高中數(shù)學(xué)必修二第六章第2節(jié)《平面向量的運(yùn)算》解答題 15(含答案解析)

必修二第六章第2節(jié)《平面向量的運(yùn)算》解答題(15)

一、解答題(本大題共30小題，共360.0分)

1.己知力(2,0),B(0,4),C(cosa,sina),。為坐標(biāo)原點(diǎn).

(I)^rOC//AB>求tana的值；

(n)^|OA+OC|=V3.且ae(0,7r),求麗.瓦.

2.如下圖，在團(tuán)OAB中，P為邊A8上的一點(diǎn)，BP=2PA.|OA|=6，|而|=2，且血與麗的夾

角為60。.

(1)設(shè)麗=xUX+y而，求x,y的值;

(2)求麗.靠的值.

3.已知向量五=(cosx,sinx),b=(2cos-2sin彳)，且％6腎5)，求：

⑴一.泰喉一司的取值范圍;

(2)函數(shù)/(*)=五%—忖一川的最小值.

4.在平行四邊形OABC中，過(guò)點(diǎn)C的直線與線段OA、OB分別相交于點(diǎn)M、N,若兩=%而，麗=

yOB;

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)/(為解析式:

(2)設(shè)函數(shù)G(x)為R上的偶函數(shù)，當(dāng)xe[0,1]時(shí)，G(x)=/(x),又函數(shù)G(x)的圖像關(guān)于直線％=1

對(duì)稱，當(dāng)方程G(x)=ax+：在彳6[2/￡,21+2)(k6/7)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解時(shí)，求實(shí)數(shù)。的取

值范圍；

5.如圖，在邊長(zhǎng)為1的菱形A2C。中，NDAB=60是線段C￡>上一點(diǎn)，且滿足|荏|=2|而

設(shè)荏=區(qū)近=反

(1)用乙方表示而；

(2)在線段BC上是否存在一點(diǎn)打滿足4尸，BE?若存在，確定點(diǎn)尸的位置，并求|萬(wàn)|；否則,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

6.已知橢圓a捻+3=19>8>0)的離心率是右橢圓C過(guò)點(diǎn)

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知豈,尸2是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸2的直線，(不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn))與橢圓C交于4B兩點(diǎn)，

求用了?”的取值范圍.

7.已知點(diǎn)4(2,3),8(4,-2),C(-2,l),求：

(l)cos乙4CB；

(2)△ABC的面積.

8.已知向量同=1,|b|=2且滿足(3+2方)J.(3。—另)，求：

(1)向量五與石夾角的大小；

(2)區(qū)一2H的值.

9.已知圓C經(jīng)過(guò)(2,4),(1,3)兩點(diǎn)，圓心C在直線x—y+1=0上，過(guò)點(diǎn)力(0,1)且斜率為k的直線

/與圓C相交于M,N兩點(diǎn).

(1)求圓C的方程；

(2)①請(qǐng)問(wèn)前?麗是否為定值，若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

②若麗?麗=12(0為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線/的方程.

10.已知渡船在靜水中速度近的大小為(遙+或)m/s,河水流速區(qū)的

大小為2m/s.如圖渡船船頭方向與水流方向成個(gè)夾角，且河面垂直

寬度為600(b+l)m.

(I)求渡船的實(shí)際速度與水流速度的夾角；

(U)求渡船過(guò)河所需要的時(shí)間.[提示：4+2V3=(V3+1)2].

11.如圖，在矩形ABC。中，點(diǎn)E是8C邊上中點(diǎn)，點(diǎn)尸在邊CZ)上.

(1)若點(diǎn)/是C￡)上靠近C的三.等分點(diǎn)，設(shè)前=+求2+〃的值.

(2)若48=b，BC=2,當(dāng)荏?/=1時(shí)，求OF的長(zhǎng).

12.如圖，已知AOCB中，點(diǎn)A是BC的中點(diǎn)，。是線段。8的靠近B的三等分點(diǎn)，DC和04交于

點(diǎn)E,設(shè)。A-a>OB-b-

(1)用方石表示向量能，配；

(2)若瓦?=4成，求;I的值.

13.已知單位向量記，n,且|記一元|=百，求:

(1)向量記，記的夾角；

(2)|2m-n|；

(3)若向量2沅-行與向量沆+k元垂直，求實(shí)數(shù)%的值.

F

14.如圖，在菱形ABC。中，BE=^BC,CF=2'FD

(1)若品=x而+y同，求3x+2y的值；

(2)若|同|=6/B4。=60。，求前?就.

15.已知向量五和石，|益|=|至|=1,S.\a+kb\=>/3\a-kb\.

(1)若方與方的夾角為60。，求k的值；

⑵記/(k)=a-b+J(fc2-3fc-i+3),是否存在實(shí)數(shù)x,使得/(k)>1一比對(duì)任意的t6[-1,1]

恒成立？若存在，求出實(shí)數(shù)尤的取值范圍；若不存在，試說(shuō)明理由.

16.已知4(—1,0),B(0,2),C(—3,1),而?荷=5,AD2=10-

(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)。在第二象限，用用，而表示前；

(3)設(shè)荏=(磯2)，若3荏+而與荏垂直，求荏的坐標(biāo).

