高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 02 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)教學(xué)案 文

前M余蔚趣

考場傳真

1.【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(湖南卷)文科】已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)

是偶函數(shù)，且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,則g(1)等于()

A.4B.3C.2D.1

【答案】B；

【解析】因?yàn)樨?D+g⑴=2,兩式相加可得g(D=3.

2.[2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(安徽卷文科)】定義在R上的函數(shù)/.(X)滿足

f(x+l)=2f(x).若當(dāng)OKxKl時(shí)./(x)=x(l-x),則當(dāng)-IKxKO時(shí)，

/(x)=?

【答案】/")=一^^I

【解析】當(dāng)一IWXMO,則OWx+lVl,故/(x+l)=(x+l)(l—x—l)=-x(x+l)

又/(x+l)=2/Q),所以y(x)=-硬H

2.

3.[2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(四川卷)文科】設(shè)函數(shù)/(x)=，e'+x-a

(aeR,e為自然對數(shù)的底數(shù)).若存在be[0,1]使/(/S))=b成立，則”的取值范圍是

()

(A)[l,e](B)[1,1+f](C)[e,\+e](D)[0,1]

【答案】A.

【解析】：/(x)=G"-a在定義域上單調(diào)遞噌，二三3e[0,1],使得/C/。))=8成

立=m3?[0,1],使得/。)=8,即等價(jià)于方程〃x)=x在[0,1]有解，于是

a=e*+x-x2在[0,1]有解，所以a的取值范圍就是函數(shù)g(x)=e*+x-x2,xe[0,l]的

值域，?.?以乃=/+1-23在[0,1]恒為正，，函數(shù)8。)在[0」]上單調(diào)遞噌，所以

g(x)e[l,e],故a的取值范圍是選A

4.【2013年全國高考統(tǒng)一考試天津數(shù)學(xué)(文)卷】設(shè)函數(shù)〃x)=d+x-2,g(x)=lnx+Y-3.

若實(shí)數(shù)a,6滿足/(a)=0,g3)=0,則()

(A)g(a)<O<f(b)(B)f(b)<O<g(a)

(C)0<g(a)</S)(D)/?<g(a)<0

【答案】A

【解析】由題意知，實(shí)數(shù)a是函數(shù)了(x)的零點(diǎn),即為函數(shù)y=/的圖彖與直線1y=-x+2的

交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；實(shí)數(shù)5是函數(shù)g(x)的零點(diǎn)，即為函數(shù)丁=lnx的圖冢與拋物線丁=-犬+3

的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；畫出圖冢不難得出0<a<1,b>\,而/(1)=e-l>0,所以/9)>0,

g(a)=lna+a2-3<0,故選A.(

5.【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(湖南卷)文科】函數(shù)/(x)=lnx的圖像與函數(shù)

g(x)=d-4x+4的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】在同一直角坐標(biāo)系中分別作出兩個(gè)函數(shù)的圖像，可知有兩個(gè)交點(diǎn).

6.【2013年高考新課標(biāo)H數(shù)學(xué)(文)卷】若存在正數(shù)x使2”(x-a)<1成立，則a的取值

范圍是()

(A)(-8,+CO)(B)(-2,+8)(C)(0,+8)(D)(-1,+8)

【答案】D

【解析】由題意知，存在正數(shù)x，使所以4>0-2%加，而函數(shù)y=x-，

在(0,+8)上是噌函數(shù)，所以y>1y(0)=-1,所以白>-1,故選D.

7.【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(廣東卷)文科】若曲線y=ox2—]nx在點(diǎn)(1,a)

處的切線平行于x軸，則。=

【答案嗎

【解析】依題意/=2ax--，久』=2a-1=0,：.a=-

x2

8.[2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(安徽卷文科)】已知函數(shù)

f(x)-x3+ax2+Zzx+c有兩個(gè)極值點(diǎn)，若/(與)=%i<x:，則關(guān)于x的方程

3(/8]升可斜)任的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為

(A)3(B)4

(05(D)6

【答案】A

【解析】尸(x)=3x?+2ax+b，是方程3x?+2ax+b=0的兩根，

由3(/(x))2+2q/W+6=0,則又兩個(gè)〃x)使密等式成立，X1=由砧，々>再=/(々)'

其函數(shù)圖象如下：

二.高考研究

【考綱要求】

1.函數(shù)

(1)了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念.

(2)在實(shí)際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖像法、列表法、解析法)

表示函數(shù).

(3)了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用(函數(shù)分段不超過三段).

(4)理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值及其幾何意義；了解函數(shù)奇偶性的含義.

(5)會運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖像分析函數(shù)的性質(zhì).

2.指數(shù)函數(shù)

(1)了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景.

(2)理解有理指數(shù)基的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)基的意義，掌握累的運(yùn)算.

(3)理解指數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖像通過的特殊點(diǎn)，會畫底數(shù)為2,

3,10,1/2,1/3的指數(shù)函數(shù)的圖像.

