專題20 任意角和弧度制及三角函數(shù)的概念-2025年高考數(shù)學一輪復習講義（知識梳理+真題自測+考點突破+分層檢測）（新高考專用）原卷版

2/2專題20任意角和弧度制及三角函數(shù)的概念（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點突破】 4【考點1】象限角及終邊相同的角 4【考點2】弧度制及其應用 6【考點3】三角函數(shù)的定義及應用 8【分層檢測】 9【基礎篇】 9【能力篇】 12【培優(yōu)篇】 13考試要求：1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能進行弧度與角度的互化.3.理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.知識梳理知識梳理1.角的概念的推廣(1)定義：角可以看成一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)所形成的圖形.(2)分類eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負角、零角.,按終邊位置不同分為象限角和軸線角.))(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.2.弧度制的定義和公式(1)定義：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，記作1rad.(2)公式角α的弧度數(shù)公式|α|＝eq\f(l,r)(弧長用l表示)角度與弧度的換算1°＝eq\f(π,180)rad；1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧長公式弧長l＝|α|r扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r23.任意角的三角函數(shù)(1)定義前提如圖，設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)定義正弦y叫做α的正弦函數(shù)，記作sinα，即sinα＝y(tǒng)余弦x叫做α的余弦函數(shù)，記作cosα，即cosα＝x正切eq\f(y,x)叫做α的正切函數(shù)，記作tanα，即tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)三角函數(shù)正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上的點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)，將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)(2)定義的推廣設P(x，y)是角α終邊上異于原點的任一點，它到原點的距離為r(r>0)，那么sinα＝eq\f(y,r)；cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0).1.三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.角度制與弧度制可利用180°＝πrad進行互化，在同一個式子中，采用的度量制必須一致，不可混用.3.象限角4.軸線角真題自測真題自測一、單選題1．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條相鄰對稱軸，則（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高考真題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”，如圖，是以O為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點，D在上，．“會圓術(shù)”給出的弧長的近似值s的計算公式：．當時，（

）A． B． C． D．二、填空題3．（2023·北京·高考真題）已知命題若為第一象限角，且，則．能說明p為假命題的一組的值為，．4．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)，如圖A，B是直線與曲線的兩個交點，若，則．

5．（2023·全國·高考真題）若，則．6．（2021·北京·高考真題）若點關(guān)于軸對稱點為，寫出的一個取值為．考點突破考點突破【考點1】象限角及終邊相同的角一、單選題1．（23-24高一下·河南·階段練習）如圖，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合是（

）A． B．C． D．2．（2022·全國·模擬預測）已知角第二象限角，且，則角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角二、多選題3．（23-24高一上·吉林長春·期末）下列說法正確的是（

）A．“為第一象限角”是“為第一象限角或第三象限角”的充分不必要條件B．“，”是“”的充要條件C．設，，則“”是“”的充分不必要條件D．“”是“”的必要不充分條件4．（22-23高二下·吉林長春·期末）下列說法正確的是（

）A．軸截面為等腰直角三角形的圓錐，其側(cè)面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為B．若，則C．已知為銳角，，角的終邊上有一點，則D．在范圍內(nèi)，與角終邊相同的角是和三、填空題5．（2022·河南開封·三模）在平面直角坐標系xOy中，角α與角β均以Ox為始邊，它們的終邊關(guān)于直線對稱.若，則.6．（2022·全國·模擬預測）已知的頂點為坐標原點，始邊與x軸非負半軸重合，終邊在第二象限，，則的值為．反思提升：(1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過集合中的參數(shù)k(k∈Z)賦值來求得所需的角.(2)確定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的終邊位置的方法先寫出kα或eq\f(α,k)的范圍，然后根據(jù)k的可能取值確定kα或eq\f(α,k)的終邊所在的位置.【考點2】弧度制及其應用一、單選題1．（2023·陜西安康·三模）羽毛球運動是一項全民喜愛的體育運動，標準的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，測得每根羽毛在球托之外的長為，球托之外由羽毛圍成的部分可看成一個圓臺的側(cè)面，測得頂端所圍成圓的直徑是，底部所圍成圓的直徑是，據(jù)此可估算得球托之外羽毛所在曲面的展開圖的圓心角為（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·模擬預測）石雕、木雕、磚雕被稱為建筑三雕．源遠流長的磚雕，由東周瓦當、漢代畫像磚等發(fā)展而來，明清時代進入巔峰，形成北京、天津、山西、徽州、廣東、臨夏以及蘇派磚雕七大主要流派．蘇派磚雕被稱為“南方之秀”，是南方地區(qū)磚雕藝術(shù)的典型代表，被廣泛運用到墻壁、門窗、檐廊、欄檻等建筑中．圖（1）是一個梅花磚雕，其正面是一個扇環(huán)，如圖（2），磚雕厚度為6cm，，，所對的圓心角為直角，則該梅花磚雕的表面積為（單位：）（

