專題19 解三角形大題綜合（含解析）- 十年（2015-2024）高考真題數(shù)學(xué)分項(xiàng)匯編（全國用）

專題19解三角形大題綜合考點(diǎn)十年考情（2015-2024）命題趨勢(shì)考點(diǎn)1求面積的值及范圍或最值（10年7考）2024·北京卷、2023·全國甲卷、2023·全國乙卷2022·浙江卷、2019·全國卷、2017·全國卷2016·全國卷、2015·浙江卷、2015·全國卷2015·山東卷掌握正弦定理、余弦定理及其相關(guān)變形應(yīng)用，會(huì)用三角形的面積公式解決與面積有關(guān)的計(jì)算問題，會(huì)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決三角形中的綜合問題，會(huì)利用基本不等式和相關(guān)函數(shù)性質(zhì)解決三角形中的最值及范圍問題本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般給以大題來命題、考查正余弦定理和三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，同時(shí)也結(jié)合三角函數(shù)及三角恒等變換等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行綜合考查，也常結(jié)合基本不等式和相關(guān)函數(shù)性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)求解范圍及最值，需重點(diǎn)復(fù)習(xí)?？键c(diǎn)2求邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)的值及范圍或最值（10年8考）2024·全國新Ⅱ卷、2024·全國新Ⅰ卷、2023·全國新Ⅱ卷、2022·全國新Ⅱ卷、2022·全國乙卷、2022·北京卷、2022·全國新Ⅰ卷、2020·全國卷、2020·全國卷、2018·全國卷、2017·全國卷、2017·山東卷2017·全國卷、2016·全國卷、2015·浙江卷2015·山東卷考點(diǎn)3求角和三角函數(shù)的值及范圍或最值（10年10考）2024·天津卷、2023·天津卷、2022·天津卷、2021·天津卷、2021·全國新Ⅰ卷、2020·天津卷2020·浙江卷、2020·江蘇卷、2019·江蘇卷2019·北京卷、2019·全國卷、2018·天津卷2017·天津卷、2017·天津卷、2016·四川卷2016·浙江卷、2016·浙江卷、2016·天津卷2016·北京卷、2016·山東卷、2016·四川卷2016·江蘇卷、2015·江蘇卷、2015·天津卷2015·四川卷、2015·湖南卷、2015·湖南卷2015·全國卷考點(diǎn)4求三角形的高、中線、角平分線及其他線段長(zhǎng)（10年幾考）2023·全國新Ⅰ卷、2018·北京卷、2018·全國卷2015·安徽卷、2015·全國卷考點(diǎn)5三角形中的證明問題（10年4考）2022·全國乙卷、2021·全國新Ⅰ卷、2016·四川卷2016·浙江卷、2016·山東卷、2016·四川卷2015·湖南卷考點(diǎn)01求面積的值及范圍或最值1．（2024·北京·高考真題）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，為鈍角，，．(1)求；(2)從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．2．（2023·全國甲卷·高考真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求面積．3．（2023·全國乙卷·高考真題）在中，已知，，.(1)求；(2)若D為BC上一點(diǎn)，且，求的面積.4．（2022·浙江·高考真題）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．5．（2019·全國·高考真題）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．6．（2017·全國·高考真題）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為已知.（1）求角和邊長(zhǎng)；（2）設(shè)為邊上一點(diǎn)，且,求的面積.7．（2016·全國·高考真題）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周長(zhǎng).8．（2015·浙江·高考真題）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為.已知.（1）求的值；（2）若，求的面積.9．（2015·全國·高考真題）已知分別是內(nèi)角的對(duì)邊，．（1）若，求（2）若，且求的面積．10．（2015·山東·高考真題）設(shè).（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）在銳角中，角的對(duì)邊分別為,若,求面積的最大值.考點(diǎn)02求邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)的值及范圍或最值1．（2024·全國新Ⅱ卷·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周長(zhǎng)．2．（2024·全國新Ⅰ卷·高考真題）記的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面積為，求c．3．（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知的面積為，為中點(diǎn)，且．(1)若，求；(2)若，求．4．（2022·全國新Ⅱ卷·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．5．（2022·全國乙卷·高考真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長(zhǎng)．6．（2022·北京·高考真題）在中，．(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．7．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．8．（2020·全國·高考真題）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知B=150°.（1）若a=c，b=2，求的面積；（2）若sinA+sinC=，求C.9．（2020·全國·高考真題）中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求周長(zhǎng)的最大值.10．（2018·全國·高考真題）在平面四邊形中，，，，.（1）求；（2）若，求.11．（2017·全國·高考真題）△ABC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知△ABC的面積為(1)求;(2)若求△ABC的周長(zhǎng).12．（2017·山東·高考真題）在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知b=3,,S△ABC=3,求A和a.13．（2017·全國·高考真題）△ABC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求；（2）若，△ABC的面積為2，求．14．（2016·全國·高考真題）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周長(zhǎng).15．（2015·浙江·高考真題）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，=.（1）求的值；（2）若的面積為3，求的值.16．（2015·山東·高考真題）中，角所對(duì)的邊分別為.已知求和的值.考點(diǎn)03求角和三角函數(shù)的值及范圍或最值1．（2024·天津·高考真題）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知．(1)求；(2)求；(3)求的值．2．（2023·天津·高考真題）在中，角所對(duì)的邊分別是．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．3．