P(A)·P(C)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15).所以P(AC)＝P(A)·P(C)，所以事務A與事務C相互獨立，故A正確；對于B：因為P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(3,4)，P(AB)＝eq\f(2,5)，P(A)·P(B)＝eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,4)，所以P(AB)≠P(A)·P(B)，所以事務A與事務B并不相互獨立，故B錯誤；對于C：因為P(B)＝eq\f(3,4)，P(C)＝eq\f(2,5)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(BC))＝eq\f(2,5)，P(B)·P(C)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,5)＝eq\f(3,10)，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(BC))≠P(B)·P(C)，所以事務B與事務C并不相互獨立，故C錯誤；對于D：因為P(B)＝eq\f(3,4)，P(D)＝eq\f(1,2)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(BD))＝eq\f(3,8)，P(B)·P(D)＝eq\f(3,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,8)，所以P(BD)＝P(B)·P(D)，所以事務B與事務D相互獨立，故D正確．故選AD.2．答案：B解析：由題意可得A＝{1，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}，C＝{3，6}，D＝{1，2，3}，AB＝?，BC＝{6}，AD＝{1，3}，CD＝{3}，由古典概型概率公式可得：P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,2)，P(C)＝eq\f(1,4)，P(D)＝eq\f(3,8)，P(AB)＝0，P(BC)＝eq\f(1,8)，P(AD)＝eq\f(1,4)，P(CD)＝eq\f(1,8)，所以P(AB)≠P(A)P(B)，P(BC)＝P(B)P(C)，P(AD)≠P(A)P(D)，P(CD)≠P(C)P(D)，故ACD錯誤，B正確．故選B.3．答案：②④解析：①投擲骰子一次，A：投出點數(shù)為3，B：投出點數(shù)為2，則P(A)＝eq\f(1,6)，P(B)＝eq\f(1,6)，P(AB)＝0，則P(AB)≠P(A)P(B)，則A，B不為獨立事務；②投擲骰子兩次，A：第一次投出點數(shù)為3，B：其次次投出點數(shù)為5，則P(A)＝eq\f(1,6)，P(B)＝eq\f(1,6)，P(AB)＝eq\f(1,36)，則P(AB)＝P(A)P(B)，則A，B為獨立事務；③從一副52張牌中，隨機不放回地依次抽取2張，A：第一張抽中7，B：其次張抽中7；則P(A)＝eq\f(4,52)＝eq\f(1,13)，P(B)＝eq\f(51×4,52×51)＝eq\f(1,13)，P(AB)＝eq\f(4×3,52×51)＝eq\f(1,221)，則P(AB)≠P(A)P(B)，則A，B不為獨立事務；④從一副52張牌中，隨機有放回地依次抽取2張，A：第一張抽中紅桃，B：其次張抽中黑桃．則P(A)＝eq\f(13,52)＝eq\f(1,4)，P(B)＝eq\f(13,52)＝eq\f(1,4)，P(AB)＝eq\f(13×13,52×52)＝eq\f(1,16)，則P(AB)＝P(A)P(B)，則A，B為獨立事務．4．解析：(1)從1，2，3，4，5中任取2個數(shù)字，組成沒有重復數(shù)字的兩位數(shù)，則此試驗的樣本空間為{12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54}．(2)組成的兩位數(shù)是偶數(shù)的共有8種狀況，樣本空間共有20種狀況，則組成的兩位數(shù)是偶數(shù)的概率為eq\f(8,20)＝eq\f(2,5).(3)組成的兩位數(shù)是3的倍數(shù)的共有8種狀況，樣本空間共有20種狀況，則組成的兩位數(shù)是3的倍數(shù)的概率為eq\f(8,20)＝eq\f(2,5)，組成的兩位數(shù)是偶數(shù)且為3的倍數(shù)共有4種狀況，樣本空間共有20種狀況，則組成的兩位數(shù)是偶數(shù)且為3的倍數(shù)的概率為eq\f(4,20)＝eq\f(1,5).