高中數(shù)學(xué)“冪函數(shù)”教學(xué)設(shè)計(jì)

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；方法引領(lǐng)；教學(xué)設(shè)計(jì)；冪函數(shù)一、教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課的內(nèi)容選自蘇教版普通高中數(shù)學(xué)教材必修一第6章第1節(jié)，是第5章《函數(shù)》內(nèi)容的延續(xù)和深化，也是函數(shù)思想方法應(yīng)用的具體化。學(xué)生在初中時(shí)已經(jīng)接觸過(guò)y=x，y=x2，y=x-1等函數(shù)，對(duì)這些函數(shù)有一定的認(rèn)知基礎(chǔ)和研究經(jīng)驗(yàn)。教學(xué)時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生梳理已有經(jīng)驗(yàn)，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)從數(shù)和形兩個(gè)角度來(lái)研究?jī)绾瘮?shù)的性質(zhì)。這樣的研究方式對(duì)后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)起著引領(lǐng)、指導(dǎo)和組織的作用，能夠幫助學(xué)生建立研究函數(shù)模型的方法范式，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的自然延拓。二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置1.了解冪函數(shù)的概念，會(huì)畫出y=x，y=x2，y=x3，y=x-1，y=x[12]等冪函數(shù)的圖象；2.了解幾個(gè)常見(jiàn)的冪函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)利用它們的單調(diào)性比較兩個(gè)底數(shù)不同而指數(shù)相同的指數(shù)冪值的大?。?.經(jīng)歷探究?jī)绾瘮?shù)圖象與性質(zhì)的過(guò)程，明確研究一類函數(shù)模型的基本方法，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合、特殊與一般等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。三、學(xué)情分析1.學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)本節(jié)課的授課對(duì)象是江蘇省四星級(jí)普通高中高一學(xué)生，在知識(shí)結(jié)構(gòu)上，他們?cè)诔踔袝r(shí)已經(jīng)研究了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等初等函數(shù)，在高中又學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念及簡(jiǎn)單性質(zhì)，已經(jīng)積累了研究函數(shù)的初步知識(shí)基礎(chǔ)。在經(jīng)驗(yàn)方法上，他們經(jīng)歷了對(duì)y=x，y=x2，y=x-1等函數(shù)的初步學(xué)習(xí)，已經(jīng)擁有了研究函數(shù)的基本經(jīng)驗(yàn)，并具備一定的觀察、分析、抽象、概括能力。2.達(dá)成目標(biāo)所需的認(rèn)知基礎(chǔ)在探究?jī)绾瘮?shù)性質(zhì)的過(guò)程中，需要學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想有較深刻的認(rèn)識(shí)和理解，有較強(qiáng)的直觀想象、邏輯推理能力和良好的獨(dú)立思考、合作交流等學(xué)習(xí)習(xí)慣。四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)1.復(fù)習(xí)回顧，方法引領(lǐng)【課堂引導(dǎo)語(yǔ)】函數(shù)概念的分析，為探索種種運(yùn)動(dòng)規(guī)律提供有力工具，教給人們?nèi)绾我罁?jù)已有的經(jīng)驗(yàn)去預(yù)測(cè)未來(lái)的事物，從而進(jìn)一步獲得自然界的科學(xué)知識(shí)，從千姿百態(tài)的現(xiàn)象中總結(jié)出反映本質(zhì)的基本規(guī)律。——普林希姆問(wèn)題1：在以往的學(xué)習(xí)中，我們學(xué)習(xí)過(guò)函數(shù)的哪些基本內(nèi)容？在初中，學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)一些具體的函數(shù)，比如一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)等，y=x，y=x2，y=x-1是其中的特例；在高中，學(xué)習(xí)過(guò)函數(shù)的一些基本性質(zhì)，比如：定義域、值域、奇偶性和單調(diào)性等。結(jié)合初高中所學(xué)，可以得到表1。問(wèn)題1.1：表1中函數(shù)y=x2的奇偶性可以如何得到？問(wèn)題1.2：表1中函數(shù)y=x2的單調(diào)性可以如何得到？問(wèn)題1.3：函數(shù)y=x2的奇偶性和單調(diào)性之間有什么聯(lián)系？對(duì)我們研究新的函數(shù)有什么啟發(fā)？上述問(wèn)題的答案可以通過(guò)觀察y=x2圖象特點(diǎn)得到，即“以圖識(shí)性”，這是初中研究函數(shù)最常用的方法；也可從解析式出發(fā)，即“依性作圖”，這是學(xué)生在進(jìn)入高中學(xué)習(xí)后新習(xí)得的方法。奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，為“對(duì)稱取點(diǎn)”作圖埋下伏筆，也為學(xué)習(xí)“研究單調(diào)性時(shí)只需研究定義域的‘一半”作鋪墊。后續(xù)學(xué)生可以從這兩個(gè)角度來(lái)研究y=x3，y=x[12]，y=x-2這3個(gè)具體函數(shù)。【設(shè)計(jì)意圖】上述教學(xué)首先通過(guò)普林希姆的話，引出本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)：在函數(shù)學(xué)習(xí)中，要善于根據(jù)已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和思想方法，進(jìn)行適當(dāng)?shù)倪w移，進(jìn)一步研究未知的知識(shí)。然后通過(guò)問(wèn)題串，引導(dǎo)學(xué)生回顧函數(shù)相關(guān)知識(shí)并明確研究函數(shù)的兩種方法，體會(huì)函數(shù)圖象與性質(zhì)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，為研究?jī)绾瘮?shù)作鋪墊。2.歸納特征，構(gòu)建概念問(wèn)題2：這六個(gè)函數(shù)的解析式有什么共同特征？你能概括出它們的一般形式嗎？【設(shè)計(jì)意圖】從特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生直觀感受冪函數(shù)的結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言抽象出冪函數(shù)的定義：一般地，我們把形如y=xα的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)。3.合作探究，歸納性質(zhì)問(wèn)題3：你能根據(jù)已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)來(lái)研究y=x3，y=x[12]，y=x-2的圖象和性質(zhì)嗎？說(shuō)說(shuō)你的設(shè)想?！咎骄炕顒?dòng)1】初探函數(shù)y=x3，y=x[12]，y=x-2的性質(zhì)。函數(shù)的定義域決定了函數(shù)的“寬度”，值域決定了函數(shù)的“高度”，奇偶性反映了函數(shù)的對(duì)稱性，單調(diào)性反映了函數(shù)的變化趨勢(shì)。學(xué)生通過(guò)自主探究、小組討論，先從解析式入手，能夠得到三個(gè)函數(shù)的定義域、值域、奇偶性，即“依性作圖”。【設(shè)計(jì)意圖】高中數(shù)學(xué)教學(xué)提倡獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等多種學(xué)習(xí)方式。上述教學(xué)放手讓學(xué)生自主探究：定義域、值域、奇偶性可以依據(jù)定義從數(shù)的角度判斷，而單調(diào)性借助圖象判斷更加直觀。經(jīng)過(guò)充分的探究，學(xué)生能夠建立統(tǒng)一的觀點(diǎn)：具有奇偶性的函數(shù)，先研究定義域的“一半”，“另一半”由對(duì)稱性得到。【探究活動(dòng)2】畫出函數(shù)y=x3，y=x[12]的圖象。學(xué)生在小組內(nèi)討論交流，展示圖象，說(shuō)明畫法，并回答以下問(wèn)題。問(wèn)題3.1：你采用什么方法畫出它們的圖象？取了哪些點(diǎn)？問(wèn)題3.2：根據(jù)這幾個(gè)點(diǎn)你是怎么確定它的圖象是這樣的形狀呢？怎么做可以讓所畫圖象趨勢(shì)更準(zhǔn)確一點(diǎn)？問(wèn)題3.3：能否少取一些點(diǎn)？理由是？【師生活動(dòng)】學(xué)生結(jié)合取點(diǎn)分析出y=x3在第一象限隨自變量增大呈現(xiàn)出“快速增長(zhǎng)”趨勢(shì)，y=x[12]在第一象限隨自變量增大呈現(xiàn)出“緩慢增長(zhǎng)”趨勢(shì)。教師用作圖軟件在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)作出y=x3，y=x[12]的圖象，讓學(xué)生體會(huì)變化趨勢(shì)的不同。問(wèn)題3.4：給出函數(shù)y=x4，你認(rèn)為它在［0，+∞）的圖象和哪個(gè)函數(shù)類似？問(wèn)題3.5：給出函數(shù)y=x[13]，你認(rèn)為它在［0，+∞）的圖象和哪個(gè)函數(shù)類似？在這里，教師要及時(shí)用作圖軟件驗(yàn)證，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)0＜α＜1，α＞1兩種情況下的圖象特征。【設(shè)計(jì)意圖】畫圖能夠讓學(xué)生直觀感受圖象位置與變化規(guī)律。遞進(jìn)式問(wèn)題串能夠幫助學(xué)生梳理圖象與性質(zhì)之間的思維路徑，感受依性作圖和以圖識(shí)性中蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合思想，獲得研究具體函數(shù)的新思路，促進(jìn)實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展。師：前面我們通過(guò)歸納6個(gè)函數(shù)的解析式的共同特性得到了冪函數(shù)的定義，得到了這5個(gè)函數(shù)的圖象（見(jiàn)圖1）。如果從形的角度歸納圖象的共同特征，又能有哪些收獲呢？