（2022·天津·高考真題）在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.4．（2021·天津·高考真題）在，角所對(duì)的邊分別為，已知，．（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．5．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）記是內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.6．（2020·天津·高考真題）在中，角所對(duì)的邊分別為．已知．（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．7．（2020·浙江·高考真題）在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（I）求角B的大?。唬↖I）求cosA+cosB+cosC的取值范圍．8．（2020·江蘇·高考真題）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求的值；（2）在邊BC上取一點(diǎn)D，使得，求的值．9．（2019·江蘇·高考真題）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；（2）若，求的值．10．（2019·北京·高考真題）在△ABC中，a=3，b?c=2，cosB=．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B–C）的值．11．（2019·全國·高考真題）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)．（1）求A；（2）若，求sinC．12．（2018·天津·高考真題）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知.（1）求角B的大??；（2）設(shè)a=2，c=3，求b和的值.13．（2017·天津·高考真題）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知，.（I）求的值；（II）求的值.14．（2017·天津·高考真題）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知，，.（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）求的值.15．（2016·四川·高考真題）在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且.（Ⅰ）證明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若，求tanB．16．（2016·浙江·高考真題）在ABC中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知b+c=2acosB.（Ⅰ）證明：A=2B；（Ⅱ）若cosB=，求cosC的值．17．（2016·浙江·高考真題）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知．（1）證明：；（2）若的面積，求角的大?。?8．（2016·天津·高考真題）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為a,b,c，已知.（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，求sinC的值.19．（2016·北京·高考真題）在△ABC中，(1)求B的大小；(2)求cosA＋cosC的最大值．20．（2016·山東·高考真題）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝.(1)證明：a＋b＝2c；(2)求cosC的最小值．21．（2016·四川·高考真題）在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，求.22．（2016·江蘇·高考真題）在中，AC=6，（1）求AB的長(zhǎng)；（2）求的值.23．（2015·江蘇·高考真題）在中，已知.（1）求的長(zhǎng)；（2）求的值.24．（2015·天津·高考真題）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知的面積為．(1)求和的值；(2)求的值．25．（2015·四川·高考真題）如圖，A，B，C，D為平面四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角.（1）證明：（2）若求的值.26．（2015·湖南·高考真題）設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，且為鈍角，求.27．（2015·湖南·高考真題）設(shè)的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，且為鈍角.（1）證明：；（2）求的取值范圍.28．（2015·全國·高考真題）△ABC中D是BC上的點(diǎn),AD平分BAC,BD=2DC．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若,求.考點(diǎn)04求三角形的高、中線、角平分線及其他線段長(zhǎng)1．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知在中，．(1)求；(2)設(shè)，求邊上的高．2．（2018·北京·高考真題）在中，．（1）求；（2）求邊上的高．3．（2018·全國·高考真題）在平面四邊形中，，，，.（1）求；（2）若，求.4．（2015·安徽·高考真題）在中，,點(diǎn)D在邊上，，求的長(zhǎng).5．（2015·全國·高考真題）中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，面積是面積的2倍．(1)求；(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的長(zhǎng)．考點(diǎn)05三角形中的證明問題1．（2022·全國乙卷·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)證明：2．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）記是內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.3．（2016·四川·高考真題）在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且.（Ⅰ）證明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若，求tanB．4．（2016·浙江·高考真題）在ABC中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知b+c=2acosB.（Ⅰ）證明：A=2B；（Ⅱ）若cosB=，求cosC的值．5．（2016·山東·高考真題）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝.(1)證明：a＋b＝2c；(2)求cosC的最小值．6．（2016·四川·高考真題）在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，求.7．（2015·湖南·高考真題）設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，且為鈍角，求.專題19解三角形大題綜合考點(diǎn)十年考情（2015-2024）命題趨勢(shì)考點(diǎn)1求面積的值及范圍或最值（10年7考）2024·北京卷、2023·全國甲卷、2023·全國乙卷2022·浙江卷、2019·全國卷、2017·全國卷2016·全國卷、2015·浙江卷、2015·全國卷2015·山東卷掌握正弦定理、余弦定理及其相關(guān)變形應(yīng)用，會(huì)用三角形的面積公式解決與面積有關(guān)的計(jì)算問題，會(huì)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決三角形中的綜合問題，會(huì)利用基本不等式和相關(guān)函數(shù)性質(zhì)解決三角形中的最值及范圍問題本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般給以大題來命題、考查正余弦定理和三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，同時(shí)也結(jié)合三角函數(shù)及三角恒等變換等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行綜合考查，也常結(jié)合基本不等式和相關(guān)函數(shù)性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)求解范圍及最值，需重點(diǎn)復(fù)習(xí)?？