山東省新高考聯(lián)合質(zhì)量測(cè)評(píng)2024屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期12月聯(lián)考試題

Page27本卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名、考號(hào)、座號(hào)填涂在相應(yīng)位置.2．選擇題答案必須使用2B鉛筆（按填涂樣例）正確填涂；非選擇題答案必須使用0.5毫米黑色簽字筆書(shū)寫(xiě)，繪圖時(shí)，可用2B鉛筆作答，字體工整、筆跡清楚.3．請(qǐng)按照題號(hào)在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效.保持卡面清潔，不折疊、不破損.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.2.若為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則等于（）A. B. C. D.3.已知，，，則與的夾角為（）A. B. C. D.4.將半徑為3，圓心角為的扇形卷成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則圓錐的體積為（）A. B. C. D.5.設(shè)函數(shù)（且）在區(qū)間單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（）A. B.C. D.6.設(shè)函數(shù)（）的導(dǎo)函數(shù)的最大值為2，則在上的最小值為（）A. B.C D.7.記非常數(shù)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，設(shè)甲：是等比數(shù)列；乙：（，1，且），則（）A.甲是乙的充要條件 B.甲是乙的充分不必要條件C.甲是乙的必要不充分條件 D.甲是乙的既不充分也不必要條件8.已知，，，且，則的值為（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知一組數(shù)據(jù)，，…，是公差不為0的等差數(shù)列，若去掉數(shù)據(jù)，則所剩下的數(shù)據(jù)的（）A.平均數(shù)不變 B.中位數(shù)不變 C.標(biāo)準(zhǔn)差不變 D.極差不變10.根據(jù)《中華人民共和國(guó)噪聲污染防治法》，城市噪音分為工業(yè)生產(chǎn)噪音，建筑施工噪音、交通運(yùn)輸噪音和生活環(huán)境噪音等四大類(lèi).根據(jù)不同類(lèi)型的噪音，又進(jìn)一步細(xì)化了限制標(biāo)準(zhǔn).通常我們以分貝（dB）為單位來(lái)表示聲音大小的等級(jí)，30～40分貝為安靜環(huán)境，超過(guò)50分貝將對(duì)人體有影響，90分貝以上的環(huán)境會(huì)嚴(yán)重影響聽(tīng)力且會(huì)引起神經(jīng)衰弱等疾病.如果強(qiáng)度為v的聲音對(duì)應(yīng)的分貝數(shù)為（dB），那么滿(mǎn)足：.對(duì)幾項(xiàng)生活環(huán)境的分貝數(shù)要求如下，城市道路交通主干道：60～70dB，商業(yè)、工業(yè)混合區(qū)：50～60dB，安靜住宅區(qū)、療養(yǎng)院：30～40dB.已知在某城市道路交通主干道、工商業(yè)混合區(qū)、安靜住宅區(qū)測(cè)得聲音的實(shí)際強(qiáng)度分別為，，，則（）A.B.C.若聲音強(qiáng)度由降到，需降為原來(lái)的D.若要使分貝數(shù)由40提高到60，則聲音強(qiáng)度需變?yōu)樵瓉?lái)的100倍11.已知是定義在上不恒為零的函數(shù)，對(duì)于任意都滿(mǎn)足，且為偶函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.奇函數(shù)C.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D.12.已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)是x，正四棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)均在同一球面上，若該球的體積為，當(dāng)時(shí)，正四棱錐的體積可以是（）A. B. C. D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.2024年第6屆U23亞洲杯將在卡塔爾舉行．現(xiàn)將甲、乙，丙、丁四名志愿者分配到6個(gè)項(xiàng)目中參加志愿活動(dòng)，且每名志愿者只能參加1個(gè)項(xiàng)目的志愿活動(dòng)，則有且只有3人分到同一項(xiàng)目中的情況有__________種．（用數(shù)字作答）14.若將上底面半徑為2，下底面半徑為4圓臺(tái)型木塊，削成體積最大的球，則該球的表面積為_(kāi)_________．15.設(shè)函數(shù)（）在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是__________．16.函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為_(kāi)_____．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知．（1）求內(nèi)角B的大??；（2）若面積為，，，求線(xiàn)段BM的長(zhǎng)．18.某班級(jí)為了提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理的興趣，組織了一次答題比賽活動(dòng)，規(guī)定每位學(xué)生共需回答3道題目．