2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)新高考一輪復(fù)習(xí)專題7.1平面向量的概念及線性運(yùn)算含解析

Page107.1平面對(duì)量的概念及線性運(yùn)算課標(biāo)要求考情分析核心素養(yǎng)1.了解向量的實(shí)際背景．2.理解平面對(duì)量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義．3.理解向量的幾何表示．4.駕馭向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義．5.駕馭向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義．6.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.新高考3年考題題號(hào)考點(diǎn)數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)運(yùn)算直觀想象邏輯推理2024(Ⅰ)卷3向量加減、數(shù)乘混合運(yùn)算2024(Ⅱ)卷3向量加減、數(shù)乘混合運(yùn)算1.向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小，又有方向的量；向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或稱模)平面對(duì)量是自由向量零向量長(zhǎng)度為0的向量；其方向是隨意的記作0單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量非零向量a的單位向量為±平行向量方向相同或相反的非零向量0與任一向量平行或共線共線向量方向相同或相反的非零向量,又叫共線向量相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量?jī)上蛄恐挥邢嗟然虿坏龋荒鼙容^大小相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量0的相反向量為02.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算交換律:a結(jié)合律:a減法求a與b的相反向量-ba數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算①λ②當(dāng)λ>0時(shí),λa與a的方向相同;當(dāng)λ<0時(shí),λa與a的方向相反；

當(dāng)①λ②λ+μ③λ3.共線向量定理向量平行(共線)的充要條件：a//向量aa≠0與b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ,1.一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最終一個(gè)向量終點(diǎn)的向量，即A1A22.若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則OP=3.三點(diǎn)共線定理：對(duì)于平面上的任一點(diǎn)O，OB、OC不共線,OA=λOB+μOC(λ4.解決向量的概念問題要留意兩點(diǎn)：①不僅要考慮向量的大小，更重要的是考慮向量的方向；②要特殊留意零向量的特殊性，考慮零向量是否也滿意條件.5.a1.【P24T22】如圖在梯形ABCD中，BC=2AD，DE=EC，設(shè)BA=a,BC=b，則BE=

A.12a+14b B.12.【P16T8】設(shè)e1,e(1)求證：A，B，D三點(diǎn)共線；(2)若BF=3e1-ke

考點(diǎn)一向量的有關(guān)概念【方法儲(chǔ)備】向量有關(guān)概念的關(guān)注點(diǎn)：【特殊提示】1.零向量和單位向量是兩個(gè)特殊的向量.它們的模確定，但方向不確定.2.兩平行向量有向線段所在的直線平行或重合，易忽視重合這一條件.【典例精講】例1.(2024·湖南省株洲市聯(lián)考)以下說(shuō)法正確的是(

)A.若兩個(gè)向量相等,則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合B.零向量沒有方向

C.共線向量又叫平行向量D.若向量a和b都是單位向量，則a【名師點(diǎn)睛】解決向量的概念問題須要留意兩點(diǎn)：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是要考慮向量的方向;二是考慮零向量是否也滿意條件，要特殊留意零向量的特殊性.【靶向訓(xùn)練】練1-1(2024·湖北省黃岡市月考)給出下列命題：①零向量的長(zhǎng)度為零，方向是隨意的；②若a，b都是單位向量，則a=b；③向量AB與BA相等．則全部正確命題的序號(hào)是(

)A.① B.③ C.①③ D.①②練1-2(2024·黑龍江省模擬.多選)下列敘述中錯(cuò)誤的是(

)A.若a=b，則3a>2b

B.已知非零向量a與b且a/?/b，則a與b的方向相同或相反

C.若a/?/b，考點(diǎn)二平面對(duì)量的線性運(yùn)算【方法儲(chǔ)備】1.平面對(duì)量線性運(yùn)算的解題策略2.平面對(duì)量線性運(yùn)算中的參數(shù)問題角度1平面對(duì)量的線性運(yùn)算【典例精講】

