高考數(shù)學(xué)圓錐曲線(xiàn)中的“設(shè)而不求”練習(xí)題含答案解析

圓錐曲線(xiàn)中的“設(shè)而不求”一、考情分析研究曲線(xiàn)方程及由方程研究曲線(xiàn)的有關(guān)性質(zhì)問(wèn)題,是圓錐曲線(xiàn)中的一個(gè)重要內(nèi)容,其特點(diǎn)是代數(shù)的運(yùn)算較為繁雜,許多學(xué)生會(huì)想而不善于運(yùn)算,往往是列出式子后“望式興嘆”.在解決圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題時(shí)若能恰當(dāng)使用“設(shè)而不求”的策略,可避免盲目推演造成的無(wú)效運(yùn)算,從而達(dá)到準(zhǔn)確、快速的解題效果.二、解題秘籍(一)“設(shè)而不求”的實(shí)質(zhì)及注意事項(xiàng)1.設(shè)而不求是解析幾何解題的基本手段,是比較特殊的一種思想方法,其實(shí)質(zhì)是整體結(jié)構(gòu)意義上的變式和整體思想的應(yīng)用．設(shè)而不求的靈魂是通過(guò)科學(xué)的手段使運(yùn)算量最大限度地減少,通過(guò)設(shè)出相應(yīng)的參數(shù),利用題設(shè)條件加以巧妙轉(zhuǎn)化,以參數(shù)為過(guò)渡,設(shè)而不求．2.在運(yùn)用圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題中的設(shè)而不求方法技巧時(shí),需要做到：①凡是不必直接計(jì)算就能更簡(jiǎn)潔地解決問(wèn)題的,都盡可能實(shí)施“設(shè)而不求”；②“設(shè)而不求”不可避免地要設(shè)參、消參,而設(shè)參的原則是宜少不宜多．3.“設(shè)而不求”最常見(jiàn)的類(lèi)型一是涉及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，在運(yùn)算過(guò)程中動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)通過(guò)四則運(yùn)算消去，或利用根與系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于其他參數(shù)的問(wèn)題；二是涉及動(dòng)直線(xiàn)問(wèn)題，把斜率或截距作為參數(shù)，設(shè)出直線(xiàn)的方程，再通過(guò)運(yùn)算消去.【例1】（2023屆山西省臨汾市等聯(lián)考高三上學(xué)期期中）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，，為的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，且的最小值為.連接，并延長(zhǎng)分別交橢圓于，兩點(diǎn).(1)求的方程；(2)證明：為定值.【解析】（1）由題意得，設(shè)，的長(zhǎng)分別為，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，從而，得，，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由（1）得，，設(shè)，，設(shè)直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)的方程為，由，得，則，，同理可得，所以.所以為定值.【例2】（2023屆江蘇省連云港市高三上學(xué)期10月聯(lián)考）已知橢圓中有兩頂點(diǎn)為，，一個(gè)焦點(diǎn)為.(1)若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與橢圓交于，兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線(xiàn)的方程；(2)若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與橢圓交于，兩點(diǎn)，并與軸交于點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)異，兩點(diǎn)時(shí)，試問(wèn)是否是定值？若是，請(qǐng)求出此定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）∵橢圓的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知得，，所以，橢圓的方程為，當(dāng)直線(xiàn)與軸垂直時(shí)與題意不符，設(shè)直線(xiàn)的方程為，，，將直線(xiàn)的方程代入橢圓的方程化簡(jiǎn)得，則，，∴，解得.∴直線(xiàn)的方程為；（2）當(dāng)軸時(shí)，，不符合題意，當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)：，則，設(shè)，，聯(lián)立方程組得，∴，，又直線(xiàn)：，直線(xiàn)：，由可得，即，，，，，，即，得，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，所以為定值.(二)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)在涉及直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系時(shí),如何避免求交點(diǎn),簡(jiǎn)化運(yùn)算,是處理這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵,求解時(shí)常常設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)坐標(biāo)方法即通過(guò)設(shè)一些輔助點(diǎn)的坐標(biāo),然后以坐標(biāo)為參數(shù),利用點(diǎn)的特性(條件)建立關(guān)系(方程).顯然,這里的坐標(biāo)只是為尋找關(guān)系而作為“搭橋”用的,在具體解題中是通過(guò)“設(shè)而不求”與“整體消元”解題策略進(jìn)行的.【例3】（2023屆湖南省郴州市高三上學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測(cè)）已知橢圓的離心率為，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，其中在第一象限，過(guò)作軸的垂線(xiàn)，垂足為，連接.當(dāng)為橢圓的右焦點(diǎn)時(shí)，的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)若為的延長(zhǎng)線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)，試問(wèn)：是否為定值，若是，求出這個(gè)定值；若不是，說(shuō)明理由.