高中數(shù)學(xué)同步導(dǎo)學(xué)-(222)推理與證明

2.1合情推理與演繹推理

（一）基礎(chǔ)知識梳理：

1.歸納推理：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推

理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理（簡稱歸納）。

簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理。

2.類比推理：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具

有這些特征的推理，稱為類比推理（簡稱類比）。

簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理。

3.合情推理：歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，

再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，它們統(tǒng)稱為合情推理。

4.演繹推理：從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，稱為演繹推理。

簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理?！叭握摗笔茄堇[推理的一般形式。

（二）例題分析：

例1.根據(jù)下列已知條件，分別歸納出數(shù)列的通項公式：

（1）數(shù)列｛%｝中，/=1,an=2a+1,（?>2）；

（2）數(shù)列｛%｝中,a,=1,。,用=廣一

2+?！?/p>

例2.在AABC中，不等式上+1+^2?成立；在四邊形ABCD中，不等式,+工+工+工2工

ABC7TABCD2兀

成立；在五邊形ABCDE中，不等式工+工+工+工+工2生成立.據(jù)此可以猜想，在n邊形

ABCDE37r

A4…中，不等式成立。

例3.（2007廣東文、理）圖3是某汽車維修公司的維修點環(huán)形分布圖公司在年初分配給A、B、C、I）四個

維修點某種配件各50件.在使用前發(fā)現(xiàn)需將A、B、C、D四個維修點的這批

配件分別調(diào)整為40、45、54、61件，但調(diào)整只能在相鄰維修點之間進行.那

么要完成上述調(diào)整，最少的調(diào)動件次（n件配件從一個維修點調(diào)整到相鄰維

修點的調(diào)動件次為2為（）

A.18B.17C.16D.15

例4.（2004廣東）由圖（1）有面積關(guān)系:

S.BPAPB

則由圖（2）有體積關(guān)系：上"

（三）基礎(chǔ)訓(xùn)練:

1、（2012江西理）觀察下列各式：。+〃=1,。2+〃2=3,。3+〃3=4,/+〃4=7,。5+〃5=11,

則屋+RO=()

A.28B.76C.123D.199

2.(2010廣東文)在集合｛mb,c,由上定義兩種運算十和③如下:

?abed@abedABCDE

aabedaaaaaA05456

bbbbbbabedB50762

ccbebcaccaC47098.6

ddbbddadadD56905

那么d（8）（。十c）=（）E628.650

A.aB.bC.cD.d

3.(2009廣東文)廣州2010年亞運會火炬?zhèn)鬟f在A,B,C,D,E五個城市之間進行，各城市之間的距離(單

位：百公里)見右表。若以A為起點，E為終點，每個城市經(jīng)過且只經(jīng)過一次，那么火炬?zhèn)鬟f的最短

路線距離是()

A.20.6B.21C.22D.23

4.(2008陜西文、理)為提高信息在傳輸中的抗干擾能力，通常在原信息中按一定規(guī)則加入相關(guān)數(shù)據(jù)

組成傳輸信息.設(shè)定原信息為-后｛01｝(目=0，1，2),傳輸信息為％1a24，其中

十q,%=")①a?,十運算規(guī)則為：0十0=0,0十1=1,1十0=1,1十1=0,例如原

信息為111,則傳輸信息為01111.傳輸信息在傳輸過程中受到干擾可能導(dǎo)致接收信息出錯，則下列

接收信息一定有誤的是()

A.11010B.01100C.10111D.00011

5、(2006廣東)對于任意的兩個實數(shù)對(”,b)和(c,d),規(guī)定(a,b)=(c,d)當且僅當a=c,b=d;運算“③”

為：(a,b)0(c,d)=(ac—hd,hc+ad),運算"十”為：(a,b)十(c,d)-(a+c,b+d),設(shè)p,qeR,

若(1,2)?(p,q)=(5,0)則(1,2)十(p,q)=()

A.(4,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,-4)

6.(2016全國H文、理)有三張卡片，分別寫有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一張

卡片，甲看了乙的卡片后說：''我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2"，乙看了丙的卡片后說：“我與丙

的卡片上相同的數(shù)字不是1"，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”.則甲的卡片上的數(shù)字是.

