專題02 常用邏輯用語-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識梳理+真題自測+考點突破+分層檢測）（新高考專用）解析版

2/2專題02常用邏輯用語（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點突破】 10【考點1】充分、必要條件的判定 10【考點2】充分、必要條件的應(yīng)用 13【考點3】全稱量詞與存在量詞 17【分層檢測】 20【基礎(chǔ)篇】 21【能力篇】 26【培優(yōu)篇】 29考試要求：1.理解充分條件、必要條件、充要條件的含義.2.理解判定定理與充分條件的關(guān)系、性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系.3.理解全稱量詞命題與存在量詞命題的含義，能正確對兩種命題進(jìn)行否定.知識梳理知識梳理1.充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且q?pp是q的必要不充分條件p?q且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件p?q且q?p2.全稱量詞與存在量詞(1)全稱量詞：短語“所有的”、“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“?”表示.(2)存在量詞：短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“?”表示.3.全稱量詞命題和存在量詞命題名稱全稱量詞命題存在量詞命題結(jié)構(gòu)對M中的任意一個x，有p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立簡記?x∈M，p(x)?x∈M，p(x)否定?x∈M，?p(x)?x∈M，?p(x)1.區(qū)別A是B的充分不必要條件(A?B且B?A)，與A的充分不必要條件是B(B?A且A?B)兩者的不同.2.充要關(guān)系與集合的子集之間的關(guān)系，設(shè)A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，(1)若A?B，則p是q的充分條件，q是p的必要條件.(2)若A是B真子集，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件.(3)若A＝B，則p是q的充要條件.3.p是q的充分不必要條件，等價于?q是?p的充分不必要條件.4.含有一個量詞的命題的否定規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”.5.對省略了全稱量詞的命題否定時，要對原命題先加上全稱量詞再對其否定.6.命題p和?p的真假性相反，若判斷一個命題的真假有困難時，可判斷此命題的否定的真假.真題自測真題自測一、單選題1．（2023·全國·高考真題）設(shè)甲：，乙：，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件2．（2023·全國·高考真題）記為數(shù)列的前項和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件3．（2023·北京·高考真題）若，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2023·天津·高考真題）已知，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件5．（2022·浙江·高考真題）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．（2022·北京·高考真題）設(shè)是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時，”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．（2021·全國·高考真題）等比數(shù)列的公比為q，前n項和為，設(shè)甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件8．（2021·浙江·高考真題）已知非零向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件9．（2021·北京·高考真題）已知是定義在上的函數(shù)，那么“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“函數(shù)在上的最大值為”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．（2021·天津·高考真題）已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：1．B【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的概念及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得解.【詳解】當(dāng)時，例如但，即推不出；當(dāng)時，，即能推出.綜上可知，甲是乙的必要不充分條件.故選：B2．C【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結(jié)合數(shù)列前n項和與第n項的關(guān)系推理判斷作答.，【詳解】方法1，甲：為等差數(shù)列，設(shè)其首項為，公差為，則，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即為常數(shù)，設(shè)為，即，則，有，兩式相減得：，即，對也成立，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件，C正確.方法2，甲：為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的首項，公差為，即，則，因此為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即，即，，當(dāng)時，上兩式相減得：，當(dāng)時，上式成立，于是，又為常數(shù)，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件.故選：C3．C【分析】解法一：由化簡得到即可判斷；解法二：證明充分性可由得到，代入化簡即可，證明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：證明充分性可由通分后用配湊法得到完全平方公式，再把代入即可，證明必要性可由通分后用配湊法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可.【詳解】解法一：因為，且，所以，即，即，所以.所以“”是“”的充要條件.解法二：充分性：因為，且，所以，所以，所以充分性成立；必要性：因為，且，所以，即，即，所以.所以必要性成立.所以“”是“”的充要條件.解法三：充分性：因為，且，所以，所以充分性成立；必要性：因為，且，所以，所以，所以，所以，所以必要性成立.所以“”是“”的充要條件.故選：C4．B【分析】根據(jù)充分、必要性定義判斷條件的推出關(guān)系，即可得答案.【詳解】由，則，當(dāng)時不成立，充分性不成立；由，則，即，顯然成立，必要性成立；所以是的必要不充分條件.故選：B5．A【分析】由三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合充分條件、必要條件的定義即可得解.【詳解】因為可得：當(dāng)時，，充分性成立；當(dāng)時，，必要性不成立；所以當(dāng)，是的充分不必要條件.故選：A.6．C【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，利用等差數(shù)列的通項公式結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，記為不超過的最大整數(shù).若為單調(diào)遞增數(shù)列，則，若，則當(dāng)時，；若，則，由可得，取，則當(dāng)時，，所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時，”；若存在正整數(shù)，當(dāng)時，，取且，，假設(shè)，令可得，且，當(dāng)時，，與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，則，即數(shù)列是遞增數(shù)列.所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時，”.所以，“是遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時，”的充分必要條件.故選：C.7．B【分析】當(dāng)時，通過舉反例說明甲不是乙的充分條件；當(dāng)是遞增數(shù)列時，必有成立即可說明成立，則甲是乙的必要條件，即可選出答案．【詳解】由題，當(dāng)數(shù)列為時，滿足，但是不是遞增數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件．若是遞增數(shù)列，則必有成立，若不成立，則會出現(xiàn)一正一負(fù)的情況，是矛盾的，則成立，所以甲是乙的必要條件．故選：B．【點睛】在不成立的情況下，我們可以通過舉反例說明，但是在成立的情況下，我們必須要給予其證明過程．8．B【分析】考慮兩者之間的推出關(guān)系后可得兩者之間的條件關(guān)系.【詳解】如圖所示，,當(dāng)時，與垂直，，所以成立，此時，∴不是的充分條件，當(dāng)時，，∴,∴成立，∴是的必要條件，綜上，“”是“”的必要不充分條件