【解析】（1）橢圓離心率，，則，當(dāng)為橢圓右焦點(diǎn)時(shí)，；，解得：，，橢圓的方程為：.（2）由題意可設(shè)直線(xiàn)，，，則，，，直線(xiàn)；由得：，，則，，；，又，，則，為定值.【例4】（2023屆江蘇省南通市如皋市高三上學(xué)期期中）作斜率為的直線(xiàn)l與橢圓交于兩點(diǎn)，且在直線(xiàn)l的左上方.(1)當(dāng)直線(xiàn)l與橢圓C有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，證明直線(xiàn)l與橢圓C截得的線(xiàn)段AB的中點(diǎn)在一條直線(xiàn)上；(2)證明：的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線(xiàn)上.【解析】（1）設(shè)，，中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以有，聯(lián)立，得，得，得，由韋達(dá)定理可知，，所以，所以，化簡(jiǎn)得：，所以線(xiàn)段AB的中點(diǎn)在直線(xiàn)上.（2）由題可知，的斜率分別為，，所以，因?yàn)榈糜桑?）可知，，所以，又因?yàn)樵谥本€(xiàn)l的左上方，所以的角平分線(xiàn)與軸平行，所以的內(nèi)切圓的圓心在這條直線(xiàn)上.(三)設(shè)參數(shù)在求解與動(dòng)直線(xiàn)有關(guān)的定點(diǎn)、定值或最值與范圍問(wèn)題時(shí)常設(shè)直線(xiàn)方程,因?yàn)閯?dòng)直線(xiàn)方程不確定,需要引入?yún)?shù),這時(shí)常引入斜率、截距作為參數(shù).【例5】（2022屆湖南省益陽(yáng)市高三上學(xué)期月考）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,,其離心率為,P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn),面積的最大值為.（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)右焦點(diǎn)的直線(xiàn)l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),試問(wèn)：在x軸上是否存在定點(diǎn)Q,使得為定值？若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）設(shè)橢圓C的半焦距為c,因離心率為,則,由橢圓性質(zhì)知,橢圓短軸的端點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最大,則有,于是得,又,聯(lián)立解得,所以橢圓C的方程為：.（2）由(1)知,點(diǎn),當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí),不妨設(shè),,,由消去y并整理得,,,,假定在x軸上存在定點(diǎn)Q滿(mǎn)足條件,設(shè)點(diǎn),則,當(dāng),即時(shí),,當(dāng)直線(xiàn)l斜率不存在時(shí),直線(xiàn)l：與橢圓C交于點(diǎn)A,B,由對(duì)稱(chēng)性不妨令,當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí),,,所以存在定點(diǎn),使得為定值.(四)中點(diǎn)弦問(wèn)題中的設(shè)而不求與中點(diǎn)弦有個(gè)的問(wèn)題一般是設(shè)出弦端點(diǎn)坐標(biāo)代入圓錐曲線(xiàn)方程作差,得到關(guān)于的關(guān)系式,再結(jié)合題中條件求解.【例6】中心在原點(diǎn)的雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)在軸上且焦距為,請(qǐng)從下面3個(gè)條件中選擇1個(gè)補(bǔ)全條件,并完成后面問(wèn)題：①該曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)；②該曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)與圓相切；③點(diǎn)在該雙曲線(xiàn)上,、為該雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為時(shí),恰好.(1)求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)定點(diǎn)能否作直線(xiàn),使與此雙曲線(xiàn)相交于、兩點(diǎn),且是弦的中點(diǎn)？若存在,求出的方程；若不存在,說(shuō)明理由.【解析】(1)設(shè)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為.選①：由題意可知,雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、,由雙曲線(xiàn)的定義可得,則,故,所以,雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為.選②：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,圓心為,半徑為,雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為,由題意可得,解得,即,因?yàn)?則,,因此,雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為.選③：由勾股定理可得,所以,,則,則,故,所以,雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)假設(shè)滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)存在,設(shè)點(diǎn)、,則,由題意可得,兩式作差得,所以,直線(xiàn)的斜率為,所以,直線(xiàn)的方程為,即.聯(lián)立,整理可得,,因此,直線(xiàn)不存在.三、跟蹤檢測(cè)1．（2023屆河南省洛平許濟(jì)高三上學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，離心率為，上頂點(diǎn)為．(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)M，若，，判斷是否為定值？并說(shuō)明理由．2．