键c(diǎn)2求邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)的值及范圍或最值（10年8考）2024·全國新Ⅱ卷、2024·全國新Ⅰ卷、2023·全國新Ⅱ卷、2022·全國新Ⅱ卷、2022·全國乙卷、2022·北京卷、2022·全國新Ⅰ卷、2020·全國卷、2020·全國卷、2018·全國卷、2017·全國卷、2017·山東卷2017·全國卷、2016·全國卷、2015·浙江卷2015·山東卷考點(diǎn)3求角和三角函數(shù)的值及范圍或最值（10年10考）2024·天津卷、2023·天津卷、2022·天津卷、2021·天津卷、2021·全國新Ⅰ卷、2020·天津卷2020·浙江卷、2020·江蘇卷、2019·江蘇卷2019·北京卷、2019·全國卷、2018·天津卷2017·天津卷、2017·天津卷、2016·四川卷2016·浙江卷、2016·浙江卷、2016·天津卷2016·北京卷、2016·山東卷、2016·四川卷2016·江蘇卷、2015·江蘇卷、2015·天津卷2015·四川卷、2015·湖南卷、2015·湖南卷2015·全國卷考點(diǎn)4求三角形的高、中線、角平分線及其他線段長(zhǎng)（10年幾考）2023·全國新Ⅰ卷、2018·北京卷、2018·全國卷2015·安徽卷、2015·全國卷考點(diǎn)5三角形中的證明問題（10年4考）2022·全國乙卷、2021·全國新Ⅰ卷、2016·四川卷2016·浙江卷、2016·山東卷、2016·四川卷2015·湖南卷考點(diǎn)01求面積的值及范圍或最值1．（2024·北京·高考真題）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，為鈍角，，．(1)求；(2)從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)；(2)選擇①無解；選擇②和③△ABC面積均為.【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；（2）選擇①，利用正弦定理得，結(jié)合（1）問答案即可排除；選擇②，首先求出，再代入式子得，再利用兩角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面積公式即可；選擇③，首先得到，再利用正弦定理得到，再利用兩角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面積公式即可；【詳解】（1）由題意得，因?yàn)闉殁g角，則，則，則，解得，因?yàn)闉殁g角，則.（2）選擇①，則，因?yàn)?，則為銳角，則，此時(shí)，不合題意，舍棄；選擇②，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，則代入得，解得，,則.選擇③，則有，解得，則由正弦定理得，即，解得，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，則，則2．（2023·全國甲卷·高考真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面積，對(duì)等式恒等變換，即可解出．【詳解】（1）因?yàn)?，所以，解得：．?）由正弦定理可得，變形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面積為．3．（2023·全國乙卷·高考真題）在中，已知，，.(1)求；(2)若D為BC上一點(diǎn)，且，求的面積.【答案】(1)；(2).【分析】(1)首先由余弦定理求得邊長(zhǎng)的值為，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得；(2)由題意可得，則，據(jù)此即可求得的面積.【詳解】（1）由余弦定理可得：，則，，.（2）由三角形面積公式可得，則.4．（2022·浙江·高考真題）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）先由平方關(guān)系求出，再根據(jù)正弦定理即可解出；（2）根據(jù)余弦定理的推論以及可解出，即可由三角形面積公式求出面積．【詳解】（1）由于，，則．因?yàn)?，由正弦定理知，則．（2）因?yàn)?，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面積．5．（2019·全國·高考真題）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．【答案】(1);(2).【分析】(1)利用正弦定理化簡(jiǎn)題中等式，得到關(guān)于B的三角方程，最后根據(jù)A,B,C均為三角形內(nèi)角解得.(2)根據(jù)三角形面積公式，又根據(jù)正弦定理和得到關(guān)于的函數(shù)，由于是銳角三角形，所以利用三個(gè)內(nèi)角都小于來計(jì)算的定義域，最后求解的值域.【詳解】(1)[方法一]【最優(yōu)解：利用三角形內(nèi)角和為結(jié)合正弦定理求角度】由三角形的內(nèi)角和定理得，此時(shí)就變?yōu)椋烧T導(dǎo)公式得，所以．在中，由正弦定理知，此時(shí)就有，即，再由二倍角的正弦公式得，解得．[方法二]【利用正弦定理解方程求得的值可得的值】由解法1得，兩邊平方得，即．又，即，所以，進(jìn)一步整理得，解得，因此．[方法三]【利用正弦定理結(jié)合三角形內(nèi)角和為求得的比例關(guān)系】根據(jù)題意，由正弦定理得，因?yàn)椋?，消去得．，，因?yàn)楣驶蛘?，而根?jù)題意，故不成立，所以，又因?yàn)?，代入得，所?(2)[方法一]【最優(yōu)解：利用銳角三角形求得C的范圍，然后由面積函數(shù)求面積的取值范圍】因?yàn)槭卿J角三角形，又，所以，則．因?yàn)椋?，則，從而，故面積的取值范圍是．[方法二]【由題意求得邊的取值范圍，然后結(jié)合面積公式求面積的取值范圍】由題設(shè)及（1）知的面積．因?yàn)闉殇J角三角形，且，所以即又由余弦定理得，所以即，所以，故面積的取值范圍是．[方法三]【數(shù)形結(jié)合，利用極限的思想求解三角形面積的取值范圍】如圖，在中，過點(diǎn)A作，垂足為，作與交于點(diǎn)．由題設(shè)及（1）知的面積，因?yàn)闉殇J角三角形，且，所以點(diǎn)C位于在線段上且不含端點(diǎn)，從而，即，即，所以，故面積的取值范圍是．

【整體點(diǎn)評(píng)】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理，與三角形內(nèi)角和相結(jié)合是常用的方法；方法二：方程思想是解題的關(guān)鍵，解三角形的問題可以利用余弦值確定角度值；方法三：由正弦定理結(jié)合角度關(guān)系可得內(nèi)角的比例關(guān)系，從而確定角的大小.(2)方法一：由題意結(jié)合角度的范圍求解面積的范圍是常規(guī)的做法；方法二：將面積問題轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)的問題，然后求解邊長(zhǎng)的范圍可得面積的范圍；方法三：極限思想和數(shù)形結(jié)合體現(xiàn)了思維的靈活性，要求學(xué)生對(duì)幾何有深刻的認(rèn)識(shí)和靈活的應(yīng)用.6．（2017·全國·高考真題）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為已知.（1）求角和邊長(zhǎng)；（2）設(shè)為邊上一點(diǎn)，且,求的面積.【答案】（1），；（2）.【詳解】試題分析：（1）先根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系求出從而可得的值，再根據(jù)余弦定理列方程即可求出邊長(zhǎng)的值；（2）先根據(jù)余弦定理求出，求出的長(zhǎng)，可得，從而得到，進(jìn)而可得結(jié)果.