故選：B.9．A【分析】利用兩者之間的推出關(guān)系可判斷兩者之間的條件關(guān)系.【詳解】若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上的最大值為，若在上的最大值為，比如，但在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，故在上的最大值為推不出在上單調(diào)遞增，故“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“在上的最大值為”的充分不必要條件，故選：A.10．A【分析】由充分條件、必要條件的定義判斷即可得解.【詳解】由題意，若，則，故充分性成立；若，則或，推不出，故必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.考點突破考點突破【考點1】充分、必要條件的判定一、單選題1．（2024·北京海淀·一模）設(shè)是兩個不同的平面，是兩條直線，且.則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、多選題3．（23-24高三上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知中角，的對邊分別為，，則可作為“”的充要條件的是（

）A． B．C． D．4．（2023·吉林長春·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，設(shè)，則成立的一個充分條件是（

）A． B． C． D．三、填空題5．（2024·全國·模擬預(yù)測）“函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱”是“”的條件．6．（2021·陜西渭南·二模）下列四個命題是真命題的序號為.①命題“”的否定是“”.②曲線在處的切線方程是.③函數(shù)為增函數(shù)的充要條件是.④根據(jù)最小二乘法，由一組樣本點()(其中)求得的線性回歸方程是，則至少有一個樣本點落在回歸直線上.參考答案：1．A【分析】通過面面平行的性質(zhì)判斷充分性，通過列舉例子判斷必要性.【詳解】，且，所以，又，所以，充分性滿足，如圖：滿足，，但不成立，故必要性不滿足，所以“”是“”的充分而不必要條件.故選：A.

2．B【分析】由建立的等量關(guān)系，求解，從而判斷選項.【詳解】因為，化簡得，解得或，故“”是“”的必要不充分條件.故選：B．3．AB【分析】由三角形中的大邊對大角，利用正弦定理和三角函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合充要條件的定義，判斷各選項的正誤【詳解】中，由正弦定理可知，時有，時有，A選項正確；余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，中，當(dāng)時有，則有；當(dāng)時有，則有，B選項正確；中，當(dāng)時有，當(dāng)為鈍角，為銳角時，，C選項錯誤；中，當(dāng)時有，當(dāng)為鈍角，為銳角時，，D選項錯誤.故選：AB4．CD【分析】根據(jù)給定函數(shù)，探討函數(shù)的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，再利用性質(zhì)即可判斷作答.【詳解】函數(shù)的定義域為，，即函數(shù)是上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，求導(dǎo)得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，對于A，取，滿足，而，A不是；對于B，取，滿足，而，B不是；對于CD，，于是，由函數(shù)是偶函數(shù)得，CD是.故選：CD5．充分必要【分析】先由函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱求得的值，再解方程求得的值，進(jìn)而得到二者間的邏輯關(guān)系.【詳解】函數(shù)圖象的對稱中心為，所以由“函數(shù)y=tanx的圖象關(guān)于(x0,0)中心對稱”等價于“”．因為等價于，即．所以“函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱”是“”的是充分必要條件．故答案為：充分必要6．①②【分析】①由含有一個量詞的命題的否定的定義判斷；②利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷；③利用分段函數(shù)的單調(diào)性求解判斷；④根據(jù)回歸直線恒過樣本中心，但樣本點不一定在回歸直線上判斷；【詳解】①由含有一個量詞的命題的否定知：命題“”的否定是“”，故正確.②因為，所以，所以曲線在處的切線方程是，故正確；③若函數(shù)為增函數(shù)，則，解得，所以函數(shù)為增函數(shù)的充要條件是，故錯誤；④回歸方程恒過樣本點的中心，但樣本點不一定落在回歸直線上，故錯誤；故答案為：①②反思提升：充分條件、必要條件的兩種判定方法：(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進(jìn)行判斷，適用于定義、定理判斷性問題.(2)集合法：根據(jù)p，q對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷，多適用于條件中涉及參數(shù)范圍的推斷問題.【考點2】充分、必要條件的應(yīng)用一、單選題1．（23-24高三上·浙江寧波·期末）命題“，”為假命題的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．2．（22-23高二下·湖南·階段練習(xí)）已知集合，，若“”是“”的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2021·福建寧德·模擬預(yù)測）已知命題：關(guān)于的不等式的解集為R，那么命題的一個必要不充分條件是（