例2.(2024·浙江省溫州市模擬)我國(guó)東漢末數(shù)學(xué)家趙夾在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示．在“趙爽弦圖”中，若BC=a，BA=b，BE=3EFA.1225a+925b【名師點(diǎn)睛】

在一般向量的線性運(yùn)算中，只要把其中的向量當(dāng)作一個(gè)字母看待即可，其運(yùn)算方法類似于代數(shù)中合并同類項(xiàng)的運(yùn)算，在計(jì)算時(shí)可以進(jìn)行類比．【靶向訓(xùn)練】練2-1(2024·廣東省模擬)如圖所示，M，N分別是ΔABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，且AM=2MB，NC=2AN，則向量MN=A.13AB-23AC練2-2(2024·廣東省佛山市模擬)如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=π2，AC=2AB，∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于點(diǎn)D，設(shè)AB=a，AC=b，則向量AD=

(

)A.a+b

B.12a+角度2平面對(duì)量線性運(yùn)算中的參數(shù)問題【典例精講】例3.(2024·廣東省一輪復(fù)習(xí)聯(lián)考)已知梯形ABCD中，AD//BC，BF=3FC，AH=3HF，且BH=λBA+μBCA.364

B.564

C.7【名師點(diǎn)睛】在求向量時(shí)要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運(yùn)用平行四邊形法則、三角形法則及三角形中位線、相像三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為用已知向量線性表示.【靶向訓(xùn)練】練2-3(2024·安徽省期末)已知平行四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，E為AO的中點(diǎn)，若AE=λAB+μAD，則A.12 B.13 C.1練2-4(2024·湖北省武漢市期中)在△ABC中，已知點(diǎn)D為AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段CD上，且CN=2若AN=13AC+λA.13 B.-13 C.考點(diǎn)三平面對(duì)量共線定理及其應(yīng)用【方法儲(chǔ)備】1.證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線解決，但應(yīng)留意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)分與聯(lián)系．當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線．2.向量a、b共線是指存在不全為零的實(shí)數(shù)λ1若λ1a+λ2【特殊提示】在考慮向量共線問題時(shí)，要留意考慮零向量.角度1向量共線的問題【典例精講】例4.(2024·廣東省模擬)已知向量a，b是兩個(gè)不共線的向量，且向量ma-3b與a+(2-m)b共線，則實(shí)數(shù)m的值為

；若ma-3b與a【名師點(diǎn)睛】考查平面對(duì)量的共線定理應(yīng)用問題，依據(jù)平面對(duì)量的共線定理，列方程求得m的值，驗(yàn)證ma-3b【靶向訓(xùn)練】練3-1(2024·江西省宜春市月考)設(shè)a與b是兩個(gè)不共線向量，且向量a+λb與-(b-2a)練3-2(2024·山東省模擬.多選)已知向量a，b是兩個(gè)非零向量，在下列條件中，肯定能使a，b共線的是(

)A.2a-3b=4e且a+2b=-2e

B.存在相異實(shí)數(shù)λ，μ，使λa-μb=角度2三點(diǎn)共線的問題【典例精講】例5.(2024·江蘇省揚(yáng)州市模擬)設(shè)平面對(duì)量a，b不共線，若AB=a+5b，BC=-2aA.A，B，D三點(diǎn)共線 B.A，B，C三點(diǎn)共線