）

A． B． C． D．二、多選題3．（2024·全國·模擬預測）如圖，設單位圓與軸的正半軸相交于點，以軸的非負半軸為始邊作銳角，，，它們的終邊分別與單位圓相交于點，，．若，則下列說法正確的是（

）

A．當時，的面積為B．當時，扇形的面積為C．當時，四邊形的面積為D．四邊形面積的最大值為14．（23-24高三上·云南昆明·階段練習）質(zhì)點A，B在以坐標原點O為圓心，半徑為1的圓上同時出發(fā)做逆時針勻速圓周運動，點A的起點在射線（）與圓O的交點處，點A的角速度為，點B的起點在圓O與x軸正半軸的交點處，點B的角速度為，則下列說法正確的是（

）A．在末時，點B的坐標為B．在末時，劣弧的長為C．在末時，點A與點B重合D．當點A與點B重合時，點A的坐標可以為三、填空題5．（2023·上海普陀·一模）若圓上的一段圓弧長與該圓的內(nèi)接正六邊形的邊長相等，則這段圓弧所對的圓心角的大小為.6．（2024·上海黃浦·二模）如圖是某公園局部的平面示意圖，圖中的實線部分（它由線段與分別以為直徑的半圓弧組成）表示一條步道.其中的點是線段上的動點，點O為線段的中點，點在以為直徑的半圓弧上，且均為直角.若百米，則此步道的最大長度為百米.反思提升：應用弧度制解決問題時應注意：(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度.(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題.(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形.【考點3】三角函數(shù)的定義及應用一、單選題1．（2024·湖北·模擬預測）在直角坐標系中，繞原點將軸的正半軸逆時針旋轉(zhuǎn)角交單位圓于點、順時針旋轉(zhuǎn)角交單位圓于點，若點的縱坐標為，且的面積為，則點的縱坐標為（

）A． B． C． D．2．（2024·新疆烏魯木齊·二模）已知角終邊上點坐標為，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·廣東廣州·模擬預測）下列命題正確的是（

）A．“是第二象限角或第三象限角”，“”，則是的充分不必要條件B．若為第一象限角，則C．在中，若，則為銳角三角形D．已知，且，則4．（2024·河北保定·二模）一般地，任意給定一個角，它的終邊與單位圓的交點P的坐標，無論是橫坐標x還是縱坐標y，都是唯一確定的，所以點P的橫坐標x、縱坐標y都是角的函數(shù).下面給出這些函數(shù)的定義：①把點P的縱坐標y叫作的正弦函數(shù)，記作，即；②把點P的橫坐標x叫作的余弦函數(shù)，記作，即；③把點P的縱坐標y的倒數(shù)叫作的余割，記作，即；④把點P的橫坐標x的倒數(shù)叫作的正割，記作，即.下列結(jié)論正確的有（