（2023屆江西省南昌市金太陽(yáng)高三上學(xué)期10月聯(lián)考）如圖，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓的左頂點(diǎn)為A，過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)（與坐標(biāo)軸不重合）與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線(xiàn)，與軸分別交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)的斜率為時(shí)，.(1)求橢圓的方程.(2)試問(wèn)是否存在定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.3．（2023屆黑龍江省大慶鐵人中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知橢圓的離心率為，橢圓的短軸端點(diǎn)與雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)且不垂直于軸的直線(xiàn)l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)若點(diǎn)B關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)E，證明：直線(xiàn)與軸交于定點(diǎn).4．（2023屆江西省贛州厚德外國(guó)語(yǔ)學(xué)校、豐城中學(xué)高三上學(xué)期10月聯(lián)考）已知雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，兩條漸近線(xiàn)的夾角為，直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于兩點(diǎn).(1)求雙曲線(xiàn)的方程.(2)若動(dòng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)，是否存在軸上的定點(diǎn)，使得以線(xiàn)段為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)？若存在，求實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.5．（2023屆內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市高三上學(xué)期月考）平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到定直線(xiàn)的距離，是它與定點(diǎn)的距離的兩倍.(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線(xiàn)，（直線(xiàn)不與軸垂直）.其中，直線(xiàn)交曲線(xiàn)于，兩點(diǎn)，直線(xiàn)交曲線(xiàn)于，兩點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，若直線(xiàn)，，的斜率，，構(gòu)成等差數(shù)列，求的值.6．（2023屆福建省福州華僑中學(xué)高三上學(xué)期考試）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線(xiàn)，點(diǎn)M到l的距離為d，若點(diǎn)M滿(mǎn)足，記M的軌跡為C．(1)求C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線(xiàn)與C交于P，Q兩點(diǎn)，設(shè)，證明：以P，Q為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．7．（2023屆河南省安陽(yáng)市高三上學(xué)期10月月考）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，，面積為的正方形ABCD的頂點(diǎn)都在上.(1)求的方程；(2)已知P為橢圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作的兩條切線(xiàn)和，若，的斜率分別為，，求證：為定值.8．（2023屆浙江省浙里卷天下高三上學(xué)期10月測(cè)試）已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與軸不重合的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8.(1)若的面積為，求直線(xiàn)的方程；(2)過(guò)兩點(diǎn)分別作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別是，證明：直線(xiàn)與交于定點(diǎn).9．（2023屆江蘇省南京市六校高三上學(xué)期10月聯(lián)考）已知雙曲線(xiàn)：的焦距為4，且過(guò)點(diǎn)(1)求雙曲線(xiàn)的方程；(2)過(guò)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)分別作斜率為的兩直線(xiàn)與，直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于兩點(diǎn)，直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于兩點(diǎn)，設(shè)分別為與的中點(diǎn)，若，試求與的面積之比.10.（2022屆北京市海淀區(qū)高三上學(xué)期期末）已知點(diǎn)在橢圓：上.（1）求橢圓的方程和離心率；（2）設(shè)直線(xiàn)：（其中）與橢圓交于不同兩點(diǎn)E,F,直線(xiàn)AE,AF分別交直線(xiàn)于點(diǎn)M,N.當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí),求的值.11.（2022屆天津市第二中學(xué)高三上學(xué)期12月月考）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4,且過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線(xiàn)l：交橢圓于P,Q兩點(diǎn),若點(diǎn)B始終在以PQ為直徑的圓內(nèi),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.12.（2022屆廣東省華南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期1月模擬）已知橢圓C1:=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)與拋物線(xiàn)C2:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)重合,橢圓C1的離心率為,過(guò)橢圓C1的右焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線(xiàn)截拋物線(xiàn)所得弦的長(zhǎng)度為4.