試題解析：（1），，由余弦定理可得，即，即，解得（舍去）或，故.(2)，，，，，.7．（2016·全國·高考真題）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周長(zhǎng).【答案】（1）（2）【詳解】試題分析：（1）根據(jù)正弦定理把化成，利用和角公式可得從而求得角；（2）根據(jù)三角形的面積和角的值求得，由余弦定理求得邊得到的周長(zhǎng).試題解析：（1）由已知可得（2）又，的周長(zhǎng)為考點(diǎn)：正余弦定理解三角形.8．（2015·浙江·高考真題）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為.已知.（1）求的值；（2）若，求的面積.【答案】（1）；（2）【詳解】（1）利用兩角和與差的正切公式，得到，利用同角三角函數(shù)基本函數(shù)關(guān)系式得到結(jié)論；（2）利用正弦定理得到邊的值，根據(jù)三角形，兩邊一夾角的面積公式計(jì)算得到三角形的面積.試題解析：（1）由，得，所以.（2）由可得，.，由正弦定理知：.又，所以.考點(diǎn)：1.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式；2.正弦定理；3.三角形面積公式.9．（2015·全國·高考真題）已知分別是內(nèi)角的對(duì)邊，．（1）若，求（2）若，且求的面積．【答案】（1）；（2）1【詳解】試題分析：（1）由，結(jié)合正弦定理可得：，再利用余弦定理即可得出（2）利用（1）及勾股定理可得c，再利用三角形面積計(jì)算公式即可得出試題解析：（1）由題設(shè)及正弦定理可得又，可得由余弦定理可得（2）由（1）知因?yàn)?，由勾股定理得故，得所以的面積為1考點(diǎn)：正弦定理，余弦定理解三角形10．（2015·山東·高考真題）設(shè).（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）在銳角中，角的對(duì)邊分別為,若,求面積的最大值.【答案】（Ⅰ）單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是（Ⅱ）面積的最大值為【詳解】試題分析：（Ⅰ）首先利用二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求其單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）首先由結(jié)合（Ⅰ）的結(jié)果，確定角A的值，然后結(jié)合余弦定理求出三角形面積的最大值.試題解析：解：（Ⅰ）由題意知由可得由可得所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是（Ⅱ）由得由題意知為銳角，所以由余弦定理：可得：即：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.因此所以面積的最大值為考點(diǎn)：1、誘導(dǎo)公式；2、三角函數(shù)的二倍角公式；3、余弦定理；4、基本不等式.考點(diǎn)02求邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)的值及范圍或最值1．（2024·全國新Ⅱ卷·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)輔助角公式對(duì)條件進(jìn)行化簡(jiǎn)處理即可求解，常規(guī)方法還可利用同角三角函數(shù)的關(guān)系解方程組，亦可利用導(dǎo)數(shù)，向量數(shù)量積公式，萬能公式解決；（2）先根據(jù)正弦定理邊角互化算出，然后根據(jù)正弦定理算出即可得出周長(zhǎng).【詳解】（1）方法一：常規(guī)方法（輔助角公式）由可得，即，由于，故，解得方法二：常規(guī)方法（同角三角函數(shù)的基本關(guān)系）由，又，消去得到：，解得，又，故方法三：利用極值點(diǎn)求解設(shè)，則，顯然時(shí)，，注意到，，在開區(qū)間上取到最大值，于是必定是極值點(diǎn)，即，即，又，故方法四：利用向量數(shù)量積公式（柯西不等式）設(shè)，由題意，，根據(jù)向量的數(shù)量積公式，，則，此時(shí)，即同向共線，根據(jù)向量共線條件，，又，故方法五：利用萬能公式求解設(shè)，根據(jù)萬能公式，，整理可得，，解得，根據(jù)二倍角公式，，又，故（2）由題設(shè)條件和正弦定理，又，則，進(jìn)而，得到，于是，，由正弦定理可得，，即，解得，故的周長(zhǎng)為2．（2024·全國新Ⅰ卷·高考真題）記的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面積為，求c．【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理、平方關(guān)系依次求出，最后結(jié)合已知得的值即可；（2）首先求出，然后由正弦定理可將均用含有的式子表示，結(jié)合三角形面積公式即可列方程求解.【詳解】（1）由余弦定理有，對(duì)比已知，可得，因?yàn)椋?，從而，又因?yàn)椋?，注意到，所?（2）由（1）可得，，，從而，，而，由正弦定理有，從而，由三角形面積公式可知，的面積可表示為，由已知的面積為，可得，所以.3．（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知的面積為，為中點(diǎn)，且．(1)若，求；(2)若，求．【答案】(1)；(2).【分析】（1）方法1，利用三角形面積公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面積公式求出，作出邊上的高，利用直角三角形求解作答.（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面積公式求出即可求解作答；方法2，利用向量運(yùn)算律建立關(guān)系求出a，再利用三角形面積公式求出即可求解作答.【詳解】（1）方法1：在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，，

則，解得，在中，，由余弦定理得，即，解得，則，，所以.方法2：在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，，則，解得，在中，由余弦定理得，即，解得，有，則，，過作于，于是，，所以.（2）方法1：在與中，由余弦定理得，整理得，而，則，又，解得，而，于是，所以.方法2：在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，則，又，于是，即，解得，又，解得，而，于是，所以.4．（2022·全國新Ⅱ卷·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．【答案】(1)(2)【分析】（1）先表示出，再由求得，結(jié)合余弦定理及平方關(guān)系求得，再由面積公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.【詳解】（1）由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；（2）由正弦定理得：，則，則，.5．（2022·全國乙卷·高考真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)14【分析】（1）利用兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦定理和余弦定理化角為邊，從而即可得證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合余弦定理求出，從而可求得，即可得解.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以，所以，即，所以；?）解：因?yàn)?，由?）得，由余弦定理可得，則，所以，故，所以，所以的周長(zhǎng)為.6．（2022·北京·高考真題）在中，．(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)可得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用三角形的面積公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周長(zhǎng).【詳解】（1）解：因?yàn)?