2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-8.7-拋物線【課件】

第七節(jié)拋物線1.了解拋物線的實際背景，感受拋物線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問

題中的應(yīng)用.2.了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它的簡單幾何性質(zhì).3.了解拋物線的簡單應(yīng)用.目錄CONTENTS123知識體系構(gòu)建課時跟蹤檢測考點分類突破PART1知識體系構(gòu)建必備知識系統(tǒng)梳理基礎(chǔ)重落實課前自修

1.拋物線

y

＝

ax

2的準(zhǔn)線方程是

y

＝2，則

a

＝（

）C.8D.

－8

2.過拋物線

y

2＝4

x

的焦點的直線

l

交拋物線于

P

（

x

1，

y

1），

Q

（

x2，

y

2）兩點，如果

x

1＋

x

2＝6，則｜

PQ

｜＝（

）A.9B.8C.7D.6解析：

拋物線

y

2＝4

x

的焦點為

F

（1，0），準(zhǔn)線方程為

x

＝－1.

根據(jù)題意可得，｜

PQ

｜＝｜

PF

｜＋｜

QF

｜＝

x

1＋1＋

x

2＋1＝

x

1

＋

x

2＋2＝8.3.焦點在

y

軸上，焦點到準(zhǔn)線的距離為5的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

?

?.解析：設(shè)方程為

x

2＝2

my

（

m

≠0），由焦點到準(zhǔn)線的距離為5，

知｜

m

｜＝5，

m

＝±5，所以滿足條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x

2＝

10

y

或

x

2＝－10

y

.x

2＝

10

y

或

x

2＝－10

y

4.頂點在原點，且過點

P

（－2，3）的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是

?

?.

y

2＝－

1.與拋物線焦點弦有關(guān)的常用結(jié)論如圖，傾斜角為θ的直線

AB

與拋物線

y

2＝2

px

（

p

＞0）交于

A

，

B

兩點，

F

為拋物線的焦點，設(shè)

A

（

x

1，

y

1），

B

（

x

2，

y

2）.則有

（3）通徑：過焦點且垂直于對稱軸的弦，長為2

p

；

（5）以弦

AB

為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；以

AF

或

BF

為直徑的圓與

y

軸相切.2.若

A

，

B

為拋物線

y

2＝2

px

（

p

＞0）上兩點，且

OA

⊥

OB

，則直線

AB

過定點（2

p

，0）.

1.直線

l

過拋物線

C

：

y

2＝12

x

的焦點，且與拋物線

C

交于

A

，

B

兩

點，若弦

AB

的長為16，則直線

l

的傾斜角α＝

?.

PART2考點分類突破精選考點典例研析技法重悟通課堂演練拋物線的定義及應(yīng)用考向1

求軌跡方程【例1】已知動圓

P

與定圓

C

：（

x

－2）2＋

y

2＝1相外切，又與定

直線

l

：

x

＝－1相切，那么動圓的圓心

P

的軌跡方程是（

）A.

y

2＝4

x

B.

y

2＝－4

x

C.

y

2＝8

x

D.

y

2＝－8

x

解題技法求軌跡問題的兩種方法（1）直接法：按照動點適合條件直接代入求方程；（2）定義法：用拋物線的定義可以確定動點與定點、定直線距離有

關(guān)的軌跡是否為拋物線.考向2

最值問題【例2】若拋物線

y

2＝4

x

的準(zhǔn)線為

l

，

P

是拋物線上任意一點，則

P

到準(zhǔn)線

l

的距離與

P

到直線3

x

＋4

y

＋7＝0的距離之和的最小值是

（

）A.2D.3

解題技法與拋物線有關(guān)的最值問題的兩個轉(zhuǎn)化策略（1）將拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點到焦點的距離，構(gòu)造

出“兩點之間線段最短”“三角形兩邊之和大于第三邊”，使

問題得以解決；（2）將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，利用“與

直線上所有點的連線中垂線段最短”解決.

1.動圓過點（1，0），且與直線

x

＝－1相切，則動圓的圓心的軌跡方

程為

?.解析：設(shè)動圓的圓心坐標(biāo)為（

x

，

y

），則圓心到點（1，0）的距

離與到直線

x

＝－1的距離相等，根據(jù)拋物線的定義易知動圓的圓心

的軌跡方程為

y

2＝4

x

.y

2＝4

x

2.（2024·天門模擬）若在拋物線

y

2＝－4

x

上存在一點

P

，使其到焦

點

F

的距離與到點

A

（－2，1）的距離之和最小，則該點的坐標(biāo)

為

?.

3.已知拋物線

x

2＝4

y

上有一條長為6的動弦

AB

，則弦

AB

的中點到

x

軸的最短距離為

?.