17.如圖，在。C中，設(shè)0c的半徑為r,弦A8的長(zhǎng)為2a

c

B

(1)試探究：麗?前的值與r或a的值之一是否有關(guān)？若有關(guān)，求出相應(yīng)的表達(dá)式；若無(wú)關(guān)，說(shuō)

明理由；

(2)若r為定值，點(diǎn)A、2在OC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)弦A8的長(zhǎng)為何值時(shí)，AABC的面積S最大？并求出

S的最大值.

18.如圖，已知正方形ABCO的邊長(zhǎng)為2,過(guò)中心。的直線/與兩邊48、CD分別交于點(diǎn)M,N.

⑴求麗?瓦的值；

(2)若。是8c的中點(diǎn)，求西?麗的取值范圍;

(3)若P是平面上一點(diǎn)，且滿足2加=4麗+(1-;I)近，求麗?麗的最小值.

19.在ZL4BC中，底邊BC上的中線4。=4,若動(dòng)點(diǎn)P滿足訪=si/。?扇+cos?。?麗(。eR>

(1)求(PB+PC)-4P的最大值;

(2)若44BC為等腰三角形，且AB=5,點(diǎn)尸滿足(1)的情況下，求PR.pc的值?

20.如下圖，在直角△4BC中，點(diǎn)D為斜邊BC的靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，|荏|=3,

府|=6.

(1)用南，前表示而和曲；

(2)求向量方與正夾角的余弦值.

21.在2L4BC中，。是BC的中點(diǎn)，AB=2,AC=4,AD=V3.

(I)求448。的面積：

(n)若E為BC上一點(diǎn)，且荏=2(瑞+篇)，求;I的值，

22.已知向量；=(cosa,sina)，b=(cos￡,sin.)，c=(2,0).

(1)求向量M+q的最大值；

(2)設(shè)&=?,且熱_L(b+U),求cos￡

23.某沿海城市附近海面有一臺(tái)風(fēng)，據(jù)觀測(cè)，臺(tái)風(fēng)中心位于城市正南方向2(W)km的海面P處，并正

以2()kui/h的速度向北偏西。方向移動(dòng)(其中cos。=引，臺(tái)風(fēng)當(dāng)前影響半徑為lOkui,并以

l()kiu/h的速度不斷增大，問(wèn)幾小時(shí)后該城市開(kāi)始受到臺(tái)風(fēng)影響？影響時(shí)間多長(zhǎng)？

24.已知非零向量n諭足同=2即S.(a-b)lb.

(1)求；與了的夾角；

(2)若卜+“=V14,求忖.

25.設(shè)向量a,b滿足|a|=\b\=1及13a-2b\=夕，

(1)求a,b夾角。的大小；

(2)求|3a+b|的值.

26.如圖，在回力BC中，/.易=0,|幾|=8,|h|=6,L為線段8C的垂直平分線，乙與BC交與

點(diǎn)。,E為L(zhǎng)上異于D的任意一點(diǎn).

⑴求G-CB的值;

(2)判斷晶.H的值是否為一個(gè)常數(shù)，并說(shuō)明理由.

27.(1)已知向量為=(l,k),b=(2,2)，且a+方與五共線,求五7的值；

⑵已知[磯=2,同=3,三與石的夾角為60。，5丘+3氏2=3五+小.當(dāng)312時(shí)，求實(shí)數(shù)%的

值.

28.已知向量不，b，不滿足有+E+不=6，且|口=3,高|=5，41=7.

(1)求2與方的夾角仇

(2)是否存在實(shí)數(shù)〃使〃a+石與為—2石垂直?

29.已知向量沅=(cos—1)，n=(V3sinj,cos2|),設(shè)函數(shù)f(x)=記?元+L

(1)若xe[0,J/(x)=1,求x的值；

(2)在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c,且滿足2bcosAW2c-Ba，求/(B)的取

值范圍.

30.已知平面上3個(gè)向量乙瓦小模分別為|初=i,\b\=2,\c\=3,它們相互之間的夾角均為120。。

(1)求向量，一方與不夾角的余弦值；

(2)若區(qū)五+石+現(xiàn)〉1，求％的取值范圍。

【答案與解析】

1.答案:解：(I)因?yàn)?(2,0),8(0,4),C(cosa.sina),

所以元=(cosa,sina)，AB=(―2,4)>

又反〃荏，所以4cosa+2sina=0,

即tana——2；

(口)因?yàn)閨。4+0C|=V5,OC=(cosa,sina)?函=(2,0)，

所以(2+cosa)2+sin2a=3.

即5+4cosa=3,BPcosa=—

又aG(0,TT),所以sina=V1—cos2a=爭(zhēng)

所以礪.0C=4Xy=2V3.

解析：本題考查數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的平行關(guān)系，考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值，考查計(jì)算能

力，是中檔題.

(I)由題意，0C=(cosa,sina),AB=(-2,4)-根據(jù)阮〃麗，可得4cosa+2sina=0,利用同

角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得tana；

(II)由向量的坐標(biāo)運(yùn)算得5X+OC=(2+cosa,sina)，根據(jù)向量的模的運(yùn)算及同角三角函數(shù)的基本關(guān)

系可得cosa的值，結(jié)合。€(0,兀)，求出sina,由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得而.玩.