現(xiàn)有兩種方案供學(xué)生任意選擇，甲方案：只選數(shù)學(xué)問(wèn)題；乙方案：第一次選數(shù)學(xué)問(wèn)題，以后按如下規(guī)則選題，若本次回答正確，則下一次選數(shù)學(xué)問(wèn)題，若回答錯(cuò)誤，則下一次選物理問(wèn)題．?dāng)?shù)學(xué)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得50分，否則得0分；物理問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得30分，否則得0分．已知A同學(xué)能正確回答數(shù)學(xué)問(wèn)題的概率為，能正確回答物理問(wèn)題的概率為，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答順序無(wú)關(guān)．（1）求A同學(xué)采用甲方案答題，得分不低于100分的概率；（2）A同學(xué)選擇哪種方案參加比賽更加合理，并說(shuō)明理由．19.已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為AC和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)，設(shè)，．（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時(shí)，平面與平面的夾角的余弦值最大．20.已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，；數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，公比為q，且，的等差中項(xiàng)為10，，的等比中項(xiàng)為8．（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，為的前n項(xiàng)和，若能成立，求實(shí)數(shù)的最大值．21.某學(xué)校新校區(qū)在校園里邊種植了一種漂亮的植物，會(huì)開(kāi)出粉紅色或黃色的花．這種植物第1代開(kāi)粉紅色花和黃色花的概率都是，從第2代開(kāi)始，若上一代開(kāi)粉紅色的花，則這一代開(kāi)粉紅色的花的概率是，開(kāi)黃色花的概率是；若上一代開(kāi)黃色的花，則這一代開(kāi)粉紅色的花的概率為，開(kāi)黃色花的概率為．設(shè)第n代開(kāi)粉紅色花的概率為．（1）求第2代開(kāi)黃色花的概率；（2）證明：．22.設(shè)（其中）．（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，若關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．普高大聯(lián)考試卷類(lèi)型：A山東新高考聯(lián)合質(zhì)量測(cè)評(píng)12月聯(lián)考試題高三數(shù)學(xué)2023.12本卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名、考號(hào)、座號(hào)填涂在相應(yīng)位置.2．選擇題答案必須使用2B鉛筆（按填涂樣例）正確填涂；非選擇題答案必須使用0.5毫米黑色簽字筆書(shū)寫(xiě)，繪圖時(shí)，可用2B鉛筆作答，字體工整、筆跡清楚.3．請(qǐng)按照題號(hào)在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效.保持卡面清潔，不折疊、不破損.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先求得集合，結(jié)合集合交集的概念與運(yùn)算，即可求解.【詳解】由集合，又因?yàn)椋傻?故選：C.2.若為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，求得，再結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)，所以.故選：A.3.已知，，，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將平方求出，利用夾角公式即可求出與的夾角.【詳解】∵，∴，即，，故，∴，又∵，∴．故選：C4.將半徑為3，圓心角為的扇形卷成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求得圓錐的底面半徑和高，從而求得圓錐的體積.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線(xiàn)長(zhǎng)為，高為，扇形的弧長(zhǎng)為，則，母線(xiàn)，所以圓錐的高，所以圓錐的體積.故選：B5.設(shè)函數(shù)（且）在區(qū)間單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】令，則（且），然后分和兩種情況結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】令，則（且），當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)遞增，因?yàn)閰^(qū)間單調(diào)遞減，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，所以，解得．當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)遞減，因?yàn)閰^(qū)間單調(diào)遞減，所以需要在區(qū)間單調(diào)遞增，則，顯然不滿(mǎn)足要求，綜上，故選：B．6.設(shè)函數(shù)（）的導(dǎo)函數(shù)的最大值為2，則在上的最小值為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，依題意可得，利用余弦函數(shù)性質(zhì)可求出的最小值.【詳解】∵的最大值為2，∴．∴，，∴，∴，即，的最小值為．故選：D.7.記非常數(shù)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，設(shè)甲：是等比數(shù)列；乙：（，1，且），則（）A.甲是乙的充要條件 B.甲是乙的充分不必要條件C.甲是乙的必要不充分條件 D.