，則，由已知可得，可得，因此，.（2）解：由三角形的面積公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周長(zhǎng)為.7．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將化成，再結(jié)合，即可求出；（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式將化成，然后利用基本不等式即可解出．【詳解】（1）因?yàn)?，即，而，所以；?）由（1）知，，所以，而，所以，即有，所以所以．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．8．（2020·全國·高考真題）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知B=150°.（1）若a=c，b=2，求的面積；（2）若sinA+sinC=，求C.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）已知角和邊，結(jié)合關(guān)系，由余弦定理建立的方程，求解得出，利用面積公式，即可得出結(jié)論；（2）方法一：將代入已知等式，由兩角差的正弦和輔助角公式，化簡(jiǎn)得出有關(guān)角的三角函數(shù)值，結(jié)合的范圍，即可求解.【詳解】（1）由余弦定理可得，的面積；（2）[方法一]：多角換一角，，，.[方法二]：正弦角化邊由正弦定理及得．故．由，得．又由余弦定理得，所以，解得．所以．【整體點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理、三角恒等變換解三角形，熟記公式是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.其中第二問法一主要考查三角恒等變換解三角形，法二則是通過余弦定理找到三邊的關(guān)系，進(jìn)而求角.9．（2020·全國·高考真題）中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求周長(zhǎng)的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理角化邊，配湊出的形式，進(jìn)而求得；（2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】（1）由正弦定理可得：，，，.（2）[方法一]【最優(yōu)解】：余弦+不等式由余弦定理得：，即.（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，解得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），周長(zhǎng)，周長(zhǎng)的最大值為.[方法二]：正弦化角（通性通法）設(shè)，則，根據(jù)正弦定理可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．此時(shí)周長(zhǎng)的最大值為．[方法三]：余弦與三角換元結(jié)合在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知當(dāng)時(shí)，，所以周長(zhǎng)的最大值為．【整體點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形的相關(guān)知識(shí)，涉及到正弦定理角化邊的應(yīng)用、余弦定理的應(yīng)用、三角形周長(zhǎng)最大值的求解問題；方法一：求解周長(zhǎng)最大值的關(guān)鍵是能夠在余弦定理構(gòu)造的等式中，結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求得最值.方法二采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍進(jìn)行求解最值，如果三角形是銳角三角形或有限制條件的，則采用此法解決.方法三巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)求最值問題.10．（2018·全國·高考真題）在平面四邊形中，，，，.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）方法一：根據(jù)正弦定理得到，求得，結(jié)合角的范圍，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，求得；（2）方法一：根據(jù)第一問的結(jié)論可以求得，在中，根據(jù)余弦定理即可求出．【詳解】（1）［方法1］：正弦定理＋平方關(guān)系在中，由正弦定理得，代入數(shù)值并解得．又因?yàn)?，所以，即為銳角，所以．［方法2］：余弦定理在中，，即，解得：，所以，．［方法3］：【最優(yōu)解】利用平面幾何知識(shí)如圖，過B點(diǎn)作，垂足為E，，垂足為F．在中，因?yàn)?，，所以．在中，因?yàn)?，則．所以．［方法4］：坐標(biāo)法以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸，為y軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系（圖略）．設(shè)，則．因?yàn)?，所以．從而，又是銳角，所以，．（2）［方法1］：【通性通法】余弦定理在，由（1）得，，，所以．［方法2］：【最優(yōu)解】利用平面幾何知識(shí)作，垂足為F，易求，，，由勾股定理得．【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一：根據(jù)題目條件已知兩邊和一邊對(duì)角，利用正弦定理和平方關(guān)系解三角形，屬于通性通法；方法二：根據(jù)題目條件已知兩邊和一邊對(duì)角，利用余弦定理解三角形，也屬于通性通法；方法三：根據(jù)題意利用幾何知識(shí)，解直角三角形，簡(jiǎn)單易算．方法四：建立坐標(biāo)系，通過兩點(diǎn)間的距離公式，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，這是解析思想的體現(xiàn)．（2）方法一：已知兩邊及夾角，利用余弦定理解三角形，是通性通法．方法二：利用幾何知識(shí)，解直角三角形，簡(jiǎn)單易算．11．（2017·全國·高考真題）△ABC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知△ABC的面積為(1)求;(2)若求△ABC的周長(zhǎng).【答案】(1)(2).【詳解】試題分析：（1）由三角形面積公式建立等式，再利用正弦定理將邊化成角，從而得出的值；（2）由和計(jì)算出，從而求出角，根據(jù)題設(shè)和余弦定理可以求出和的值，從而求出的周長(zhǎng)為.試題解析：（1）由題設(shè)得，即.由正弦定理得.故.（2）由題設(shè)及（1）得，即.所以，故.由題設(shè)得，即.由余弦定理得，即，得.故的周長(zhǎng)為.點(diǎn)睛:在處理解三角形問題時(shí)，要注意抓住題目所給的條件，當(dāng)題設(shè)中給定三角形的面積，可以使用面積公式建立等式，再將所有邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，有時(shí)需將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系；解三角形問題常見的一種考題是“已知一條邊的長(zhǎng)度和它所對(duì)的角，求面積或周長(zhǎng)的取值范圍”或者“已知一條邊的長(zhǎng)度和它所對(duì)的角，再有另外一個(gè)條件，求面積或周長(zhǎng)的值”，這類問題的通法思路是：全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，如，從而求出范圍，或利用余弦定理以及基本不等式求范圍；求具體的值直接利用余弦定理和給定條件即可.12．（2017·山東·高考真題）在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知b=3,,S△ABC=3,求A和a.【答案】，【詳解】試題分析：先由數(shù)量積公式及三角形面積公式得,由此求A,再利用余弦定理求a.試題解析：因?yàn)?，所以，又，所以，因此，又，所以，又，所?由余弦定理，得，所以.