記“組成的兩位數(shù)是偶數(shù)”為事務A;記“組成的兩位數(shù)是3的倍數(shù)”為事務B，則“組成的兩位數(shù)是偶數(shù)且為3的倍數(shù)”為事務AB，則P(A)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(2,5)，P(AB)＝eq\f(1,5).由eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,25)≠eq\f(1,5)，可得P(A)·P(B)≠P(AB)，則事務“組成的兩位數(shù)是偶數(shù)”與事務“組成的兩位數(shù)是3的倍數(shù)”不相互獨立．5．解析：(1)記事務Ai＝“A家小店有i名員工請假”，Bi＝“B家小店有i名員工請假”，其中i＝0，1，2，由題設知，事務Ai，Bi相互獨立，且P(A0)＝P(B0)＝(eq\f(1,2))2＝eq\f(1,4)，P(A1)＝P(B1)＝2·(eq\f(1,2))2＝eq\f(1,2)，P(A2)＝P(B2)＝(eq\f(1,2))2＝eq\f(1,4)，記事務C＝“有員工被調劑”，則C＝A0B2＋A2B0，且A0B2，A2B0互斥，所以P(C)＝P(A0B2＋A2B0)＝P(A0)P(B2)＋P(A2)P(B0)＝2×eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,8)，故有員工被調劑的概率為eq\f(1,8).(2)記事務D＝“至少有1家店停業(yè)”，則D＝A2B1＋A1B2＋A2B2，且A2B1，A1B2，A2B2互斥，所以P(D)＝P(A2B1＋A1B2＋A2B2)＝P(A2B1)＋P(A1B2)＋P(A2B2)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(5,16)，故至少有一家店停業(yè)的概率為eq\f(5,16).6．解析：(1)設A為“甲回答對這道題”，B為“乙回答對這道題”，C為“丙回答對這道題”，則P(A)＝eq\f(3,4)，而P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－)))＝eq\f(1,12)，故[1－P(A)][1－P(C)]＝eq\f(1,12)，故P(C)＝eq\f(2,3)，又P(BC)＝P(B)P(C)＝eq\f(1,4)，故P(B)＝eq\f(3,8).故乙回答對這道題的概率為eq\f(3,8)，丙回答對這道題的概率為eq\f(2,3).(2)“甲、乙、丙三人同時回答這道題時恰有一人答錯該題”可表示為ABeq\o(C,\s\up6(－))＋eq\o(A,\s\up6(－))BC＋Aeq\o(B,\s\up6(－))C，而P(ABeq\o(C,\s\up6(－))＋eq\o(A,\s\up6(－))BC＋Aeq\o(B,\s\up6(－))C)＝P(ABeq\o(C,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－))BC)＋P(Aeq\o(B,\s\up6(－))C)＝eq\f(3,4)×eq\f(3,8)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)×eq\f(3,8)×eq\f(2,3)＋eq\f(3,4)×eq\f(5,8)×eq\f(2,3)＝eq\f(15,32).關鍵實力綜合練7．答案：ABD解析：對于A：拋擲兩枚質地勻稱的骰子，總的基本領件數(shù)為(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共36種，其中向上點數(shù)之和不小于10的有，(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共6種，則向上點數(shù)之和不小于10的概率為eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，故A正確；對于B：某同學須要從政治、地理、化學、生物四個學科中任選兩科參與高考有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝6種，選出的兩科中含有政治學科的有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(1))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))＝3種，則選出的兩科中含有政治學科的概率為eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，故B正確；對于C：該生在上學路上到第3個路口首次遇到紅燈，則前2個路口不是紅燈，第3個路口是紅燈，所以該生在上學路上到第3個路口首次遇到紅燈的概率為(1－eq\f(1,3))2×eq\f(1,3)＝eq\f(4,27)，故C錯誤；對于D：由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（1－P（A））（1－P（B））＝\f(1,9),P（A）（1－P（B））＝P（B）（1－P（A））))，解得P(A)＝P(B)＝eq\f(2,3)，故D正確．