（1）求橢圓C1和拋物線(xiàn)C2的方程.（2）過(guò)點(diǎn)A(-4,0)的直線(xiàn)l與橢圓C1交于M,N兩點(diǎn),點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E.當(dāng)直線(xiàn)l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí),直線(xiàn)EN是否經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)?請(qǐng)判斷并證明你的結(jié)論.13．（2022屆河北省高三上學(xué)期省級(jí)聯(lián)測(cè)）已知橢圓P焦點(diǎn)分別是和,直線(xiàn)與橢圓P相交所得的弦長(zhǎng)為1.（1）求橢圓P的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）將橢圓P繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到橢圓Q,在橢圓Q上存在A,B,C三點(diǎn),且坐標(biāo)原點(diǎn)為的重心,求的面積.14．（2022屆廣東省佛山市高三上學(xué)期期末）已知雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為,且過(guò)點(diǎn).（1）求C的方程；（2）設(shè),直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)P點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn),若直線(xiàn)與C交于另一點(diǎn)D,求證：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).15．（2022屆江蘇省鹽城市、南京市高三上學(xué)期1月模擬）設(shè)雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)為,虛軸長(zhǎng)為,兩準(zhǔn)線(xiàn)間的距離為.（1）求雙曲線(xiàn)的方程；（2）設(shè)動(dòng)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于兩點(diǎn),已知,設(shè)點(diǎn)到動(dòng)直線(xiàn)的距離為,求的最大值.16．（2022屆浙江省普通高中強(qiáng)基聯(lián)盟高三上學(xué)期統(tǒng)測(cè)）如圖,已知橢圓,橢圓,、.為橢圓上動(dòng)點(diǎn)且在第一象限,直線(xiàn)、分別交橢圓于、兩點(diǎn),連接交軸于點(diǎn).過(guò)點(diǎn)作交橢圓于,且.（1）證明：為定值；（2）證明直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)；（3）若記、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、,證明：為定值.17．（2022屆湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體高三上學(xué)期12月聯(lián)考）已知圓：,橢圓：的離心率為,是上的一點(diǎn),是圓上的一點(diǎn),的最大值為.（1）求橢圓的方程；（2）點(diǎn)是上異于的一點(diǎn),與圓相切于點(diǎn),證明：.18．已知雙曲線(xiàn)：（,）的實(shí)軸長(zhǎng)為,離心率.(1)求雙曲線(xiàn)的方程；(2)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于,兩點(diǎn),弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為,求直線(xiàn)的方程.圓錐曲線(xiàn)中的“設(shè)而不求”一、考情分析研究曲線(xiàn)方程及由方程研究曲線(xiàn)的有關(guān)性質(zhì)問(wèn)題,是圓錐曲線(xiàn)中的一個(gè)重要內(nèi)容,其特點(diǎn)是代數(shù)的運(yùn)算較為繁雜,許多學(xué)生會(huì)想而不善于運(yùn)算,往往是列出式子后“望式興嘆”.在解決圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題時(shí)若能恰當(dāng)使用“設(shè)而不求”的策略,可避免盲目推演造成的無(wú)效運(yùn)算,從而達(dá)到準(zhǔn)確、快速的解題效果.二、解題秘籍(一)“設(shè)而不求”的實(shí)質(zhì)及注意事項(xiàng)1.設(shè)而不求是解析幾何解題的基本手段,是比較特殊的一種思想方法,其實(shí)質(zhì)是整體結(jié)構(gòu)意義上的變式和整體思想的應(yīng)用．設(shè)而不求的靈魂是通過(guò)科學(xué)的手段使運(yùn)算量最大限度地減少,通過(guò)設(shè)出相應(yīng)的參數(shù),利用題設(shè)條件加以巧妙轉(zhuǎn)化,以參數(shù)為過(guò)渡,設(shè)而不求．2.在運(yùn)用圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題中的設(shè)而不求方法技巧時(shí),需要做到：①凡是不必直接計(jì)算就能更簡(jiǎn)潔地解決問(wèn)題的,都盡可能實(shí)施“設(shè)而不求”；②“設(shè)而不求”不可避免地要設(shè)參、消參,而設(shè)參的原則是宜少不宜多．3.“設(shè)而不求”最常見(jiàn)的類(lèi)型一是涉及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，在運(yùn)算過(guò)程中動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)通過(guò)四則運(yùn)算消去，或利用根與系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于其他參數(shù)的問(wèn)題；二是涉及動(dòng)直線(xiàn)問(wèn)題，把斜率或截距作為參數(shù)，設(shè)出直線(xiàn)的方程，再通過(guò)運(yùn)算消去.【例1】（2023屆山西省臨汾市等聯(lián)考高三上學(xué)期期中）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，，為的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，且的最小值為.連接，并延長(zhǎng)分別交橢圓于，兩點(diǎn).