2024中考數(shù)學(xué)新定義及探究題專題 《圓與新定義》 （含解析）

《圓與新定義》中考數(shù)學(xué)新定義及探究題專題2024中考數(shù)學(xué)新定義及探究題專題《圓與新定義》（學(xué)生版）通用的解題思路：①對于圓中角度之間的等量關(guān)系，主要是兩個方面：一是同弧或者等弧所對的圓周角相等，同弧或者等弧所對的圓心角是圓周角的兩倍，二是圓內(nèi)接四邊形中外角等于內(nèi)角的對角。②對于求圓中的線段長度，主要從兩個方向著手，首先看是否可以用垂徑定理構(gòu)建直角三角形，用勾股定理來求線段的長度；如果勾股定理行不通，則嘗試著去找相似三角形，用相似三角形的對應(yīng)線段成比例來求線段的長度。1．（長沙中考）我們不妨約定：對角線互相垂直的凸四邊形叫做“十字形”．（1）①在“平行四邊形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四邊形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，則該四邊形“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如圖1，A，B，C，D是半徑為1的⊙O上按逆時針方向排列的四個動點，AC與BD交于點E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，當6≤AC2+BD2≤7時，求OE的取值范圍；（3）如圖2，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a＞0，c＜0）與x軸交于A，C兩點（點A在點C的左側(cè)），B是拋物線與y軸的交點，點D的坐標為（0，﹣ac），記“十字形”ABCD的面積為S，記△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面積分別為S1，S2，S3，S4．求同時滿足下列三個條件的拋物線的解析式；①=；②=；③“十字形”ABCD的周長為12．

2．（一中）定義:三角形一邊上的點將該邊分為兩條線段，且這兩條線段的積等于這個點到該邊所對頂點連線的平方，則稱這個點為三角形該邊的“好點”.如圖1，△ABC中，點D是BC邊上一點，連結(jié)AD，若，則稱點D是△ABC中BC邊上的“好點”.（1）如圖2，△ABC的頂點是網(wǎng)格圖的格點，請僅用直尺畫出AB邊上的一個“好點”.（2）△ABC中，BC=9，，，點D是BC邊上的“好點”，求線段BD的長.（3）如圖3，△ABC是的內(nèi)接三角形，OH⊥AB于點H，連結(jié)CH并延長交于點D．①求證：點H是△BCD中CD邊上的“好點”.②若的半徑為9，∠ABD=90°，OH=6，請直接寫出的值.

3．（青竹湖）我們不妨定義：有兩邊之比為1：的三角形叫敬“勤業(yè)三角形”．(1)下列各三角形中，一定是“勤業(yè)三角形”的是________；（填序號）①等邊三角形；②等腰直角三角形；③含角的直角三角形；④含角的等腰三角形．(2)如圖1，△是⊙O的內(nèi)接三角形，為直徑，為上一點，且，作，交線段于點，交⊙O于點，連接交于點．試判斷△和△是否是“勤業(yè)三角形”？如果是，請給出證明，并求出的值；如果不是，請說明理由；(3)如圖2，在（2）的條件下，當AF：FG＝2：3時，求的余弦值．

4．（華益）約定：若三角形一邊上的中線將三角形分得的兩個小三角形中有一個三角形與原三角形相似，我們則稱原三角形為關(guān)于該邊的“華益美三角”．例如，如圖1，在中，為邊上的中線，與相似，那么稱為關(guān)于邊的“華益美三角”．

(1)如圖2，在中，，求證：為關(guān)于邊的“華益美三角”；(2)如圖3，已知為關(guān)于邊的“華益美三角”，點是邊的中點，以為直徑的⊙恰好經(jīng)過點．①求證：直線與相切；②若的直徑為，求線段的長；已知為關(guān)于邊的“華益美三角”，，，求的面積．

5．（華益）約定：三角形的一條中線將三角形分成兩個小三角形，如果其中的一個小三角形與原三角形相似，那么稱原三角形為“華益三角”，這條中線叫做原三角形的“華益中線”，這條中線所在的邊叫做“華益邊”，原三角形與小三角形的相似比叫做“華益比”．(1)如圖1，已知是邊上的中線，若，那么就是“華益三角”，中線是的“華益中線”，邊就是的“華益邊”．愛思考的你們一定能發(fā)現(xiàn)：“華益三角”的“華益比”總是一個定值，以圖1為例，求出“華益比”；(2)如圖2，已知在中，，求證：是“華益三角”；(3)如圖3，已知是“華益三角”，邊是的“華益邊”，的外接圓的半徑是2．①若是一個銳角，求的值；②記，若，求的值．