7.(2016北京文).某網(wǎng)店統(tǒng)計了連續(xù)三天售出商品的種類情況：第一天售出19種商品，第二天售出

13種商品，第三天售出18種商品；前兩天都售出的商品有3種，后兩天都售出的商品有4種，則該

網(wǎng)店①第一天售出但第二天未售出的商品有種；②這三天售出的商品最少有種.

8.（2010陜西理）觀察下列等式：13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,

根據(jù)上述規(guī)律，號五個等或為?

9.(2007廣東理)如果一個凸多面體〃棱錐，那么這個凸多面體的所有頂點所確定的直線共有條.

這些直線中共有/(〃)對異面直線，則/(4)=;/(〃)=.(答案用數(shù)字或〃的

解析式表示)

10.(2006湖北文)半徑為r的圓的面積S(r)=〃d,周長C(r)=2〃r,若將r看作(0,十8)上的

變量，貝I(%一)'=2?rr①，

①式可以用語言敘述為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長函數(shù)。

對于半徑為R的球，若將R看作(0,+8)上的變量，請你寫出類似于①的式子：

___________________________________________②

②式可以用語言敘述為：。

歷屆高考中的“合悟■推理與演絳推理”試題選編

1.（2006陜西文、理）為確保信息安全，信息需加密傳輸,發(fā)送方由明文一密文（加密），接收方由

密文一明文（解密），已知加密規(guī)則為:明文a,b,c,d對應(yīng)密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如，明文1,2,3,4

對應(yīng)密文5,7,18,16.當接收方收到密文14,9,23,28時,則解密得到的明文為（）

A.4,6,1,7B.7,6,1,4C.6,4,1,7D.1,6,4,7

2.（2005全國III文、理）計算機中常用十六進制是逢16進1的計數(shù)制，采用數(shù)字。?9和字母A?

F共16個計數(shù)符號，這些符號與十進制的數(shù)的對應(yīng)關(guān)系如下表：

16進制0123456789ABCDEF

10進制0123456789101112131415

例如，用十六進制表示：E+D=1B,則AXB=()

A.6EB.72C.5FD.BO

3.（2012全國大綱卷文）正方形A8CD的邊長為1,點E在邊A3上，點/在邊BC上，

AE=BF=-.動點尸從E出發(fā)沿直線向/運動，每當碰到正方形的邊時反彈，反彈時反射角等于

3

入射角，當點P第一次碰到E時，P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為（）

（A）8（B）6（C）4（D）3

4.（2014北京理）學(xué)生的語文、數(shù)學(xué)成績均被評為三個等級，依次為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”.

若學(xué)生甲的語文、數(shù)學(xué)成績都不低于學(xué)生乙，且其中至少有一門成績高于乙，則稱“學(xué)生甲比學(xué)生乙

成績好”.如果一組學(xué)生中沒有哪位學(xué)生比另一位學(xué)生成績好，并且不存在語文成績相同、數(shù)學(xué)成績

也相同的兩位學(xué)生，那么這組學(xué)生最多有（）

A.2人B.3人C.4人D.5人

5.（2002春招上海）一個封閉的立方體，它的6個表

面各標出A、B、C、D、E這6個字母中的1個字

母，現(xiàn)放成下面3個不同位置所看見的表面上的字母

已標明，則字母A、B、C對面的字母分別是（）

（A）D、E、F（B）F、D、E

（C）E、F、D（D）E、D、F

6.（2001江西、山西、天津文、理，廣東，全國文、理）如圖，小

圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點，結(jié)點之間的連線表示它們有網(wǎng)線相聯(lián)，連線標

注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時間內(nèi)可以通過的最大信息量.現(xiàn)從結(jié)點

A向結(jié)點B傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時傳遞，則單位

時間內(nèi)傳遞的最大信息量為（）

（A）26（B）24（C）20（D）19

7.（2015福建理）一個二元碼是由0和1組成的數(shù)字串王形士6€%*）,其中/（％=1,2,,n）

稱為第2位碼元，二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時會發(fā)生碼元錯誤（即碼元由0變

為1,或者由1變?yōu)?）

%十七十/十毛=°，

已知某種二元碼玉/工7的碼元滿足如下校驗方程組：十工十/十%7=°，

%十￡十%5十=°，

其中運算十定義為：0十0=0,0十1=1,1十0=1,1十1=0.