2.答案：解：(1)法一：因?yàn)槎?2可，由定比分點(diǎn)公式，

得加=—08+—0A=-0A+-0B,

1+21+233

又因?yàn)橥?、話不共線，所以，x=l，y=i,

法二：如下圖，過(guò)點(diǎn)尸做PM〃0B,PN〃。/1分別交OA,OB點(diǎn)M,N,

因?yàn)槎?2萬(wàn)，所以蔡=：，所以瑞=|，器=*，

又四邊形。MPN為平行四邊形，所以赤=而+麗=|用+：南,

又因?yàn)槿f(wàn)?、而不共線，所以x=|,y=

法三：因?yàn)镻為線段AB上的一點(diǎn)，即P,A,B三點(diǎn)共線，

所以x+y=l,即y=l-x,OP=XOA+（1-X）OB>

移項(xiàng)可得：麗一布=而即喬=x瓦？，

因?yàn)榍?2可，所以而=|同，

因?yàn)橥撸垦?，即x=|,此時(shí)y=l-x=5

所以x=|,y=I；

法四：因?yàn)楦?2萬(wàn)，所以麗=|瓦?，

>,一'>>■■■■,■,>0'―+'>O1111->,■,■11>21>1>

OP=08+BP=OB+-BA=OB+-（0A-OB）=-OA+-OB,

33、,33

又加=x0^4+yOB，

又因?yàn)橥?、南不共線，

所以x=|,y=-

法五：因?yàn)镻為線段AB上的一點(diǎn)，BP=2PA,

所以而一話=2。1一而），移項(xiàng)可得：OP=10A+^0B,

又因?yàn)槌唷⒃挷还簿€，所以x=|,y=/

法六（坐標(biāo)法）：（1）如下圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，過(guò)。與OA垂直的直線為y軸,

建立平面直角坐標(biāo)系xOy,

因?yàn)閨布|=2,AAODW),\0A\=6,所以B(l,b)，4(6,0),

所以羽=(6,0)，OB=(1,V3)，

又而=xH?+y而，所以而=(6x+y,My)，

所以P(6x+y,V3y)>

所以前=(6x+y—1,V3(y-1))>P4=(6—6x-y,-V3y)>

因?yàn)辂?2可,

6x+y-l=2(6-6x-y)2%；

所以

V3(y-1)=-2y/3y33

(2)由⑴知同=(-5,V5)，OP=

所以荏.訶=(-5)xY+V3xY=-y-

解析：本題考查了向量的加減運(yùn)算，平面向量基本定理的運(yùn)用，向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查了分析和

運(yùn)算能力，屬于中檔題.

⑴法一：運(yùn)用定比分點(diǎn)公式，得到訶=*而+后次=|耐+1而，即可求出x,>?；

法二：過(guò)點(diǎn)P做PM〃OB,PN〃OA分別交。4,OB點(diǎn)M,N,運(yùn)用幾何關(guān)系即可求出x,以

法三：根據(jù)P,A,B三點(diǎn)共線，得到x+y=l,運(yùn)用向量加減運(yùn)算得到加=x瓦?，結(jié)合而=2對(duì)即

可求出x,y；

法四：根據(jù)麗=2而，結(jié)合向量加減運(yùn)算得到前=|耐+!而，進(jìn)而得到x,y；

法五：由P為線段A8上的一點(diǎn)，麗=2同，得到訶-麗=2(OA-'OP)，移項(xiàng)可得：OP=^OA+

癖,即可得到X,>'；

法六(坐標(biāo)法)：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，過(guò)。與OA垂直的直線為)，軸，建立平面直

角坐標(biāo)系x。)，，建立坐標(biāo)關(guān)系，解方程組即可得到x,y：

(2)根據(jù)(1)可得而=(—5,遮)，加=《,/),代入坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.

3.答案：解:(1)因?yàn)樯n=(cosx,sinx),b=(2cos2sin|)

所以方?b=cosx?(2cos|)+sin%?(—2sin|),化簡(jiǎn)得：a-b=2cosy,

因?yàn)榭赪仔干,

所以|x66，？),則一1<cos,《J,所以—2<2cos,《1,

ZooNNN

則五不的取值范圍是

X|a|=1?|另|=2，a-K=2cosy

所以|五一石|=J|a-K|2

=J|五|2+\b\2-2a-b'

故|8一石|=J5-2五.1，

Xa-KG[-2,1])所以一2方?石e[-2,4]，

則5-2五[3,9]，所以|萬(wàn)一了|€[遮,3].

(2)由(1)可知/(%)=方不_?五一石?=a-b-y/5-2a-b'

令t=五?b,tE[―2,1],所以y=t——5—2t,

令u=、5—2t,a€[b,3]，WJy=-|u2-u+|

由y=+|在〃G[b,3]單調(diào)遞減，

所以ymin=-^X32-3+|=-5,

所以f(%)=ab—\a-b|的最小值為一5.

解析：本題考查了向量的模、向量的數(shù)量積、余弦函數(shù)性質(zhì)和二次函數(shù)性質(zhì)，是較難題.