問(wèn)題3.6：如圖1，觀察這5個(gè)函數(shù)圖象，你能發(fā)現(xiàn)它們具有哪些共同的特性？問(wèn)題3.7：當(dāng)指數(shù)怎樣變化時(shí)，冪函數(shù)在［0，+∞）會(huì)呈現(xiàn)這樣的變化趨勢(shì)呢？【師生活動(dòng)】觀察幾個(gè)特殊函數(shù)的圖象，讓學(xué)生獨(dú)立思考、交流討論，引導(dǎo)學(xué)生從特殊點(diǎn)、單調(diào)性等方面尋找共同特性，進(jìn)行歸納并提出一般猜想：一般地，函數(shù)y=xα，當(dāng)α＞0時(shí)，函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)（0，0）和（1，1）；在第一象限內(nèi)，函數(shù)的圖象隨x的增大而上升，函數(shù)在［0，+∞）上是增函數(shù)。教師借助軟件歸納驗(yàn)證得出圖2?！驹O(shè)計(jì)意圖】上述探究過(guò)程中，學(xué)生合作探究，通過(guò)觀察、歸納、猜想，形象記憶了函數(shù)圖象和性質(zhì)。教師通過(guò)問(wèn)題串的形式，層層遞進(jìn)，由特殊到一般，引領(lǐng)學(xué)生總結(jié)冪函數(shù)隨冪指數(shù)變化的圖象性質(zhì)變化情況，進(jìn)而給出一般猜想，并借助作圖軟件歸納驗(yàn)證。師：回顧前面的研究過(guò)程，對(duì)α＜0的冪函數(shù)是否也會(huì)有類似的共性呢？【探究活動(dòng)3】小組合作，設(shè)計(jì)探究α＜0時(shí)冪函數(shù)性質(zhì)的研究思路與方案。問(wèn)題3.8：在用描點(diǎn)法畫y=x-2的圖象之前，你會(huì)做哪些準(zhǔn)備工作？問(wèn)題3.9：觀察函數(shù)圖象，可以得到哪些共性？【師生活動(dòng)】選擇兩個(gè)特殊的函數(shù)y=x-1，y=x-2畫出圖象，歸納共性并提出一般猜想：一般地，函數(shù)y=xα，當(dāng)α＜0時(shí)，函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)（1，1）；在第一象限內(nèi)，函數(shù)的圖象隨x的增大而下降，函數(shù)在（0，+∞）上是減函數(shù)。教師借助軟件歸納驗(yàn)證。【設(shè)計(jì)意圖】上述教學(xué)讓學(xué)生先獨(dú)立思考，然后小組之間交流、討論、合作設(shè)計(jì)研究思路和方案，并通過(guò)追問(wèn)評(píng)價(jià)學(xué)生是否理解了依性作圖和以圖識(shí)性的關(guān)系，掌握了研究新函數(shù)的思路。這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生將前面研究的經(jīng)驗(yàn)類比遷移，再次經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究過(guò)程，積累數(shù)學(xué)探究經(jīng)驗(yàn)，感受探究一類函數(shù)共性的基本方法。4.自主探究，形成體系問(wèn)題4：如圖3，五種指數(shù)范圍下的冪函數(shù)在（0，+∞）的圖象都在第一象限，你能給出這里“形”背后的“數(shù)”的說(shuō)明嗎？問(wèn)題4.1：冪函數(shù)在其他象限的圖象如何得到？問(wèn)題4.2：根據(jù)第一象限特征，結(jié)合奇偶性，冪函數(shù)的圖象共有多少類？【設(shè)計(jì)意圖】上述教學(xué)旨在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的優(yōu)越性，為以后作圖提供一般思路和方法，幫助學(xué)生在復(fù)雜的情境中把握事物之間的關(guān)聯(lián)，發(fā)展學(xué)生的理性思維和邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，并體會(huì)冪函數(shù)圖象之美。5.探究典例，實(shí)踐應(yīng)用【課堂例題】試比較下列各組數(shù)的大小：（1）1.14，0.894；（2）2.1-3，2-3，1.8-1。【設(shè)計(jì)意圖】例題考察冪函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，旨在通過(guò)練習(xí)讓學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)冪函數(shù)性質(zhì)的理解，并體會(huì)用性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，形成規(guī)范化思考問(wèn)題的品質(zhì)。6.總結(jié)升華，形成系統(tǒng)問(wèn)題5：本節(jié)課主要研究了哪些內(nèi)容？是如何研究的？研究一個(gè)新函數(shù)的途徑和策略是什么？我們還能研究什么？【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)回顧整節(jié)課的研究過(guò)程，幫助學(xué)生建立起研究一類函數(shù)的基本思路，體會(huì)研究一類函數(shù)共性的一般方法，積累數(shù)學(xué)探究的經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)特殊與一般、數(shù)形結(jié)合、歸納類比、分類討論等數(shù)學(xué)思想在解決問(wèn)題中的作用。從知識(shí)、方法、思想等多維度進(jìn)行反思提煉，既總結(jié)收獲、積累經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)又站在本章起始的視角明晰后續(xù)函數(shù)學(xué)習(xí)的基本思路，體現(xiàn)單元引領(lǐng)作用。最后，提出數(shù)學(xué)史