2024年四川省雅安市中考數(shù)學(xué)試題 （解析版）

PAGE12024年四川省雅安市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題3分，共36分）每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且僅有一個(gè)是正確的．1.有理數(shù)2024的相反數(shù)是（）A.2024 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0，據(jù)此求解即可．【詳解】解：有理數(shù)2024的相反數(shù)是，故選：B．2.計(jì)算的結(jié)果是（）A. B.0 C.1 D.4【答案】C【解析】【分析】本題考查零指數(shù)冪，掌握“任何不為零的零次冪等于1”是正確解答的關(guān)鍵．根據(jù)零指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：原式．故選：C．3.下列幾何體中，主視圖是三角形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了簡單幾何體的三視圖，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握簡單幾何體的三視圖.根據(jù)主視圖是從正面看到的視圖對各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【詳解】解：A.主視圖是三角形，故本選項(xiàng)符合題意；B.主視圖是矩形，故本選項(xiàng)不符合題意；C.主視圖是矩形，故本選項(xiàng)不符合題意；D.主視圖是正方形，故本選項(xiàng)不符合題意.故選：A．4.下列運(yùn)算正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方以及同底數(shù)冪的除法，合并同類項(xiàng)，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方以及同底數(shù)冪的除法，合并同類項(xiàng)法則進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：A．不是同類項(xiàng)，不能合并，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；B．，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；C．，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；D．，故該選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．5.如圖，直線交于點(diǎn)O，于O，若，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了垂線、對頂角的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握垂線、對頂角的性質(zhì)．已知，可得的度數(shù)，因?yàn)閷斀牵吹玫亩葦?shù)．【詳解】解：∵，，，故選：A．6.不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了解一元一次不等式組和在數(shù)軸上表示不等式的解集，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．【詳解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，則不等式組的解集為，將不等式組的解集表示在數(shù)軸上如下：故選：C．7.在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)向右平移2個(gè)單位后，得到的點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此題主要考查了關(guān)于軸對稱點(diǎn)的性質(zhì)以及平移的性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．直接利用平移的性質(zhì)得出對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，再利用關(guān)于軸對稱點(diǎn)的性質(zhì)得出答案．【詳解】解：∵將點(diǎn)向右平移2個(gè)單位后，∴平移后的坐標(biāo)為，∴得到的點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)是．故選：B．8.如圖，的周長為，正六邊形內(nèi)接于．則的面積為（）A.4 B. C.6 D.【答案】B【解析】【分析】本題考查正多邊形和圓，掌握正六邊形的性質(zhì)，解直角三角形是正確解答的關(guān)鍵．根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及解直角三角形進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)半徑為，由題意得，，解得，∵六邊形是的內(nèi)接正六邊形，∴，∵，∴是正三角形，∴，∴弦所對應(yīng)的弦心距為，∴．故選：B．9.某校開展了紅色經(jīng)典故事演講比賽，其中8名同學(xué)的成績（單位：分）分別為：85，81，82，86，82，83，92，89．關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列說法中正確的是（）A.眾數(shù)是92 B.中位數(shù)是C.平均數(shù)是84 D.