(4)體會指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.

3.對數(shù)函數(shù)

(1)理解對數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù);

了解對數(shù)在簡化運(yùn)算中的作用.

(2)理解對數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握對數(shù)函數(shù)圖像通過的特殊點(diǎn)，會畫底數(shù)為2,10,

1/2的對數(shù)函數(shù)的圖像.

(3)體會對數(shù)函數(shù)是?類重要的函數(shù)模型；

(4)了解指數(shù)函數(shù)丁=/與對數(shù)函數(shù)『=l0g.x(互為反函數(shù).

4.累函數(shù)

(1)了解基函數(shù)的概念.

y=x,y=x2,y=x3,y=-1,y=/4

(2)結(jié)合函數(shù)x的圖像，了解它們的變化情況.

5.函數(shù)與方程

結(jié)合二次函數(shù)的圖像，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根

的個(gè)數(shù).

6.函數(shù)模型及其應(yīng)用

(1)了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、累函數(shù)的增長特征，結(jié)合具體實(shí)例體會直線上升、指數(shù)

增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義.

(2)了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、塞函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的

函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用.

7.導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

(1)導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義

①了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背最

②理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

(2)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

①能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y=C(C為常數(shù))，y=x,y=x2,y=上的導(dǎo)數(shù)。

X

②能利用下面給出的基本初等函效的導(dǎo)數(shù)公式和異數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

常見基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：

(C)=0(C為常數(shù))；(x〃)'=nx'i,neN.

(sinx)=cosx;(cosx)=-sinx;

(ev)=ex;(av)=axIna(a>0,且aW1);

.1,1

(Inx)=—；(log”x)二一log”e(a>0,且aWl)

xx

.常用的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則：

法則1：[u(x)±v(x)]'=〃'(X)±3(X)

法則2：[u(x)v(x)J=u(x)v(x)+u(x)V(x)

法則三提：=但法詈㈣(出)WO)

(3):導(dǎo)數(shù)在研究函致中的應(yīng)用

①了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其

中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次).

②了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件;會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中

多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次)；會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不

超過三次)。

(4)生活中的優(yōu)化問題

會利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題

【命題規(guī)律】

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的知識主干，是高考考察數(shù)學(xué)思想、方法、能力和素質(zhì)的主陣地，

而且函數(shù)的觀點(diǎn)及其思想方法貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的有力工具，

高考對函數(shù)的考察更多的是與導(dǎo)數(shù)的結(jié)合，發(fā)揮導(dǎo)數(shù)的工具性作用，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性

質(zhì)、證明不等式等，體現(xiàn)出高考的綜合熱點(diǎn).

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)在高考試卷中形式新穎且呈現(xiàn)出多樣性，既有選擇、填空又有解答題，而且不同

難易程度的題目都有，低檔難度題一般只涉及函數(shù)本身內(nèi)容，中、高檔難度的題多為綜合程

度較高的題，或者與其他知識的結(jié)合，或者是多種思想方法的滲透，近年來高考強(qiáng)化了函數(shù)

與其他知識(函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列等)的滲透，加大了以函數(shù)為載體的多方法、多能

力的綜合程度，解決該類問題要注意函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論思想的應(yīng)用.

--基礎(chǔ)知識整合

1.函數(shù)的奇偶性:

(D定義：一般地，如果對于函數(shù)/(X)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有/(-x)=/(x),那么

函數(shù)/(X)叫做偶函數(shù)；如果都有/(-乃=二/@),那么函數(shù)/(X)叫做奇函數(shù)，函數(shù)具有奇

偶性，則定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.

?

(2)圖象特征：函數(shù)/(%)是偶函數(shù)U圖像關(guān)于y軸對稱；函數(shù)/(x)是奇函數(shù)U圖

像關(guān)于原點(diǎn)對稱.

(3)奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相同，且如果在x=()處有定

義，有/(0)=0,即其圖像過原點(diǎn)(0,0)偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)區(qū)間

上的單調(diào)性相反，且/(—x)=/(x)=/(國)，這樣就可以把研究整個(gè)函數(shù)具有的性質(zhì)問題轉(zhuǎn)

化到只研究部分(一半)區(qū)間上，是簡化問題的途徑，切記！

2.函數(shù)的單調(diào)性判斷方法：

(1)定義法：對于定義域內(nèi)某一個(gè)區(qū)間D內(nèi)任意的%,%，且％<赴，若/(司)</(々)

Uf(x)在D上單調(diào)遞增；若f(x)在D上單調(diào)遞減.

(2)導(dǎo)數(shù)法：若函數(shù)在某個(gè)區(qū)間D可導(dǎo)，如果f(x)>0,那么函數(shù)f(x)在區(qū)間D內(nèi)單調(diào)遞

增；如果f'(x)<0,那么函數(shù)f(x)在區(qū)間D內(nèi)單調(diào)遞減.