現(xiàn)已知一個這種二元碼在通信過程中僅在第％位發(fā)生碼元錯誤后變成了1101101,那么利用上述校驗

方程組可判定攵等于

8.（2009江西理）一個平面封閉區(qū)域內(nèi)任意兩點距離的最大值稱為該區(qū)域的“直徑”，封閉區(qū)域邊界曲

線的長度與區(qū)域直徑之比稱為區(qū)域的“周率”，下面四個平面區(qū)域（陰影部分）的周率從左到右依次

記為G"2/3，2，則下列關(guān)系中正確的為()

A.71>r4>r3B.>r,>r2

C.r4>r2>r3D.r3>r4>r.

9.（2004春招上海）根據(jù)下列5個圖形及相應(yīng)點的個.

數(shù)的變化規(guī)律，試猜測第八個圖中有...?：

個占.-???????：：???

（1）⑵：：（3）：（4）

10.（2008江蘇）將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：1

按照以上排列的規(guī)律，第n行（n23）從左向右的第3個數(shù)456

為.78910

11.（2007上海文）某工程由AB,C,。四道工序組成，完成它們需用時間依次為2,5,x,4天.四道

工序的先后順序及相互關(guān)系是：A8可以同時開工；A完成后，C可以開工；B,C完成后，?？?/p>

以開工.若該工程總時數(shù)為9天，則完成工序C需要的天數(shù)元最大是.

12.（2014北京文）顧客請一位工藝師把A、6兩件玉石原料各制成一件工藝品，工藝師帶一位徒弟

完成這項任務(wù)，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工藝師進行精加工完成制作，兩件工藝品都

完成后交付顧客，兩件原料每道工序所需時間（單位：工作日）如下：

、\工序

----------粗加工精加工

原料

原料A'915

原料8621

則最短交貨期為工作日.

13.（2014福建理）若集合{a,0,c,d}={1,2,3,4},且下列四個關(guān)系:①。=1；②力《1；③c=2；

④d。4有且只有一個是正確的，則符合條件的有序數(shù)組（a,Ac,〃）的個數(shù)是.

14（2014全國新課標I文、理）甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A,B,C三個城市時,

甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市；乙說：我沒去過C城市；

丙說：我們?nèi)巳ミ^同一個城市.由此可判斷乙去過的城市為.

15、（2006廣東）在德國不萊梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商場櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干

準“正三棱錐”形的展品，其中第一堆只有一層，就一個乒乓球；

第2、3、4、…堆最底層（第一層）分別按圖4所示方式固定擺放.

從第一層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層

就放一個乒乓球，以/（〃）表示第n堆的乒乓球總數(shù)，則

/（3）=；/（〃）=（答案用n表示）

圖4

(l+l)=2xl

16.(2013陜西文)觀察下列等式：(2+1)(2+2)=2葭1x3…照此規(guī)律，第〃個等式可為

(3+l)(3+2)(3+3)=23x1x3x5

17.(2013陜西理)觀察下列等式：尸=1,I2-22=-3,12-22+32=6,I2-22+32-42=-10...

照此規(guī)律，第〃個等式可為—l2-22+32----+(-l)n-'n2=7n(n+l)—.

2

2.2直接證明與間接證明2.3數(shù)學(xué)歸納法

(一)基礎(chǔ)知識梳理：

1.綜合法：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所

要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法。綜合法，又叫順推證法或由因?qū)Чā?/p>

2.分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直到最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)

為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止。這種證明的方法叫做分析法。

分析法，又叫逆推證法或執(zhí)果索因法。

3.反證法：假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了

原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。反證法的理論依據(jù)是：原命題與它的逆否命題同真同假。

4.數(shù)學(xué)歸納法：證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進行：

(1)(歸納奠基)證明當n取第一個值〃。時命題成立；

(2)(歸納遞推)假設(shè)n=k(ZN〃o，攵eN*)時命題成立，證明當n=k+l時命題也成立。只要完

成這兩個步驟，就可以斷定命題對從％開始的所以正整數(shù)n都成立.

