1.1菱形的性質(zhì)與判定（第三課時）課件北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊

第一章特殊平行四邊形1菱形的性質(zhì)與判定（第三課時）數(shù)學(xué)九年級上冊BS版課前預(yù)習(xí)典例講練目錄CONTENTS數(shù)學(xué)九年級上冊BS版課前預(yù)習(xí)01菱形的兩個面積公式.（1）S＝

?；（2）S＝

?.注：在對角線互相垂直的四邊形中，一條對角線將四邊形分成

有公共底邊的兩個三角形，這兩個三角形的高的和恰好是四邊

形的另一條對角線的長.由三角形的面積公式可得，對角線互相

垂直的四邊形的面積等于兩條對角線乘積的一半.底×高

數(shù)學(xué)九年級上冊BS版典例講練02

如圖，兩張寬度都為1的平直紙條，交叉疊放在一起，兩紙條邊

緣的夾角α＝30°，則它們重疊部分（圖中陰影部分）的面積

為

?.2

【思路導(dǎo)航】過點

A

作

A

E⊥

BC

于點E，

A

F⊥

C

D于點F，則可

得到

A

E，

A

F的長，再證?

ABC

D是菱形，得到

A

D＝

C

D，利

用30°角求得

C

D的長，最后由菱形的面積公式即可求解.【解析】如圖，過點

A

作

AE

⊥

BC

于點

E

，

AF

⊥

CD

于點

F

，則

AE

＝

AF

＝1.∵

AD

∥

BC

，

AB

∥

CD

，∴四邊形

ABCD

是平行四

邊形.∴?

ABCD

的面積＝

BC

·

AE

＝

CD

·

AF

.

∴

BC

＝

CD

.

∴?

ABCD

是菱形.∴

AD

＝

CD

.

∵∠

ADC

＝α＝30°，∠

AFD

＝90°，∴

CD

＝

AD

＝2

AF

＝2.∴菱形

ABCD

的面積＝

CD

·

AF

＝2×1＝2.故答案為2.【點撥】熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性

質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識，證明四邊形

ABCD

為

菱形是解決本題的關(guān)鍵.

如圖，已知菱形

ABC

D的周長為20，

AC

∶

B

D＝1∶2，則菱形

ABC

D的面積是

?.20

如圖，在四邊形

ABC

D中，已知

A

D∥

BC

，點E為

BC

的中點，

BC

＝2

A

D，E

A

＝ED＝2，

AC

與ED相交于點F.（1）當(dāng)

AB

與

AC

具有什么位置關(guān)系時，四邊形

A

E

C

D是菱形？（2）在（1）的條件下求出此時菱形

A

E

C

D的面積.【思路導(dǎo)航】（1）先得到

AB

∥DE，當(dāng)四邊形

A

E

C

D為菱形

時，對角線

AC

⊥DE，因此只要

AB

⊥

AC

，就可以得到菱形

A

E

C

D；（2）利用菱形的面積公式計算即可.解：（1）當(dāng)

AB

⊥

AC

時，四邊形

AECD

是菱形.理由如下：∵點

E

為

BC

的中點，

BC

＝2

AD

，∴

BE

＝

EC

＝

AD

.

又∵

AD

∥

BC

，∴四邊形

ABED

和四邊形

AECD

均為平行四邊形.∴

AB

∥

ED

.

∵

AB

⊥

AC

，∴

DE

⊥

AC

.

∴四邊形

AECD

是菱形.（2）如圖，過點

A

作

AG

⊥

BE

于點

G

.

由（1）知

EA

＝

AD

＝

EC

＝

BE

，

AB

＝

ED

.

∵

EA

＝

ED

＝2，∴

AE

＝

BE

＝

AB

＝

EC

＝2.∴△

ABE

是等邊三角形.∴∠

AEB

＝60°.

【點撥】掌握平行四邊形和菱形的性質(zhì)和判定是解決本題的關(guān)

鍵，在求菱形的面積時，若沒有告訴對角線的長度，作底邊上

的高是關(guān)鍵，用底乘高得到菱形的面積.

如圖，在?

ABC

D中，

A

E⊥

BC

，

A

F⊥

C

D，垂足分別為E，

F，且

B

E＝DF.（1）求證：?

ABC

D是菱形；

（2）若

AB

＝5，

AC

＝6，求四邊形

ABC

D的面積.

如圖，在四邊形

ABC

D中，

AC

⊥

B

D于點O，

A

O＝

C

O＝4，

B

O＝DO＝3，點

P

為線段

AC

上的一個動點.過點

P

分別作

PM

⊥

A

D于點

M

，作

PN

⊥D

C

于點

N

，連接

PB

.

在點

P

運(yùn)動的過程中，

求

PM

＋

PN

＋

PB

的最小值.【思路導(dǎo)航】先判斷出四邊形

ABC

D的形狀，從而得到

C

D，

A

D的長度，連接

P

D，由三角形面積關(guān)系求出

PM

＋

PN

的值，則

當(dāng)

PB

最短時，

PM

＋

PN

＋

PB

有最小值，則當(dāng)

PB

⊥

AC

時，

PB

最短.解：∵

AO

＝

CO

＝4，

BO

＝

DO

＝3，∴

AC

＝8，四邊形

ABCD

是平行四邊形.∵

AC

⊥

BD

于點

O

，∴?

ABCD

是菱形，

∴

CD

＝

AD

＝5.如圖，連接

PD

.

∴5×（

PM

＋

PN

）＝8×3.∴

PM

＋

PN

＝4.8.∴當(dāng)

PB

最短時，

PM

＋

PN

＋

PB

有最小值.由垂線段最短可知，當(dāng)

PB

⊥

AC

時，

PB

最短.∴當(dāng)點

P

與點

O

重合時，