(1)先由向量的數(shù)量積得出1i=2cos手，由余弦函數(shù)性質(zhì)得出取值范圍，由?為一片=小方一下

^\a\2+\b\2-2a-b，化簡(jiǎn)得|Q-5|=V5-2a-K，即可得出其取值范圍；

(2)由(1)可知f(x)=a-b—y/5—2a-b,令t=A,b,te[—2,1]>所以y=t—V5—2t>令”=

V5-2t,uG[V3,3])由二次函數(shù)性質(zhì)可得最小值.

4.答案：解：(1)利用平行四邊形對(duì)邊平行且相等以及平行線分線段成比例可得：

c

B

麗麗網(wǎng)

,I=--I.，

\0A\\CB\]NB\

又由麗=%瓦孔ON=yOB；

二久=白，解得y=上

：,y關(guān)于x的函數(shù)解析式y(tǒng)=/(%)=W

(2)當(dāng)％e[0,1]時(shí),G(x)=/(x)=券又由條件得G(2-%)=G(x),

???G(2+x)=G(—x)=G(x).

當(dāng)xe[l,2]時(shí)，042—尤41,??.G(2-x)=/=W，

Z—x+15—X

"G(2-x)=G(x),G(x)=蕓

X

從而G(x)=

"152

‘吊，xJ2k,2k+l]

由G(x+2)=G(x)得G(x)=■

、與"磔+1，2k+2]

設(shè)在同一直角坐標(biāo)系中作出兩函數(shù)的圖象,

yi=G(x),y2=ax+

當(dāng)函數(shù)為=Q%+5圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2k+2,0)時(shí)，a=一：.

由圖象可知，當(dāng)ae［一就有,0)時(shí)，

yi與乃的圖象在Xe[2k,2k+2](/ceN)有兩個(gè)不同交點(diǎn),

因此方程G(x)=ax+e[2k,2k+2]上有兩個(gè)不同的解；

實(shí)數(shù)。的取值范圍是[一白^,0).

”匕十

解析：本題考查平面向量與函數(shù)的綜合運(yùn)用問(wèn)題，屬于難題.

(1)利用平行四邊形對(duì)邊平行且相等以及平行線分線段成比例可得X與y的關(guān)系.

(2)利用對(duì)稱性和函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)G(x)的解析式，再根據(jù)方程G(x)=ax+；

在xG[2k,2k+2)(fcGN)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解時(shí)，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)在同一坐標(biāo)系下有兩個(gè)交點(diǎn),

從而求出實(shí)數(shù)”的取值范圍.

5.答案：解：(1)根據(jù)題意得：

CE=-CD=-~BA=--AB=--a,

3333

BE=BC+CE=b--a.

3

(2)設(shè)前=￡前=《3，則而=(1一。石，te[0,1],

???AF=AB+BF=五+tb，

因?yàn)樵谶呴L(zhǎng)為1的菱形45co中，A=60°,

\a\=|b|=1,7Tb1x1xa>?6(F=:,

為使AFLBE,則萬(wàn)?麗=0，

即(五+tb)-0-1萬(wàn))=(1-|t)日.方-|a2+t至2

=(l--t)xi--4-t=-t--=0,

V3/2336

解得t=(€[0,1]?從而AF=五+[b,

此時(shí)麗=；阮，如圖：

4

國(guó)=尉=］片+初不+物=J1+2+表=等

綜上所述，滿足題意的點(diǎn)尸存在，喬=;配，且此時(shí)|希|=亨.

解析：本題考查向量的加、減法運(yùn)算法則，數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題.

(1)根據(jù)題意可知前=而=石，求得請(qǐng)=-|4，從而即可得到麗的值.

(2)根據(jù)題意設(shè)麗^《南二亮，求得都，而關(guān)于方，石的表達(dá)式，為使川FBE,則存?戰(zhàn)=0,

利用數(shù)量積的運(yùn)算得到關(guān)于f的方程，求得/的值，看是否在［0,1］的范圍內(nèi)即可，然后確定尸的位置,

并利用向量的模的求法得到|而|的值.

'a2-b2_1

6.答案：解：(1)由條件知］1一嘰一”，

—+—=1

U24成

解得像翼

因此橢圓C的方程型+?=L

(2)設(shè)4(Xi，yi),B(X2，y2)，

則瓦X=(%1+Lyi),耳萬(wàn)=(x2+l,y2),

設(shè)直線/的方程為x=my+1,

代入橢圓C的方程消去x,得(3m2+4)y2+6my-9=0,

由韋達(dá)定理得以+=蕉;，*=舄，

瓦？?瓦豆=(與+1)(%2+1)+yiy2=Oyi+2)(my2+2)+yxy2

=(1+/)%為+2moi+丫2)+4

—9—6m—9m2+719

o2

=(1+m7)-2-z4-2m--z-----+4=——5-----=-3+--z

3m+437n2+437n2_|_437n2_|_4

3m24-4>4,

???0<<y,

3nl2+44

197

-

3<-3+--T-<->

3m2+44

所以瓦??包e(一3..

解析：本題考查由離心率求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓相交中的范圍問(wèn)題，涉及平面向量數(shù)量

積，屬于較難題.

