【模擬試卷】期末復習模擬六（選擇性必修一、選擇性必修第二冊數(shù)列）

高二期末模擬試題六高二數(shù)學期末模擬六

范圍(選擇性必修一+數(shù)列)

一、單選題

1.已知直線/：(m+3)x+(m-2)y-m-2=0,點A(—2,—1),3(2,—2),若直線/

與線段A3相交，則心的取值范圍為()

3

A.(―8,—4]u[4,+co)B.(—2,2)C.[,8]

2

D.(4,+8)

2.已知等差數(shù)列｛4｝的公差為正數(shù)，且。3?。7=-12,%+。6=-4,則$20為()

A.-90B.-180C.90D.180

3.設(shè)O—A5c是正三棱錐，G]是的重心，G是。G1上的一點，且OG=3GG],

若而=xZH+y礪+z文，貝!Jx+y+z=().

113

A.—B.—C.—D.1

424

4.已知A(l,—2,3)、3(2,1,—1)兩點，則直線與空間直角坐標系中的yOz平面的

交點坐標為()

5171

A.(0,0,0)B.(0,-5,7)C.(j,0,-)D.(-,-,0)

5.已知圓C與直線x—y=0及%—V一4=。都相切，圓心在直線x+y=0上，則圓C

的方程為()

A.(x+l)2+(y-l)2=2B.(x-l)2+(y+l)2=2

C.(x-l)2+(y-l)2=2D.(x+l)2+(y+l)2=2

22

6.已知橢圓++==1（?！?〉0）的左焦點及，過點耳作傾斜角為30°的直線與圓

%2+/=b2相交的弦長為后b，則橢圓的離心率為（

正

7.已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S”,q=2,S,+|=4a“+S“，則%,=（）

8.已知雙曲線、-1=l（b>0）的左右焦點分別為《、F2,過點此的直線交雙曲

線右支于A、3兩點，若AA期是等腰三角形,且NA=120。.則AAW的周長為（）

、多選題

9.（多選題）在悠久燦爛的中國古代文化中，數(shù)學文化是其中的一朵絢麗的奇葩.《張

丘建算經(jīng)》是我國古代有標志性的內(nèi)容豐富的眾多數(shù)學名著之一，大約創(chuàng)作于公元五世

紀.書中有如下問題：“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月織九匹三丈，問

日益幾何？其大意為：“有一女子擅長織布，織布的速度一天比一天快，從第二天起，

每天比前一天多織相同數(shù)量的布，第一天織5尺，一個月共織了九匹三丈，問從第二天

起，每天比前一天多織多少尺布？已知1匹=4丈，1丈=10尺，若這一個月有30天，

記該女子這一個月中的第〃天所織布的尺數(shù)為4,d=2冊，對于數(shù)列｛4｝、｛〃｝,

下列選項中正確的為（）

A.甌=幽B.也｝是等比數(shù)列

03+/+%209

C.他0=105

%+。4+〃6193

10.記數(shù)列｛麗｝的前“項和為S”若存在實數(shù)H,使得對任意的"CN+,都有

則稱數(shù)列｛麗｝為“和有界數(shù)列”.下列說法正確的是（）

A.若｛斯｝是等差數(shù)列，且公差k0,則｛麗｝是“和有界數(shù)列”

B.若｛斯｝是等差數(shù)列，且｛斯｝是“和有界數(shù)列”，則公差d=0

C.若｛麗｝是等比數(shù)列，且公比則｛斯｝是“和有界數(shù)列”

D.若｛”“｝是等比數(shù)列，且｛”“｝是“和有界數(shù)列"，則｛”“｝的公比時々

11.定義空間兩個向量的一種運算萬⑤5=1同?歸卜也〈萬,5），則關(guān)于空間向量上述運算

的以下結(jié)論中恒成立的有（）

A.區(qū)B）=（X萬）（8）5

B.M（g）5=5（8）萬

C.（M+5）（8）］=（M（8）^）+（5（8）個）

D.若a=（%，K）,b=（x2，y2）,貝！Ja?b=\^2-x2y\

21

12.已知產(chǎn)是橢圓C：v土+/=1上的動點，。是圓。：（x+l）2+y2=—上的動點,

65

則（）

A.C的焦距為石B.C的離心率為叵

6

C.圓。在C的內(nèi)部D.IPQI的最小值為拽

5

第H卷（非選擇題）

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三、填空題

13.已知過點p（4,l）的直線/與X軸，y軸的正半軸分別交于A、3兩點，。為坐標

原點，當AAOB的面積最小時，直線/的方程為.

