專題06 函數(shù)的概念及其表示-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測）（新高考專用）原卷版

2/2專題06函數(shù)的概念及其表示（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點(diǎn)突破】 3【考點(diǎn)1】函數(shù)的概念 3【考點(diǎn)2】求函數(shù)的定義域 4【考點(diǎn)3】求函數(shù)的解析式 5【考點(diǎn)4】分段函數(shù) 6【分層檢測】 8【基礎(chǔ)篇】 8【能力篇】 9【培優(yōu)篇】 10考試要求：1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求簡單函數(shù)的定義域和值域.2.在實(shí)際情景中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).3.了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用.知識梳理知識梳理1.函數(shù)的概念概念一般地，設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)三要素對應(yīng)關(guān)系y＝f(x)，x∈A定義域x的取值范圍值域與x對應(yīng)的y的值的集合{f(x)|x∈A}2.同一個(gè)函數(shù)(1)前提條件：①定義域相同；②對應(yīng)關(guān)系相同.(2)結(jié)論：這兩個(gè)函數(shù)為同一個(gè)函數(shù).3.函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法.4.分段函數(shù)(1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù).分段函數(shù)表示的是一個(gè)函數(shù).(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集.1.直線x＝a(a是常數(shù))與函數(shù)y＝f(x)的圖象至多有1個(gè)交點(diǎn).2.注意以下幾個(gè)特殊函數(shù)的定義域：(1)分式型函數(shù)，分母不為零的實(shí)數(shù)集合.(2)偶次方根型函數(shù)，被開方式非負(fù)的實(shí)數(shù)集合.(3)f(x)為對數(shù)式時(shí)，函數(shù)的定義域是真數(shù)為正數(shù)、底數(shù)為正且不為1的實(shí)數(shù)集合.(4)若f(x)＝x0，則定義域?yàn)閧x|x≠0}.(5)正切函數(shù)y＝tanx的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).真題自測真題自測一、填空題1．（2023·北京·高考真題）已知函數(shù)，則．2．（2022·北京·高考真題）函數(shù)的定義域是．3．（2022·浙江·高考真題）已知函數(shù)則；若當(dāng)時(shí)，，則的最大值是．4．（2022·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)若存在最小值，則a的一個(gè)取值為；a的最大值為．5．（2021·浙江·高考真題）已知，函數(shù)若，則.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】函數(shù)的概念一、單選題1．（2023·山東濰坊·一模）存在函數(shù)滿足：對任意都有（

）A． B． C． D．2．（2022·山東濟(jì)南·二模）已知函數(shù)若，則m的值為（

）A． B．2 C．9 D．2或9二、多選題3．（21-22高一·全國·單元測試）下列函數(shù)中，與函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．4．（22-23高一上·陜西西安·期末）設(shè)集合，則下列圖象能表示集合到集合Q的函數(shù)關(guān)系的有（）A．

B．

C．

D．三、填空題5．（2023·上海青浦·二模）已知函數(shù)的圖像繞著原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)弧度，若得到的圖像仍是函數(shù)圖像，則可取值的集合為.6．（2023·遼寧大連·一模）已知可導(dǎo)函數(shù)，定義域均為，對任意滿足，且，求.反思提升：（1）函數(shù)的定義要求非空數(shù)集A中的任何一個(gè)元素在非空數(shù)集B中有且只有一個(gè)元素與之對應(yīng)，即可以“多對一”，不能“一對多”，而B中有可能存在與A中元素不對應(yīng)的元素.（2）構(gòu)成函數(shù)的三要素中，定義域和對應(yīng)關(guān)系相同，則值域一定相同【考點(diǎn)2】求函數(shù)的定義域一、單選題1．（2023·湖北·三模）函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．2．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·模擬預(yù)測）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．二、多選題3．（2023·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則（

）A．函數(shù)在R上單調(diào)遞增B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)在上單調(diào)遞減D．函數(shù)在上單調(diào)遞減4．（2022·海南·模擬預(yù)測）下面關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)，說法正確的是（