(3)圖像法：先作出函數(shù)的圖像，再根據(jù)圖像的上升或下降，從而確定單調(diào)區(qū)間.

(4)/(x)=/(x)+g(x),若f(x),g(x)都是增函數(shù)，則/(x)在其公共定義域內(nèi)是增函

數(shù)；若/(x),g(x)都是減函數(shù)，則尸(x)在其公共定義域內(nèi)是減函數(shù).

尸(x)=/(x)_g(x),若/(x)是增函數(shù)，g(x)是減函數(shù)，則b(x)在其公共定義域內(nèi)是增函

數(shù)；若/(x)是減函數(shù)，g(x)是增函數(shù)，則尸(x)在其公共定義域內(nèi)是減函數(shù).

同時(shí)要充分利用函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的周期性、函數(shù)圖象的直觀性分析轉(zhuǎn)化，函數(shù)的單調(diào)性

往往與不等式的解、方程的解等問題交匯，要注意這些知識的綜合運(yùn)用.

3.函數(shù)的圖像：

(1)描點(diǎn)法作函數(shù)圖象，應(yīng)注意在定義域內(nèi)依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，選取關(guān)鍵的一部分點(diǎn)連接

而成.

(2)圖象變換法，包括有平移變換、伸縮變換、對稱翻折變換.

/(?V)分0響左平移的■單位)>/(.￥+67)

4<0(向右平移k忙單位)

/(-V)上>0?］上平移k個(gè)單位)>/(.￥)+/<

尢<0(向下平移卜憐單位)

,@>1(圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不會，描坐凝短為原來的上)八

/(X)-----------------'--------------?—>/(6lZX)(6l)>0,W=1)

(圖像上所有點(diǎn)碰坐標(biāo)不會，橫坐標(biāo)f悵為原來的與

03

上通處所有點(diǎn)的崔巳柝不會,縱他標(biāo)仲長為原來的M_

/(X)》

像上所有啟的摟電標(biāo)不會,袁坐林縮所為原來的A：Af(x)(2>0,Zh1)

/(IN)的圖像的畫法：先畫X20時(shí)y=/(x),再將其關(guān)于y對稱，得y軸左側(cè)的圖像.

，(x)|的圖像畫法：先畫y=/(x)的圖象，然后位于x軸上方的圖象不變，位于無軸下方的

圖象關(guān)于x軸翻折上去.

f(a+x)^f(a-x)D>=/(%)的圖象關(guān)于x=對稱；

/(-M)*-(Py=/(x)的圖象關(guān)于(a,0)點(diǎn)對稱.

y=/(x)的圖象關(guān)于x軸對稱的函數(shù)圖象解析式為y=-/(x)；關(guān)于>軸對稱的函數(shù)解析式

為y=/(-x)；關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)解析式為y=-/(“).

(3)熟記基本初等函數(shù)的圖象，以及形如y=x+工的圖象

4.周期性：

(1)定義：對于函數(shù)y=/(x),如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T,使得當(dāng)了取定義域內(nèi)的每一

個(gè)值時(shí)，/(x+T)=/(x)都成立，那么就把函數(shù)y=/(x)叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù)T叫

做這個(gè)函數(shù)的周期.

(2)若f(x+a)=-f(x)(aw0),則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，且T=2a；若f(x+a)=:L，

f(x)

1

則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，且T=2a；若f(x+a)=-則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，且T=2a

f(x)

(3)函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性，知二斷一.

例：f(x)是奇函數(shù)，且最小正周期是函則f(x+2)=f(x)=-f(-x),所以f(x)關(guān)于(1,0)

對稱.

f(x)是偶函數(shù),且圖象關(guān)于x=l對稱，則f(2+x)=f(-x)=f(x),所以f(x)周期是2.

5.指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、基函數(shù)的性質(zhì):

對數(shù)近顏『=10刎。>。，

指數(shù)甌顏?zhàn)?)

函數(shù)aWl)

0<df<la>l0<a<la>\

44A

圖家

敬域R(0,+8)

點(diǎn)(0,1)(1.0)

在R上單調(diào)在R上單調(diào)在(0,+00)在(0,+8)

單調(diào)性

遞增上單調(diào)遞減上單調(diào)遞增

基函數(shù)y=圖象永遠(yuǎn)過(1,1),且當(dāng)a>0時(shí)，在xe(0,+oo)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)a<0時(shí)，

在xe(0,+oo)時(shí)，單調(diào)遞減.

6.函數(shù)與方程

(1)方程/(x)=0有實(shí)根U函數(shù)y=/*)的圖象與x軸有交點(diǎn)U函數(shù)y=/(x)有零

點(diǎn).

(2)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［。,切上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有

/3>/(份<0那么，函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a向內(nèi)有零點(diǎn)，即存在cc(a,b),使得f(c)

=0,這個(gè)c也就是方程f(x)=0的根

(3)若函數(shù)1y=/(x)在區(qū)間(a,8)上有y(a)._/(8)>0,若能找到一個(gè)自變量cC(a,b)>

且<0^/(c)/(Z>)<0.則函數(shù)1y=_/(x)在區(qū)間(a,5)上有零點(diǎn).

