湖南省邵陽(yáng)市武岡市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

湖南省邵陽(yáng)市武岡市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題本試卷分為問卷和答卷.考試時(shí)量為120分鐘，滿分150分.請(qǐng)將答案寫在答題卡上.一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的）1.若集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】計(jì)算一元二次不等式和指數(shù)不等式，求出，從而求出交集.【詳解】，解得：，所以，而，解得：，所以所以.故選：C2.若“，使得”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】寫出全稱命題為真命題，利用協(xié)助角公式求出，從而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】因?yàn)椤埃沟谩睘榧倜}，則“，使得”為真命題，因?yàn)椋詫?shí)數(shù)a的取值范圍是故選：D3.歐拉公式把自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e、虛數(shù)單位i、三角函數(shù)聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美．若復(fù)數(shù)z滿意，則的虛部為（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】由歐拉公式和復(fù)數(shù)除法運(yùn)算可求得，由復(fù)數(shù)虛部定義求得結(jié)果【詳解】由歐拉公式知：，，，的虛部為．故選：B4.如圖，函數(shù)圖象與x軸交于，與y軸交于P，其最高點(diǎn)為．若，則A的值等于（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】先求出周期，再依據(jù)求，最終依據(jù)點(diǎn)和即可求.【詳解】由圖可知：，得，所以，將代入方程得：，，又，,，，所以，，，解得：或（舍）.故選：B5.已知是奇函數(shù)，則過點(diǎn)向曲線可作的切線條數(shù)是（）A1 B.2 C.3 D.不確定【答案】C【解析】【分析】依據(jù)給定條件，求出a，再求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程求解作答.【詳解】因函數(shù)是奇函數(shù)，則由得恒成立，則，即有，，設(shè)過點(diǎn)向曲線所作切線與曲線相切的切點(diǎn)為，而點(diǎn)不在曲線上，則，整理得，即，解得或，即符合條件的切點(diǎn)有3個(gè)，所以過點(diǎn)向曲線可作的切線條數(shù)是3.故選：C6.已知與滿意：，，，則（）A.是鈍角三角形，是銳角三角形B.銳角三角形，是鈍角三角形C.兩個(gè)三角形都是銳角三角形D.兩個(gè)三角形都是鈍角三角形【答案】A【解析】【分析】在三角形中，全部?jī)?nèi)角的正弦值均為正數(shù)，故的內(nèi)角余弦值均為正數(shù)，故可得到為銳角三角形；另一方面，依據(jù)可知或,即為銳角或鈍角，同理可得到，為銳角或鈍角，但，，中必定有一個(gè)為鈍角，即可得出結(jié)論.【詳解】在與中，，，，，均為銳角，因此為銳角三角形.另一方面，，可得或，即，可得為銳角或鈍角，同理可得到，為銳角或鈍角，但，，中必定有一個(gè)為鈍角，否則不成立，因此為鈍角三角形.故選：A.7.設(shè)函數(shù)，若對(duì)于隨意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】由題意知時(shí)的開口向上且值域，則問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，探討、，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求的取值范圍.【詳解】∵，即開口向上且，由恒成立，即在上恒成立，∴當(dāng)時(shí)，即，由二次函數(shù)的性質(zhì)，明顯成立；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，則只需滿意，解得，故；綜上，的取值范圍是.故選：B8.若，，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)給定條件，利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，再借助“媒介”數(shù)比較大小作答.【詳解】依題意，，，即，又，，則，，即，所以，，的大小關(guān)系是.故選：D二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9.下面命題正確的是（）A.“”是“”的充分不必要條件B.“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的充分不必要條件C.中，是為銳角三角形的必要不充分條件D.已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，則對(duì)實(shí)數(shù)，，“”是“”充分不必要條件【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)充分條件、必要條件的定義逐項(xiàng)推斷即可.【詳解】對(duì)于A：當(dāng)“”時(shí)“”成立；但是當(dāng)“”時(shí)，解得或，故是的充分不必要條件，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?，故為奇函?shù)，故充分性成立，若為奇函數(shù)，則，解得，故必要性成立，故“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的充要條件，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C：若為鈍角，為銳角，則，則滿意，但是為鈍角三角形所以充分性不成立；若為銳角三角形，則均為銳角，即，所以所以所以必要性成立；故中，是為銳角三角形的必要不充分條件所以C正確；對(duì)于D：因?yàn)榕己瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以若，則，即充分性成立，若，則等價(jià)為，即，即或，即必要性不成立，所以若偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，則對(duì)實(shí)數(shù)，，“”是“”的充分不必要條件故D正確；故選：ACD.10.已知實(shí)數(shù)，，滿意，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.