甲是乙的既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】當(dāng)甲成立時(shí)利用等比數(shù)列求和公式可得乙成立，當(dāng)乙成立時(shí)利用數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間關(guān)系可知甲成立，從而可得結(jié)果.【詳解】若，則（），∴，，．∵，1，∴，∴數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列．若數(shù)列為等比數(shù)列，且，則．又，∴，∴，此時(shí)，1，，所以甲是乙的充要條件．故選：A．8.已知，，，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先對(duì)已知等式化簡(jiǎn)結(jié)合可求出，則可求出，然后對(duì)變形化簡(jiǎn)可得，從而可求出的值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，，所以．由，得，即，所以，所以．又，所以．故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知一組數(shù)據(jù)，，…，是公差不為0的等差數(shù)列，若去掉數(shù)據(jù)，則所剩下的數(shù)據(jù)的（）A.平均數(shù)不變 B.中位數(shù)不變 C.標(biāo)準(zhǔn)差不變 D.極差不變【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)的概念結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可判斷A，由中位數(shù)的概念可判斷B，由標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式可判斷C，根據(jù)極差定義可判斷D.【詳解】設(shè)，，…，的平均數(shù)為，可知，故A正確．新數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，故B正確．原數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，且新數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差為，故C錯(cuò)誤．因?yàn)樽畲笾岛妥钚≈挡蛔?，故極差不變，故D正確．故答案為：ABD．10.根據(jù)《中華人民共和國(guó)噪聲污染防治法》，城市噪音分為工業(yè)生產(chǎn)噪音，建筑施工噪音、交通運(yùn)輸噪音和生活環(huán)境噪音等四大類(lèi).根據(jù)不同類(lèi)型的噪音，又進(jìn)一步細(xì)化了限制標(biāo)準(zhǔn).通常我們以分貝（dB）為單位來(lái)表示聲音大小的等級(jí)，30～40分貝為安靜環(huán)境，超過(guò)50分貝將對(duì)人體有影響，90分貝以上的環(huán)境會(huì)嚴(yán)重影響聽(tīng)力且會(huì)引起神經(jīng)衰弱等疾病.如果強(qiáng)度為v的聲音對(duì)應(yīng)的分貝數(shù)為（dB），那么滿(mǎn)足：.對(duì)幾項(xiàng)生活環(huán)境的分貝數(shù)要求如下，城市道路交通主干道：60～70dB，商業(yè)、工業(yè)混合區(qū)：50～60dB，安靜住宅區(qū)、療養(yǎng)院：30～40dB.已知在某城市道路交通主干道、工商業(yè)混合區(qū)、安靜住宅區(qū)測(cè)得聲音的實(shí)際強(qiáng)度分別為，，，則（）A.B.C.若聲音強(qiáng)度由降到，需降為原來(lái)的D.若要使分貝數(shù)由40提高到60，則聲音強(qiáng)度需變?yōu)樵瓉?lái)的100倍【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)題目分貝數(shù)函數(shù)求出，，，即可判斷ABC，再分別求出40分貝數(shù)和60分貝數(shù)對(duì)應(yīng)的聲音強(qiáng)度即可判斷D.【詳解】由題意可知，，即，得，，即，得，，即，得，則，所以，與大小關(guān)系不確定，由此可知A正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以，C錯(cuò)誤；當(dāng)聲音強(qiáng)度的等級(jí)為60dB時(shí)，有，即，得，此時(shí)對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度.當(dāng)聲音強(qiáng)度等級(jí)為40dB時(shí)，有，即，得，此時(shí)對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度，所以60dB的聲音與40dB的聲音強(qiáng)度之比，D正確.故選：AD11.已知是定義在上的不恒為零的函數(shù)，對(duì)于任意都滿(mǎn)足，且為偶函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.為奇函數(shù)C.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D.【答案】ACD【解析】【分析】令，可判定A正確；令，得到，可判定C正確，B錯(cuò)誤；根據(jù)題意，推得，得到的周期為，令，求得，結(jié)合函數(shù)的周期性，求得，可判定D正確．【詳解】由對(duì)于任意都滿(mǎn)足，令，則，所以A正確；令，可得，即，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以C正確，B錯(cuò)誤；又由為偶函數(shù)知關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，即，可得，則，所以，所以函數(shù)的周期為，令，則，可得，，所以，所以D正確．故選：ACD．12.