(4)函數(shù)v=/(x)的零點(diǎn)就是_/。)=0的根，所以可通過解方程得零點(diǎn)，或者通過變形轉(zhuǎn)

化為兩個(gè)熟悉函數(shù)圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo).

(5)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)y=/(x)的圖象與％軸有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以往往利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合極

值和單調(diào)性畫出函數(shù)大致圖像，并結(jié)合零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間.

7.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

(1)函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)事處的導(dǎo)數(shù)就是曲線y=/(x)在點(diǎn)P(Xo，/(x。))處的切線的斜率，

則左=f(x°)

(2)函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)尸(玉)J(x。))處的切線方程為y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).

(3)在關(guān)于函數(shù)圖象的切線問題中，如果涉及確定參數(shù)值的問題，首先設(shè)切點(diǎn)，然后注意

三個(gè)條件的使用，其一切點(diǎn)在切線上，其二切點(diǎn)在曲線上，其三切線斜率Z=/(Xo)?

8.導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系

(1)若函數(shù)在某個(gè)區(qū)間D可導(dǎo)，f'(x)>0Df(x)在區(qū)間D內(nèi)單調(diào)遞增；f'(x)<ODf(x)

在區(qū)間D內(nèi)單調(diào)遞減.

(2)若函數(shù)在某個(gè)區(qū)間D可導(dǎo)，f(x)在區(qū)間D內(nèi)單調(diào)遞增D/(x)>0；f(x)在區(qū)間D內(nèi)

單調(diào)遞減D/(x)<0.

(3)若求單調(diào)區(qū)間，只需在函數(shù)y=/(x)的定義域內(nèi)解不等式f(x)>0或f(x)<0,或者

可以畫導(dǎo)函數(shù)/'(X)的圖像，通過判斷了(x)的符號確定單調(diào)區(qū)間(尤其對于含參數(shù)的函數(shù)

單調(diào)性問題可以簡化解題過程).

(4)若已知單調(diào)性確定參數(shù)的范圍，一種方法是結(jié)合基本函數(shù)圖像或熟悉的函數(shù)的圖象求

解；另一種方法是轉(zhuǎn)化為了(幻20或/'(幻〈0恒成立.

9.導(dǎo)數(shù)和函數(shù)極值、最值的關(guān)系

(1)求極值的步驟：

①先求/'(幻=0的根不(定義域內(nèi)的或者定義域端點(diǎn)的根舍去)；

②分析/兩側(cè)導(dǎo)數(shù)/(尤)的符號：若左側(cè)導(dǎo)數(shù)負(fù)右側(cè)導(dǎo)數(shù)正，則%為極小值點(diǎn)；若左

側(cè)導(dǎo)數(shù)正右側(cè)導(dǎo)數(shù)負(fù)，則小為極大值點(diǎn).

(2)對于可導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)數(shù)為。是點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要而不充分條件.

(3)設(shè)函數(shù)y=/(x)在［(2,句上連續(xù)，在(a,3)內(nèi)可導(dǎo)，則丁=_/(x)在［a,句上必有最大值和最

小值且在極值點(diǎn)或端點(diǎn)取得，所以只需比較極值點(diǎn)和端點(diǎn)函數(shù)值即得到函數(shù)的最值

(4)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值是統(tǒng)一的，極值是函數(shù)的拐點(diǎn)，也是單調(diào)區(qū)間的劃分點(diǎn),

而求函數(shù)的最值是在求極值的基礎(chǔ)上，通過判斷函數(shù)的大致圖像，從而得到最值，大前提是要

考慮函數(shù)的定義域.

二.高頻考點(diǎn)突破

考點(diǎn)1函數(shù)及其表示

【例1】【內(nèi)蒙古赤峰市全市優(yōu)質(zhì)高中2014屆高三摸底考試(文)】已知函數(shù)

〃、log2(l-%)+l,x<l

/(幻=〈_2，右/(。)=3，則“=___________?

X,X>1

【分析】知道函數(shù)值求自變量，需確定分段函數(shù)的解析式，故分段討論.

【解析】令log?(l)+1=3,得a=一3,令以"=3,得以(舍去)，所以《=-3.

[例2][2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(廣東卷)文科】函數(shù)八為二lg("+D的

x-1

定義域是()

A.(—1,+8)B.[—1,4-oo)C.(—1,1)(1,4-00)D.[—1,1)(1,+oo)

【分析】求使得函數(shù)每部分都有意義的自變壁的取值范圍.

【解析座使函數(shù)有意義，則｛；【；；)〉聞"函數(shù)的定義域?yàn)?TDUQ3

【例3】【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(福建卷)文科】

2X3,X<0,/ZX\

已知函數(shù)仆)="羽0"二財(cái)"卜------------.