的最小值為4【答案】ABC【解析】【分析】依據(jù)實(shí)數(shù)，，滿意，分別化簡(jiǎn)選項(xiàng)A、B、C中的不等式即可推斷；選項(xiàng)D的推斷要留意基本不等式取等條件的檢驗(yàn).【詳解】由題，所以有，故A正確；，故B正確；，故C正確；，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等，又因?yàn)椋?，即無最小值，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.為函數(shù)的一個(gè)周期B.直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.函數(shù)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)【答案】AB【解析】【分析】依據(jù)推斷選項(xiàng)A正確；依據(jù)推斷選項(xiàng)B正確；推斷出函數(shù)在的單調(diào)性，結(jié)合周期性，奇偶性和對(duì)稱軸畫出函數(shù)的簡(jiǎn)圖，由此可以推斷選項(xiàng)C和D.【詳解】因?yàn)?，所以為函?shù)的一個(gè)周期，選項(xiàng)正確；因?yàn)椋灾本€是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，故選項(xiàng)正確；因?yàn)?，所以是偶函?shù)，又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，且，所以在時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，且，所以在時(shí)單調(diào)遞減，所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，又為函數(shù)的一個(gè)周期，且直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，所以畫出函數(shù)的圖象如圖，由圖可知，選項(xiàng)C，D錯(cuò)誤.故選：AB.12.已知函數(shù)與的定義域均為，分別為的導(dǎo)函數(shù)，，，若為奇函數(shù)，則下列等式肯定成立的是（）A. B..C. D.【答案】ACD【解析】【分析】將去代入已知等式可構(gòu)造方程組得到，由此可得關(guān)于對(duì)稱；結(jié)合為偶函數(shù)可推導(dǎo)得到是周期為的周期函數(shù)，則可得C正確；令，代入中即可求得A正確；令，由可推導(dǎo)得到D正確；設(shè)，由可知，結(jié)合可知，由此可得，知B錯(cuò)誤.【詳解】由得：，，關(guān)于中心對(duì)稱，則，為奇函數(shù)，，左右求導(dǎo)得：，，為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，，是周期為的周期函數(shù)，，C正確；，，又，，A正確；令，則，，又，，，即，D正確；，，設(shè)，則，，又為奇函數(shù)，，，即，B錯(cuò)誤.故選：ACD.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查利用抽象函數(shù)關(guān)系式求解函數(shù)周期性、對(duì)稱性、奇偶性的問題；對(duì)于與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的函數(shù)性質(zhì)，有如下結(jié)論：①若連續(xù)且可導(dǎo)，那么若為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)；若為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)；②若連續(xù)且可導(dǎo)，那么若關(guān)于對(duì)稱，則關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；若關(guān)于對(duì)稱，則關(guān)于對(duì)稱.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）13.則______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意，利用分段函數(shù)的解析式，代入即可求解.【詳解】依據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以.故故答案為：14.已知函數(shù)，若時(shí)，取得極值0，則___________.【答案】【解析】【分析】由題意可得，列方程組可求出，然后再檢驗(yàn)時(shí)，函數(shù)是否能取得極值，即可得答案【詳解】由，得，因?yàn)闀r(shí)，取得極值0，所以，，解得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在在處取不到極值，經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，函數(shù)在處取得極值，所以，所以.故答案為：1815.被譽(yù)為“中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父”的聞名數(shù)學(xué)家華羅庚先生為我國(guó)數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了巨大貢獻(xiàn)，他所提倡的“優(yōu)選法”在生產(chǎn)和科研實(shí)踐中得到了廣泛的應(yīng)用.就是黃金分割比的近似值，黃金分割比還可以表示成，則__________．【答案】【解析】【分析】把代入，然后結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與倍角公式化簡(jiǎn)求值．【詳解】解：把代入故答案為：16.已知數(shù)列滿意（），設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則___________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)已知遞推式得出，，則，且，在依據(jù)已知條件求出，由此即可求解．【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，則，所以，，則，可知，，，所以，又，，所以，則，又，所以，，所以，因?yàn)?，所以，故答案為：．四、解答題（本大題共6小題，滿分70分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明及演算步驟）17.已知等差數(shù)列滿意，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，，求滿意的n的最大值．