6．（北雅）如圖1，⊙O的半徑為r（），若點在射線OP上，滿足，則稱點是點P關(guān)于⊙O的“反演點”．(1)若點A關(guān)于⊙O的“反演點”是本身，那么點A與⊙O的位置關(guān)系為（

）A．點A在⊙O內(nèi)

B．點A在⊙O上

C．點A在⊙O外(2)如圖1，若⊙O的半徑為4，點是點關(guān)于⊙O的“反演點”，且，過點P的直線與⊙O相切于點Q，求PQ長．(3)如圖2，若⊙O的半徑為4，點Q在⊙O上，點A在⊙O內(nèi)，且，點、分別是點Q、A關(guān)于⊙O的“反演點”，過點作且，連接，，求的最小值．

7．（青竹湖）定義：兩個角對應(yīng)互余，且這兩個角的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形叫做“青竹三角形”．如圖1，在△和中，若，且，則△和是“青竹三角形”．（1）以下四邊形中，一定能被一條對角線分成兩個“青竹三角形”的是；（填序號）①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形．（2）如圖2，△，，，點是上任意一點（不與點、重合），設(shè)AD、BD、CD的長分別為a、b、c，請寫出圖中的一對“青竹三角形”，并用含a、b的式子來表示；（3）如圖3，⊙O的半徑為4，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，且△ABC和△ADC是“青竹三角形”．①求的值；②若，，求△ABC和△ADC的周長之差．

8．（中雅）在平面直角坐標系xOy中，給出如下定義：若點P在圖形M上，點Q在圖形N上，稱線段PQ長度的最小值為圖形M，N的“雅近值”，記為d（M，N），特別地，若圖形M，N有公共點，規(guī)定d（M，N）＝0．(1)如圖1，⊙O的半徑為2，①點A（1，0），B（3，4），則d（A，⊙O）＝______，d（B，⊙O）＝______．②已知直線l：y＝x+4與⊙O，求直線l與⊙O的雅近值d（l，⊙O）．(2)如圖2，C為x軸正半軸上的一點，⊙C的半徑為1，直線y＝ax+b（a≠0）與x軸交于點D，與y軸交于點E．①若a＝﹣，b＝，線段DE與⊙C的“雅近值”d（DE，⊙O）＜，請直接寫出圓心C的橫坐標m的取值范圍；②若b＝，圓心C的橫坐標m＝，直線DE與⊙C的“雅近值”d（DE，⊙C）＝0，求a的取值范圍．

9．（廣益）婆羅摩芨多是公元7世紀古印度偉大的數(shù)學(xué)家，他在三角形、四邊形、零和負數(shù)的運算規(guī)則，二次方程等方面均有建樹，他也研究過對角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形，我們把這類對角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形稱為“婆氏四邊形”．（1）若平行四邊形ABCD是“婆氏四邊形”，則四邊形ABCD是．（填序號）①矩形；②菱形；③正方形（2）如圖1，RtABC中，∠BAC=90°，以AB為弦的⊙O交AC于D，交BC于E，連接DE、AE、BD，AB=6，，若四邊形ABED是“婆氏四邊形”，求DE的長．（3）如圖2，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，連接AC，BD，OA，OB，OC，OD，已知∠BOC+∠AOD=180°．①求證：四邊形ABCD是“婆氏四邊形”；②當AD+BC=4時，求⊙O半徑的最小值．

10．（雅禮）圓內(nèi)各幾何要素之間存在一定的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，這也是國內(nèi)外數(shù)學(xué)家感興趣的研究對象，其中就有對角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形．我們把這類對角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形稱為“雅系四邊形”．(1)若平行四邊形是“雅系四邊形”，則四邊形是______（填序號）；①矩形；②菱形；③正方形(2)如圖，四邊形內(nèi)接于圓，為圓內(nèi)一點，，且，求證：四邊形為“雅系四邊形”；(3)在（2）的條件下，，且．①當時，求的長度；②當?shù)拈L度最小時，請直接寫出的值．