(1)由離心率及點(diǎn)的坐標(biāo)列出關(guān)于a,b的方程組，解之可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：

(2)設(shè)4(Xi，yi),B(X2，y2)，設(shè)直線/的方程為x=my+1，代入橢圓方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得y1+

y2，y，2,代入不?竊，利用不等式的性質(zhì)可得取值范圍?

7.答案：解：(1)由題意乙4cB即區(qū)與福的夾角，

vCA=(4,2)，CB=(6,-3)，

4x6-2x3183

.(<科Z/i(Is=Lh=———-----==-,

|C^||C5|2v/5x3s/56x55

3

:.CQSZ-ACB=-；

(2)設(shè)A”為5c邊上的高,

則4"=|AC\sinAACB=IAC|V1-cos2zACB=2V5x|=喀

55

而|就|=3遮，

S^ABC=Jx8/x：).=12，

.?.△ABC的面積是12

解析：本題考查的是平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，夾角以及數(shù)量積，三角形面積公式.

01ri

(1)由題意乙4cB即正與方的夾角，根據(jù)c^\Cm即可得出答案;

(2)設(shè)AH為8c邊上的高，A"=|前|sin乙4cB=|AC|V1-cos2zACB，由三角形面積公式即可得

出答案.

8.答案：解：(1)設(shè)方與3的夾角為。，

由己知得0+23)<3日一行)=3五2+5弓不一23=3+lOcos。-8=0,

所以cosO=%又0。4。式180°,

所以9=60。，即日與方的夾角為60。.

(2)因?yàn)槲弧?b)2=五2—4百.b+4b=13,

所以|蒼一21|=V13.

解析：本題主要考查向量的數(shù)量積，向量的夾角，向量的模，屬于中檔題.

⑴由條件可得0+23)?(3方一石)=3五2+5己方一2丁=3+lOcos0-8=0-可求得cos8=}

可得益與石夾角的大小：

(2)由題意計(jì)算0-2尤)2,即可求解.

9.答案：解：(1)設(shè)圓C的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,

(2—a)2+(4—b)2=r2,

依題意，得卜1一a)2+(3-b)2=r2,

、a—b+1=0,

a=2,

解得卜=3,

r=1.

???圓C的方程為(x-2)2+(y-3)2=1.

(2)①宿?宿為定值，

過(guò)點(diǎn)4(0,1)作直線AT與圓C相切，切點(diǎn)為T,易得|47|2=7,

.-.AM-AN=\AM\-\AN|cos0°=\AT\2=7.

.?.祠?而為定值，且定值為7.

②依題意可知，直線/的方程為y=kx+l,

設(shè)M(xi，yi),N(x2,y2),

將y=kx+1代入(x—2)2+(y-3)2=1并整理，

得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0,

4(l+fc)7

???X1+X2=KT，/*2=訴，

OM-ON=xrx2+丫1丫2=(1+I)%1+fc(xx+工2)+1=喈券+8=12,

即竺”=4,解得k=l,

1+k2

又當(dāng)k=1時(shí)d>0,

k=1,

???直線/的方程為y=x+l.

解析：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)

題的能力，屬于中檔題.

(1)設(shè)圓C的方程為(x-a)2+(y—b)2=r2,把點(diǎn)代入，解方程組得出小b,r,得出圓的方程；

(2)①過(guò)點(diǎn)4(0,1)作直線AT與圓C相切，切點(diǎn)為T,求出|4T|2,則初?前=|宿||麗|cos0。=

\AT\2,即可得解；

22

②令直線I方程為y=kx+l,代入圓的方程得(1+fc)x-4(1+fc)x+7=0,解得/+x2,x1-x2,

又3標(biāo)?5V=X1%2+=(1++kQi+%2)+1=12，解得k,得出直線方程.

10.答案：解：(I)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，區(qū)所在直線為X軸建立平面直角坐標(biāo)系：

由條件<五后>=(，國(guó)|=2,|v7|=V6+V2>

知說(shuō)=(2,0),v；=(V3+1,73+1).

由萬(wàn)=五+詬=(遮+3,V3+1),

即|刃2=16+8V3，

所以|出=，16+84=2(6+1)

所以cos<vl,v>=器=43R

1

\v\\vr\2(V3+l)-22

故<它國(guó)>=±

O

即所以渡船的實(shí)際速度與水流速度的夾角g

O

(口)由(1)知船垂直方向速度為|萬(wàn)|?sin：=V3+1,

所以渡船過(guò)河所需要的時(shí)間當(dāng)絲°=600s.

解析：本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的夾角公式，考查向量的應(yīng)用，屬于中檔題.

(I)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，訪所在直線為X軸建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的模以

及夾角公式即可求出，

(H)先求出所走的路程，即可求出所需要的時(shí)間.

11.答案：解：(1)前=而-荏=而+而一(超+四)

21

=AD+-DC-(AB+-BC)

__21

=AD+-AB-(AB+-AD)

制而后方，

又前=4南+,而,

?,"=—不〃=[,???a+〃=>

OZO

(2)以AB,AD為x,y軸建立直角坐標(biāo)系如圖：AB=小,BC=2,

X

則4(0,0)，B(V3,0);F(V3,1).