【考點(diǎn)】解三角形【名師點(diǎn)睛】正、余弦定理是應(yīng)用極為廣泛的兩個(gè)定理,它將三角形的邊和角有機(jī)地聯(lián)系起來,從而使三角與幾何產(chǎn)生聯(lián)系,為求與三角形有關(guān)的量(如面積、外接圓、內(nèi)切圓半徑和面積等)提供了理論依據(jù),也是判斷三角形形狀、證明三角形中有關(guān)等式的重要依據(jù)．其主要方法有：化角法,化邊法,面積法,運(yùn)用初等幾何法．注意體會(huì)其中蘊(yùn)涵的函數(shù)與方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想．13．（2017·全國·高考真題）△ABC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求；（2）若，△ABC的面積為2，求．【答案】（1）；（2）2．【詳解】試題分析：（1）利用三角形的內(nèi)角和定理可知，再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，利用降冪公式化簡(jiǎn)，結(jié)合，求出；（2）由（1）可知，利用三角形面積公式求出，再利用余弦定理即可求出.試題解析：（1），∴，∵，∴，∴，∴；（2）由（1）可知，∵，∴，∴，∴．14．（2016·全國·高考真題）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周長(zhǎng).【答案】（1）（2）【詳解】試題分析：（1）根據(jù)正弦定理把化成，利用和角公式可得從而求得角；（2）根據(jù)三角形的面積和角的值求得，由余弦定理求得邊得到的周長(zhǎng).試題解析：（1）由已知可得（2）又，的周長(zhǎng)為考點(diǎn)：正余弦定理解三角形.15．（2015·浙江·高考真題）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，=.（1）求的值；（2）若的面積為3，求的值.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）根據(jù)正弦定理可將條件中的邊之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角之間滿足的關(guān)系，再將式子作三角恒等變形即可求解；（2）根據(jù)條件首先求得的值，再結(jié)合正弦定理以及三角形面積的計(jì)算公式即可求解.試題解析：（1）由及正弦定理得，∴，又由，即，得，解得；（2）由，得，，又∵，∴，由正弦定理得，又∵，，∴，故.考點(diǎn)：1.三角恒等變形；2.正弦定理.16．（2015·山東·高考真題）中，角所對(duì)的邊分別為.已知求和的值.【答案】【分析】由條件先求得，再由正弦定理即可求解.【詳解】在中，由，得.因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，為銳角，，因此.由，可得，又，所以.考點(diǎn)03求角和三角函數(shù)的值及范圍或最值1．（2024·天津·高考真題）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知．(1)求；(2)求；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1），利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出，則得到；（3）法一：根據(jù)大邊對(duì)大角確定為銳角，則得到，再利用二倍角公式和兩角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和兩角差的余弦公式即可.【詳解】（1）設(shè)，，則根據(jù)余弦定理得，即，解得（負(fù)舍）；則.（2）法一：因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以，再根據(jù)正弦定理得，即，解得，法二：由余弦定理得，因?yàn)?，則（3）法一：因?yàn)?，且，所以，由?）法一知，因?yàn)?，則，所以，則，.法二：，則，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以，所以2．（2023·天津·高考真題）在中，角所對(duì)的邊分別是．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)正弦定理即可解出；（2）根據(jù)余弦定理即可解出；（3）由正弦定理求出，再由平方關(guān)系求出，即可由兩角差的正弦公式求出．【詳解】（1）由正弦定理可得，，即，解得：；（2）由余弦定理可得，，即，解得：或（舍去）．（3）由正弦定理可得，，即，解得：，而，所以都為銳角，因此，，．3．（2022·天津·高考真題）在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)余弦定理以及解方程組即可求出；（2）由（1）可求出，再根據(jù)正弦定理即可解出；（3）先根據(jù)二倍角公式求出，再根據(jù)兩角差的正弦公式即可求出．【詳解】（1）因?yàn)?，即，而，代入得，解得：．?）由（1）可求出，而，所以，又，所以．（3）因?yàn)?，所以，故，又，所以，，而，所以，故?．（2021·天津·高考真題）在，角所對(duì)的邊分別為，已知，．（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．【答案】（I）；（II）；（III）【分析】（I）由正弦定理可得，即可求出；（II）由余弦定理即可計(jì)算；（III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由兩角差的正弦公式即可求出.【詳解】（I）因?yàn)?，由正弦定理可得，，；（II）由余弦定理可得；（III），，，，所以.5．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）記是內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系有，結(jié)合已知即可證結(jié)論.（2）方法一：兩次應(yīng)用余弦定理，求得邊與的關(guān)系，然后利用余弦定理即可求得的值.【詳解】（1）設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理，得，因?yàn)?，所以，即．又因?yàn)?，所以．?）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應(yīng)用余弦定理因?yàn)椋鐖D，在中，，①在中，．②由①②得，整理得．又因?yàn)?，所以，解得或，?dāng)時(shí)，（舍去）．當(dāng)時(shí)，．所以．[方法二]：等面積法和三角形相似如圖，已知，則，即，而，即，故有，從而．由，即，即，即，故，即，又，所以，則．[方法三]：正弦定理、余弦定理相結(jié)合由（1）知，再由得．在中，由正弦定理得．又，所以，化簡(jiǎn)得．在中，由正弦定理知，又由，所以．在中，由余弦定理，得．故．[方法四]：構(gòu)造輔助線利用相似的性質(zhì)如圖，作，交于點(diǎn)E，則．由，得．在中，．在中．因?yàn)?，所以，整理得．又因?yàn)?，所以，即或．下同解?．[方法五]：平面向量基本定理因?yàn)椋裕韵蛄繛榛?，有．所以，即，又因?yàn)?，所以．③由余弦定理得，所以④?lián)立③④，得．所以或．下同解法1．[方法六]：建系求解以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，過點(diǎn)D垂直于的直線為y軸，長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，則．由（1）知，，所以點(diǎn)B在以D為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)．設(shè)，則．⑤由知，，即．⑥聯(lián)立⑤⑥解得或（舍去），，代入⑥式得，由余弦定理得．【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問題利用等面積法使得問題轉(zhuǎn)化為更為簡(jiǎn)單的問題，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問題的常用思路；方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長(zhǎng)比例關(guān)系的不錯(cuò)選擇；方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問題更加直觀化.6．