11．（青竹湖）定義：有一組對角互補且一組鄰邊相等的四邊形叫做“完美四邊形”．(1)如圖1，四邊形是的內(nèi)接四邊形，且對角線平分，四邊形_______（填“是”或者“不是”）“完美四邊形”，若，且，則的直徑為；(2)如圖2，四邊形中，平分，于，．求證：四邊形為“完美四邊形”；(3)如圖3，在“完美四邊形”中，，，，對角線與相交于點，設(shè)，，求與的函數(shù)關(guān)系式，并求的最大值．

12．（師大附中）若凸四邊形的兩條對角線所夾銳角為，我們稱這樣的凸四邊形為“美麗四邊形”．(1)①在“平行四邊形、梯形、菱形、正方形”中，一定不是“美麗四邊形”的有；②若矩形是“美麗四邊形”，且，則；(2)如圖1，“美麗四邊形”內(nèi)接于⊙O，與相交于點P，且對角線為直徑，，求另一條對角線的長；(3)如圖2，平面直角坐標系中，已知“美麗四邊形”的四個頂點，B在第三象限，D在第一象限，與交于點O，且四邊形的面積為，若二次函數(shù)（a、b、c為常數(shù)，且）的圖象同時經(jīng)過這四個頂點，求a的值．2024中考數(shù)學(xué)新定義及探究題專題《圓與新定義》（解析版）通用的解題思路：①對于圓中角度之間的等量關(guān)系，主要是兩個方面：一是同弧或者等弧所對的圓周角相等，同弧或者等弧所對的圓心角是圓周角的兩倍，二是圓內(nèi)接四邊形中外角等于內(nèi)角的對角。②對于求圓中的線段長度，主要從兩個方向著手，首先看是否可以用垂徑定理構(gòu)建直角三角形，用勾股定理來求線段的長度；如果勾股定理行不通，則嘗試著去找相似三角形，用相似三角形的對應(yīng)線段成比例來求線段的長度。1．（長沙中考）我們不妨約定：對角線互相垂直的凸四邊形叫做“十字形”．（1）①在“平行四邊形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四邊形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，則該四邊形“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如圖1，A，B，C，D是半徑為1的⊙O上按逆時針方向排列的四個動點，AC與BD交于點E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，當6≤AC2+BD2≤7時，求OE的取值范圍；（3）如圖2，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a＞0，c＜0）與x軸交于A，C兩點（點A在點C的左側(cè)），B是拋物線與y軸的交點，點D的坐標為（0，﹣ac），記“十字形”ABCD的面積為S，記△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面積分別為S1，S2，S3，S4．求同時滿足下列三個條件的拋物線的解析式；①=；②=；③“十字形”ABCD的周長為12．【詳解】解：（1）①∵菱形，正方形的對角線互相垂直，∴菱形，正方形是：“十字形”，∵平行四邊形，矩形的對角線不一定垂直，∴平行四邊形，矩形不是“十字形”，故答案為菱形，正方形；②如圖，當CB=CD時，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC，∵AB=AD，∴AC⊥BD，∴當CB≠CD時，四邊形ABCD不是“十字形”，故答案為不是；（2）∵∠ADB+∠CBD=∠ABD+∠CDB，∠CBD=∠CAD,∠CDB=∠CAB，∴∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB，∴180°﹣∠AED=180°﹣∠AEB，∴∠AED=∠AEB=90°，∴AC⊥BD，過點O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，連接OA，OD，∴OA=OD=1，OM2=OA2﹣AM2，ON2=OD2﹣DN2，AM=AC，DN=BD，四邊形OMEN是矩形，∴ON=