故選ABD.8．答案：BC解析：對于A，記(x，y)表示事務“第一枚點數(shù)為x，其次枚點數(shù)為y”，則事務A包含事務(1，2)，事務B也包含事務(1，2)，所以A∩B≠?，故A與B不互斥，故A錯誤；對于B，事務C包含的基本領件有(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)共5件，事務D包含的基本領件有(3，6)，(4，5)，(5，4)，(6，3)共4件，故C∩D＝?，即C與D互斥，故B正確；對于C，總的基本領件有6×6＝36件，事務A的基本領件有3×6＝18件，故P(A)＝eq\f(18,36)＝eq\f(1,2)，由選項B知P(D)＝eq\f(4,36)＝eq\f(1,9)，而事務AD包含的基本領件有(3，6)，(5，4)共2件，故P(AD)＝eq\f(2,36)＝eq\f(1,18)，所以P(AD)＝P(A)P(D)，故A與D獨立，故C正確；對于D，事務B的基本領件有6×3＝18件，故P(B)＝eq\f(18,36)＝eq\f(1,2)，由選項B知P(C)＝eq\f(5,36)，而事務BC包含的基本領件有(2，6)，(4，4)，(6，2)共3件，故P(BC)＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12)，所以P(B)P(C)＝eq\f(1,2)×eq\f(5,36)＝eq\f(5,72)≠eq\f(1,12)＝P(BC)，故B與C不獨立，故D錯誤．故選BC.9．答案：A解析：由于是有放回地摸球，事務A的發(fā)生并不影響事務B的發(fā)生，故A與B，A與eq\o(B,\s\up6(－))均相互獨立．故選A.10．答案：A解析：由題意可知，甲隊在第一場競賽輸了，若甲隊在0∶1落后的狀況下最終獲勝，分以下幾種狀況探討：①甲隊在其次、三、四場競賽都獲勝，概率為P1＝0.4×0.52＝0.1；②甲隊在其次場競賽輸了，在第三、四、五場競賽獲勝，概率為P2＝0.6×0.52×0.4＝0.06；③甲隊在其次、四、五場競賽獲勝，在第三場競賽輸了，概率為P3＝0.4×0.52×0.4＝0.04；④甲隊在其次、三、五場競賽獲勝，在第四場競賽輸了，概率為P4＝0.4×0.52×0.4＝0.04.綜上所述，所求概率為0.1＋0.06＋0.04×2＝0.24.故選A.11．答案：B解析：由題意可得門將在第一次射門就撲出點球的概率為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).故選B.12．解析：(1)設事務A1表示“甲在第一輪競賽中勝出”，事務A2表示“甲在其次輪競賽中勝出”，事務B1表示“乙在第一輪競賽中勝出”，事務B2表示“乙在其次輪競賽中勝出”，則A1A2表示“甲贏得競賽”，P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝eq\f(3,5)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,5)，B1B2表示“乙贏得競賽”，P(B1B2)＝P(B1)P(B2)＝eq\f(3,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,8)，∵eq\f(2,5)>eq\f(3,8)，∴派甲參賽贏得競賽的概率更大．(2)設C表示“甲贏得競賽”，D表示“乙贏得競賽”，由(1)知P(eq\o(C,\s\up6(－)))＝1－P(A1A2)＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5)，P(eq\o(D,\s\up6(－)))＝1－P(B1B2)＝1－eq\f(3,8)＝eq\f(5,8)，∴C∪D表示“兩人中至少有一個贏得競賽”，∴P(C∪D)＝1－P(eq\o(C,\s\up6(－))eq\o(D,\s\up6(－)))＝1－P(eq\o(C,\s\up6(－)))P(eq\o(D,\s\up6(－)))＝1－eq\f(3,5)×eq\f(5,8)＝eq\f(5,8)，所以兩人至少一人贏得競賽的概率為eq\f(5,8).核心素養(yǎng)升級練13．解析：(1)設該小組未能進入其次輪為事務A，則P(A)＝1－eq\f(3,4)×e