設(shè)F(x,2),0<x<2,

AE=(V3,l)-BF=(x-V3,2).

■■AE-BF=1，

：.V3(x-V3)+2=1，

2y/3

X=----，

3

...|DF|=尊

解析：本題考查向量的加減的幾何意義和向量在兒何中的應(yīng)用，建立平面直角坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵

之一，考查計(jì)算能力.

(1)根據(jù)向量的加減的幾何意義即可求出：

(2)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)F(x,2),根據(jù)向量坐標(biāo)的數(shù)量積求出％=竽，即求出QF的長(zhǎng).

12.答案：解：(1)-OC=OB+BC='OB+2'BA='OB+2(OA-OB)=2OA-OB9

已知。4=a,OB=b，

??.OC=2a—by

-----?-----?-----------?7-----?

■■-DC=OC-OD=OC--OB,

.-.DC=2a-b--b=2a--b.

33

(2)設(shè)屁=〃配0>0).

OE=OD+DE=OD+fiDC,

=~OD+n(OC-兩

=(1-n)OD+nOC，

???OD==|b,OC=2a-b,

???OE=2〃方+(|-汕］,

又屈=4m=/12，且五萬(wàn)不共線,

所以由平面向量基本定理知：4=2〃且|-號(hào)=0,

解析：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算，平面向量基本定理，向量的加法和減法運(yùn)算，主要

考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型.

(1)直接利用向量的線性運(yùn)算的應(yīng)用和加減法的應(yīng)用求出結(jié)果.

(2)直接利用向量的線性運(yùn)算和共線向量的充要條件的應(yīng)用求出結(jié)果.

13.答案：解：(1)設(shè)向量沅，元的夾角為0；由己知得，|行|=|記|=1；

???\m—n\2=(m—n)2=m2—2m-n+ri2=2—2m-n=3i

m-n=-I；

八mn1

???COS6=_=——

|叫|川2

v0<0<7T；

(2)v|2m-n|2=(2m-n)2=4m2-4m-n4-n2=44-2+1=7;

??.|2沆一五|=A/7

⑶??,向量2沅一元與向量沆+土有垂直,

/.(2m—n)?(m4-fcn)=0.

2rn+(2k-l)m-n-kn2=2+(2k--fc=0,

解得k=

4

解析：本題考查向量的模、向量的夾角、向量垂直的判斷與證明以及向量的數(shù)量積，屬于中檔題;

(1)設(shè)向量記，五的夾角為仇由已知得，|而|=|元|=1；

mn

由|沆一元|=百可得萬(wàn)?亢=-g，再由cosJ=-p即可求解;

I沆I同

(2)|2m-n|2=(2m-n)2=4m2-4m-n+n2=4+2+1=7;即可求解;

(3)向量2沅-元與向量沅+k記垂直，可得(2記-H),麗+上元)=0.即可求解;

14.答案：解：⑴因?yàn)槎?9元，謂=2而,

所以前=正+方=之配一|玩荷一|荏,

所以工=-1,y=

故3x+2y=3x(一|)+2x；-1

(2)-：AC=AB+AD,

12,1Q221

.-.AC-TF=(AB+AD)■(-AD--AB)=-AD--AB--AB-AD

23236

:四邊形ABCD為菱形，|同|=|近|=6

■?■AC-EF=-i|AB|2|2cosABAD.

=_lx36_lx36xi=-9,

即前?前=-9.

解析：本題主要考察平面向量基本定理和平面向量的數(shù)量積問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

(1)利用平面向量基本定理，取荏，而為基底，利用向量加減法可解：

(2)把所有的向量用基底存，而表示后，計(jì)算正.市即可.

15.答案：解：(1)|初=|石|=1，五與石的夾角為60。,

則N-b=\a\?\b|cos60°=lxlx^=|

由|k+kE|=遮|五一k石I，兩邊平方可得,

(a+kb}2=3(五一k方A，

——27—?,2

a+2ka-b+k2b=3(a-2ka-b+k2b)>

即有1+卜+卜2=3(1-fc+fc2),

解得k=1；

(2)由(1)得,a2+2ka-b+k2b2=3(a2—2kab+k2b2)

即1+憶2+2/ca-K=3(1+1-2/ca-b)

即可得1?弓=；(k+》，

1iioi

■■-fW=-(k+--)+-(k2-3k--+3)

TtTVT,K

22

=i(fc-2k+3)=i[(k-l)+2],

???fWmin=1

因?yàn)?(k)>1-tx對(duì)于任意t6恒成立,

f(k)min》1-tx.

所以1》1—tx,

即證>夕寸于任意te恒成立,

構(gòu)造函數(shù)g(t)=tx-1.

x<—1

從而g(T)>o

ED>o

由此可知不存在實(shí)數(shù)X使之成立.

解析：本題考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，同時(shí)考查不等式恒成立問(wèn)

題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，構(gòu)造一次函數(shù)運(yùn)用單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，屬于拔高題.