ME，OE2=OM2+ME2，∴OE2=OM2+ON2=2﹣（AC2+BD2），∵6≤AC2+BD2≤7，∴2﹣≤OE2≤2﹣，∴≤OE2≤，∴≤OE≤；（3）由題意得，A（，0），B（0，c），C（，0），D（0，﹣ac），∵a＞0，c＜0，∴OA=，OB=﹣c，OC=，OD=﹣ac，AC=，BD=﹣ac﹣c，∴S=AC?BD=﹣（ac+c）×，S1=OA?OB=﹣，S2=OC?OD=﹣，S3=OA×OD=﹣，S4=OB×OC=﹣，∵，，∴，∴=2，∴a=1，∴S=﹣c，S1=﹣，S4=﹣，∵，∴S=S1+S2+2，∴﹣c=﹣，∴∴∴b=0，∴A（，0），B（0，c），C（，0），d（0，﹣c），∴四邊形ABCD是菱形，∴4AD=12，∴AD=3，即：AD2=90，∵AD2=c2﹣c，∴c2﹣c=90，∴c=﹣9或c=10（舍），即：y=x2﹣9．2．（一中）定義:三角形一邊上的點將該邊分為兩條線段，且這兩條線段的積等于這個點到該邊所對頂點連線的平方，則稱這個點為三角形該邊的“好點”.如圖1，△ABC中，點D是BC邊上一點，連結(jié)AD，若，則稱點D是△ABC中BC邊上的“好點”.（1）如圖2，△ABC的頂點是網(wǎng)格圖的格點，請僅用直尺畫出AB邊上的一個“好點”.（2）△ABC中，BC=9，，，點D是BC邊上的“好點”，求線段BD的長.（3）如圖3，△ABC是的內(nèi)接三角形，OH⊥AB于點H，連結(jié)CH并延長交于點D．①求證：點H是△BCD中CD邊上的“好點”.②若的半徑為9，∠ABD=90°，OH=6，請直接寫出的值.【詳解】（1）如圖所示：D點及為AB邊上的“好點”（2）作AE⊥BC于點E，由，可設(shè)AE=4x，則BE=3x，CE=6x，∴BC=9x=9，∴，∴BE=3，CE=6，AE=4，設(shè)DE=a，①若點D在點E左側(cè)，由點D是BC邊上的“好點”知，，∴，即，解得，（舍去），∴.②若點D在點E右側(cè)，由點D是BC邊上的“好點”知，，∴，即，解得，（舍去），∴.∴或5.（3）①∵∠CHA=∠BHD，∠ACH=∠DBH，∴△AHC∽△DHB，∴，即，∵OH⊥AB，∴AH=BH，∴，∴點H是△BCD中CD邊上的“好點”.②連接AD.∵∠ABD=90°，∴AD為直徑，∵OH⊥AB，OH=6，∴，BD=2OH=12，∴BH=AH=，∴，由①得：，即，∴CH=，∴.3．（青竹湖）我們不妨定義：有兩邊之比為1：的三角形叫敬“勤業(yè)三角形”．(1)下列各三角形中，一定是“勤業(yè)三角形”的是________；（填序號）①等邊三角形；②等腰直角三角形；③含角的直角三角形；④含角的等腰三角形．(2)如圖1，△是⊙O的內(nèi)接三角形，為直徑，為上一點，且，作，交線段于點，交⊙O于點，連接交于點．試判斷△和△是否是“勤業(yè)三角形”？如果是，請給出證明，并求出的值；如果不是，請說明理由；(3)如圖2，在（2）的條件下，當AF：FG＝2：3時，求的余弦值．【詳解】（1）解：①等邊三角形各邊的比值為1，故等邊三角形不是“勤業(yè)三角形”；②等腰直角三角形兩直角邊的比值為1，直角邊與斜邊的比為，故等腰直角三角形不是“勤業(yè)三角形”；③設(shè)含角的直角三角形的最短邊長為a，則斜邊長為2a，另一條直角邊長為，，故含角的直角三角形是“勤業(yè)三角形”；④如圖：中，AB=AC，，過點A作于點D，，設(shè)AD=a，則AB=AC=2a，，，，含角的等腰三角形是“勤業(yè)三角形”；故答案為：③④；（2）解：△和△都是“勤業(yè)三角形”，證明如下：如圖：連接OE，設(shè)，，，，又，，即，，又，，，，，，，，，，△和△都是“勤業(yè)三角形”，；（3）解：如圖：過點G作交DE于點I，，，，，，，，，設(shè)EG=3a，EB=4a，由(2)知，，，，，，，在中，，即．4．（華益）約定：若三角形一邊上的中線將三角形分得的兩個小三角形中有一個三角形與原三角形相似，我們則稱原三角形為關(guān)于該邊的“華益美三角”．例如，如圖1，在中，為邊上的中線，與相似，那么稱為關(guān)于邊的“華益美三角”．