）A． B．C． D．4．（2023·廣東·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則過點恰能作曲線的兩條切線的充分條件可以是（

）A． B．C． D．三、填空題5．（2022·吉林長春·模擬預(yù)測）設(shè)命題，命題．若q是p的必要不充分條件，則實數(shù)m的取值范圍是．6．（2024·上海普陀·二模）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則“，，成等差數(shù)列”的一個充分非必要條件是.參考答案：1．D【分析】首先轉(zhuǎn)化為存在量詞命題的否定，求參數(shù)的取值范圍，再求其真子集，即可判斷選項.【詳解】若命題“，”為假命題，則命題的否定“，”為真命題，即，恒成立，，，當(dāng)，取得最大值，所以，選項中只有是的真子集，所以命題“，”為假命題的一個充分不必要條件為.故選：D2．C【分析】解不等式，確定集合A，討論m的范圍，確定B，根據(jù)題意推出，由此列出不等式組，即可求得答案.【詳解】由題意集合，，若，則，此時，因為“”是“”的必要不充分條件，故,故；若，則，此時，因為“”是“”的必要不充分條件，故,故；若，則，此時，滿足,綜合以上可得，故選：C3．CD【分析】求出命題p成立時a的取值范圍，再根據(jù)必要不充分條件的定義判斷即可．【詳解】命題p：關(guān)于x的不等式的解集為R，則，解得又，，故選：CD．4．AB【分析】設(shè)切點坐標(biāo)為，則有，所以問題轉(zhuǎn)化為方程恰有兩個解，令，然后利用導(dǎo)數(shù)求解其零點即可.【詳解】由，得，設(shè)切點為，則切線的斜率為，所以有，整理可得：，由題意可知：此方程有且恰有兩個解，令，，，令，則，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，①當(dāng)，即時，當(dāng)時，，則函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則函數(shù)單調(diào)遞增，所以只要或，即或；②當(dāng)，即時，當(dāng)時，，則函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，所以只要或，由可得：，由得；③當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)至多有一個零點，不合題意；綜上：當(dāng)時，或；當(dāng)時，或，所以選項A正確，B正確，C錯誤，D錯誤，故選：AB【點睛】關(guān)鍵點睛：解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為方程恰有兩個解，構(gòu)造函數(shù)，再次將問題轉(zhuǎn)化為此函數(shù)有兩個零點，然后利用導(dǎo)數(shù)通過分析其單調(diào)性可求得結(jié)果.5．【分析】化簡命題和，利用真子集關(guān)系列式可求出結(jié)果.【詳解】由，得，即；由，得，因為q是p的必要不充分條件，所以是的真子集，所以且兩個等號不同時取，解得.故答案為：6．（或,答案不唯一）【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求解．【詳解】，，成等差數(shù)列，則，即，解得或，故“，，成等差數(shù)列”的一個充分非必要條件是（或．故答案為：（或,答案不唯一）反思提升：充分條件、必要條件的應(yīng)用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上.解題時需注意(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解.(2)要注意區(qū)間端點值的檢驗.【考點3】全稱量詞與存在量詞一、單選題1．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）下列命題中，真命題是（