這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。

(~)例題分析：

例1.已知AABC的三邊a,b,c的倒數(shù)成等差數(shù)列，求證：B<90°.

例2.(2010上海文)若實數(shù)x、y、滿足-同<卜一時，則稱x比y接近"

(1)若/一1比3接近0,求x的取值范圍；

(2)對任意兩個不相等的正數(shù)4、2，證明：。2/7+4/?2比43+/?3接近2。4兒石；

(3)已知函數(shù)/(x)的定義域eZ,xe/?}.任取xe。，f(x)等于1+sinx和l-sinx

中接近0的那個值.寫出函數(shù)/(x)的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調(diào)性(結(jié)

論不要求證明).

例3.證明：l-22+2-32+---n(n+l)2=(3n2+lln+10).對一切自然數(shù)n都成立。

(據(jù)1989全國理科改編)

（三）基礎(chǔ)訓(xùn)練：

1.（2008全國I卷理）設(shè)函數(shù)/（x）=x-xlnx.數(shù)列｛4｝滿足0<q<1,an+l=f（an）.

（I）證明：函數(shù)/（x）在區(qū)間（0,1）是增函數(shù)；（H）證明：a?<an+i<1；

2.（2009陜西理）已知數(shù)列｛七｝滿足，xn+=^—,neN\

。）猜想數(shù)列｛々”｝的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（H）證明：1%+「西」<\（|）"T。

3、（2010安徽理）設(shè)數(shù)列q,4,,a?,中的每一項都不為0。

證明：｛4｝為等差數(shù)列的充分必要條件是：對任何〃eN,都有「一+」-++」一=」一

。2a3a“*a,an+l

4.(2006湖南理)已知函數(shù)/(x)=x-sinx,數(shù)列｛%｝滿足：0<q<1,a“+i=/(%),〃=1,2,3,

證明：(I).0<a<a<l;(II).

ll+lno

（2004遼寧）已知函數(shù)/?。）=奴一3/的最大值不大于L又當時

5.

26428

（1）求a的值；⑵設(shè)0<q=/（a“）,〃eN+.證明a“<」一.

2n+l

6.（2007湖北理）已知如〃為正整數(shù).（I）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當x>T時，（1+—

n

(1Y1m]Y"

(II)對于〃26,已知1------<—.求證1一一—<nr\,1,2…,〃；

I〃+3)2I"+3J%

“合情推理與演絳推理”補充練習(xí)

V2

1.(2002全國理，天津理，廣東、江蘇、河南卷)已知函數(shù)/(x)=」■下，那么

1+x

/(D+/(2)+/(1)+/(3)+/(1)+/(4)+公)=。

2.(2003天津文科)在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)4ABC的兩邊AB,AC互相垂直，則

AB?+AC2=BC2.”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間

的關(guān)系?？梢缘贸龅恼_結(jié)論是：“設(shè)三棱錐A—BCD的三個側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩相互

垂直，則_______________________________________________

3.(2013湖北文)在平面直角坐標系中，若點尸(x,y)的坐標x,y均

為整數(shù)，則稱點尸為格點.若一個多邊形的頂點全是格點，則稱該多

邊形為格點多邊形.格點多邊形的面積記為5,其內(nèi)部的格點數(shù)記為

N,邊界上的格點數(shù)記為L例如圖中△ABC是格點三角形，對應(yīng)的

S=1,N=0,L=4.

(I)圖中格點四邊形DEFG對應(yīng)的S,N,L分別是；

(II)已知格點多邊形的面積可表示為S=aN+〃+c,其中mb,c

為常數(shù).若某格點多邊形對應(yīng)的N=71,L=18,則5=,X

(用數(shù)值作答).