方差是13【答案】D【解析】【分析】此題考查了方差，算術(shù)平均數(shù)，中位數(shù)，以及眾數(shù)，熟練掌握各自的計(jì)算方法是解本題的關(guān)鍵．找出這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的即為眾數(shù)，這組數(shù)據(jù)排列后找出最中間的兩個(gè)數(shù)求出平均數(shù)即為中位數(shù)，求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，利用方差公式求出方差，判斷即可．【詳解】解：排列得：，出現(xiàn)次數(shù)最多是82，即眾數(shù)為82；最中間的兩個(gè)數(shù)為83和85，即中位數(shù)為84；，即平均數(shù)為85；，即方差13．故選：D．10.已知．則（）A. B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】本題考查的是條件分式的求值，由條件可得，再整體代入求值即可；【詳解】解：∵，∴，∴；故選C11.在數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)中，某小組測量一棟樓房高度（如圖），他們在A處仰望樓頂，測得仰角為，再往樓的方向前進(jìn)50米至B處，測得仰角為，那么這棟樓的高度為（人的身高忽略不計(jì)）（）A.米 B.25米 C.米 D.50米【答案】A【解析】【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．設(shè)米，在中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出，在中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出，再由列出關(guān)于的方程，求出方程的解得到的值即可．【詳解】解：設(shè)米，在中，，，即，整理得：米，在中，，，即，整理得：米，∵米，∴，即，解得：，側(cè)這棟樓的高度為米．故選：A．12.已知一元二次方程有兩實(shí)根，，且，則下列結(jié)論中正確的有（）①；②拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；③；④若，則．A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式、拋物線與軸的交點(diǎn)，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．依據(jù)題意，由有兩實(shí)根，，可得，即可得，故可判斷①又拋物線的對稱軸是直線，進(jìn)而拋物線的頂點(diǎn)為c)，再結(jié)合，可得，故可判斷②；依據(jù)題意可得，又，進(jìn)而可得，從而可以判斷③；由，故，即對于函數(shù)，當(dāng)時(shí)的函數(shù)值小于當(dāng)時(shí)的函數(shù)值，再結(jié)合，拋物線的對稱軸是直線，從而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷④．【詳解】解：由題意，∵有兩實(shí)根，．∴得，．∴，故①正確．，∴拋物線的對稱軸是直線．∴拋物線的頂點(diǎn)為．又，∴，即．∴．∴．∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故②正確．∵，∴．又，，∴，故③錯(cuò)誤．，，∴對于函數(shù)，當(dāng)時(shí)的函數(shù)值小于當(dāng)時(shí)的函數(shù)值．∵，拋物線的對稱軸是直線，又此時(shí)拋物線上的點(diǎn)離對稱軸越近函數(shù)值越小，，，∴，故④錯(cuò)誤．綜上，正確的有①②共2個(gè)．故選：B．二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分）將答案直接填寫在答題卡相應(yīng)的橫線上．13.使代數(shù)式有意義的x的取值范圍是_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次根式被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的條件，要使在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須，從而可得答案．【詳解】解：代數(shù)式有意義，故答案為：14.將，，，0，，這6個(gè)數(shù)分別寫在6張同樣的卡片上，從中隨機(jī)抽取1張，卡片上的數(shù)為有理數(shù)的概率是______．【答案】【解析】【分析】本題考查概率的求法與運(yùn)用，有理數(shù)與無理數(shù)的識(shí)別，一般方法：如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=．先根據(jù)無理數(shù)的定義得到取到有理數(shù)的有，，0，3.14這4種結(jié)果，再根據(jù)概率公式即可求解．【詳解】解：將，，，0，，3.14這6個(gè)數(shù)分別寫在6張相同的卡片上，字面朝下隨意放在桌上，任取一張，有6種等可能結(jié)果，其中取到有理數(shù)的有，，0，3.14這4種結(jié)果，所以取到有理數(shù)的概率為，故答案為：．15.如圖是1個(gè)紙杯和若干個(gè)疊放在一起的紙杯的示意圖，在探究紙杯疊放在一起后的總高度H與杯子數(shù)量n的變化規(guī)律的活動(dòng)中，我們可以獲得以下數(shù)據(jù)（字母），請選用適當(dāng)?shù)淖帜副硎綺_____．①杯子底部到杯沿底邊的高h(yuǎn)；②杯口直徑D；③杯底直徑d；④杯沿高a．【答案】【解析】【分析】本題考查的是列代數(shù)式，由總高度H等于杯子底部到杯沿底邊的高h(yuǎn)加上n個(gè)杯子的杯沿高即可得到答案；【詳解】解：由題意可得：，故答案：；16.