I2

【分析】知道自變量求函數(shù)值，需考慮代入分段函數(shù)的哪個(gè)解析式.

[解析]/(^)=-tan^=-l,/(-l)=2EX-l)3=-2

【規(guī)律方法】1、若已知解析式求函數(shù)定義域，只需列出使解析式有意義的不等式(組)

即可.

2、對于復(fù)合函數(shù)求定義域問題，若已知/(x)的定義域句，則復(fù)合函數(shù)/(g(x))的定

義域由不等式a?g(x)<人得到.

3、對于分段函數(shù)知道自變量求函數(shù)值或者知道函數(shù)值求自變量的問題，應(yīng)依據(jù)已知條件

準(zhǔn)確找出利用哪一段求解.

【舉一反三X浙江省紹興市第一中學(xué)2014屆高三上學(xué)期回頭考】已知/*)=1,2*”>0，

"(x+1),x<0.

則/(-§的值等于

4

t答案】

3

【解析】由題意知/=2x-=-

33

考

點(diǎn)2函數(shù)的圖象

3\(%<1),

【例1】【山西省山大附中2014屆高三9月月考數(shù)學(xué)文】已知函數(shù)f(x)=]0g%(x>l),則

,3

y=f(l-X)的大致圖象是()

【分析】先求的解析式，再考慮其圖象，或者直接根據(jù)丁=/(X)的圖象和

了=7(1-X)的關(guān)系得到，在分析過程里，尤其要注意函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用.

(3,(x<l),

【解析】因?yàn)椋?(X)=jlogjx(X>1)，所以，

付，(r>0),&)T,(r>0),

"/(一)加OF6<叫。%g],=0)故選c?

[例2][2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(山東卷)】函數(shù)y=xcosx+sinx的圖象

大致為

【分析】識圖時(shí)應(yīng)從函數(shù)性質(zhì)方面(定義域、值城、單調(diào)性、奇偶性、周期性)，函數(shù)的極

直或者特殊點(diǎn)考慮.

1解析】函數(shù)y=xcosx+sinx在x=7F時(shí)為負(fù)，排除A：由奇函數(shù)的性質(zhì)可排除3,再比

交CQ,不難發(fā)現(xiàn)在x取接近于0的正值時(shí)y>0,排除C.

【例3】【浙江省溫州市十校聯(lián)合體2014屆高三10月測試數(shù)學(xué)試題(文科)】方程

(%—2?一女=0W三個(gè)不相等的實(shí)根，則k的取值范圍是()

A.(—L。)B.(。/)C.(—l,4~oo)D.(—8,1)

【分析】轉(zhuǎn)化為研究y=（X-2）|x|和y=發(fā)有三個(gè)不同交點(diǎn)問題.

【解析】/（x）=X~2x，z~0，g（x）=h在直角坐標(biāo)系內(nèi)做圖象

"+2x,x<0

【規(guī)律方法】1.正確的作圖必須做到：①熟練掌握常見的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、

指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、黑函數(shù)及形如y=ax+2（a>0/>0）的函數(shù)圖象；②掌握圖象變換的

x

方法來簡化作圖過程.

2.正確的識圖是解題的關(guān)鍵，在觀察和分析圖象時(shí)，要注意圖象的分布和變化趨勢，要結(jié)合

函數(shù)的性質(zhì)，或者特殊點(diǎn)，以及函數(shù)值的正負(fù)來判斷.

【舉一反三】

【廣東省廣州市執(zhí)信、廣雅、六中2014屆高三10月三校聯(lián)考（文）】函數(shù)y=巴士的圖像大

【分析】識圖時(shí)應(yīng)從函數(shù)性質(zhì)方面（定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性），函數(shù)的極

值或者特殊點(diǎn)考慮.

【解析】函數(shù)1y=比定義域?yàn)椋?,地），令y=0,得x=l,所以函數(shù)歹=叱只有一個(gè)零

XX

點(diǎn).當(dāng)0<x<l時(shí)，lnx<0,所以當(dāng)五>1時(shí)，Inx>0,所以y=^^>0.

xx

結(jié)合圖中四個(gè)選項(xiàng)，可知選A.

考點(diǎn)3函數(shù)的性質(zhì)

[例1]【安徽省示范高中2014屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)(文)】已知函數(shù)

—%—3a,x<0

f(x)=\,(?！?且是R上的減函數(shù)，則。的取值范圍是()

ax-2,x>0

21

A.(o,y]B.(0,-1C.(0,1)D.(0,2]

【分析】只需函數(shù)在(-00,0)和[0,也)分別遞激，并且比較每段在X=0時(shí)函數(shù)值的大小.