(1)求的方程；(2)證明：為定值.【解析】（1）由題意得，設(shè)，的長(zhǎng)分別為，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，從而，得，，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由（1）得，，設(shè)，，設(shè)直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)的方程為，由，得，則，，同理可得，所以.所以為定值.【例2】（2023屆江蘇省連云港市高三上學(xué)期10月聯(lián)考）已知橢圓中有兩頂點(diǎn)為，，一個(gè)焦點(diǎn)為.(1)若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與橢圓交于，兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線(xiàn)的方程；(2)若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與橢圓交于，兩點(diǎn)，并與軸交于點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)異，兩點(diǎn)時(shí)，試問(wèn)是否是定值？若是，請(qǐng)求出此定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）∵橢圓的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知得，，所以，橢圓的方程為，當(dāng)直線(xiàn)與軸垂直時(shí)與題意不符，設(shè)直線(xiàn)的方程為，，，將直線(xiàn)的方程代入橢圓的方程化簡(jiǎn)得，則，，∴，解得.∴直線(xiàn)的方程為；（2）當(dāng)軸時(shí)，，不符合題意，當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)：，則，設(shè)，，聯(lián)立方程組得，∴，，又直線(xiàn)：，直線(xiàn)：，由可得，即，，，，，，即，得，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，所以為定值.(二)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)在涉及直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系時(shí),如何避免求交點(diǎn),簡(jiǎn)化運(yùn)算,是處理這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵,求解時(shí)常常設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)坐標(biāo)方法即通過(guò)設(shè)一些輔助點(diǎn)的坐標(biāo),然后以坐標(biāo)為參數(shù),利用點(diǎn)的特性(條件)建立關(guān)系(方程).顯然,這里的坐標(biāo)只是為尋找關(guān)系而作為“搭橋”用的,在具體解題中是通過(guò)“設(shè)而不求”與“整體消元”解題策略進(jìn)行的.【例3】（2023屆湖南省郴州市高三上學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測(cè)）已知橢圓的離心率為，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，其中在第一象限，過(guò)作軸的垂線(xiàn)，垂足為，連接.當(dāng)為橢圓的右焦點(diǎn)時(shí)，的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)若為的延長(zhǎng)線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)，試問(wèn)：是否為定值，若是，求出這個(gè)定值；若不是，說(shuō)明理由.【解析】（1）橢圓離心率，，則，當(dāng)為橢圓右焦點(diǎn)時(shí)，；，解得：，，橢圓的方程為：.（2）由題意可設(shè)直線(xiàn)，，，則，，，直線(xiàn)；由得：，，則，，；，又，，則，為定值.【例4】（2023屆江蘇省南通市如皋市高三上學(xué)期期中）作斜率為的直線(xiàn)l與橢圓交于兩點(diǎn)，且在直線(xiàn)l的左上方.(1)當(dāng)直線(xiàn)l與橢圓C有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，證明直線(xiàn)l與橢圓C截得的線(xiàn)段AB的中點(diǎn)在一條直線(xiàn)上；(2)證明：的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線(xiàn)上.【解析】（1）設(shè)，，中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以有，聯(lián)立，得，得，得，由韋達(dá)定理可知，，所以，所以，化簡(jiǎn)得：，所以線(xiàn)段AB的中點(diǎn)在直線(xiàn)上.（2）由題可知，的斜率分別為，，所以，因?yàn)榈糜桑?）可知，，所以，又因?yàn)樵谥本€(xiàn)l的左上方，所以的角平分線(xiàn)與軸平行，所以的內(nèi)切圓的圓心在這條直線(xiàn)上.(三)設(shè)參數(shù)在求解與動(dòng)直線(xiàn)有關(guān)的定點(diǎn)、定值或最值與范圍問(wèn)題時(shí)常設(shè)直線(xiàn)方程,因?yàn)閯?dòng)直線(xiàn)方程不確定,需要引入?yún)?shù),這時(shí)常引入斜率、截距作為參數(shù).【例5】（2022屆湖南省益陽(yáng)市高三上學(xué)期月考）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,,其離心率為,P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn),面積的最大值為.（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)右焦點(diǎn)的直線(xiàn)l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),試問(wèn)：在x軸上是否存在定點(diǎn)Q,使得為定值？若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）設(shè)橢圓C的半焦距為c,因離心率為,則,由橢圓性質(zhì)知,橢圓短軸的端點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最大,則有,于是得,又,聯(lián)立解得,所以橢圓C的方程為：.