（2020·天津·高考真題）在中，角所對(duì)的邊分別為．已知．（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理運(yùn)算即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；（Ⅲ）先計(jì)算出進(jìn)一步求出，再利用兩角和的正弦公式計(jì)算即可.【詳解】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得，又因?yàn)?，所以；（Ⅱ）在中，由，及正弦定理，可得；（Ⅲ）由知角為銳角，由，可得，進(jìn)而，所以.【點(diǎn)晴】本題主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等變換在解三角形中的應(yīng)用，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.7．（2020·浙江·高考真題）在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（I）求角B的大??；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范圍．【答案】（I）；（II）【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值即可確定角B的大??；（II）方法二：結(jié)合(Ⅰ)的結(jié)論將含有三個(gè)角的三角函數(shù)式化簡(jiǎn)為只含有角A的三角函數(shù)式，然后由三角形為銳角三角形確定角A的取值范圍，最后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得的取值范圍.【詳解】（I）[方法一]：余弦定理由，得，即.結(jié)合余弦定，∴，即，即，即，即，∵為銳角三角形，∴，∴，所以，又B為的一個(gè)內(nèi)角，故.[方法二]【最優(yōu)解】：正弦定理邊化角由，結(jié)合正弦定理可得：為銳角三角形，故.（II）[方法一]：余弦定理基本不等式因?yàn)?，并利用余弦定理整理得，?結(jié)合，得.由臨界狀態(tài)（不妨?。┛芍?而為銳角三角形，所以.由余弦定理得，，代入化簡(jiǎn)得故的取值范圍是.[方法二]【最優(yōu)解】：恒等變換三角函數(shù)性質(zhì)結(jié)合(1)的結(jié)論有：.由可得：，，則，.即的取值范圍是.【整體點(diǎn)評(píng)】（I）的方法一，根據(jù)已知條件，利用余弦定理經(jīng)過較復(fù)雜的代數(shù)恒等變形求得，運(yùn)算能力要求較高；方法二則利用正弦定理邊化角，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，是常用的方法，確定為最優(yōu)解；（II）的三種方法中，方法一涉及到較為復(fù)雜的余弦定理代入化簡(jiǎn)，運(yùn)算較為麻煩，方法二直接使用三角恒等變形，簡(jiǎn)潔明快，確定為最優(yōu)解.8．（2020·江蘇·高考真題）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求的值；（2）在邊BC上取一點(diǎn)D，使得，求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得，利用正弦定理求得.（2）方法一：根據(jù)的值，求得的值，由（1）求得的值，從而求得的值，進(jìn)而求得的值.【詳解】（1）[方法一]：正余弦定理綜合法由余弦定理得，所以.由正弦定理得.[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法過點(diǎn)A作，垂足為E．在中，由，可得，又，所以．在中，，因此．（2）[方法一]：兩角和的正弦公式法由于，，所以.由于，所以，所以.所以.由于，所以.所以.[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法+兩角差的正切公式法

在（1）的方法二的圖中，由，可得，從而．又由（1）可得，所以．[方法三]：幾何法+正弦定理法

在（1）的方法二中可得．在中，，所以．在中，由正弦定理可得，由此可得．[方法四]：構(gòu)造直角三角形法

如圖，作，垂足為E，作，垂足為點(diǎn)G．在（1）的方法二中可得．由，可得．在中，．由（1）知，所以在中，，從而．在中，．所以．【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一：使用余弦定理求得，然后使用正弦定理求得；方法二：抓住45°角的特點(diǎn)，作出輔助線，利用幾何方法簡(jiǎn)單計(jì)算即得答案，運(yùn)算尤其簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；（2）方法一：使用兩角和的正弦公式求得的正弦值，進(jìn)而求解；方法二：適當(dāng)作出輔助線，利用兩角差的正切公式求解，運(yùn)算更為簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；方法三：在幾何法的基礎(chǔ)上，使用正弦定理求得的正弦值，進(jìn)而得解；方法四：更多的使用幾何的思維方式，直接作出含有的直角三角形，進(jìn)而求解，也是很優(yōu)美的方法.9．（2019·江蘇·高考真題）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】(1)由題意結(jié)合余弦定理得到關(guān)于c的方程，解方程可得邊長(zhǎng)c的值；(2)由題意結(jié)合正弦定理和同角三角函數(shù)基本關(guān)系首先求得的值，然后由誘導(dǎo)公式可得的值.【詳解】（1）因?yàn)?，由余弦定理，得，?所以.（2）因?yàn)?，由正弦定理，得，所?從而，即，故.因?yàn)?，所以，從?因此.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.10．（2019·北京·高考真題）在△ABC中，a=3，b?c=2，cosB=．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B–C）的值．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【分析】(Ⅰ)由題意列出關(guān)于a,b,c的方程組，求解方程組即可確定b,c的值；(Ⅱ)由題意結(jié)合正弦定理和兩角和差正余弦公式可得的值.【詳解】(Ⅰ)由題意可得：，解得：.(Ⅱ)由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得：，結(jié)合正弦定理可得：，很明顯角C為銳角，故，故.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理、正弦定理的應(yīng)用，兩角和差正余弦公式的應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.11．（2019·全國·高考真題）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)．（1）求A；（2）若，求sinC．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知邊角關(guān)系式可得：，從而可整理出，根據(jù)可求得結(jié)果；（2）[方法一]由題意利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合三角形內(nèi)角和可得，然后結(jié)合輔助角公式可得，據(jù)此由兩角和差正余弦公式可得．【詳解】（1），即：，由正弦定理可得：，，，.（2）[方法一]正弦定理+兩角和差正余弦由（1）知，，所以由，得，整理得，即．又，所以，即，則．[方法二]正弦定理+方程思想由，得，代入，得，整理得，則．由，得，所以．[方法三]余弦定理令．由，得．將代入中，可得，即，解得或（舍去）．所以，從而．[方法四]攝影定理因?yàn)?，所以，由射影定理得，所以．