0<a<11

【解析】由/(x)是(-8,也)上的減函數(shù)，可得，化簡得03

./(0)=a-2，-343

【例2】【廣東省廣州市海珠區(qū)2014屆高三入學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)文】已知函數(shù)/(x)是定義在

(-oo,+o。)上的奇函數(shù)，若對于任意的實(shí)數(shù)xNO,都有/(x+2)=/(x),且當(dāng)xe[0,2)時(shí)，

/(x)=log2(x+l),則/(一201D+/(201?的值為()

A.-1B.-2C.2D.1

【答案】由已知得函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，然后利用周期性將自變量變回[0,21內(nèi)，代

入解析式中求值.

【解析】由已知/(x)為我上奇函數(shù)且周期為二對于任意的實(shí)數(shù)x20,都有

〃x+2)=/(x),

/(-2011)+/(2012)=-/(2011)+/(2012)=-/(2xlOOi+l)+/(2xl006+0)=-f(1)+/(0)

=-log?2+log21=—1.

【例3】【江西省2014屆高三新課程適應(yīng)性考試文科數(shù)學(xué)】函數(shù)/(X)的定義域?yàn)?/p>

{xe?1],對定義域中任意的X,都有/(2-x)=f(x),且當(dāng)x<l時(shí)，f(x)-2x2-x,

那么當(dāng)x>l時(shí)，/(x)的遞減區(qū)間是()

5577

A.匕,+8)B.(1,-JC.[-,+?))D.(1,-)

4444

【分析】根據(jù)圖像關(guān)于X=1對稱，故在關(guān)于直線對稱的區(qū)間內(nèi)單調(diào)性相反，故只需求X<1

時(shí)的遞減區(qū)間即可.

【解析】由y（2-x）=/（x）,得函數(shù)圖像關(guān)于直線x=l對稱，當(dāng)X<1時(shí)，遞減區(qū)間是

（-00.1],由對稱性得，選C.

4

【規(guī)律方法】重視對函數(shù)概念和基本性質(zhì)的理解，包括定義域、值域（最值）、對應(yīng)法則、對

稱性（包括奇偶性）、單調(diào)性、周期性、圖像變換、基本初等函數(shù)（載體），研究函數(shù)的性質(zhì)

要注意分析函數(shù)解析式的特征，同時(shí)要注意圖象（形）的作用，善于從形的角度研究函數(shù)的

性質(zhì).

【舉一反三】

1

—X+X<一,

【吉林市普通中學(xué)2013—2014學(xué)年度高中畢業(yè)班摸底測試文】設(shè)函數(shù)/（x）=<

log2x,x>-

的最小值為-1,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.[—g,+0°）B.（―g,+8）C.（一°0,-g）D.[—l,+oo）

【分析】分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，逐段研究其最小值，再取其中的最小值.

【解析】由題意，當(dāng)xN；時(shí)，函數(shù)」（x）有最小值為了（卞=log2（g）=T，則當(dāng)時(shí)；

f（―）----Fa之一1,即—.

222考

點(diǎn)4指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、基函數(shù)

【例1】.【廣東省廣州市海珠區(qū)2014屆高三入學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)文】

a=log0_22,b=bgo.23,c=2°2,d=0.22,則這四個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是（）

A.a<b<c<dB.d<c<a<bC.b<a<c<dD.b<a<d<c

【分析】指數(shù)值和對數(shù)值比較大小，盡可能地出現(xiàn)同底，以便利用單調(diào)性比較大小，如果底

數(shù)不同，可考慮找中間數(shù).

【解析】?;,=log,1>是（0,+8）上的減函數(shù)，[5<a<0，又

c=2°3>2°=1,0<d=0.22<1,b<a<d<c.

[例2][2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（浙江卷）文科】己知函數(shù)

f(x)=ax2+bx+c,若/(0)=/(4)>/(I),則()

A^a>0,4〃+b=0B、。<0,4。+6=0

C、。>0,2。+人=0D、a<0,2a^b=0

【分析】由〃0)HF(4)知，對稱軸為x=2,得關(guān)系式，又根據(jù)/(4)>/(1)及與對稱

軸距福的遠(yuǎn)近，可判斷開口向上

【解析】此題利用二次量嫡像即可求解，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

如圖3所示由/(o)=/(4)知，函數(shù)的對稱軸是工=__L=2-b+4a=01由

2a

/(0)>fQ)知函數(shù)在對稱軸的左邊通遍，所以開口向上.所以選A.

|log3x|,0<x<3

/W=il210

-x-----x+8,x23

【例3】【江蘇省南京市2014屆高三9月學(xué)情調(diào)研】已知函數(shù)133

若存在實(shí)數(shù)a、b、c、d,滿足/'(a)=/伍)"(c)=/("),其中d>c>b>a>0,

則abed的取值范圍是.

【分析】在坐標(biāo)系中作出1y=/(x)的圖象，從圖中找到a,瓦c,d的關(guān)系，進(jìn)而求aBed的取

值范圍.

t解析】如下圖所示，由圖形易知0<a<l,1<3<3,則/⑷=|log3al=Tog30，

/徹=|1%3可

=log3b,,//1(2?=/16i.-log3a=log3Z>,：,ab=\,令g，-￡x+8=0,即

x2-10x4-24=0,

知，3<c<59

d>5,點(diǎn)icJic?和點(diǎn)?dJid”均在二次函數(shù)y=；+8的圖象上，故有

c+d.