）A．“”是“”的必要條件B．C．D．的充要條件是2．（23-24高一下·湖南郴州·階段練習(xí)）已知，，則是方程的解的充要條件是（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2023·海南·模擬預(yù)測）已知命題:“”，"”，則下列正確的是（

）A．的否定是“”B．的否定是“”C．若為假命題，則的取值范圍是D．若為真命題，則的取值范圍是4．（2023·山西·模擬預(yù)測）下列結(jié)論正確的是（

）A．是偶函數(shù)B．若命題“，”是假命題，則C．設(shè)，，則“，且”是“”的必要不充分條件D．，三、填空題5．（2024·陜西寶雞·一模）命題“任意，”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是．6．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）命題：存在，使得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，若的否定為真命題，則的取值范圍是.參考答案：1．B【分析】舉反例來判斷ACD，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷B.【詳解】對于A，當(dāng)時，滿足，但不滿足，故“”不是“”的必要條件，故錯誤；對于B，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，對于，即，故正確；對于C，當(dāng)時，，故錯誤；對于D，當(dāng)時，滿足，但不成立，故錯誤.故選：B.2．C【分析】利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，理解全稱量詞命題和存在量詞命題的真假以及充要條件的意義即可.【詳解】因為，所以函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，且對稱軸為：，函數(shù)的最小值為.若“是方程的解”，則，那么就是函數(shù)的最小值，所以“，”，即“是方程的解”是“，”的充分條件；若“，”，則為函數(shù)的最小值，所以，即，所以“是方程的解”，故“是方程的解”是“，”的必要條件.綜上可知：“是方程的解”的充要條件是“，”.故選：C3．AD【分析】根據(jù)含有一個量詞的命題的否定判斷A、B；C選項轉(zhuǎn)化為一元二次方程無實數(shù)解，用判別式計算的取值范圍；D選項轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立，計算參數(shù)的范圍.【詳解】含有一個量詞的命題的否定，是把量詞改寫，再把結(jié)論否定，所以A正確，B不正確；C選項，若為假命題，則的否定“”是真命題，即方程在實數(shù)范圍內(nèi)無解，，得，C不正確；D選項，，等價于，解得，D正確；故選：AD.4．ABD【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷選項；根據(jù)特稱命題的的真假判斷選項；根據(jù)必要不充分條件的判斷即可判斷選項；根據(jù)等式的性質(zhì)判斷選項.【詳解】對于，函數(shù)的定義域為，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故選項正確；對于，若命題“，”是假命題，則恒成立，所以，解得，故選項正確；對于，若，且，則成立，反之不一定成立，例如：滿足，但是，故“，且”是“”充分不必要條件，故選錯誤；對于，若，則，當(dāng)時方程有解，所以，，故選項正確；故選：.5．【分析】首先求命題為真命題時的取值范圍，再求其補集，即可求解.【詳解】若命題“任意，”為真命題，則，設(shè)，，，當(dāng)時，等號成立，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增，，，所以，即，所以命題“任意，”為假命題，則的取值范圍為.故答案為：6．【分析】先給出命題p的否定，由函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解.【詳解】命題p的否定為：任意，使得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，由函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，而，得，故答案為：反思提升：(1)含量詞命題的否定，一是要改寫量詞，二是要否定結(jié)論.(2)判定全稱量詞命題“?x∈M，p(x)”是真命題，需要對集合M中的每一個元素x，證明p(x)成立；要判定存在量詞命題“?x∈M，p(x)”是真命題，只要在限定集合內(nèi)找到一個x，使p(x)成立即可.(3)由命題真假求參數(shù)的范圍，一是直接由命題的含義，利用函數(shù)的最值求參數(shù)的范圍；二是利用等價命題，即p與?p的關(guān)系，轉(zhuǎn)化成?p的真假求參數(shù)的范圍.分層檢測分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·四川成都·三模）已知圓：，直線：，則“”是“圓上恰存在三個點到直線的距離等于”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要2．（2023·四川瀘州·一模）已知命題，，命題，，則下列命題是真命題的為（

）A． B． C． D．3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知向量，，則“”是“”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）設(shè)公差不為0的無窮等差數(shù)列的前項和為，則“為遞減數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時，”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、多選題5．（2021·遼寧·模擬預(yù)測）已知命題：，，若為真命題，則的值可以為（