（2）由(1)知,點(diǎn),當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí),不妨設(shè),,,由消去y并整理得,,,,假定在x軸上存在定點(diǎn)Q滿(mǎn)足條件,設(shè)點(diǎn),則,當(dāng),即時(shí),,當(dāng)直線(xiàn)l斜率不存在時(shí),直線(xiàn)l：與橢圓C交于點(diǎn)A,B,由對(duì)稱(chēng)性不妨令,當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí),,,所以存在定點(diǎn),使得為定值.(四)中點(diǎn)弦問(wèn)題中的設(shè)而不求與中點(diǎn)弦有個(gè)的問(wèn)題一般是設(shè)出弦端點(diǎn)坐標(biāo)代入圓錐曲線(xiàn)方程作差,得到關(guān)于的關(guān)系式,再結(jié)合題中條件求解.【例6】中心在原點(diǎn)的雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)在軸上且焦距為,請(qǐng)從下面3個(gè)條件中選擇1個(gè)補(bǔ)全條件,并完成后面問(wèn)題：①該曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)；②該曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)與圓相切；③點(diǎn)在該雙曲線(xiàn)上,、為該雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為時(shí),恰好.(1)求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)定點(diǎn)能否作直線(xiàn),使與此雙曲線(xiàn)相交于、兩點(diǎn),且是弦的中點(diǎn)？若存在,求出的方程；若不存在,說(shuō)明理由.【解析】(1)設(shè)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為.選①：由題意可知,雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、,由雙曲線(xiàn)的定義可得,則,故,所以,雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為.選②：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,圓心為,半徑為,雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為,由題意可得,解得,即,因?yàn)?則,,因此,雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為.選③：由勾股定理可得,所以,,則,則,故,所以,雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)假設(shè)滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)存在,設(shè)點(diǎn)、,則,由題意可得,兩式作差得,所以,直線(xiàn)的斜率為,所以,直線(xiàn)的方程為,即.聯(lián)立,整理可得,,因此,直線(xiàn)不存在.三、跟蹤檢測(cè)1．（2023屆河南省洛平許濟(jì)高三上學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，離心率為，上頂點(diǎn)為．(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)M，若，，判斷是否為定值？并說(shuō)明理由．【解析】（1）由題意可得，解得，故橢圓C的方程.（2）為定值，理由如下：由（1）可得，由題意可知直線(xiàn)l的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)l：，則，聯(lián)立方程，消去y得，則，，∵，，則，可得，（定值）.2．（2023屆江西省南昌市金太陽(yáng)高三上學(xué)期10月聯(lián)考）如圖，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓的左頂點(diǎn)為A，過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)（與坐標(biāo)軸不重合）與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線(xiàn)，與軸分別交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)的斜率為時(shí)，.(1)求橢圓的方程.(2)試問(wèn)是否存在定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.【解析】（1）由題意可知，則橢圓方程即，當(dāng)直線(xiàn)的斜率為時(shí)，，故設(shè)，，解得，將代入得，即，故，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，則，則，由橢圓方程可得，∴直線(xiàn)方程為︰，令可得，直線(xiàn)方程為：，令得，假設(shè)存在定點(diǎn)，使得，則定點(diǎn)必在以為直徑的圓上，以為直徑的圓為,即，∵，即∴，令，則，解得，∴以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，即存在定點(diǎn)，使得．3．（2023屆黑龍江省大慶鐵人中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知橢圓的離心率為，橢圓的短軸端點(diǎn)與雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)且不垂直于軸的直線(xiàn)l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)若點(diǎn)B關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)E，證明：直線(xiàn)與軸交于定點(diǎn).【解析】（1）由雙曲線(xiàn)得焦點(diǎn)，得，由題意可得，解得，，故橢圓的方程為；.（2）設(shè)直線(xiàn)，點(diǎn)，則點(diǎn).由，得，，解得，從而，，直線(xiàn)的方程為，令得，又∵，，則，即，故直線(xiàn)與軸交于定點(diǎn).4．（2023屆江西省贛州厚德外國(guó)語(yǔ)學(xué)校、豐城中學(xué)高三上學(xué)期10月聯(lián)考）已知雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，兩條漸近線(xiàn)的夾角為，直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于兩點(diǎn).