6.5.1直線與平面垂直課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

5.1直線與平面垂直

第六章立體幾何初步§5垂直關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)XUEXIMUBIAO1.了解直線與平面垂直的定義，并會用定義判定線面垂直.2.掌握直線與平面垂直的性質(zhì)定理，并會用定理證明相關(guān)問題.3.掌握直線與平面垂直的判定定理，并會用定理判定線面垂直.

觀察下列生活中的現(xiàn)象：（1）感受橋柱與水面是怎樣的位置關(guān)系？橋柱與水面垂直實例引入（2）感受旗桿與地面是怎樣的位置關(guān)系？旗桿與地面垂直

觀察下列生活中的現(xiàn)象：實例引入旗桿ABC（3）旗桿AB所在的直線與地面內(nèi)任何一條過點B的直線是否都垂直？（4）旗桿AB所在的直線與地面內(nèi)任何一條不過點B的直線是否都垂直？

觀察下列生活中的現(xiàn)象：是是旗桿AB與地面的任何一條直線都垂直.隨著太陽的移動，旗桿AB的影子BC始終與旗桿垂直.實例引入（3）旗桿AB所在的直線與地面內(nèi)任何一條過點B的直線是否都垂直？（4）旗桿AB所在的直線與地面內(nèi)任何一條不過點B的直線是否都垂直？

觀察下列生活中的現(xiàn)象：旗桿AB與地面的任何一條直線都垂直.隨著太陽的移動，旗桿AB的影子BC始終與旗桿垂直.

如何定義一條直線與一個平面垂直呢？

Al抽象概括直線與平面垂直的定義

如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個平面垂直.抽象概括l平面的垂線直線的垂面垂足記作：

A

線面垂直的畫法

如圖，通常把表示直線的線段畫成和表示平面的平行四邊形的橫邊垂直.

Al抽象概括思考1：

如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的所有直線，那么這條直線是否與這個平面垂直？（是）思考2：如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線是否與這個平面垂直？（否）定義理解lαa┐

如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線就垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直線.

利用定義，我們得到了判定線面垂直的最基本的方法，同時也得到了線面垂直的最基本的性質(zhì)：線面垂直線線垂直

問：判定直線與平面不垂直，只需要在平面內(nèi)找一條直線和已知直線不垂直即可，那如何來判定一條直線與一個平面垂直呢？定義理解探究1：aαl如果直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，那么直線l和平面α是否互相垂直?（否）定理探究bαa探究2：l如果這兩條直線平行那如果這兩條直線相交呢？如果直線l與平面α內(nèi)的兩條直線垂直，那么直線l和平面α是否互相垂直?（否）定理探究bαa探究3：l如果直線l與平面α內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么直線l和平面α是否互相垂直?定理探究

過?ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放在桌面上（BD,DC與桌面接觸）（1）折痕AD與桌面垂直嗎？（2）如何翻折才能使折痕AD與桌面所在平面垂直？

動手實驗：ABDC請同學(xué)們準(zhǔn)備一塊三角形的紙片，我們一起來做一個實驗：ABCD探究3：如果直線l與平面α內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么直線l和平面α是否互相垂直?（是）定理探究DACB┐αDACB

如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直．

線面垂直的判定定理αAbal簡述為：線線垂直

線面垂直定理探究符號表示：

例1

(多選)下列命題中，不正確的是A.若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥αB.若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)沒有與l垂直的直線C.若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l垂直D.若直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則l⊥α一、直線與平面垂直的定義以及判定定理的理解√√√解析當(dāng)l與α內(nèi)的一條直線垂直時，不能保證l與平面α垂直，所以A不正確；當(dāng)l與α不垂直時，l可能與α內(nèi)的無數(shù)條平行直線垂直，所以B不正確，C正確；若l在α內(nèi)，l也可以和α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，故D錯誤.定理應(yīng)用反思感悟?qū)τ诰€面垂直的定義要注意“直線垂直于平面內(nèi)的所有直線”說法與“直線垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線”不是一回事.跟蹤訓(xùn)練1

如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的：①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正五邊形的兩邊.能保證該直線與平面垂直的是________.(填序號)①③④解析根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，平面內(nèi)這兩條直線必須是相交的，①③④中給定的兩直線一定相交，能保證直線與平面垂直，而②梯形的兩邊可能是上、下底邊，它們互相平行，不滿足定理條件.例2.已知空間四邊形ABCD的四邊相等，則它的兩對角線AC，BD的位置關(guān)系是_______.垂直解析：如圖，取BD的中點O，連接AO，CO，則BD⊥AO，BD⊥CO，AO∩OC＝O，AO、OC?平面AOC∴BD⊥平面AOC，BD⊥AC.例3

如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M為CC1的中點，AC與BD交于點O，求證：A1O⊥平面MBD.證明∵四邊形ABCD為正方形，∴BD⊥AC，又AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BD且AA1∩AC＝A，∴BD⊥平面AA1O，∴BD⊥A1O，令正方體的棱長為2，連接OM，A1M(圖略)，∴A1O2＋OM2＝A1M2，∴A1O⊥OM，又OM∩BD＝O，∴A1O⊥平面MBD.跟蹤訓(xùn)練3

如圖，AB為⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，M為圓周上任意一點，AN⊥PM，N為垂足.(1)求證：AN⊥平面PBM；證明∵AB為⊙O的直徑，∴AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，BM?平面ABM，∴PA⊥BM.又∵PA∩AM＝A，PA，AM?平面PAM，又AN?平面PAM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM?平面PBM，∴BM⊥平面PAM.∴AN⊥平面PBM.(2)若AQ⊥PB，垂足為Q，求證：NQ⊥PB.證明由(1)知AN⊥平面PBM，PB?平面PBM，∴AN⊥PB.又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ?平面ANQ，∴PB⊥平面ANQ.又NQ?平面ANQ，∴PB⊥NQ.1.利用直線與平面垂直的判定定理判定直線與平面垂直的技巧：證明線面垂直的關(guān)鍵是