14.一條光線從點（—2,1）射出，經(jīng)X軸反射后與圓（X—3）2+（y—4）2=1相切，則反

射光線所在直線的斜率為.

15.如圖所示，在正四棱柱ABCD—4gGR中，A4=2,AB=BC=1,動點P、

。分別在線段a。、AC上，則線段PQ長度的最小值是.

16.已知數(shù)列｛a,｝與也｝前n項和分別為,T.,且〉0,2s卬=a；+，〃eN*，

,2"+1

b，1=（2"+a）（2n+l+a）,對任意的"eN*，恒成立'則Z的取值范圍是

四、解答題

17.已知直線/:3x—2y—6=0.

（1）若直線4過點M（L-2）,且/?/,求直線人的方程；

（2）若直線////,且直線4與直線/之間的距離為加，求直線4的方程.

2222

18.已知圓C]:x+y-2%-6_y-1=0C2:x+y-10x-12_y+45=0.

⑴求證：圓G和圓02相交;

(2)求圓G和圓Q的公共弦所在直線的方程和公共弦長.

19.記S,為等差數(shù)列｛叫的前〃項和.已知星=-%.

(1)若%=4,求｛?｝的通項公式；

(2)若％〉0,求使得S02%,的〃的取值范圍.

20.設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為心S”是｛4｝的前“項和，已知q+2,2a2,%+1成

等差數(shù)列，且$3=4?-1,q>\.

(1)求｛4｝的通項公式；

n

(2)記數(shù)列一的前〃項和為7“，若4-4=5+2)5〃成立，求".

21.如圖，在長方體ABCD—A4G2中，AD=A&=1,AB=2,點E在線段AB

上.

(1)求異面直線。也與4。所成的角;

(2)若二面角R-EC-。的大小為45。，求點8到平面2EC的距離.

22.已知橢圓。：與+《=1(?！?〉0)的離心率為告，且橢圓。的右頂點到直線

x-y+y/2=0的距離為3.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點尸（2,0）的直線/與橢圓。交于A，B兩點,求△Q4B面積的最大值（。為坐

標原點）.

參考答案

【詳解】

直線/方程變形得：(x+y-l)m+(3x-2y-2)=0.

x=—

x+y-l=O4j_

.得.?.直線/恒過點C

[3x-2y-2=Q

.=5_=」

L4-7

113

由圖可知直線/的斜率上的取值范圍為：k<—一或左2—,

m+311m+33--

:.-------<或------->—,即2(加〈8或——<m<2,

m—26m-272

4

又m=2時直線的方程為x=仍與線段A5相交，

-3'

，加的取值范圍為一彳，8.

2

故選：C.

解：由等差數(shù)列｛??｝的公差為正數(shù)可得等差數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列，

%+《=—4,

。3+。7=-4,與。3?。7=—12聯(lián)立，由于公差為正數(shù)，二解方程組可得。3=—6,%=2,

...d_3——^2.=2,a.—a^—2d——6—2x2——10,

7-3

S20=20al+2d=20X(—10)+\x2=180.

故選：D.

【點睛】

本題考查等差數(shù)列性質(zhì)的應用，考查等差數(shù)列基本量的計算及前幾項和的計算，是基礎(chǔ)題.