C.B，C，D三點(diǎn)共線 D.A，C，D三點(diǎn)共線【名師點(diǎn)睛】本題主要考查向量的加減，以及平面對(duì)量的共線的條件，利用平面對(duì)量的加減，以及向量共線的充要條件求解．【靶向訓(xùn)練】練3-3(2024·遼寧省模擬)已知向量m，n不共線，向量OA=5m-3n，OB=xm+n，若O，A.-53 B.53 C.練3-4(2024·湖南省邵陽(yáng)市期中)在△ABC中，點(diǎn)P滿意2BP=PC，過點(diǎn)P的直線與AB，AC所在的直線分別交于點(diǎn)M，N，若AM=xAB，AN=yA.3 B.32 C.1 D.核心素養(yǎng)系列直觀想象——平面對(duì)量在平面幾何中的應(yīng)用平面對(duì)量作為一種基本工具,在平面幾何問題的求解中有極其重要的地位和作用,尤其是平面對(duì)量的幾何意義,其中又有許多獨(dú)特之處,若在解題中能合理運(yùn)用,必能起到化難為易,化繁為簡(jiǎn)的作用.【方法儲(chǔ)備】利用向量運(yùn)算法則的幾何意義解決問題通常有兩種方法：1.依據(jù)兩個(gè)向量的和與差，構(gòu)造相應(yīng)的平行四邊形或三角形，再結(jié)合其他學(xué)問求解相關(guān)問題;2.平面幾何中假如出現(xiàn)平行四邊形或可能構(gòu)造出平行四邊形或三角形的問題，可考慮利用向量學(xué)問求解.【典例精講】例6.(2024·江蘇省南通市模擬)已知G為△ABC的重心，點(diǎn)M，N分別在邊AB，AC上，滿意AG=xAM+yAN,其中x+y=1,若AM=3【名師點(diǎn)睛】本題考查向量的加減運(yùn)算，平面對(duì)量基本定理，屬于基礎(chǔ)題．依據(jù)題意，利用平面對(duì)量基本定理解得AC=53AN，則△ABC和【靶向訓(xùn)練】練4-1(2024·江蘇省聯(lián)考)已知a，b是不共線向量，設(shè)OA=2a+b，OB=a+2b，OC=3a+b，A.4 B.5 C.6 D.8練4-2(2024·河南省鶴壁市模擬)點(diǎn)P是菱形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)，若2PA+3PB+PC=0，則菱形ABCDA.6 B.8 C.12 D.15

易錯(cuò)點(diǎn)1．平面對(duì)量概念理解錯(cuò)誤例7.(2024·山東省青島市模擬.多選)下面的命題正確的有(

)A.方向相反的兩個(gè)非零向量肯定共線

B.單位向量都相等

C.若a，b滿意|a|>|b|且a與b同向，則a>b;

D.“若A、B、C、D易錯(cuò)點(diǎn)2．共線定理理解錯(cuò)誤例8.(2024·湖南省長(zhǎng)沙市聯(lián)考)已知△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)P滿意PA+PB+PC=BC，則點(diǎn)A.△ABC的外面 B.△ABC的內(nèi)部 C.邊AB上 D.邊AC上答案解析【教材改編】1.【解析】取BC中點(diǎn)F，連接FA，

因?yàn)樵谔菪蜛BCD中，BC=2AD，所以四邊形ADCF是平行四邊形，所以FA//CD，F(xiàn)A=CD，

則BE=BC+CE=BC+12CD=2.【解析】(1)證明：由已知可得：BD=CD-CB=e1-4e2，AB=2(e1-4e2)=2BD?AB//BD，

∵AB與BD有公共點(diǎn)B，∴A、B、D三點(diǎn)共線；【考點(diǎn)探究】例1.【解析】只要兩個(gè)向量的方向相同，模長(zhǎng)相等，這兩個(gè)向量就是相等向量，故A錯(cuò)誤；

零向量是方向隨意的向量，B錯(cuò)誤；

共線向量是方向相同或相反的向量，也叫平行向量，C正確；

若a，b都是單位向量，兩向量的模長(zhǎng)都為1，但方向不肯定相同，D錯(cuò)誤；

故選C．練1-1.【解析】依據(jù)零向量的定義可知①正確；

依據(jù)單位向量的定義可知，單位向量的模相等，但方向不肯定相同，故兩個(gè)單位向量不肯定相等，故②錯(cuò)誤；

向量AB與BA互為相反向量，故③錯(cuò)誤．

故選A．練1-2.【解析】對(duì)于A，因?yàn)橄蛄渴羌扔写笮∮钟蟹较虻牧?，所以向量不能比較大小，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，非零向量a與b且a/?/b，則a與b的方向相同或相反，故B正確；

