2025版新教材高中數(shù)學第五章三角函數(shù)5.5三角恒等變換5.5.1兩角和與差的正弦余弦和正切公式第1課時兩角差的余弦公式導學案新人教A版必修第一冊

第1課時兩角差的余弦公式【學習目標】(1)了解兩角差的余弦公式的推導過程，知道兩角差的余弦公式的意義．(2)能利用兩角差的余弦公式進行化簡、求值、證明．【問題探究】如圖所示，設單位圓與x軸的正半軸相交于點A(1，0)，以x軸非負半軸為始邊作角α，β，α－β，它們的終邊分別與單位圓相交于點P1、A1、P.請問P1、A1、P點的坐標如何表示？線段AP和A1P1有什么關系？題型1兩角差的余弦公式的簡潔應用例1求下列各式的值：(1)cos75°cos15°－sin75°sin195°；(2)cos7題后師說利用兩角差的余弦公式求值的2個策略跟蹤訓練1(1)cos-πA．6-2C．6-2(2)sin75°cos105°＋sin15°sin105°＝________．題型2給值求值例2(1)已知cosα＝35，α∈(3π2(2)已知cosα＝13，cos(α－β)＝33且0<β<α<一題多變將本例(1)改為：已知cos(α＋π3)＝－35，且α∈(0，題后師說給值求值問題的解題策略跟蹤訓練2已知α，β∈(34π，π)，sin(α＋β)＝－35，sin(β－π4)＝12題型3給值求角例3已知cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α，β∈(0，題后師說給值求角的解題步驟跟蹤訓練3已知α，β均為銳角，且cosα＝255，cosβ＝隨堂練習1.cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)的值為()A．－12B．C．－32D．2．sinα＝35，α∈(π2，π)，則cos(A．－25B．－C．－72103.2cosA．32B．C．3D．14．已知α，β均為銳角，且sinα＝255，sinβ＝課堂小結1.熟記兩角差的余弦公式，既可以正用，又可以逆用．2．“給值求值”問題，關鍵在于“變式”或“變角”，使“目標角”換成“已知角”．3．“給值求角”問題，事實上可轉化為“給值求值”問題．第1課時兩角差的余弦公式問題探究提示：P1(cosα，sinα)、A1(cosβ，sinβ)、P(cos(α－β)，sin(α－β))AP＝A1P1例1解析：(1)cos75°cos15°－sin75°sin195°＝cos75°cos15°＋sin75°sin15°＝cos(75°－15°)＝cos60°＝12(2)原式＝cos＝cos＝cos15°cos跟蹤訓練1解析：(1)cos-π12＝cos(π6-π4)＝cosπ6cosπ4＋sinπ6(2)原式＝cos15°cos105°＋sin15°sin105°＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos90°＝0.答案：(1)D(2)0例2解析：(1)∵cosα＝35，α∈(3π2，2π)，∴sinα∴cos(α－π3)＝cosαcosπ3＋sinαsinπ3＝3(2)因為0<β<α<π2，所以0<α－β<π因為cosα＝13，所以sinα＝1-cos又cos(α－β)＝33，所以sin(α－β)＝1-cos所以cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝13×3一題多變解析：∵cos(α＋π3)＝－35，且α∈(0，∴sin(α＋π3)＝4∵α＝(α＋π3)－π∴cosα＝cos[(α＋π3)－π＝cos(α＋π3)cosπ3＋sin(α＋π＝－35×1跟蹤訓練2解析：因為α，β∈(34π，π)，sin(α＋β)＝－35，sin(β－π4)＝1213，α＋β∈(32π，2π)，β所以cos(α＋β)＝45，cos(β－π4)＝－cos(α＋π4)＝cos[(α＋β)－(β－π4＝cos(α＋β)cos(β－π4)＋sin(α＋β)sin(β－π＝45×-例3解析：∵α，β∈(0，π2)且cosα＝17，cos(α＋β)＝－∴α＋β∈(0，π)，∴sinα＝1-cos2sin(α＋β)＝1-cos2又∵β＝(α＋β)－α，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝-1114×又∵β∈(0，π2)，∴β＝π跟蹤訓練3解析：∵α，β均為銳角，∴sinα＝55，sinβ＝3∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝255×又sinα<sinβ，∴0<α<β<π2，∴－π2<α－β<0，故α－β＝－[隨堂練習]1．解析：由余弦的差角公式得cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝12答案：B2．解析：∵sinα＝35且α∈(π2，π)，∴cosα＝－45，∴cos(π4－α)＝cosπ4cosα＋sinπ答案：B3．解析：2cos20＝cos40°+答案：A4．解析：因為α，β均為銳角，且sinα＝255，sinβ＝所以cos