------=□,

d=10-c,由于/I3I=；X3‘-￡X3+8=1,當(dāng)1VxV3時(shí),/ixi=|log3x|=log3x>

0<log3x<19vl<Z><3>0</(6)<Lv/(A)=f(c)90</1ci<1,由于

函數(shù)/ixi在13,5i上單調(diào)遞誠，且，I3I=1,/I4I=0,3<c<4,

..abed=Ixcd=cd10-ci=-c+10c

二一i匕一5/+25,u:3<c<4..21<-ic-5i24-25<24,BP21<abcd<24.

【規(guī)律方法】1、對數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x>0},指數(shù)函數(shù)的值域{y|y〉O}.

2、熟練掌握指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及指對互化；熟練掌握指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性

質(zhì)，當(dāng)?shù)讛?shù)的范圍不確定時(shí)要分類討論.

3.注意利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)的圖像靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題.

【舉一反三】

【寧夏銀川一中2014屆高三年級第一次月考文科】函數(shù)/(x)=4,的圖象與

x-4x+3,尤〉1

函數(shù)g(x)=In(x-1)的圖象的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是個(gè)

【答案】2.

2x-2,x<1

【解析】做出函數(shù)冊xi+3,m和山)5E的圖象如圖,顯然有2個(gè)

公共點(diǎn).以

考

點(diǎn)5函數(shù)的零點(diǎn)

【例1】【江西省2014屆高三新課程適應(yīng)性考試文科數(shù)學(xué)】已知函數(shù),=/(X)是周期為2的

周期函數(shù)，且當(dāng)xe[—1,1]時(shí)，,f(x)=2因一1,則函數(shù)/(x)=/(x)-|lgx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是

()

A.9B.10C.11D.12

【分析】利用周期性畫出y=/(x)的圖象，觀察其與y=|lg圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可.

【解析】尸(X)=/(x)-|lgx|的庫點(diǎn)個(gè)數(shù)即函數(shù)1y=_/(x)與函數(shù)1y=|lgx|圖像交點(diǎn)的個(gè)

數(shù).

2

【例2】【湖北省重點(diǎn)中學(xué)2014屆高三10月階段性統(tǒng)一考試(文)】函數(shù)/(x)=2、-'”的

一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【分析】考慮到函數(shù)7=/(x)在區(qū)間11,2.述噌，則/①<0且/(2)>0,列不等式求a的

取值范圍.

【解析】由于—函數(shù)/x=2*-W2-口在il,2i上單—調(diào)遞增，且函數(shù)人力=2"-￡2—a的一

xx

個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間11,21內(nèi)，則有1yli?=-a<0且/121=3—a>0,解得0<a<3.

【例3】【吉林省臼山市第一中學(xué)2014屆高三8月摸底考試文】已知定義在公上的偶函數(shù)f(x)

滿足：VxG"恒有/,(A+2)=ra)-/'(l).且當(dāng)xG[2,3]時(shí)，/'(X)=-2(X—3)2.若函數(shù)尸/U)

一log”(廣1)在(0,+8)上至少有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(0,空)B.(0,坐)C.(1,V2)D.(1,百)

【分析】由已知判斷函數(shù)丁=/(x)是周期為二的周期函數(shù)，再結(jié)合對稱性畫出y=/(x)函

數(shù)圖象，并畫出y=logjx+h的圖象，觀察兩個(gè)函數(shù)圖象，求其有至少三個(gè)不同交點(diǎn)時(shí)a

的取值范圍.

【解析】令L3,則見1曰-3)：月1)：因?yàn)?(X)是偶函數(shù)，所以F⑴=0,即貝x-2)啖0,

故函數(shù).心)是以2為周期的周期性函數(shù)，做出函數(shù).f(x)的圖象，如圖12題所示，要使

_f0<￡?<1

尸Rx)-10gl(x-1)在(0,-x)上至少有二個(gè)零點(diǎn)，則<?解得Ose——.

[log/2+l)>-23

【規(guī)律方法】1、確定函數(shù)/(幻的零點(diǎn)所在的區(qū)間：第一種方法是解方程/(x)=0的根：第

二種方法是如果方程容易解出，可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)橫坐標(biāo)問題，通過檢驗(yàn)交點(diǎn)左側(cè)和右

側(cè)函數(shù)值的大小關(guān)系，進(jìn)而得出兩點(diǎn)所在的區(qū)間；第三種方法是利用零點(diǎn)存在定理.

2.確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可結(jié)合

導(dǎo)數(shù)知識確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象.

3、方程的有解問題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處

理.