(1)求雙曲線(xiàn)的方程.(2)若動(dòng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)，是否存在軸上的定點(diǎn)，使得以線(xiàn)段為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)？若存在，求實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）兩條漸近線(xiàn)的夾角為，漸近線(xiàn)的斜率或，即或；當(dāng)時(shí)，由得：，，雙曲線(xiàn)的方程為：；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解；綜上所述：雙曲線(xiàn)的方程為：.（2）由題意得：，假設(shè)存在定點(diǎn)滿(mǎn)足題意，則恒成立；方法一：①當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)，，，由得：，，，，，，整理可得：，由得：；當(dāng)時(shí)，恒成立；②當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，，則，，當(dāng)時(shí)，，，成立；綜上所述：存在，使得以線(xiàn)段為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn).方法二：①當(dāng)直線(xiàn)斜率為時(shí)，，則，，，，，，解得：；②當(dāng)直線(xiàn)斜率不為時(shí)，設(shè)，，，由得：，，，，；當(dāng)，即時(shí)，成立；綜上所述：存在，使得以線(xiàn)段為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn).5．（2023屆內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市高三上學(xué)期月考）平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到定直線(xiàn)的距離，是它與定點(diǎn)的距離的兩倍.(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線(xiàn)，（直線(xiàn)不與軸垂直）.其中，直線(xiàn)交曲線(xiàn)于，兩點(diǎn)，直線(xiàn)交曲線(xiàn)于，兩點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，若直線(xiàn)，，的斜率，，構(gòu)成等差數(shù)列，求的值.【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，由題，有，即，解得，所以所求點(diǎn)軌跡方程為（2）由題，直線(xiàn)的斜率存在且不為0，設(shè)直線(xiàn)的方程為，與曲線(xiàn)聯(lián)立方程組得，解得，設(shè)，，則有，依題意有直線(xiàn)的斜率為，則直線(xiàn)的方程為，令，則有點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題，，，因?yàn)椋越獾?，則必有，所以.6．（2023屆福建省福州華僑中學(xué)高三上學(xué)期考試）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線(xiàn)，點(diǎn)M到l的距離為d，若點(diǎn)M滿(mǎn)足，記M的軌跡為C．(1)求C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線(xiàn)與C交于P，Q兩點(diǎn)，設(shè)，證明：以P，Q為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，則，由，得，兩邊平方整理得，則所求曲線(xiàn)的方程為.（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立方程，消去并整理得，因?yàn)橹本€(xiàn)與交于兩點(diǎn)，故，此時(shí)，所以，而.又，所以所以，即以P，Q為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A.7．（2023屆河南省安陽(yáng)市高三上學(xué)期10月月考）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，，面積為的正方形ABCD的頂點(diǎn)都在上.(1)求的方程；(2)已知P為橢圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作的兩條切線(xiàn)和，若，的斜率分別為，，求證：為定值.【解析】（1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)正方形的一個(gè)頂點(diǎn)為，由，得，所以，整理得.①又，②由①②解得，，故所求橢圓方程為.（2）由已知及（1）可得，設(shè)點(diǎn)，則.設(shè)過(guò)點(diǎn)P與相切的直線(xiàn)l的方程為，與聯(lián)立消去y整理可得，令，整理可得，③根據(jù)題意和為方程③的兩個(gè)不等實(shí)根，所以，即為定值.8．（2023屆浙江省浙里卷天下高三上學(xué)期10月測(cè)試）已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與軸不重合的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8.(1)若的面積為，求直線(xiàn)的方程；(2)過(guò)兩點(diǎn)分別作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別是，證明：直線(xiàn)與交于定點(diǎn).【解析】（1）因的周長(zhǎng)為8，由橢圓定義得，即，而半焦距，又，則，橢圓的方程為，依題意，設(shè)直線(xiàn)的方程為，由消去x并整理得，設(shè)，，則，，，因此，解得，所以直線(xiàn)的方程為或.（2）由（1）知，，則，，設(shè)直線(xiàn)與交點(diǎn)為，則，，而，，則，，兩式相加得：，而，則，因此，兩式相減得：，而，則，即，所以直線(xiàn)與交于定點(diǎn).9．（2023屆江蘇省南京市六校高三上學(xué)期10月聯(lián)考）已知雙曲線(xiàn)：的焦距為4，且過(guò)點(diǎn)(1)求雙曲線(xiàn)的方程；(2)過(guò)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)分別作斜率為的兩直線(xiàn)與，直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于兩點(diǎn)，直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于兩點(diǎn)，設(shè)分別為與的中點(diǎn)，若，試求與的面積之比.