如圖，在和中，，，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，當(dāng)時(shí)，的度數(shù)是______．【答案】或【解析】【分析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，分兩種情況分別畫出圖形，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)與角的和差運(yùn)算可得答案；【詳解】解：如圖，當(dāng)時(shí)，延長交于，∵，，∴,∴；如圖，當(dāng)時(shí)，延長交于，∵，，∴,∴，故答案為：或17.如圖，把矩形紙片沿對角線折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，與交于點(diǎn)F，若，，則的值是______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．折疊問題優(yōu)先考慮利用勾股定理列方程，證，再利用求出邊長，從而求解即可．【詳解】解：∵折疊，，∵四邊形是矩形，，，，，，在中，，，解得，，故答案為：．三、解答題（本大題共7個(gè)小題、共69分）解答要求寫出必要的文字說明、演算步驟或推理過程．18.（1）計(jì)算：；（2）先化簡，再求值：，其中．【答案】（1）；（2），【解析】【分析】本題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，分式的化簡求值等知識(shí)點(diǎn)，能正確根據(jù)分式的運(yùn)算法則和實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，注意運(yùn)算順序．（1）先計(jì)算開方、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和絕對值，然后根據(jù)有理數(shù)的加減法計(jì)算即可；（2）先計(jì)算分式的減法，再計(jì)算分式的除法進(jìn)行化簡，最后代入求出答案即可．【詳解】解：（1）原式；（2）原式，當(dāng)時(shí)，原式．19.某中學(xué)對八年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了教育質(zhì)量監(jiān)測，隨機(jī)抽取了參加15米折返跑的部分學(xué)生成績（成績劃分為優(yōu)秀、良好、合格與不合格四個(gè)等級(jí)），并繪制了不完整的統(tǒng)計(jì)圖（如圖所示）．根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題：（1）請把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；（2）若該校八年級(jí)學(xué)生有300人，試估計(jì)該校八年級(jí)學(xué)生15米折返跑成績不合格的人數(shù)；（3）從所抽取的優(yōu)秀等級(jí)的學(xué)生A、B、C、D、E中，隨機(jī)選取兩人去參加即將舉辦的學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)，請利用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好抽到A、B兩位同學(xué)的概率．【答案】（1）見解析（2）30人（3）【解析】【分析】此題考查了列表法與樹狀圖法，用樣本估計(jì)總體，以及條形統(tǒng)計(jì)圖，弄清題中的數(shù)據(jù)是解本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)成績?yōu)榱己玫娜藬?shù)除以占的百分比求出調(diào)查的總?cè)藬?shù)，進(jìn)而求出不合格的人數(shù)，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖即可；（2）由樣本中成績不合格的百分比估計(jì)總體中成績不合格的百分比，乘以300即可得到結(jié)果；（3）列出得出所有等可能的情況數(shù)，找出恰好抽到、兩位同學(xué)的情況數(shù)，即可求出恰好抽到、兩位同學(xué)的概率．【小問1詳解】解：根據(jù)題意得：（人），∴不合格的為：（人），補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，如圖所示：【小問2詳解】解：根據(jù)題意得：（人），則該校八年級(jí)學(xué)生15米折返跑成績不合格的人數(shù)約為30人；【小問3詳解】解：列表如下：

ABCDEABCDE所有等可能的情況有20種，其中恰好抽到A、B兩位同學(xué)的情況數(shù)為2種，則P（恰好抽到A、B兩位同學(xué)）．20.如圖，點(diǎn)O是對角線的交點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）求證：；（2）當(dāng)時(shí)，，分別連接，，求此時(shí)四邊形的周長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題主要考查了平行四邊形和菱形．熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，是解決問題的關(guān)鍵．（1）由題目中的中，O為對角線的中點(diǎn)，可以得出，，結(jié)合，可以證得兩個(gè)三角形全等，進(jìn)而得出結(jié)論；