已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)是x，正四棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)均在同一球面上，若該球的體積為，當(dāng)時(shí)，正四棱錐的體積可以是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2a，高為h，根據(jù)正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征以及外接球的性質(zhì)分析可得，結(jié)合體積公式可得，利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)性和最值，即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榍虻捏w積為，所以球的半徑為．設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2a，高為h，則，即，又因?yàn)?，即，整理得，可得，令，則，因?yàn)?，，令，解得；令，解得；可知在?nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取到最大值；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以正四棱錐體積．因?yàn)?，，所以正四棱錐的體積可以是，.故選：BD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及球與棱柱、棱錐的切、接問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及多面體的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線(xiàn)作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解，利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫(huà)內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.2024年第6屆U23亞洲杯將在卡塔爾舉行．現(xiàn)將甲、乙，丙、丁四名志愿者分配到6個(gè)項(xiàng)目中參加志愿活動(dòng)，且每名志愿者只能參加1個(gè)項(xiàng)目的志愿活動(dòng)，則有且只有3人分到同一項(xiàng)目中的情況有__________種．（用數(shù)字作答）【答案】120【解析】【分析】分三步完成，第一步從四名志愿者中選取三名志愿者，第二步從6個(gè)項(xiàng)目中選取2個(gè)項(xiàng)目，第三步把志愿者分配到兩個(gè)項(xiàng)目中，再利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得答案..【詳解】可分三步完成，第一步，從四名志愿者中選取三名志愿者，有種選法；第二步，從6個(gè)項(xiàng)目中選取2個(gè)項(xiàng)目有種不同的選法；第三步，把志愿者分配到兩個(gè)項(xiàng)目中有種分配方法；故共有（種）不同的分配方法．故答案為：120.14.若將上底面半徑為2，下底面半徑為4的圓臺(tái)型木塊，削成體積最大的球，則該球的表面積為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】球的體積最大，當(dāng)且僅當(dāng)該球?yàn)閳A臺(tái)的內(nèi)切球，利用圓臺(tái)軸截面與球的截面大圓關(guān)系求出球半徑即可.【詳解】依題意，削成的球體積最大，當(dāng)且僅當(dāng)該球?yàn)閳A臺(tái)的內(nèi)切球，設(shè)球半徑為，過(guò)圓臺(tái)軸的截面截球所得大圓是圓臺(tái)軸截面等腰梯形的內(nèi)切圓，則梯形的高為，由圓的外切四邊形性質(zhì)可知，等腰梯形的腰長(zhǎng)為，因此，解得，所以球的表面積.故答案為：15.設(shè)函數(shù)（）在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)與方程之間的關(guān)系，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題知，又因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以，?dāng)或，或時(shí)，，要滿(mǎn)足函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰兩個(gè)零點(diǎn)，則，解得．故答案為：.16.函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為_(kāi)_____．【答案】15【解析】【分析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)與的圖象，根據(jù)與的圖象都關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)求解．【詳解】解：令，．顯然與的圖象都關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)．在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)與的圖象，如圖所示：由圖象知：它們的圖象有6個(gè)公共點(diǎn)，其橫坐標(biāo)依次為，，，，，，這6個(gè)點(diǎn)兩兩關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，∴，則．∴函數(shù)所有零點(diǎn)之和為15．故答案為：15四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知．（1）求內(nèi)角B的大??；（2）若的面積為，，，求線(xiàn)段BM的長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合正弦定理邊角互化，正弦的和角公式即可求出，進(jìn)而得答案；（2）結(jié)合（1），根據(jù)面積公式得，進(jìn)而得，進(jìn)而由余弦定理得，為直角三角形，再結(jié)合題意，借助勾股定理求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋杂烧叶ɡ磉吇堑?