4.(2005廣東)設(shè)平面內(nèi)有〃條直線(〃23),其中有且僅有兩條直線互相平行,任意三條直線不過同

一點.若用/(?)表示這n條直線交點的個數(shù)，則/(4)=—；當”>4時/(n)=(用n表示).

o_i_h

5.(2001春招上海)若記號“*”表示求兩個實數(shù)a與6的算術(shù)平均數(shù)的運算，即a*b=——，則

2

兩邊均含有運算符號“*”和“+”，且對于任意3個實當選。、b、c都能成立的一個等式可以是.

6.(2010福建文)對于平面上的點集Q,如果連接。中任意兩點的線段

必定包含于。，則稱。為平面上的凸集，給出平面上4個點集的圖形如下

(陰影區(qū)域及其邊界)：其中為凸集的是

(寫出所有凸集相應(yīng)圖形的序號)。

7.(2012湖南文)對于“GN*,將〃表示為

kA

〃=qx2+akAX2-'++qx2i+/x2°,當i=左時q=1,當0WiW攵一1時生為0或1,定義6“

如下：在”的上述表示中，當4，4，痣，…，像中等于1的個數(shù)為奇數(shù)時，兒=1；否則瓦尸。

(1)岳+伍+匕6+氏=;

(2)記Cm為數(shù)列己“｝中第m個為0的項與第m+1個為0的項之間的項數(shù)，則Cm的最大值是—.

8.(2012福建文)某地圖規(guī)劃道路建設(shè)，考慮道路鋪設(shè)方案，方案設(shè)計圖中，

點表示城市，兩點之間連線表示兩城市間可鋪設(shè)道路，連線上數(shù)據(jù)表示兩城

市間鋪設(shè)道路的費用，要求從任一城市都能到達其余各城市，并且鋪設(shè)道路

的總費用最小。例如：在三個城市道路設(shè)計中，若城市間可鋪設(shè)道路的路線

圖如圖1,則最優(yōu)設(shè)計方案如圖2,此時鋪設(shè)道路的最小總費用為10.

A

現(xiàn)給出該地區(qū)可鋪設(shè)道路的線路圖如圖3,則鋪設(shè)道路的最小總費用為

第01講合情推理與演絳推理（參考答案）

（二）例題分析：

…111”2

例1.⑴4=2"-1；(2)a=--例2.1----1-…H-----N--------；

n幾+1

AA2A,,（n-2）兀

gg抬尸A?PB-PC

例3.C.例4.答：--------------

PAPB?PC

(三)基礎(chǔ)訓(xùn)練：

1.解：由上表可知：(a?c)=c，故d(j)(ac)c)=d?c=a,選A

2.解:用樹狀圖，列出以A為起點,E為終點的所有路線，共6條,各條路線及其距離分別為:A-B-C-D-E

(5+7+9+5=26),A-B-D-C-E(5+6+9+8.6=28.6),A-C-B-D-E(4+7+6+5=22),A-C-D-B-E

(4+9+6+2=21),A-D-B-C-E(5+6+7+8.6=26.6),A-D-C-B-E(5+9+7+2=23),比較可知，答案為B.

3.C

[??=1

4、解,：由(1,2)便)(2/=(5,0)得1p"-2q”=5,

\2p+q=0\q=—2

所以(1,2)?(p,q)=(1,2)十(1,-2)=(2,0)，故選B.

5.解析：第i個等式左邊為1到i+1的立方和，右邊為1+2+...+(i+1)的平方

所以第五個等式為廣+23+33+43+5^+63=2『。

n(n4-1)n(n-2)(〃一1)

6.2條.y(4)=12；f{ri)-?.

7.答：b[b[…b“="與…b[7_"(nYYl,nGN)

4A4

8.解：嗅=一乃又（一萬R3）'=4萬/?2故②式可填（一7R）=4%R2,用語言敘述為“球的體

333

積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的表面積函數(shù)J

歷屆高考中的“合情推理與演絳推理”試題選編

1.解：當接收方收到密文14,9,23,28時,

。+2。=14a=6

2b+c=9。=4

則《,解得《,解密得到的明文為C.