）A． B． C．0 D．36．（2021·江蘇·一模）下列選項中，關(guān)于x的不等式有實數(shù)解的充分不必要條件的有（

）A． B． C． D．7．（23-24高三上·遼寧葫蘆島·期末）下列選項中，與“”互為充要條件的是（

）A． B．C． D．三、填空題8．（22-23高二上·陜西咸陽·階段練習(xí)）若命題“，”是假命題，則實數(shù)的取值范圍為．9．（2024·遼寧大連·一模）“函數(shù)是奇函數(shù)”的充要條件是實數(shù)．10．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知“”是“”成立的必要不充分條件，請寫出符合條件的整數(shù)的一個值.四、解答題11．（2023·河南南陽·模擬預(yù)測）設(shè)p：實數(shù)x滿足，q：實數(shù)x滿足．(1)若，且p和q均為真命題，求實數(shù)x的取值范圍；(2)若且是的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．12．（2023·重慶酉陽·一模）命題：任意，成立；命題：存在，+成立.(1)若命題為假命題，求實數(shù)的取值范圍；(2)若命題和有且只有一個為真命題，求實數(shù)的取值范圍.參考答案：1．A【分析】利用圓上恰存在三個點到直線的距離等于，等價于到直線：的距離為，從而利用點線距離公式與充分必要條件即可得解.【詳解】因為圓：的圓心，半徑為，當(dāng)圓上恰存在三個點到直線的距離等于時，則到直線：的距離為，所以，解得，即必要性不成立；當(dāng)時，由上可知到直線：的距離為，此時圓上恰存在三個點到直線的距離等于，即充分性成立；所以“”是“圓上恰存在三個點到直線的距離等于”的充分不必要條件.故選：A.2．A【分析】判斷兩個命題的真假后逐項分析即可【詳解】時，故假時，故真故為真故選：A3．B【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合充分性和必要性的定義求解即可.【詳解】由題意，得，，若，則，即，解得，所以“”推得出“”，即必要性成立，但“”推不出“”，即充分性不成立，所以“”是“”的必要不充分條件．故選：B．4．C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項以及前項和的函數(shù)性質(zhì)，即可結(jié)合充要條件的定義求解.【詳解】因為是公差不為0的無窮等差數(shù)列，若“為遞減數(shù)列”，可得的通項公式為一次函數(shù)且一次性系數(shù)小于0，一定存在正整數(shù)，當(dāng)時,有，故存在，當(dāng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于時，時，此時，故充分性成立，若存在正整數(shù)，當(dāng)時，，故二次函數(shù)開口向下，因此，故為遞減數(shù)列，故必要性成立.故選：C．5．BCD【分析】將條件轉(zhuǎn)化為對應(yīng)方程有根問題，分和兩種情況，進(jìn)行求解即可．【詳解】命題：，，為真命題，即有根，當(dāng)時，成立，當(dāng)時，需滿足，解得且，的取值范圍為，故選：BCD．6．AC【分析】先找其充要條件，然后取它的子集.【詳解】時必有解，當(dāng)時，或，故AC符合題意.故選：AC7．BC【分析】求解各不等式判斷即可.【詳解】對A，則，即，，解得，故A錯誤；對B，則，故，解得，故B正確；對C，則，解得，故C正確；對D，，則，解得，故D錯誤.故選：BC8．【分析】將問題轉(zhuǎn)化命題“，”是真命題求解.【詳解】解：因為命題“，”是假命題，所以命題“，”是真命題，又當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以，所以，所以實數(shù)的取值范圍為，故答案為：.9．0【分析】結(jié)合三角函數(shù)奇偶性、冪函數(shù)奇偶性以及奇偶性的定義即可運算求解.【詳解】若函數(shù)是奇函數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)，也就是恒成立，從而只能.故答案為：0.10．【分析】先解出的解集，然后根據(jù)必要不充分條件判斷兩集合的包含關(guān)系即可求解.【詳解】由，得,令，，“”是“”成立的必要不充分條件，.（等號不同時成立），解得，故整數(shù)的值可以為.故答案為：中任何一個均可.11．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式求解p，q為真命題時的范圍，即可求解，（2）根據(jù)充分不必要條件，即可列不等式求解.【詳解】（1）當(dāng)時，由，得，解得，即p為真命題時，實數(shù)x的取值范圍是由，解得，即q為真命題時，實數(shù)x的取值范圍是．所以若p，q均為真命題，則實數(shù)x的取值范圍為．（2）由，得，因為，所以，故p：．若是的充分不必要條件，則q是p的充分不必要條件，所以，解可得．故實數(shù)a的取值范圍是12．(1)(2)或或【分析】（1）由q真,由判別式求得m的取值范圍，進(jìn)而得到q假的條件；（2）求得p真的條件，由和有且只有一個為真命題，得到真假，或假真，然后分別求的m的取值范圍，再取并集即得.【詳解】（1）由q真：，得或，所以q假：；（2）p真：推出，由和有且只有一個為真命題，真假，或假真，或，或或.【能力篇】一、單選題1．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知命題“”為真命題，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2024·廣東梅州·一模）已知直線，和平面，，且，則下列條件中，是的充分不必要條件的是（