(1)運(yùn)用向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，解方程即可得到女的值；

(2)求出f(k),再由二次函數(shù)性質(zhì)求得f(k)的最小值，假設(shè)存在實(shí)數(shù)x,使得/(k)Nl-tx對(duì)任意的

1,1］恒成立，構(gòu)造一次函數(shù)運(yùn)用單調(diào)性，解不等式即可判斷.

16.答案：解：(1)設(shè)。(招、),而=(1,2)，AD=(x+l,y).

LfAB-AD=x+l+2y=5

由題得_2，

vAD=(x+l)2+y2=10

即黑;)力3解喉:嘯著

??.D點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,3)或(2,1).

(U”.?。點(diǎn)在第二象限，

D(-2,3).

.?.而=(-1,3).

"AC=(-2,1)，

設(shè)彳？=mAB+nAD，則(-2,1)=m(l,2)+n(-1,3),

,(—2=m—n

tl=2m+3n"

.?/m=T,

tn=1

:.AC=-AB+AD.

(ID)73AB+AC=3(1.2)+(-2,1)=(1,7),AE=(m,2).

???3四+刀與荏垂直，

一'>一，一'>

???(3AB+4C)?4E=0，

Am+14=0,

??.m=-14,

???AE=(-14,2).

解析：本題主要考查向量的數(shù)量積和平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及向量垂直，屬于基礎(chǔ)題.

(1)利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求解.

(2)利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求解.

(3)利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求解.

17.答案：解：(1)只與a有關(guān)，與r無(wú)關(guān)

理由如下:

過(guò)C作CDJ.AB于。

由垂位定理知，。為AB中點(diǎn)，設(shè)4CAB=Q,

???AB?AC=|AB||AC|cos0=2a.(|AC|?COS。）

其中，在Rta/ICD中，\AC\cos6=AD=^AB=a

AB-AC=2a2即初?質(zhì)的值長(zhǎng)與〃有關(guān).

(2)法一：由已知CD1AB且。為AB中點(diǎn)

在Rtz\4CD中，AD=rcosQ,CD=rsind-1-AB=2AD=2rcos9

：22

■S=-2AB.2CD=--2rcos6-rsin0=rsindco2sd=-rsin26

其中96(0,》顯然二當(dāng)2。=］即。=?時(shí)

2

Smax=^r此時(shí)4B=2rcos^=V2r

答：當(dāng)弦AB的長(zhǎng)為夜r時(shí)，S最大，最大值為12.

法二：在Rt△ABC中，AC=r,AD=a則CD=Vr2-a2(0<a<r)

S=-AB-CD=--2a-Vr2-a2.V2_2<

22=ara2

=—當(dāng)a=7丫2—淳即0=立r時(shí)取"="此時(shí)48=

22

解析：本題考查了向量的數(shù)量積以及三角函數(shù)的應(yīng)用，是一般題.

（1）直接根據(jù)數(shù)量積的定義求出荏.AC，根據(jù)其表達(dá)式做出判斷；

（2）方法一，把△ABC的面積表示為。的函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解；

方法二在Rt△ABC中，AC=r,AD=a則CD=Vr2-a2（0<a<r）S=^AB-CD=1-2a-

尸二滔，根據(jù)基本不等式進(jìn)行求解.

18.答案：解：（1）由正方形可得瓦?覺(jué)=0

所以麗?比=（BC+CD）-DC=-CD2=-4：

（2）因?yàn)橹本€/過(guò)中心。且與兩邊AB、分別交于交于點(diǎn)M、N.

所以。為M、N中點(diǎn)，

所以兩-QN=（QO+麗）?（麗+麗）=麗?—西2

因?yàn)椤Ｊ?c的中點(diǎn)，

所以|訶|=1,1<\OM\<V2.

所以-4<QO2-OM2<0，

即誠(chéng)?麗的取值范圍為

（3）令罰=2左，由詞=2麗=4話+（1-，）能知點(diǎn)T在BC上，又因?yàn)椤椤?、N中點(diǎn)，

所以|詞|》1，從而|而|

PM?PN=（PO+OM）?（PO+ON）=PO-OM

因?yàn)?<|OM|<V2,

所以麗?麗=才一病1_2=_7>

44

即麗?麗的最小值為

4

解析：本題考查向量的數(shù)量積，向量的基本運(yùn)算，向量的模，向量共線的判定與證明，向量的幾何

運(yùn)用，數(shù)中檔題.

(1)將向量前分解為曲+CD，利用垂直和數(shù)量積的運(yùn)算即可求解；

(2)由。為M、N中點(diǎn)可得西.麗二麗？一麗2,再由?而困?麗?的范圍計(jì)算即可；

(3)令討=2訶，由向量共線的判斷可得點(diǎn)T在3c上，即可得|而|的范圍，再由麗.麗=麗2一

OM2＞結(jié)合|而|的范圍計(jì)算即可.