【舉一反三】

【江蘇省揚(yáng)州中學(xué)2013—2014學(xué)年高三開學(xué)檢測】設(shè)函數(shù)/(x)=《一\函數(shù)

log2x(x>0)

y=的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

【答案】2

XX<1

【解析】/[/?]=<一，令A(yù),得x=l或x=4故函數(shù)

log2(log2x)X>1/[/?]=1

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè).

J=/[/(x)]-l

考點(diǎn)6函數(shù)模型及其應(yīng)用

【例1】【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(上海卷)文】

甲廠以X千米/小時(shí)的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求14x410),每小時(shí)可獲得的利

潤是100(5%+1-』)元.

X

13

(1)求證：生產(chǎn)。千克該產(chǎn)品所獲得的利潤為1004(5+——7);

(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，問：甲廠應(yīng)該如何選取何種生產(chǎn)速度？并求

此最大利潤.

【解析】(1)根據(jù)題意，200(5X+1-3)A3000=5X-14-3N0

XX

Xl<x<10,可解得3XxX10

(2)設(shè)利潤為yjt，SliJ=—100(5x+1--)=9x104[-3(---)2+—]

xxx612

故x=6時(shí)，為耽=457500元.

[例2]【成都外國語學(xué)校2014級高三開學(xué)檢測試卷】提高過江大橋的車輛通行能力可改善整

個(gè)城市的交通狀況.在一般情況下，大橋上的車流速度U(單位：千米/小時(shí))是車流密度X(單

位：輛/千米)的函數(shù).當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0

千米/小時(shí)；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/小時(shí).研究表明：當(dāng)

204xW200時(shí)，車流速度u是車流密度尤的一次函數(shù).

(I)當(dāng)0WXW200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式；

(II)當(dāng)車流密度尤為多大時(shí)，車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/

小時(shí)）/（X）=X"（X）可以達(dá)到最大，并求出最大值.（精確到1輛/小時(shí)）

【解析】（I）由題意：當(dāng)0WxS20時(shí)，v'xi=60；當(dāng)20VxW200時(shí)，設(shè)丫次|=ax+S,

1

a=——

200a+8=0./e_cM，故函數(shù)

顯然”xi=ax+3在［20,200］是減函數(shù)，由已知得<>解得<

20a+3=60,200

b=---

3

60,(0<x<20)

Mx?的表達(dá)式為*Xi=<；?200-x?(20<x<200.)

60x(0<x<20)

（H）依題意并由3）可得人*1=<1，當(dāng)04x420時(shí)，力￡

^xi200-xi(20<x<200.)

為增函數(shù)，故當(dāng)x=20時(shí)，其最大值為60x20=1200；當(dāng)20WxV200時(shí),

/?：xi=lxi200-xi<-［-+'200"x'1=12222,當(dāng)且僅當(dāng)X=2OO-X,即x=100時(shí),

3312」3

等號成立.所以，當(dāng)x=100時(shí)，人力在區(qū)間［20,200］上取得最大值絲號.

綜上，當(dāng)“=100時(shí)，/獷在區(qū)間［0,200］上取得最大值用四合3333,

即當(dāng)車流密度為100輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3333輛/小時(shí).

【規(guī)律方法】解與函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題一般程序?yàn)椋簩忣}D建模D求解D反饋,

審題就是理解題意，明確問題的實(shí)際背景，然后進(jìn)行科學(xué)地抽象概括，將實(shí)際問題歸納為相

應(yīng)的數(shù)學(xué)問題；關(guān)鍵一步是設(shè)定變量，尋找其內(nèi)在的等量關(guān)系或者不等關(guān)系，然后準(zhǔn)確建立

相關(guān)的函數(shù)解析式（標(biāo)明定義域），再應(yīng)用函數(shù)、方程、不等式和導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識加以綜合解

決.

【舉一反三】

【寧夏銀川一中2014屆高三年級第一次月考文科】有兩個(gè)投資項(xiàng)目A、B,根據(jù)市場調(diào)查與

預(yù)測，4項(xiàng)目的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖甲，8項(xiàng)目的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比,

其關(guān)系如圖乙.（注：利潤與投資單位：萬元）

(1)分別將4、8兩個(gè)投資項(xiàng)目的利潤表示為投資*(萬元)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)現(xiàn)將x(04x<10)萬元投資4項(xiàng)目，10-x萬元投資8項(xiàng)目.力(x)表示投資4項(xiàng)目所得利

潤與投資8項(xiàng)目所得利潤之和.求A(x)的最大值,并指出x為何值時(shí)，力(x)取得最大值.

【解析】(1)投資為x萬元，A項(xiàng)目的利潤為y(x)萬元，3項(xiàng)目的利潤為g(x)萬元.

由題設(shè)/0)=幻r,g(x)=k2Jx,由圖知/(I)=1故&=)

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又g(4)=g所以治=1"

從而/(x)=1x(xA0),g(x)=-74(x>0)

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(2)/(x)=/(x)+g(10-x)=lx+-V10-x(0<x<10)