（2）由（1）中得到的結(jié)論可以得到，結(jié)合得出四邊形是平行四邊形，進(jìn)而利用證明出四邊形為菱形，根據(jù)即可求出菱形的周長．【小問1詳解】∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵點(diǎn)O是對角線的交點(diǎn)，∴，在△和中，，∴．【小問2詳解】由（1）知，，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴是菱形，∴，∴，∴四邊形的周長為．21.某市為治理污水，保護(hù)環(huán)境，需鋪設(shè)一段全長為3000米的污水排放管道，為了減少施工對城市交通所造成的影響，實(shí)際施工時(shí)每天的工效比原計(jì)劃增加，結(jié)果提前15天完成鋪設(shè)任務(wù)．（1）求原計(jì)劃與實(shí)際每天鋪設(shè)管道各多少米？（2）負(fù)責(zé)該工程的施工單位，按原計(jì)劃對工人的工資進(jìn)行了初步的預(yù)算，工人每天人均工資為300元，所有工人的工資總金額不超過18萬元，該公司原計(jì)劃最多應(yīng)安排多少名工人施工？【答案】（1）原計(jì)劃與實(shí)際每天鋪設(shè)管道各為40米，50米（2）該公司原計(jì)劃最多應(yīng)安排8名工人施工【解析】【分析】此題考查了分式方程應(yīng)用，以及一元一次不等式的應(yīng)用，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．（1）設(shè)原計(jì)劃每天鋪設(shè)管道米，則實(shí)際施工每天鋪設(shè)管道，根據(jù)原計(jì)劃的時(shí)間實(shí)際的時(shí)間+15列出方程，求出方程的解即可得到結(jié)果；（2）設(shè)該公司原計(jì)劃應(yīng)安排名工人施工，根據(jù)工作時(shí)間=工作總量工作效率計(jì)算出原計(jì)劃的工作天數(shù)，進(jìn)而表示出所有工人的工作總額，由所有工人的工資總金額不超過18萬元列出不等式，求出不等式的解集，找出解集中的最大整數(shù)解即可．【小問1詳解】解：設(shè)原計(jì)劃每天鋪設(shè)管道x米，則實(shí)際施工每天鋪設(shè)管道米，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是分式方程的解，且符合題意，∴，則原計(jì)劃與實(shí)際每天鋪設(shè)管道各為40米，50米；【小問2詳解】解：設(shè)該公司原計(jì)劃應(yīng)安排y名工人施工，（天），根據(jù)題意得：，解得：，∴不等式的最大整數(shù)解為8，則該公司原計(jì)劃最多應(yīng)安排8名工人施工．22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象l與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）求的面積；（3）若點(diǎn)P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）一次函數(shù)的表達(dá)式為，反比例函數(shù)表達(dá)式為（2）（3）【解析】【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用反比例函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．（1）依據(jù)題意，由在反比例函數(shù)上，可得的值，進(jìn)而求出反比例函數(shù)，再將代入求出的坐標(biāo)，最后利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式；（2）依據(jù)題意，設(shè)直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，由直線為，可得，故，再由，進(jìn)而計(jì)算可以得解；（３）依據(jù)題意，作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，則的最小值等于的長，結(jié)合)與關(guān)于軸對稱，故為，又，可得直線為，再令，則，進(jìn)而可以得解．【小問1詳解】解：由題意，∵在反比例函數(shù)上，∴．∴反比例函數(shù)表達(dá)式為．又在反比例函數(shù)上，∴．∴．設(shè)一次函數(shù)表達(dá)式為，∴，∴，．∴一次函數(shù)的表達(dá)式為．【小問2詳解】解：由題意，如圖，設(shè)直線l交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，又直線l為，∴，．∴，，∴；【小問3詳解】解：由題意，如圖，作點(diǎn)M關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，連接交y軸于點(diǎn)P，則的最小值等于的長．∵與關(guān)于y軸對稱，∴為．又，設(shè)的解析式為，則，解得，∴直線為．令，則．∴．23.如圖，是的直徑，點(diǎn)C是上的一點(diǎn)，點(diǎn)P是延長線上的一點(diǎn)，連接，．（1）求證：是的切線；（2）若，求證：；（3）若于D，，，求的長．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）【解析】【分析】（1）首先由直徑得到，然后利用等邊對等角得到，等量代換得到，進(jìn)而證明即可；（2）利用得到，求出，然后利用直角三角形兩銳角互余得到，進(jìn)而求解即可；（3）設(shè)，證明出，得到，然后表示出，然后利用勾股定理求解即可．【小問1詳解】如圖所示，連接，∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴是的切線；【小問2詳解】證明：∵，∴，∴，由（1）知，∴，∴，∴，∴；【小問3詳解】設(shè)，在中，，∴∴∵∴∴∴，∵，，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得，即，