【解析】（1）由題意得，得，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，所以，解得，所以雙曲線(xiàn)方程為，（2），設(shè)直線(xiàn)方程為，，由，得則，所以，所以的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以用代換，得，當(dāng)，即時(shí)，直線(xiàn)的方程為，過(guò)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，直線(xiàn)的方程為，令，得，所以直線(xiàn)也過(guò)定點(diǎn)，所以10.（2022屆北京市海淀區(qū)高三上學(xué)期期末）已知點(diǎn)在橢圓：上.（1）求橢圓的方程和離心率；（2）設(shè)直線(xiàn)：（其中）與橢圓交于不同兩點(diǎn)E,F,直線(xiàn)AE,AF分別交直線(xiàn)于點(diǎn)M,N.當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí),求的值.【解析】（1）將點(diǎn)代入,解得,所以橢圓的方程為又,離心率（2）聯(lián)立,整理得設(shè)點(diǎn)E,F的坐標(biāo)分別為,由韋達(dá)定理得：,直線(xiàn)AE的方程為,令,得,即直線(xiàn)AF的方程為,令,得,即所以的面積即,解得或所以的值為或11.（2022屆天津市第二中學(xué)高三上學(xué)期12月月考）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4,且過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線(xiàn)l：交橢圓于P,Q兩點(diǎn),若點(diǎn)B始終在以PQ為直徑的圓內(nèi),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【解析】（1）由題意,得,,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè),,聯(lián)立,得,即,則,因?yàn)橹本€(xiàn)恒過(guò)橢圓的左頂點(diǎn),所以,,則,,因?yàn)辄c(diǎn)B始終在以PQ為直徑的圓內(nèi),所以,即,又,,則,即,即,解得,所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為.12.（2022屆廣東省華南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期1月模擬）已知橢圓C1:=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)與拋物線(xiàn)C2:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)重合,橢圓C1的離心率為,過(guò)橢圓C1的右焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線(xiàn)截拋物線(xiàn)所得弦的長(zhǎng)度為4.（1）求橢圓C1和拋物線(xiàn)C2的方程.（2）過(guò)點(diǎn)A(-4,0)的直線(xiàn)l與橢圓C1交于M,N兩點(diǎn),點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E.當(dāng)直線(xiàn)l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí),直線(xiàn)EN是否經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)?請(qǐng)判斷并證明你的結(jié)論.【解析】（1）設(shè)橢圓C1的半焦距為c.依題意,可得a=,則C2:y2=4ax,代入x=c,得y2=4ac,即y=±2,所以4=4,則有,所以a=2,b=,所以橢圓C1的方程為=1,拋物線(xiàn)C2的方程為y2=8x.（2）依題意,當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不為0時(shí),設(shè)其方程為x=ty-4,由,得(3t2+4)y2-24ty+36=0.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則E(x1,-y1).由Δ>0,得t<-2或t>2,且y1+y2=,y1y2=.根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知,若直線(xiàn)EN過(guò)定點(diǎn),此定點(diǎn)必在x軸上,設(shè)此定點(diǎn)為Q(m,0).因?yàn)閗NQ=kEQ,所以,(x1-m)y2+(x2-m)y1=0,即(ty1-4-m)y2+(ty2-4-m)y1=0,2ty1y2-(m+4)(y1+y2)=0,即2t·-(m+4)·=0,得(3-m-4)t=(-m-1)t=0,由t是大于2或小于-2的任意實(shí)數(shù)知m=-1,所以直線(xiàn)EN過(guò)定點(diǎn)Q(-1,0).當(dāng)直線(xiàn)l的斜率為0時(shí),直線(xiàn)EN的方程為y=0,也經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q(-1,0),所以當(dāng)直線(xiàn)l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí),直線(xiàn)EN恒過(guò)一定點(diǎn)Q(-1,0).13．（2022屆河北省高三上學(xué)期省級(jí)聯(lián)測(cè)）已知橢圓P焦點(diǎn)分別是和,直線(xiàn)與橢圓P相交所得的弦長(zhǎng)為1.（1）求橢圓P的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）將橢圓P繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到橢圓Q,在橢圓Q上存在A,B,C三點(diǎn),且坐標(biāo)原點(diǎn)為的重心,求的面積.【解析】（1）根據(jù)題意,,,又因?yàn)?解得：,,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意得橢圓Q的方程為,當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí),設(shè)方程為：,,,,聯(lián)立可得：,則因?yàn)樽鴺?biāo)原點(diǎn)為的重心,所以由,得將代入橢圓方程可得：,化簡(jiǎn)得：,又O到直線(xiàn)的距離為：