對(duì)于C，若b=0，則零向量與隨意向量平行，所以對(duì)隨意向量a與c，均有a//b，b//c，故此時(shí)a與c不肯定平行，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，由單位向量的定義可得，對(duì)任一非零向量a，

例2.【解析】(法一)過點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，不妨設(shè)BE=3，EF=1，

則BF=4，F(xiàn)C=BE=3，所以BC=42+32=5，

所以FG=BF?CFBC=4×35=125，

所以BG=BF2-FG2=42-1252練2-1.【解析】因?yàn)锳M=2MB，NC=2AN，所以MN練2-2.【解析】設(shè)圓的圓心為O，半徑為r，連接OD、BD、CD．

在Rt△ABC中，∠ABC=π2，AC=2AB，

所以∠BAC=π3，∠ACB=π6，

因?yàn)椤螧AC的平分線交△ABC的外接圓于點(diǎn)D，

所以∠ACB=∠BAD=∠CAD=π6，則依據(jù)圓的性質(zhì)BD=CD=AB，

又因?yàn)樵赗t△ABC中，AB=例3.【解析】由AD//BC，BF=3FC，AH=3HF，∴BC=43BF，故選D．練2-3.【解析】在平行四邊形ABCD中，由對(duì)角線交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，

又E為AO的中點(diǎn)，則AE=12AO=12×12AC練2-4.【解析】如圖所示，△ABC中，點(diǎn)D為AB邊的中點(diǎn)，∴CD=AD-AC=12AB-AC；∴AN=CN-CA=13AB例4.【解析】因?yàn)橄蛄縨a-3b與a+(2-m)b共線，所以m=-32-m，解得m=-1或m=3．

當(dāng)m=-1時(shí)，ma-3b=-a-3b，a+(2-m)b=a+3b，ma-3b與a+(2-m)b共線反向；

當(dāng)練3-1.【解析】已知a與b是兩個(gè)不共線的向量，且向量a+λb與-(b-2a)共線，

所以存在常數(shù)k

使a+λb練3-2.【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)橄蛄縜，b是兩個(gè)非零向量．2a-3b=4e且a+2b=-2e，所以a=27e，b=-87e，此時(shí)能使a，b共線，故A正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，存在相異實(shí)數(shù)λ，μ，使λa-μb=0，要使非零向量a，b共線，由共線向量基本定理知成立，故B正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)x+y=0時(shí)，xa+yb=0，假如x=y=0，則不能使a，例5.【解析】∵AB=a+5bAD=∵AD與AB有公共點(diǎn)A，∴AD與AB共線，即A，B，D三點(diǎn)共線．

故選練3-3.【解析】因?yàn)镺，A，B三點(diǎn)共線，所以?λ∈R，使得

OB=λOA，即即(5λ-x)m=(3λ+1)n．又因?yàn)橄蛄縨，n不共線，所以5λ-x=3λ+1=0，則x=-5練3-4.【解析】因?yàn)?BP=PC，AM=xAB，AN=yAC(x>0,y>0)，

所以AP=AB+BP=AB+13BC=AB+13(AC-AB)=【素養(yǎng)提升】例6.【解析】設(shè)BC邊的中點(diǎn)為D，G為△ABC的重心，所以AG=23AD，即AG=2因?yàn)閤+y=1，則y=59，所以13AC=59AN，即故答案為：209練4-1.【解析】∵OA=2a+b，OB=a+2b，OC=3作如圖所示，取AB的中點(diǎn)E，CD中點(diǎn)F，過O作AB和CD的垂線并交AB于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)H，

OE=12(OA+OB)=32(a+b)，OF=12(OC+練4-2.【解析】由2PA+3PB+PC=0，得CP=3PB+2PA