19.答案：解：⑴...BP=sin20-BA+cos26'且sin?。+cos20=1,

???4P,D三點(diǎn)共線，又siMee[O,l],cos20G[0,1],

P在線段A￡)上，

???D為BC的中點(diǎn)，設(shè)|PD|=x,則|AP|=4-x,xG[0,4],

：.[PB+PC)-AP=2PD-AP=2x(4-x)=-2x2+Qx=-2(%-2)2+8'

.?.當(dāng)x=2時(shí)，(而+地).而取最大值8；

(2)???4ABC為等腰三角形，且A。為底邊的中線，

???以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DC,D4所在直線分別為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

22

由(1)可得P(0,2),乂|BD|2=g-4=9,

???5(-3,0),C(3,0),

則PB-PC=(-3,-2)-(3,-2)=-94-4=-5'

解析：本題主要考查平面向量基本定理、二次函數(shù)的性質(zhì)及向量的數(shù)量積，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，

培養(yǎng)了學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題.

(1)根據(jù)平面向量基本定理可知三點(diǎn)共線且P在線段AO上，設(shè)|PD|=x,則|4P|=4-x,xe

[0,4],可將(PB+PC).蟲(chóng)整理為-20-2)2+8,根據(jù)二次函數(shù)圖象可求得最值；

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DC,D4所在直線分別為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)|B0|2=52_42=9

可求得E,C坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得結(jié)果.

20.答案：解：(1)因?yàn)?。為斜邊BC的靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，

所以前=[就=：(而-四)=^AC-^AB,

------>-----?1,1,1?2>1>

AD=AB+BD=-AB+-AC.

33

因?yàn)镋為AO的中點(diǎn)，

所以荏=工而=三隹荏+工前)=-AB+-ACf

223336

所以的=荏一荏=2荏-3近；

36

(2)￡C=4C-4E=-渾+萍，

因?yàn)閙4BC為直角三角形，

所以AB1AC,

所以(殖祠=90。，

所以前.比=(^AB-^AC)■(-|AB+|^4C)=-||AB|2-^C-^|^C|2=-2-5+

—|4B|-|4C|cos(AB,AC)=-7,

易知I前|二花，\EC\=V26>

設(shè)向量而與方的夾角為。，則cos8=EBE?-77>/130

\EB\-\EC\一^5x^26—130

解析：本題考查向量的線性運(yùn)算，向量的夾角，向量數(shù)量積的運(yùn)算律，屬于中檔題.

(1)由向量的數(shù)乘以及加、減運(yùn)算表示而和前；

(2)設(shè)向量麗與方的夾角為仇貝服05。=第當(dāng)，由向量的數(shù)量積的運(yùn)算律以及模長(zhǎng)，代入求值.

21.答案：解：(I)由題意，:D是8C的中點(diǎn)，

：.AD=^(AB+AC),

???|同/=；(荏+而產(chǎn)=^\AB\2+\AC\2+2AB-AC'),

即3=*(4+16+2荏?前)，解得通?旅=一4.

超前1

/.cosZB.4C=

麗?而—2

又0<Z.BAC<TT>NBAC=手，

???S4ABe=-AC-sin/BAC=|x2x4xy=2遮.

(n)由題意，?.?荏="需+|豁,

\na\

赫為44BC中/BAC的角平分線，

由(1)可知，ABAE=Z.CAE=^ABAC=.

由S"8C=SMBE+S—CE可得

i7T17T1

ADAEsm^+-AC-AEsin^-=-AB-AC-sin—,

232323

即省AE+V14E=2遮，從而4E=j

23

由荏=，嚅i+卻可得：

故'=3'

解析：本題考查平面向量的幾何運(yùn)用，平面向量的夾角，運(yùn)算，數(shù)量積等，考查三角形的面積公式,

屬于中檔題.

(I)根據(jù)。是BC的中點(diǎn)，得到同=］而+前')，從而得出近.前=-4，由平面向量的數(shù)量積公

式得出NZMC即可計(jì)算△ABC的面積；

?)

(□)由荏=A(儡+|篇)可知AE為△ABC中乙BAC的角平分線，再根據(jù)S.c=S.+S-CE得出

AE=*從而可知/I=

22.答案:解：(1)vb=(cos/7,sin/?),c=(2,0),

.%b+c=(2+cos。,sin/?)，

A|fa+c|=7(24-cosp)2+sin2^?

=y/54-4cosy?,

當(dāng)COS0=1時(shí)，上式取最大值為3,

???B+目的最大值為3；

(2)由⑴知,另+不=(2+cos0,sin0)，

當(dāng)a=9則胃=(：./)，

一--1V3

Q.Q+.=(-,—)?(cos0+2,sin/?)

=|cosS+?sin￡+1=sin(夕+￡)+1，

va1(h+c)>

.%a?(Z?4-c)=0，即sin(/7+巳)=一1，

解得6+￡=2"一,可得6=2"一J

bN3

???CGS0=—

解析：本題考查平面向量和三角函數(shù)的綜合，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握先關(guān)的結(jié)論，屬于中檔題.

(1)由已知可得3+2坐標(biāo)，可得13+小，由三角函數(shù)最值可得答案；

(2)由(1)可得向量坐標(biāo)，由垂直可得數(shù)量積為0,由等式和三角函數(shù)可得sin(0+9=-1,然后求

解0的值，最后求解COS0即可.

23.答案：解：如圖，設(shè)該市為A,經(jīng)過(guò)，小時(shí)后臺(tái)風(fēng)開(kāi)始影響該城市,

則，小時(shí)后臺(tái)風(fēng)經(jīng)過(guò)的路程PC=(20t)f