【答案】（1）（2）10【解析】【分析】(1)設(shè)等差數(shù)列公差為d，依據(jù)已知條件列關(guān)于和d的方程組即可求解；(2)設(shè)等比數(shù)列公比為q，依據(jù)已知條件求出和q，依據(jù)等比數(shù)列求和公式即可求出，再解關(guān)于n的不等式即可.【小問1詳解】由題意得，解得，∴．【小問2詳解】∵，，又，∴，公比，∴，令，得，令，所以n的最大值為10．18.如圖，三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面，，是的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求異面直線與所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）作出協(xié)助線，得到線線平行，從而得到線面平行；（2）作出協(xié)助線，找到異面直線與所成角，利用余弦定理求出余弦值.【小問1詳解】證明：連接，交的于，連接，則為的中點(diǎn)，因?yàn)榉謩e是，的中點(diǎn)，，平面，平面，平面；【小問2詳解】由（1）得：，（或其補(bǔ)角）就是異面直線與所成的角，∵三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，∴，，，∴由余弦定理得：，故異面直線與所成角的余弦值為.19.如圖，在平面四邊形中，的面積是的面積的倍．，，．（1）求的大??；（2）若點(diǎn)在直線同側(cè)，，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)，利用給定的面積關(guān)系結(jié)合三角形面積定理，利用二倍角正弦化簡(jiǎn)求解.（2）由（1）求出AC，在中，利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換、正弦函數(shù)性質(zhì)求解作答.【小問1詳解】設(shè)，則，因，，，則，而，，則有，即，又，，因此，，所以.【小問2詳解】由（1）知，，連AC，有，則，而，中，由正弦定理有，，，，又，令，則，，因此，因，則，有，即，，所以的取值范圍為．20.已知?jiǎng)訄A過點(diǎn)并且與圓相外切，動(dòng)圓圓心的軌跡為.（1）求曲線的軌跡方程；（2）過點(diǎn)的直線與軌跡交于、兩點(diǎn)，設(shè)直線，點(diǎn)，直線交于,求證：直線經(jīng)過定點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【詳解】（1）由已知得，即，所以的軌跡為雙曲線的右支，且，，，，∴，曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，，則直線經(jīng)過點(diǎn)；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，不妨設(shè)直線，，，則直線：，當(dāng)時(shí)，，，由得，所以，，下面證明直線經(jīng)過點(diǎn)，即證，即，即，由，，整理得，，即恒成立.即，即經(jīng)過點(diǎn)，故直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了利用定義求圓錐曲線的方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，直線過定點(diǎn)問題，綜合性強(qiáng)，須要很好的思維和計(jì)算實(shí)力，屬于難題.（1）依據(jù)題意，推斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為雙曲線的右支，然后依據(jù)定義即可求得雙曲線的方程.（2）探討當(dāng)直線斜率存在與不存在兩種狀況下直線過定點(diǎn)問題.當(dāng)斜率不存在時(shí)，易得直線過定點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，聯(lián)立曲線方程，消y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)間的關(guān)系；利用，再證明直線BM經(jīng)過.21.在檢測(cè)中為削減檢測(cè)次數(shù)，我們常實(shí)行“合1檢測(cè)法”，即將個(gè)人的樣本合并檢測(cè)，若為陰性，則該小組全部樣本均未感染病毒；若為陽(yáng)性，則改需對(duì)本組的每個(gè)人再做檢測(cè)．現(xiàn)有人，已知其中有2人感染病毒．（1）若，并實(shí)行“10合1檢測(cè)法”，求共檢測(cè)15次的概率；（2）設(shè)實(shí)行“5合1檢測(cè)法”的總檢測(cè)次數(shù)為，實(shí)行“10合1檢測(cè)法”的總檢測(cè)次數(shù)為，若僅考慮總檢測(cè)次數(shù)的期望值，當(dāng)為多少時(shí)，實(shí)行“10合1檢測(cè)法”更相宜？請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，實(shí)行10合1檢測(cè)法更相宜；理由見解析【解析】【分析】（1）平均分為5組，共檢測(cè)15可知2個(gè)感染者分在同一組，計(jì)算所求概率；（2）分類探討感染者分在同一組和分在不同小組，計(jì)算兩種方案總檢測(cè)次數(shù)的期望值，進(jìn)行比較得出結(jié)論.【小問1詳解】現(xiàn)共有50人，由題意先平均分為5組，檢測(cè)5次，因?yàn)楣矙z測(cè)15次，所以兩個(gè)感染者必定分在同一組中，所以共檢測(cè)15次的概率有兩種算法，第一種是分組安排思想，其次種是算一組已經(jīng)有一名感染者的狀況下，選中另一名感染者，即兩種算法結(jié)果為和，結(jié)果均為；所以k＝5，并實(shí)行“10合1檢測(cè)法”，求共檢測(cè)15次的概率為.【小問2詳解】當(dāng)感染者在同一組時(shí)，，，此時(shí)，，當(dāng)感染者不在同一組時(shí)，，，此時(shí)，，所以，，由題意，綜上：時(shí)，實(shí)行10合1檢測(cè)法更相宜．22.已知函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)，（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：.【答案】（1）且；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于有3個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，由于，且，所以可得有兩個(gè)不為0，－1實(shí)根，再對(duì)求導(dǎo)探討其單調(diào)性可得結(jié)果；（2）由（1）可知有一個(gè)零點(diǎn)為