）A．B．C．函數(shù)的定義域為D．三、填空題5．（2024·全國·模擬預測）在平面直角坐標系中，若角的頂點為原點，始邊為軸非負半軸，終邊經(jīng)過點，則.6．（2023·江西贛州·二模）已知為銳角，滿足，則．反思提升：1.三角函數(shù)定義的應用(1)直接利用三角函數(shù)的定義，找到給定角的終邊上一個點的坐標，及這點到原點的距離，確定這個角的三角函數(shù)值.(2)已知角的某一個三角函數(shù)值，可以通過三角函數(shù)的定義列出含參數(shù)的方程，求參數(shù)的值.2.要判定三角函數(shù)值的符號，關(guān)鍵是要搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角，再根據(jù)正、余弦函數(shù)值在各象限的符號確定值的符號.如果不能確定角所在象限，那就要進行分類討論求解.分層檢測分層檢測【基礎篇】一、單選題1．（2023·安徽·模擬預測）已知角終邊上有一點，則為（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角2．（23-24高一上·山東菏澤·期末）集合，，，則集合中的元素個數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（2024·湖南·一模）出土于魯國故城遺址的“出廓雙龍勾玉紋黃玉璜”（圖1）的璜身滿刻勾云紋，體扁平，呈扇面狀，黃身外耬空雕飾“”型雙龍，造型精美．現(xiàn)要計算璜身面積（厚度忽略不計），測得各項數(shù)據(jù)（圖2）：，若，則璜身（即曲邊四邊形）面積近似為（

）A． B． C． D．4．（2024·北京房山·一模）已知角的終邊經(jīng)過點，把角的終邊繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到角的終邊，則（

）A． B． C． D．二、多選題5．（2022·福建·三模）若滿足，，則可以是（

）A． B． C． D．6．（23-24高一上·吉林延邊·期末）已知函數(shù)且的圖象經(jīng)過定點，且點在角的終邊上，則的值可能是（）A． B． C． D．7．（22-23高一下·浙江杭州·期末）如圖，質(zhì)點和在單位圓上逆時針作勻速圓周運動.若和同時出發(fā)，的角速度為，起點位置坐標為，B的角速度為，起點位置坐標為，則（

）

A．在末，點的坐標為B．在末，扇形的弧長為C．在末，點在單位圓上第二次重合D．面積的最大值為三、填空題8．（2021·四川瀘州·一模）在平面直角坐標系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于軸對稱．若，則．9．（2023·上?！つM預測）在平面直角坐標系中，角以Ox為始邊，且．把角α的終邊繞端點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)弧度，這時終邊對應的角是，則；10．（2024·湖北·模擬預測）函數(shù)，設為的最小正周期，若，則.四、解答題11．（2021·上海閔行·二模）某植物園中有一塊等腰三角形的花圃，腰長為20米，頂角為30°，現(xiàn)在花圃內(nèi)修一條步行道(步行道的寬度忽略不計)，將其分成面積相等的兩部分，分別種植玫瑰和百合.步行道用曲線表示(D?E兩點分別在腰?上，以下結(jié)果精確到0.01).（1）如果曲線是以A為圓心的一段圓弧(如圖1)，求的長；（2）如果曲線是直道(如圖2)，求的最小值，并求此時直道的長度.12．（2023·貴州·模擬預測）如圖所示，角的終邊與單位圓交于點，將繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后與圓交于點.

(1)求；(2)若的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，，，求.【能力篇】一、單選題1．（23-24高三上·湖南長沙·階段練習）“且”是“為第三象限角”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件二、多選題2．（2024·安徽蕪湖·二模）在平面直角坐標系xOy中，角θ以坐標原點O為頂點，以x軸的非負半軸為始邊，其終邊經(jīng)過點，，定義，，則（

）A． B．C．若，則 D．是周期函數(shù)三、填空題3．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）用一個圓心角為，面積為的扇形（為圓心）用成一個圓錐（點恰好重合），該圓錐頂點為，底面圓的直徑為，則的值為．四、解答題4．（2022·上海虹口·二模）如圖，某公園擬劃出形如平行四邊形的區(qū)域進行綠化，在此綠化區(qū)域中，分別以和為圓心角的兩個扇形區(qū)域種植花卉，且這兩個扇形的圓弧均與相切.(1)若，，（長度單位：米），求種植花卉區(qū)域的面積；(2)若扇形的半徑為10米，圓心角為，則多大時，平行四邊形綠地占地面積最小？【培優(yōu)篇】一、單選題1．（2023·全國·模擬