2c+3d=23c=1

4d=28d=~l

2.【解】￡+￡>=14+13=27=1x16+11=1/?,

?.,A=10,B=ll,Ax8=10xll=110=6xl6+14=6E..?.在16進制中AXB=6E,選A

3.C4.D

5.答案：C【解析】前三個區(qū)域的周率依次等于正方形、圓、正三角形的周長和最遠距離，所以

7=2近、、r3=3,第四個區(qū)域的周率可以轉(zhuǎn)化為一個正六邊形的周長與它的一對平行邊

之間的距離之比，所以q=2g,則74>72>73>4,選C

6..D.

7.答：3當n為偶數(shù)時，；當n為奇數(shù)時，

..,小，/、"("+1)(〃+2)

11、M解：/(3)=1A0,./(”)=-----------------

O

12.解：先證明/(〃)+/(；!=1,答：|

13.答:S2AABC+S2AACD+S'、ADB=S2ABeD

14.解：由圖B可得可⑷=5,

由/(3)=2,/(4)=5,/(5)=9,/⑹=14,可推得

每增加1,則交點增加(〃一1)個，

,/1、(2+〃一1)(〃-2)1_,、/.,

??f(n)=2+3+4H-----=--------------------------------=—(z〃+l)(n-2).

22

15?答:0+S*c）=（a+b）*（a+c）,4-c=（?論）+（8論），

以*+c）=（以+8）論=（3+c）?=（以+c）朋，（“照）+c=俗?）+c,等

16.【答案】②③

17.答案不唯一,如“圖形的全等”、“圖形的相似”、“非零向量的共線”、“命題的充要條件”等等.

第02講直接證明與間接證明數(shù)學(xué)歸納法

（參考答案）

（―）例題分析：

例1.證明：（反證法）假若8290°,則NB所對的邊b是最大邊，即a〈b,c〈b,

于是!所以4+工〉2,這與已知三邊的倒數(shù)成等差數(shù)列（即2+』=2）相矛盾

abcbachacb

所以，假若8A90°是錯誤的，故B<90"成立.

例2.解：(1)由|(尤2-1)一0]<|3-[,得一2</<4,解得xe(-2,2)；

⑵對任意兩個不相等的正數(shù)〃、b,Wa2b+ab~>2ab\[ab,cc'+b}>2ab4ab,

因為|a2b+ab2-2abjab|-|a3+Z?3-2ab>Jab|=-(a+b)(a-b)2<0,

所以|a2b+ah2-2ab\[ab|<|a3+b'-2ab\[ah\,即crb+ab1比cr'+by接近2ab\[ab；

1+sinx,xw（2Z乃一肛2女乃）

(3)/(x)==l一|sinx|,xw4萬、keZ,

1-sinx,（2攵肛2攵乃+4）

/U）是偶函數(shù)，KO是周期函數(shù)，最小正周期仁乃，函數(shù)yu）的最小值為o,

函數(shù)?在區(qū)間制單調(diào)遞增，在區(qū)間—自單調(diào)遞減，圖.

例3.解:記Sn=1々2+2々2+…n(n+l)2.可以證明n=l時,命題成立

設(shè)n=k時等式成立，即Sk=k(：；，(3k2+llk+10),

那么Sk+i=Sk+(k+l)(k+2)2=k(^1)(3k2+1Ik+10)+(k+l)(k+2)2

=k,；D(k+2)(3k+5)+(k+l)(k+2)2

=(k+l)0<+2)(3k2+5k+12k+24)

=(k+*+2)[3(k+y+1映+1)+10]

也就是說，等式對n=k+l也成立.

綜上所述，當a=3,b=ll,c=10時，題設(shè)的等式對一切自然數(shù)n成立.