(1)如圖2，在中，，求證：為關(guān)于邊的“華益美三角”；(2)如圖3，已知為關(guān)于邊的“華益美三角”，點是邊的中點，以為直徑的⊙恰好經(jīng)過點．①求證：直線與相切；②若的直徑為，求線段的長；已知為關(guān)于邊的“華益美三角”，，，求的面積．【詳解】（1）∵為的中線，∴，即，∵，∴，又∵，，∴，又∵，∴；∴為關(guān)于邊的“華益美三角”；（2）①證明：連接，如圖，

由題意可知，∴，又∵為的直徑，∴，又∵，∴，∴，∴，又∵為的半徑，∴為的切線；②∵由題意可知，，∴，，∴，∵的直徑為，∴，，∴，∵，∴，∴，∵在中，，∴，解得：（負值舍去）；（3）分類討論：當時，過A點作于點E，如圖，

∵為關(guān)于邊的“華益美三角”，，，∴，，∴，即，∴，∵，，∴，∴；當時，過A點作于點，如圖，

∵為關(guān)于邊的“華益美三角”，，，∴，，∴，即，∴，根據(jù)還有：，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，且，∴，∴，∴，∴；綜上：的面積為或或．5．（華益）約定：三角形的一條中線將三角形分成兩個小三角形，如果其中的一個小三角形與原三角形相似，那么稱原三角形為“華益三角”，這條中線叫做原三角形的“華益中線”，這條中線所在的邊叫做“華益邊”，原三角形與小三角形的相似比叫做“華益比”．(1)如圖1，已知是邊上的中線，若，那么就是“華益三角”，中線是的“華益中線”，邊就是的“華益邊”．愛思考的你們一定能發(fā)現(xiàn)：“華益三角”的“華益比”總是一個定值，以圖1為例，求出“華益比”；(2)如圖2，已知在中，，求證：是“華益三角”；(3)如圖3，已知是“華益三角”，邊是的“華益邊”，的外接圓的半徑是2．①若是一個銳角，求的值；②記，若，求的值．【詳解】（1）如圖，

∵為的中線，∴，設(shè)，即，設(shè)，∵∴，∴，∴，∴（負值舍去），即“華益比”為；（2）解：如圖所示，過點作于點，取的中點，連接，∵，∴，則，∴，∵，∴，又，∴，且相似比為，∴是“華益三角”；（3）解：如圖所示，連接，過點作于點，∵，∴，又∵，∴，，∴，∴；②如圖所示，取的中點，連接，過點作于點，∵是“華益三角”，邊是的“華益邊”，∴，，∵，，則，∴，，∵∴∴，則，在中，，∴，解得：或（舍去）．6．（北雅）如圖1，⊙O的半徑為r（），若點在射線OP上，滿足，則稱點是點P關(guān)于⊙O的“反演點”．(1)若點A關(guān)于⊙O的“反演點”是本身，那么點A與⊙O的位置關(guān)系為（

）A．點A在⊙O內(nèi)