3.C

【詳解】

如下圖所示，連接A。并延長交8。于點。，則點。為的中點，

___.?—-

???G1為AABC的重心，可得AG】=gAD,

而歷=礪+而=礪+^^^礪+^（反_網(wǎng)=3（礪+的,

O^=OA+A^=OA+|AD=OA+|（OD-OA）=|OA+|OD

=礪+：?礪+反）=1礪+礪+反），

—?3——?3（1—?1―-1—■>1--1―-1--

所以，OG=—OG[=--OA+-OB+-OC\^-OA+-OB+-OC,

4i4（333J444

13

所以，x=y=z=—,因此，x+y+z=—.

故選：C.

4.B

解：設(shè)直線A3與平面yOz的交點為P（0,弘，Z1）,

（方法一）,:A、B、耳三點共線，則通〃詬，

-2,3）、B（2,l,-1）,

.?.亞=（—l，X+2,z「3）,AB=（1,3,-4）,

則3以了=幺不，解得卜=：,

13-4E=7

貝!!尸(0,—5,7),

(方法二)VA>B、［三點共線，則的=4?厲+(1—4)?礪,

則(0,%,Z])=4?(1,—2,3)+(1-2)-(2,1,-1),

0=4+2—2A=2—AA=2

則%——2X+1—A=1—3A.,解得%=-5,

zx=32—1+2=42—14=7

貝U尸(。，一5,7),

故選：B.

5.B

【詳解】

圓心在x+y=0上，圓心的縱橫坐標值相反，顯然能排除C、O；

驗證：A中圓心(-1,1)到兩直線x—y=0的距離是號=3；

圓心(―1,1)到直線x—y—4=0的距離是g=3后W&.故A錯誤.

故選:B.

6.B

【解析】

過點右傾斜角為30°的直線方程為：j=—(x+c),即x-Hy+c=0,

則圓心(0,0)到直線的距離：d=-^L=^

由弦長公式可得：2a2_[=回,

整理可得：〃=。2,.〃一。2=。2,〃=2。2

1J2

貝n!II：e92=—,e=-

22

本題選擇5選項.

7.B

【詳解】因為S〃+]=4%+S〃，所以Sm—S〃=4%,

即%=4%,且％二2，

所以數(shù)列｛q,｝是以2為首項，4為公比的等比數(shù)列,

所以4=2X4"T=22"T,

故選：B.

8.A

【詳解】雙曲線的焦點在x軸上，則。=2,2。=4；

設(shè)|4鳥|=〃2,由雙曲線的定義可知：|4￡|=|4￡：|+2。=4+根,

由題意可得：IAF]\=\AB|=|AF2\+\BF2\=m+\BF2\,

據(jù)此可得：\BF2\=4,又，.?.|B片|=2a+|86|=8,

△ABH由正弦定理有:盤^盤，即?明N“

所以8二6（4+加），解得：加=86—12

3

所以AA5耳的周長為:

|4片|+|5年|+|40=2(4+m)+8=16+2義8*—12=8+竽

故選：A

9.BD

【詳解】由題意可知，數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d,4=5,

由題意可得30%+30；%/=39。,解得d=!|,

,,、116〃+129

/.%=〃]+(〃_l)a=---------,

b2""+i

Q2=2%,常=萬丁=2%F=2d(非零常數(shù))，

則數(shù)列｛bn｝是等比數(shù)列，5選項正確；

v5J=5x—=—^3,駕=(2"『=25"W23,/84，A選項錯誤;

2929&''

生。=%+29d=5+16=21,/.〃]Z?3o=5x221>105,C選項錯誤;

-%+3d=5+3x曳=些，%=%+4〃=5+4x33

4129292929

d+4+a.3a.a.209

所以‘=能=/=￡=而'0選項正確.

故選：BD

10.BC

【詳解】｛4｝是等差數(shù)列，公差為d,則S,,=〃4+若

A.1=0,則5“=〃%,若qNO,則〃—十?時，|S“|3+8,｛“"｝不是"和有界數(shù)列”，

A錯;

B.若｛詼｝是“和有界數(shù)列"，則由|s“|=3〃2+（q—（”知a=0,勾一&=0,即

2222

%=d=。,B正確；

C.｛斯｝是等比數(shù)列，公比是4，貝!]Sn=4（1-/），若M<1,則〃—”時，S"一n,

\-qy-q

根據(jù)極限的定義，一定存在〃>0,使得|s」<〃，對于任意〃eN*成立，C正確；

a,,n=2k-l||||

D.若q=-l,%/0,則S“=："，/eN*）,S“<2同，｛”“｝是“和有界數(shù)

0,n=2k

列“，D錯.故選：BC.