(三)基礎(chǔ)訓(xùn)練：

1.(1)證明：f\x)=l-(lnx+x--)=—Inx,

x

當0〈x<1時，Inx<0,f'(x)>0,

所以，函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)。

(11)(L)當n=l時，0<a><l,ailnaXO,a2=/(q)=q—qInq>q

由函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)是增函數(shù)，且函數(shù)f(x)在％=1處連續(xù)，則/(%)在區(qū)間(0,1]是增函數(shù),

所以/(q)</(1)=1,故弓<。2<1成立；

(ii)假設(shè)當為=設(shè)伏eN*)時，ak<ak+]<1成立,即0coiWak<ak+l<1

那么當〃=4+1時，由/")在區(qū)間(0,1]是增函數(shù)，0<444<4+1<1得

/(6)</(a,+l)</(I).而an+l=f(an)，則ak+l=/(%),ak+2=f(ak+l),

4+i<a&+2<1，也就是說當〃=攵+1時，a”<a"+[<1也成立;

根據(jù)(i)、(ii)可得對任意的正整數(shù)〃，a“<1恒成立.

2.（1）證：（i）當n=l時，由已知團=1-2a。，等式成立;

(ii)假設(shè)當n=k(k2l)等式成立，則①=贅+(-1產(chǎn)2*]-(一1)"24,

?

k-1kAk+

那么az=3"-2a,=3*~-[3+(-I)*2]-(-1)2'aa

t+l+l

=g[3+(-1)，2*+i]+(-l)*2"T4.

也就是說，當產(chǎn)卜+1時，等式也成立.根據(jù)(i)和(ii),可知等式對任何nCN,成立.

3.本小題主要考察等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識以及反證法，同時考查推理論證能力。

2?

3.解：(I)由題意可知，i—匕|=§(1一項令&=1一片，貝u%+2=丁；

332

又0=1-雨=：,則數(shù)列｛%｝是首項為G=j公比為|■的等比數(shù)列，即

(II)用反證法證明：

假設(shè)數(shù)列｛a｝存在三項。，久也(r<s<。按某種順序成等差數(shù)列，由于數(shù)列｛勿｝是首項為1,

2

公比為I的等比數(shù)列，于是有久>上>2,則只有可能有2"=久成立

即2?蛆J_<2

4l3

兩邊同乘以3'T?22-r,化簡得3"'=?3~+2-1

由于r<s</,所以上式左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，故上上式不可能成立，導(dǎo)致矛盾。

故數(shù)列他J中任意三項不可能成等差數(shù)列。

.,2n/Fl-1±A/5-1+>/5c-1->/5

4.解：⑴由x2+x-l=0得》=-------a--------,B--------

222

(2)(數(shù)學(xué)歸納法)①當〃=1時，q=1>嶼二I命題成立；

2

②假設(shè)當n=k(kNl,kwN*)時命題成立,即ak>避二!■,

15

T七十方+」Rr一1產(chǎn).卡ITW1又等號成立時%J5-1，

^+2

J5_1

ak>---時，％+i>P，〃=k+1時命題成立；由①②知對任意均有a“>。.

a；+%-1_+1

⑶/'(x)=2x+l???“=4

2a“+12an+1

!_B=a：+1_g=(4,一夕:一(32+-T)=(凡一/)2

M+l

2a?+lP-2a,+1-2an+l

=(。)2...in=2In3

同理

4+i-a??-?——a—a

..cz//,i%—B.3+V51+6

-?2+i=22又4=ln^---=ln-_7==41n——

q-a3—v52

.??數(shù)列｛",｝是一個首項為4In巨資，公比為2的等比數(shù)列；

4(2"—l)ln[L

5.證（1）由％=一尤“+|=-----,〃eN”

211+當

,0235813

得％2=§，"3=1，*4=&，*5=值，/=五，

由%>%/猜想：數(shù)列｛尤2"｝是遞減數(shù)列

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

（1）當n=l時，已證”2>匕命題成立（2）假設(shè)當n=k時命題成立，即/1t>々*+2

易知X%〉0,那么々《+2一%2*+4=―：-----------：—=——結(jié)一"一

1+積+11+0+3（1+如用）（1+0+3）

W&-%+2

(1+)0+*2*+1)(1+工2*+2)Q+工2?+3)