B．點A在⊙O上

C．點A在⊙O外(2)如圖1，若⊙O的半徑為4，點是點關(guān)于⊙O的“反演點”，且，過點P的直線與⊙O相切于點Q，求PQ長．(3)如圖2，若⊙O的半徑為4，點Q在⊙O上，點A在⊙O內(nèi)，且，點、分別是點Q、A關(guān)于⊙O的“反演點”，過點作且，連接，，求的最小值．【詳解】（1）∵點A關(guān)于⊙O的“反演點”是本身，∴，∴OA=r，∴點A在⊙O上，故選：B；（2）如圖：過P做PQ與⊙O相切于Q，連接OQ，∵PQ與⊙O相切于Q，∴，，由新定義可得：，∴，∴，在中，；（3）連接AQ，AB，由題意可得：，又∵，∴，∴，∴，∴，∵，，OA＝2，∴，，在Rt△中，，∴．7．（青竹湖）定義：兩個角對應(yīng)互余，且這兩個角的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形叫做“青竹三角形”．如圖1，在△和中，若，且，則△和是“青竹三角形”．（1）以下四邊形中，一定能被一條對角線分成兩個“青竹三角形”的是；（填序號）①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形．（2）如圖2，△，，，點是上任意一點（不與點、重合），設(shè)AD、BD、CD的長分別為a、b、c，請寫出圖中的一對“青竹三角形”，并用含a、b的式子來表示；（3）如圖3，⊙O的半徑為4，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，且△ABC和△ADC是“青竹三角形”．①求的值；②若，，求△ABC和△ADC的周長之差．【詳解】解：（1）矩形與正方形的每個內(nèi)角都為90°，它們的一條對角線可以將矩形、正方形分成兩個角對應(yīng)互余，且這兩個角的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形，②④符合題意，①③不符合題意，故答案為：②④；（2）中，，，△ACD和△BCD是“青竹三角形”，過點D作，，四邊形是矩形，，與都是等腰直角三角形，，中，，；（3）①連接DO并延長交⊙O于E，連接AE、CE，如圖：∵△ABC和△ADC是“青竹三角形”，∴∠ACD+∠BAC=90°，∵DE是⊙O直徑，∴∠ECD=90°，∴∠ACE+∠ACD=90°，∴∠BAC=∠ACE，又∵，∴∠AEC=∠ABC，在△AEC與△CBA中，∴△AEC≌△CBA（AAS），∴AE=BC，∴在Rt△EAD中，AD2+AE2=AD2+BC2=DE2=82=64，∴AD2+BC2的值為64；②∵△ABC和△ADC是“青竹三角形”∴∠ACD+∠BAC=90°，，，，，，，四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形，，，，中，，∵△ABC和△ADC的周長之差=AB+BC-AD-CD，AE=BC,EC=BA，∴AB+BC-AD-CD=EC+AE-AD-CD=EC-DC=，∴△ABC和△ADC的周長之差為．8．（中雅）在平面直角坐標系xOy中，給出如下定義：若點P在圖形M上，點Q在圖形N上，稱線段PQ長度的最小值為圖形M，N的“雅近值”，記為d（M，N），特別地，若圖形M，N有公共點，規(guī)定d（M，N）＝0．(1)如圖1，⊙O的半徑為2，①點A（1，0），B（3，4），則d（A，⊙O）＝______，d（B，⊙O）＝______．②已知直線l：y＝x+4與⊙O，求直線l與⊙O的雅近值d（l，⊙O）．(2)如圖2，C為x軸正半軸上的一點，⊙C的半徑為1，直線y＝ax+b（a≠0）與x軸交于點D，與y軸交于點E．①若a＝﹣，b＝，線段DE與⊙C的“雅近值”d（DE，⊙O）＜，請直接寫出圓心C的橫坐標m的取值范圍；②若b＝，圓心C的橫坐標m＝，直線DE與⊙C的“雅近值”d（DE，⊙C）＝0，求a的取值范圍．【詳解】（1）①如圖1，連接OB，過點B作BH⊥x軸于點H，∵⊙O的半徑為2，點A（1，0），∴d（A，⊙O）＝2﹣1＝1；∵B（3，4），∴OB＝＝5，∴d（B，⊙O）＝5﹣2＝3．故答案為：1，3．②如圖1，過點O作OT⊥l于點T，設(shè)直線l：y＝x+4與x軸交于P，與y軸交于Q，令y＝0，則x+4＝0，解得：x＝﹣3，∴P（﹣3，0），令x＝0，得y＝4，∴Q（0，4），在Rt△POQ中，OP＝3，OQ＝4，∠POQ＝90°，∴PQ＝＝＝5，∵PQ?OT＝OP?OQ，∴OT＝＝,∴d（l，⊙O）＝．（2）①過點C作CN⊥DE于N，如圖2，∵直線y＝﹣x+與x軸交于點D，與y軸交于點E，∴D（5，0），E（0，），∴OD＝5，OE＝，∴tan∠ODE＝＝＝，∴∠ODE＝30°，a）當點C在點D左邊時，∵C（m，0），∴OC＝m，∴CD＝5﹣m，∴CN＝CD?sin∠CDN＝（5﹣m）?sin30°＝，∵線段DE與⊙C的“雅近值”d（DE，⊙C）＜，∴0＜＜+1，∴2＜m＜5，b）當點C與點D重合時，m＝5．