11.BD

解：對于A：力（汗區(qū)9=九（同.?!!（萬,5》，（4萬）（8）5=回同.忸?4萬,，

故4,（8）5）=（X萬）（8）5不會恒成立；

對于5,a（8）1=同卡卜山（萬,5），b?a=^by\a\sin（b,a^,故萬區(qū)行=4區(qū)三恒成立;

對于C若￡=高,且干>0,（日+5）因m=（1+4啊.同sin（5,0,

（a?c）+^?cj=k可-|c|sin（b,c^+（-|c|sin（5,=（1+X）忖.同sin",

顯然（1+5）■=（萬（8）?。?（8）。不會恒成立；

(

對于0,co,(叫一同啊sin(a,b

\｛同W

/、2/、2

即有萬區(qū)5=同.|年]_%1%2+%%I2%％2+必％

【同"〔同J

=卜1%-%2%|?

則2(8)3=|九-恒成立.

故選：BD.

12.BC

【詳解】

由工+丁=1可知，1=6/2=1,。2=5,則焦距2c=2百，離心率e=￡=g=畫；

6-aa6

設(shè)P(尤,y),圓心。(—1,0),半徑為廠=￥，

則|PD|=J(x+iy+y2=J(x+l)2+]_:=++g>g,故圓O在C的內(nèi)

部；

當p。取最小值t時，IPQI的最小值為n9,

綜上所述，選項BC正確,

故選：BC

13.x+4y—8=0

【詳解】

由題意可知，直線/的斜率存在且不為零，

可設(shè)直線/的方程為y—1=左(尤—4),即丁=米+1-必.

4"]

在直線/的方程中，令x=0,可得y=l-4左；令y=0,可得％二-----.

k

,j。，

即點4竽,。)

、3（0,1-4左）由題意可得＜k，解得左＜0,

1—4人〉0

△AOB的面積為

141

$△408=-X---------x=8,

2k

當且僅當—工=一16左(左＜。)時，即當左=—,時，等號成立,

k4

所以，直線/的方程為y-l=-*-4),即x+4y-8=0.

故答案為：x+4y-8=0.

43

14.

【詳解】點(-2,1)關(guān)于x軸的對稱點為(—2,—1),則反射光線過點(—2,—1),

設(shè)反射光線所在直線為y+l=k(x+2),即Ax—y+2左一1=0,

|3上—4+2%-1|43

二圓心到直線距離——I=—[=1,解得：左=—或左==,

VF7T34

43

???反射光線所在直線的斜率為；或二.

34

43

故答案為：；或一.

34

【詳解】由題意可知，線段PQ長度的最小值為異面直線G。、AC的公垂線的長度.

如下圖所示，以點。為坐標原點，DA.DC、所在直線分別為x、》、z軸建立空

間直角坐標系，

則點4（1,0,0）、C（0,l,0）,G（0,1,2）、￡＞（0,0,0）,

所以，AC=(-1,1,0),"=(0,1,2),B4=(1,0,0),

設(shè)向量〃=(x,y,z)滿足5_1_恁，n±DQ,

x=y

ft-AC=—x+7y=0

由題意可得__解得《yf取y=2,則x=2,z=—1,

n-DC、=y+2z=0z=---

2

可得〃=(2,2,—1),

?__.IDA-HI2

因此JPQL=T=『

2

故答案為：—.

3

,1

16.k>-

3

【詳解】

因為2s“=q：+a“，

所以當〃22,〃eN*時，2sl=??-i2+%,

兩式相減得：2a“=aj+an-aa_J一>

整理得,(%—-1)(4+)=。,

由?！?gt;0知，an+an_x。0,

從而cin—dn_x-1=0,

即當〃22,〃￡N*時，an-an_x=1,

當九二1時，2〃]=〃；+〃],解得q=]或0(舍)，

則｛4｝首項為1,公差為1的等差數(shù)列，

則4=l+(〃—l)xl=〃.