，所以因?yàn)樗?，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以．【小?wèn)2詳解】因?yàn)榈拿娣e為，，所以，所以．因，所以，，所以，所以，即為直角三角形，因?yàn)?，所以，所以?8.某班級(jí)為了提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理的興趣，組織了一次答題比賽活動(dòng)，規(guī)定每位學(xué)生共需回答3道題目．現(xiàn)有兩種方案供學(xué)生任意選擇，甲方案：只選數(shù)學(xué)問(wèn)題；乙方案：第一次選數(shù)學(xué)問(wèn)題，以后按如下規(guī)則選題，若本次回答正確，則下一次選數(shù)學(xué)問(wèn)題，若回答錯(cuò)誤，則下一次選物理問(wèn)題．?dāng)?shù)學(xué)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得50分，否則得0分；物理問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得30分，否則得0分．已知A同學(xué)能正確回答數(shù)學(xué)問(wèn)題的概率為，能正確回答物理問(wèn)題的概率為，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答順序無(wú)關(guān)．（1）求A同學(xué)采用甲方案答題，得分不低于100分的概率；（2）A同學(xué)選擇哪種方案參加比賽更加合理，并說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）選擇乙方案參加比賽更加合理，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式，即可求解；（2）若采用甲方案，則其得分X的可能取值為0，50，100，150，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，求得；若采用乙方案，則其得分Y的可能取值為0，30，50，80，100，150，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，求得，結(jié)合，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：張同學(xué)采用甲方案答題，得分不低于100分的情況為至少答對(duì)兩道試題，所以其概率為．【小問(wèn)2詳解】解：張同學(xué)選擇乙方案參加比賽更加合理．理由如下：若采用甲方案，則其得分X的可能取值為0，50，100，150，，，，．所以的概率分布列為050100150所以X的數(shù)學(xué)期望為．若采用乙方案，則其得分Y的可能取值為0，30，50，80，100，150，所以，，，，，．所以Y的概率分布列為0305080100150所以的數(shù)學(xué)期望為．因?yàn)?，所以張同學(xué)選擇乙方案參加比賽更加合理.19.已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為AC和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)，設(shè)，．（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時(shí)，平面與平面的夾角的余弦值最大．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，證得平面，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求得，即可證得；（2）由平面，得到平面的法向量為，再求得的法向量，利用向量的夾角公式，求得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)橹比庵?，底面，又因?yàn)榈酌妫?，因?yàn)椋?，所以AB⊥BF，又因?yàn)?，且平面，所以平面，所以，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，，，，又由，則，所以，，因?yàn)?，所以，即．【小?wèn)2詳解】解：因?yàn)槠矫?，可得平面的一個(gè)法向量為，由，，設(shè)平面的法向量，則，取，可得，，所以，設(shè)平面與平面DEF所成二面角的平面角為，則，當(dāng)時(shí)，取最小值為，此時(shí)取最大值為，此時(shí)．20.已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，；數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，公比為q，且，的等差中項(xiàng)為10，，的等比中項(xiàng)為8．（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，為的前n項(xiàng)和，若能成立，求實(shí)數(shù)的最大值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用的關(guān)系式即可求得是等差數(shù)列，可得；再利用等比數(shù)列定義即可求得，可得；（2）采用分組求和并利用等差、等比數(shù)列前項(xiàng)和公式即可求得，不等式能成立等價(jià)于，利用單調(diào)性可求得.【小問(wèn)1詳解】由可得，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，∴，即．∵，∴（），即可得是等差數(shù)列．由，得，∴，即．由題意得，即，解得或．∵是遞增的等比數(shù)列，∴，所以，得，∴．所以和的通項(xiàng)公式為，．【小問(wèn)2詳解】由（1）得：．能成立，等價(jià)于能成立，化簡(jiǎn)得能成立，即．設(shè)，則，∴是遞減數(shù)列，故的最大值為．∴，因此的最大值為．21.某學(xué)校新校區(qū)在校園里邊種植了一種漂亮的植物，會(huì)開(kāi)出粉紅色或黃色的花．這種植物第