此時d（DE，⊙C）＝0．c）當點C在點D的右邊時，m＞5．∵線段DE與⊙C的“雅近值”d（DE，⊙C）＜，可得m＝5+1.5＝6.5∴5＜m＜6.5．綜上所述：2＜m＜6.5．②如圖3，DM、DN與x軸交軸于E1、E2，連接CD，過點C作CM⊥DF于M，CN⊥DE于N，在Rt△CDO中，CD＝＝＝，∵直線DE與⊙C的“雅近值”d（DE，⊙C）＝0，∴直線DE與⊙C有公共點，當直線DE與⊙C相切時，CM＝CN＝1，設(shè)CE1＝x，則OE1＝x+，∵∠CNE1＝∠DOE1＝90°，∠CE1N＝∠DE1O，∴△CE1N∽△DE1O，∴＝，即＝，∴E1N＝＝，在Rt△CDN中，DN＝＝＝3，∴DM＝DN＝3，DE1＝+3＝，∵△CE1N∽△DE1O，∴＝，即＝，解得：x＝，∴CE1＝，∴E1（，0），將E1（，0）代入y＝ax+，得：a+＝0，解得：a＝﹣1，設(shè)OE2＝m，則CE2＝﹣m，∵∠CME2＝∠DOE2＝90°，∠CE2M＝∠DE2O，∴△CE2M∽△DE2O，∴＝＝，即＝＝，∴E2M＝m，DE2＝4﹣m，∵DE2+E2M＝3，∴4﹣m+m＝3，解得：m＝，∴E2（，0），將E2（，0）代入y＝ax+，得：a+＝0，解得：a＝﹣7，綜上，a的取值范圍為﹣7≤a≤﹣1．9．（廣益）婆羅摩芨多是公元7世紀古印度偉大的數(shù)學(xué)家，他在三角形、四邊形、零和負數(shù)的運算規(guī)則，二次方程等方面均有建樹，他也研究過對角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形，我們把這類對角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形稱為“婆氏四邊形”．（1）若平行四邊形ABCD是“婆氏四邊形”，則四邊形ABCD是．（填序號）①矩形；②菱形；③正方形（2）如圖1，RtABC中，∠BAC=90°，以AB為弦的⊙O交AC于D，交BC于E，連接DE、AE、BD，AB=6，，若四邊形ABED是“婆氏四邊形”，求DE的長．（3）如圖2，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，連接AC，BD，OA，OB，OC，OD，已知∠BOC+∠AOD=180°．①求證：四邊形ABCD是“婆氏四邊形”；②當AD+BC=4時，求⊙O半徑的最小值．【詳解】解：（1）如下圖，∵平行四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠ABC=∠ADC，∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴平行四邊形ABCD為矩形，∵四邊形ABCD是“婆氏四邊形”，∴AC⊥BD，∴矩形ABCD為正方形，故答案為：③；（2）∵∠BAC=90°，AB=6，，∴，,BD為直徑，∴∠BED=∠DEC=90°，∵四邊形ABED是“婆氏四邊形”，∴AE⊥BD，∴AD=DE，AB=BE=6，設(shè)AD=DE=m，則DC=8-m，EC=10-6=4，在Rt△EDC中，根據(jù)勾股定理,,即，解得，即DE=3；（3）①設(shè)AC，BD相交于點E如圖所示∵，，∠BOC+∠AOD=180°∴，∴∠CED=90°，即AC⊥BD，又∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴四邊形ABCD是“婆氏四邊形”；②如下圖，作OM，ON分別垂直與AD，BC，∴，，∠AMO=∠BNO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°，∵OA=OB=OC=OD，∴,，∵∠BOC+∠AOD=180°，∴，∴，在△OAM和△BON中∵∴△OAM≌△BON（AAS），∴，∵AD+BC=4，設(shè)，則，，，在Rt△BON中，，當時，取得最小值，即⊙O半徑的最小值為．10．（雅禮）圓內(nèi)各幾何要素之間存在一定的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，這也是國內(nèi)外數(shù)學(xué)家感興趣的研究對象，其中就有對角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形．我們把這類對角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形稱為“雅系四邊形”．(1)若平行四邊形是“雅系四邊形”，則四邊形是______（填序號）；①矩形；②菱形；③正方形(2)如圖，四邊形內(nèi)接于圓，為圓內(nèi)一點，，且，求證：四邊形為“雅系四邊形”；(3)在（2）的條件下，，且．①當時，求的長度；②當?shù)拈L度最小時，請直接寫出的值．【詳解】（1）解：若平行四邊形是“雅系四邊形”，則四邊形是