2〃+111

fi|r以b=-------------------=-------------------

"(2"+〃)(2"+1+〃+1)T+n2n+i+n+l

…，，,111111

z，12"366112"+〃2n+1+n+l

111

-------:------<一

32"+1+n+l3

所以餐.

故答案為：k>—.

17.【詳解】(1)因為直線/的方程為3x—2y—6=0,所以直線/的斜率為3士.

2

2

因為4，/,所以直線4的斜率為一§.

9

因為直線4過點”(1,—2),所以直線4的方程為y+2=—§(x—1),即2光+3y+4=0.

(2)因為直線與直線/之間的距離為舊，所以可設(shè)直線/2的方程為3x-2y+m=0,

|772+6|-

所以的2)2="3,解得/"=7或加=一19.

故直線"的方程為3尤-2y+7=0或3x-2y-19=0.

18.【詳解】⑴圓G的圓心￡。,3),半徑4=&1,

圓。2的圓心G(5,6),半徑々=4,

兩圓圓心距d=|GG|=5，4+弓=拒+4,|彳一回=4一而，

所以卜一目<d<(+弓，圓G和02相交；

⑵圓G和圓。2的方程相減，得4x+3y—23=0,

所以兩圓的公共弦所在直線的方程為4%+3y-23=0,

圓心G（5,6）到直線4x+3y—23=0的距離為:

|20+18-23|--------「

d=??=3,故公共弦長為2g5=2幣.

19.【詳解】(1)設(shè)｛4｝的公差為d.

由S9=9(%；/)=9a5=―生得:%=°，,2d=%—%=—4,解得：d=—2,

—3)d—4—2(〃—3)——2Tl+10；

(2)由(1)知：a5=09即％+4d=0,，％=-4d,又生>。，/.d<0,

:.an-Oy+(H-l)d=Yd+(〃-l)d=(〃-5)d,Sn=二〃(:9)4,

〃一9)

由S“2a“得：-21di(n-5)d,由d<0得：n2-11Z7+10<0，

解得：1W〃W1O,又〃eN*，二〃的取值范圍為｛HlK〃<10,〃eN*｝.

20.【詳解】因為q+2,2a°,%+1成等差數(shù)列，

所以4a2=q+2+“3+1=4+“3+3，即4%[=47]+qq2+3,①

由S3=4%-]可得(+=4qq_],即％_3qq+%q2+]=0,②

聯(lián)立①②及q>l解得q=1,4=2,

所以%=2小.

nn

(2)由(1)知一=夕工，

a”乙

所以北=:+?…+畀

112n-1n

5小吩+初+…+產(chǎn)+/

兩式相減得=*：+'+…+擊—右

i-X

所以卜=T」=2-3,所以T=4-駕?

2112"2"n2"T

1----

2

又因為S〃=上2=2"—1,

"1-2

所以4-7；=（〃+2）S〃可化為*=2"-1,即2"-'.（2"—1）=1,

可變形為（2"）2—2〃—2=0,整理得（2"—2）（2"+1）=0,解得“=1.

21.【詳解】分別以ZM、DB、為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系,

（1）由A。，0，1），得9=。,0,1），

設(shè)石（1,。,0）,又2（0,0,1）,則球

■-D^^E=l+0-l=0,:.DA^±^E,則異面直線與所成的角為90。;

（2）平面DEC的一個法向量為加=（0,0,1）,

設(shè)平面CEB的一個法向量為n=（x,y,z）,設(shè)點E（l,a,0）,其中0WaW2,則C（0,2,0）,

用=(0,-2,1),CE=(l,?-2,0),

n-CD.=—2y+z=0-

由/c、八，令y=l，則x=2—a,z=2,...〃=(2—a,l,2),

n-CE=x+^a-2)y=0

I