）A．的定義域?yàn)?B．的值域?yàn)镃．在定義域上單調(diào)遞減 D．點(diǎn)是圖象的對稱中心三、填空題5．（23-24高一上·新疆·期中）已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是.6．（2023·山東棗莊·模擬預(yù)測）已知函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且，則的取值范圍是．反思提升：1.求給定解析式的函數(shù)定義域的方法求給定解析式的函數(shù)的定義域，其實(shí)質(zhì)就是以函數(shù)解析式中所含式子(運(yùn)算)有意義為準(zhǔn)則，列出不等式或不等式組求解；對于實(shí)際問題，定義域應(yīng)使實(shí)際問題有意義.2.求抽象函數(shù)定義域的方法(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域可由不等式a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函數(shù)f[g(x)]的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a，b]上的值域.【考點(diǎn)3】求函數(shù)的解析式一、單選題1．（2023·河南鄭州·二模）若函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A． B． C． D．2．（2022·河北保定·二模）若函數(shù)，則函數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·全國·一模）設(shè)a為常數(shù)，，則（

）．A．B．成立C．D．滿足條件的不止一個(gè)4．（2023·江西·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題5．（2022·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù)滿足關(guān)系式，則.6．（22-23高一下·上海浦東新·階段練習(xí)）已知對任意的實(shí)數(shù)a均有成立，則函數(shù)的解析式為．反思提升：函數(shù)解析式的求法(1)配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達(dá)式.(2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法.(3)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍.(4)方程思想：已知關(guān)于f(x)與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)等的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組，通過解方程組求出f(x).【考點(diǎn)4】分段函數(shù)一、單選題1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則（

）A．-6 B．0 C．4 D．62．（2023·山西·模擬預(yù)測）十九世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家狄利克雷提出了“狄利克雷函數(shù)”它在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中有著重要意義，若函數(shù)，則下列實(shí)數(shù)不屬于函數(shù)值域的是（

）A．3 B．2 C．1 D．0二、多選題3．（2021·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）已知是定義在上的函數(shù)，則（

）A．若為增函數(shù)，則的取值范圍為B．若為增函數(shù)，則的取值范圍為C．若為減函數(shù)，則的取值范圍為D．若為減函數(shù)，則的取值范圍為4．（21-22高三上·江蘇常州·開學(xué)考試）已知函數(shù)，若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的可能取值是（

）A． B． C． D．三、填空題5．（2023·貴州遵義·模擬預(yù)測）若函數(shù)，則不等式的解集為.6．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知，若存在，使得，則的取值范圍為.反思提升：1.根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值，首先確定自變量的值屬于哪個(gè)區(qū)間，其次選定相應(yīng)的解析式代入求解.2.已知函數(shù)值或函數(shù)的取值范圍求自變量的值或范圍時(shí)，應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍.分層檢測分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足，，則下列說法正確的是（

）．A． B．C． D．2．（2023·江西九江·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．3．（2022·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．4．（2023·吉林長春·模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足，則（

）A．的最小值為2 B．C．的最大值為2 D．二、多選題5．（2023·云南昆明·模擬預(yù)測）函數(shù)分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，則（

）A． B．C． D．6．（22-23高一上·云南昆明·期末）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在上為增函數(shù)B．C．若在上單調(diào)遞增，則或D．當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?．（2024·廣東·模擬預(yù)測）給定數(shù)集，，滿足方程，下列對應(yīng)關(guān)系為函數(shù)的是（

）A．， B．，C．， D．，三、填空題8．（23-24高一上·江蘇揚(yáng)州·期末）已知的定義域?yàn)锳，集合，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.9．（2022·山東濟(jì)南·二模）已知函數(shù)，則．10．（2021·廣東·模擬預(yù)測）若a＞0且a≠1，且函數(shù)在R上單調(diào)遞增，那么a的取值范圍是．四、解答題11．（20-21高二上·山東臨沂·期末）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程．（2）時(shí)，若，求的定義域，并分析其單調(diào)性．12．（2020·山東·高考真題）已知函數(shù).（1）求的值；（2）求，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【能力篇】一、單選題1．（2023·全國·三模）已知對于每一對正實(shí)數(shù)，，函數(shù)滿足：，若，則滿足的的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、多選題2．（2023·重慶·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的定義域?yàn)锽．在上的值域?yàn)镃．若在上單調(diào)遞減，則D．若，則在定義域上單調(diào)遞增三、填空題3．（2022·上海浦東新·模擬預(yù)測）函數(shù)的圖象是兩條線段（如圖），它的定義域?yàn)?，則不等式的解集為．四、解答題4．（2023·寧夏銀