2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)【例3】

（1）已知

F

為拋物線

C

：

y

2＝2

px

（

p

＞0）的焦點，過

F

作垂直于

x

軸的直線交拋物線于

M

，

N

兩點，以

MN

為直徑的圓交

y

軸

于

C

，

D

兩點，且｜

CD

｜＝3，則拋物線方程為（

）A.

y

2＝2

x

D.

y

2＝6

x

（2）（2021·新高考Ⅰ卷14題）已知

O

為坐標(biāo)原點，拋物線

C

：

y

2＝2

px

（

p

＞0）的焦點為

F

，

P

為

C

上一點，

PF

與

x

軸垂直，

Q

為

x

軸上一點，且

PQ

⊥

OP

.

若｜

FQ

｜＝6，則

C

的準(zhǔn)線方程為

?

?.x

解題技法1.求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法（1）定義法：若題目已給出拋物線的方程（含有未知數(shù)

p

），那么

只需求出

p

即可；（2）待定系數(shù)法：若題目未給出拋物線的方程，對于焦點在

x

軸上

的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可統(tǒng)一設(shè)為

y

2＝

ax

（

a

≠0）；焦點在

y

軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為

x

2＝

ay

（

a

≠0），

a

的正負(fù)

由題設(shè)來定，這樣就減少了不必要的討論.2.拋物線性質(zhì)的應(yīng)用技巧（1）利用拋物線方程確定其焦點、準(zhǔn)線時，關(guān)鍵是將拋物線方程

化成標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）要結(jié)合圖形分析，靈活運用平面圖形的性質(zhì)簡化運算.

1.已知

A

為拋物線

C

：

y

2＝2

px

（

p

＞0）上一點，點

A

到

C

的焦點的

距離為12，到

y

軸的距離為9，則

p

＝（

）A.2B.3C.6D.9

直線與拋物線的位置關(guān)系

A.

p

＝2C.以

MN

為直徑的圓與

l

相切D.△

OMN

為等腰三角形

解題技法求解直線與拋物線綜合問題的方法（1）研究直線與拋物線的位置關(guān)系與研究直線與橢圓、雙曲線的位

置關(guān)系的方法類似，一般是用方程法，但涉及拋物線的弦長、

中點、距離等問題時，要注意“設(shè)而不求”“整體代入”“點

差法”以及定義的靈活應(yīng)用；（2）有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦

點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式｜

AB

｜＝

x

1＋

x

2＋

p

（焦點在

x

軸正半軸），若不過焦點，則必須用弦長公式.

x

＋2

y

－3＝0

2.在平面直角坐標(biāo)系

xOy

中，拋物線Γ：

x

2＝8

y

的焦點為

F

，過點F'

（0，－2）的直線

l

與拋物線Γ交于

A

（

x

1，

y

1），

B

（

x

2，

y

2）兩

點（其中0＜

x

1＜

x

2），連接

BF

并延長交拋物線Γ于點

C

，記直線

l

的斜率為

k

，直線CF'的斜率為k'，則

k

＋k'＝

?.

0PART3課時跟蹤檢測關(guān)鍵能力分層施練素養(yǎng)重提升課后練習(xí)1.（2024·瀘州一模）拋物線

C

：

y

2＝4

x

的焦點為

F

，點

P

是

C

上一

點，若｜

PF

｜＝5，則點

P

到

y

軸的距離為（

）A.4B.3C.2D.1解析：

根據(jù)題意，點

F

的坐標(biāo)為（1，0），故｜

PF

｜＝

xP

＋1

＝5，即

xP

＝4，即點

P

到

y

軸的距離為4.故選A.12345678910111213141516171819202122232425262728

3.（2024·南昌聯(lián)考）已知拋物線

E

：

x

2＝4

y

，圓

C

：

x

2＋（

y

－3）2

＝1，

P

為

E

上一點，

Q

為

C

上一點，則｜

PQ

｜的最小值為（

）A.2D.3

4.（2024·黃岡模擬）中國古代橋梁的建筑藝術(shù)，有不少是世界橋梁

史上的創(chuàng)舉，充分顯示了中國勞動人民的非凡智慧.一個拋物線型拱

橋，當(dāng)水面離拱頂2m時，水面寬8m.若水面下降1m，則水面寬度

為（

）D.12m

5.（多選）已知點

O

為坐標(biāo)原點，直線

y

＝

x

－1與拋物線

C

：

y

2＝4

x

相交于

A

，

B

兩點，則（

）A.｜

AB

｜＝8B.

OA

⊥

OB

D.線段

AB

的中點到直線

x

＝0的距離為2

6.（多選）已知拋物線

y

2＝2

px

（

p

＞0）的焦點

F

到準(zhǔn)線的距離為

4，直線

l

過點

F

且與拋物線交于

A

（

x

1，

y

1），

B

（

x

2，

y

2）兩

點，若

M

（

m

，2）是線段

AB

的中點，則下列結(jié)論正確的是（

）A.

p

＝4B.拋物線方程為

y

2＝16

x

C.直線

l

的方程為

y

＝2

x

－4D.｜

AB

｜＝10

7.（2024·天津高考12題）過原點

O

的一條直線與圓

C

：（

x

＋2）2＋

y

2＝3相切，交曲線

y

2＝2

px

（

p

＞0）于點

P

，若｜

OP

｜＝8，則

p

的值為

?.

6