）A．， B．，C．， D．，三、填空題3．（23-24高一上·云南昭通·期末）下列命題中：①若集合中只有一個元素，則；②已知命題p：，，如果命題p是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是；③已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為；④函數(shù)在上單調(diào)遞增；⑤方程的實根的個數(shù)是2.所有正確命題的序號是.四、解答題4．（2023·上海普陀·一模）設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為.(1)求證：“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的充要條件；(2)若，且，求實數(shù)的取值范圍.參考答案：1．A【分析】分離參數(shù)，求函數(shù)的最小值即可求解.【詳解】因為命題“”為真命題，所以．令與在上均為增函數(shù)，故為增函數(shù)，當(dāng)時，有最小值，即，故選：A．2．BCD【分析】結(jié)合命題的充分不必要條件：由線面關(guān)系可得到A錯誤；由線面垂直的性質(zhì)和判定可推出B正確；由線面平行的性質(zhì)和判定可推出C正確；由面面垂直的性質(zhì)和判定可推出D正確.【詳解】A：若，，則直線，可能平行或異面，所以不能推出，故A錯誤；B：若，則直線m垂直于平面的每一條直線，又，所以成立，但若成立，根據(jù)線面垂直的判定，還需在平面找一條與n相交的直線，且m不在平面內(nèi)，故q不能推出p，故B正確；C：若，且，由面面平行的性質(zhì)可知，成立；反之，由線面平行的判定可知當(dāng)，不能推出，故C正確；D：若，且，由面面垂直的判定定理可知成立；反之，若，且，則直線n與平面可能成任意角度，故D正確.故選：BCD.3．②③⑤【分析】利用判別式可判斷①；利用特稱命題的否定為全稱命題可判斷②；求出的定義域可判斷③；分離常量后根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)性可判斷④；在同一坐標(biāo)系中作出和的圖象可判斷⑤.【詳解】對于①：時，；時，，則，故或1，故錯誤；對于②：p：，為假命題，則，為真命題，故即，故正確；對于③：，則，即的定義域為，故正確；對于④：，其在上單調(diào)遞減，故錯誤；對于⑤：在同一坐標(biāo)系中作出和的圖象，觀察兩圖象有2個交點，則方程的實根的個數(shù)是2，故正確.故答案為：②③⑤.4．(1)證明見解析；(2)或.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用偶函數(shù)的定義、結(jié)合充要條件的意義推理即得.（2）利用偶函數(shù)性質(zhì)及在的單調(diào)性求解不等式即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為R，不恒為0，函數(shù)為偶函數(shù)，所以“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的充要條件.（2）當(dāng)時，，求導(dǎo)得，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即函數(shù)在單調(diào)遞增，又是偶函數(shù)，因此，即，解得或，所以實數(shù)的取值范圍是或.【培優(yōu)篇】一、單選題1．（2024·上海松江·二模）設(shè)為數(shù)列的前項和，有以下兩個命題：①若是公差不為零的等差數(shù)列且，，則是的必要非充分條件；②若是等比數(shù)列且，，則的充要條件是.那么（

）A．①是真命題，②是假命題 B．①是假命題，②是真命題C．①、②都是真命題 D．①、②都是假命題二、多選題2．（2023·江蘇南京·一模）同學(xué)們，你們是否注意到，自然下垂的鐵鏈；空曠的田野上，兩根電線桿之間的電線；峽谷的上空，橫跨深洞的觀光索道的鋼索.這些現(xiàn)象中都有相似的曲線形態(tài).事實上，這些曲線在數(shù)學(xué)上常常被稱為懸鏈線.懸鏈線的相關(guān)理論在工程、航海、光學(xué)等方面有廣泛的應(yīng)用.在恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，這類函數(shù)的表達(dá)式可以為（其中，是非零常數(shù)，無理數(shù)），對于函數(shù)以下結(jié)論正確的是（

）A．是函數(shù)為偶函數(shù)的充分不必要條件；B．