即々*+1）>W供+1）+2

也就是說，當n=k+l時命題也成立，結(jié)合（1）和（2）知，命題成立

（2）當n=l時，氏+]-%|=卜2-力=一，結(jié)論成立

6

當〃22時，易知0<X“T<1,.*.1+x0_]<2,xn=------>—

1+X,T2

1512

???(I+X")(1+)=(1+-----)(1+)=2+,從而T-----y-----rwE①

1+k2(l+xA.+1Xl+^)5

即氏+1—x&|WW②

假設(shè)當n=k時命題成立,

那么，當n=k+1時，卜+2-一1---------=(民③

11

1+加1+4(l+x,+,Xl+xJ

12

綜上，得對一切正整數(shù)n,式子|X用-X1W—（一丫1成立。

65

6.本小題主要考查等差數(shù)列的概念、通項公式及前〃項和公式、等比數(shù)列的概念、等比中項、不等

式證明、數(shù)學(xué)歸納等基礎(chǔ)知識，考查運算能力和推理論證能力及分類討論的思想方法.

(I)解：由題設(shè)有q+g-4q=0,4=1,解得出=3-

由題設(shè)又有4a2?=4伉，乙=4,解得么=9.

(II)解法-：由題設(shè)〃S“+]-(〃+3)5〃=0,4=1,々=4,及%=3,/?2=9,

進一步可得%=6，々=16,a4=10?仇=25,

猜想二一(；~1),2=(〃+])2,neN*.

用數(shù)學(xué)歸納法證明，先證4=，￥).，neN*.

當〃=1時，lx(l+D,等式成立.當〃之2時用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:

2

(1)當〃=2時，%=2.(；+1),等式成立.

(2)假設(shè)〃=%時等式成立，即必=氣；1),k>2.

由題設(shè)，kSM=(k+3)Sk①

(I電=(%+2)Si②

①的兩邊分別減去②的兩邊，整理得加*+1=(&+2)%,從而

k+2k+2k(k+Y)(%+l)[(Z+l)+l]

。“丁4」二"2-

這就是說，當n=左+1時等式也成立.

根據(jù)(1)和(2)可知，等式,=妁詈對任何的〃22成立.

綜上所述，等式q,=對任何的nGN*都成立a?=網(wǎng),)

2

再用數(shù)學(xué)歸納法證明bn=(〃+1),neN*.

(1)當〃=1時，4=(1+1)2，等式成立.

(2)假設(shè)當〃=上時等式成立，即4=伏+1)2,那么

4%+：(Z+l)2(%+2)2

=[伏+1)+碟.

4■+1)2

這就是說，當〃=左+1時等式也成立.

根據(jù)(1)和(2)可知，等式2=5+1)2對任何的〃WN*都成立.

第03講推理與證明典型考題選講(參考答案)

1.(2007湖北理)已知必，〃為正整數(shù).(I)用數(shù)學(xué)歸納法證明：當x>T時，(1+獷21+“

(II)對于〃26,已知(1——J—]<-,求證(1—-"一]，獷1,1,2…，n；

(n+3)2In+3)⑶

1.本小題主要考查數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識和基本的運算技能，考查分析問題能

力和推理能力.

解法1：(I)證：用數(shù)學(xué)歸納法證明：

(i)當獷1時，原不等式成立；當心2時，左邊=1+2廣f，右邊=l+2x,因為feo,

所以左邊Z右邊，原不等式成立；

(ii)假設(shè)當/ZFA時，不等式成立，即(1+x)1+kx,則當片A+1時，

?.?x>—l,；.l+x>0,于是在不等式d+x?Nl+kx兩邊同乘以1+x得

(1+x)k-(1+x)>(1+Zx)(l+x)=1+(左+l)x+k￡N1+(%+l)x,

所以(l+x)"i21+/+1)乂即當加=后+1時，不等式也成立.

綜合(i)(ii)知，對一切正整數(shù)加，不等式都成立.

(H)證：當〃26,mW〃時，由(I)得(1一——>n,>1一一—>0,

〃+3〃+3

于是a--^-r<(1一一i-rz,=[(1--