【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：首先由正弦定理邊化角，然后由兩角和差正余弦公式求解的值；方法二：首先由正弦定理邊化角，然后結(jié)合題意列方程，求解方程可得的值；方法三：利用余弦定理求得的值，然后結(jié)合正弦定理可得的值；方法四：利用攝影定理求得的值，然后由兩角和差正余弦公式求解的值；【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的問題，涉及到兩角和差正弦公式、同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能夠利用正弦定理對(duì)邊角關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到余弦定理的形式或角之間的關(guān)系.12．（2018·天津·高考真題）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知.（1）求角B的大小；（2）設(shè)a=2，c=3，求b和的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.【詳解】分析：（Ⅰ）由題意結(jié)合正弦定理邊化角結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得，則B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．結(jié)合二倍角公式和兩角差的正弦公式可得詳解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因?yàn)?，可得B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因?yàn)閍<c，故．因此，所以，點(diǎn)睛：在處理三角形中的邊角關(guān)系時(shí)，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系．題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理．應(yīng)用正、余弦定理時(shí)，注意公式變式的應(yīng)用．解決三角形問題時(shí)，注意角的限制范圍．13．（2017·天津·高考真題）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知，.（I）求的值；（II）求的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【詳解】試題分析：利用正弦定理“角轉(zhuǎn)邊”得出邊的關(guān)系，再根據(jù)余弦定理求出，進(jìn)而得到，由轉(zhuǎn)化為，求出，進(jìn)而求出，從而求出的三角函數(shù)值，利用兩角差的正弦公式求出結(jié)果.試題解析：（Ⅰ）解：由，及，得.由，及余弦定理，得.（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入，得.由（Ⅰ）知，A為鈍角，所以.于是，，故.考點(diǎn)：正弦定理、余弦定理、解三角形【名師點(diǎn)睛】利用正弦定理進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系，利用余弦定理借助三邊關(guān)系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù)值.利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點(diǎn)，經(jīng)常利用三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式，結(jié)合正、余弦定理解題.14．（2017·天津·高考真題）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知，，.（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）求的值.【答案】（Ⅰ）.=.（Ⅱ）.【詳解】試題分析：利用正弦定理“角轉(zhuǎn)邊”得出邊的關(guān)系，再根據(jù)余弦定理求出，進(jìn)而得到，由轉(zhuǎn)化為，求出，進(jìn)而求出，從而求出的三角函數(shù)值，利用兩角差的正弦公式求出結(jié)果.試題解析：（Ⅰ）解：在中，因?yàn)?，故由，可?由已知及余弦定理，有，所以.由正弦定理,得.所以，的值為，的值為.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及，得，所以，.故.考點(diǎn)：正弦定理、余弦定理、解三角形【名師點(diǎn)睛】利用正弦定理進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系，利用余弦定理借助三邊關(guān)系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù)值.利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點(diǎn)，經(jīng)常利用三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式，結(jié)合正、余弦定理解題.15．（2016·四川·高考真題）在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且.（Ⅰ）證明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若，求tanB．【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）4.【詳解】試題分析：本題考查正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題的能力和計(jì)算能力.第（Ⅰ）問，利用正弦定理，將邊角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合誘導(dǎo)公式進(jìn)行證明；第（Ⅱ）問，利用余弦定理解出cosA=，再根據(jù)平方關(guān)系解出sinA，結(jié)合（Ⅰ）可解出tanB的值.試題解析：（Ⅰ）根據(jù)正弦定理，可設(shè)，則a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC.代入中，有，變形可得sinAsinB="sin"AcosB+cosAsinB="sin"（A+B）.在ABC中，由A+B+C=π，有sin（A+B）="sin"（π–C）="sin"C，所以sinAsinB="sin"C.（Ⅱ）由已知，b2+c2–a2=bc，根據(jù)余弦定理，有.所以sinA=.由（Ⅰ），sinAsinB="sin"AcosB+cosAsinB，所以sinB=cosB+sinB，故tanB==4.【考點(diǎn)】正弦定理、余弦定理、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系【名師點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題的能力和計(jì)算能力.在解三角形時(shí)，凡是遇到等式中有邊又有角，可用正弦定理進(jìn)行邊角互化，一種是化為三角函數(shù)問題，一種是化為代數(shù)式的變形問題．在角的變化過程中注意三角形的內(nèi)角和為這個(gè)定理，否則難以得出結(jié)論．16．（2016·浙江·高考真題）在ABC中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知b+c=2acosB.（Ⅰ）證明：A=2B；（Ⅱ）若cosB=，求cosC的值．【答案】（Ⅰ）證明詳見解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，進(jìn)而用兩角和的正弦公式轉(zhuǎn)化為含有，的式子，根據(jù)角的范圍可證；（Ⅱ）先用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及二倍角公式可得，進(jìn)而可得和，再用兩角和的余弦公式可得．【詳解】（Ⅰ）由正弦定理得，故，于是，又，故，所以或，因此（舍去）或，所以，.（Ⅱ）由，得，，故，，.17．（2016·浙江·高考真題）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知．（1）證明：；（2）若的面積，求角的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析；（2）或.【詳解】試題分析：（1）由正弦定理得，進(jìn)而得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得結(jié)論；（2）由得，再根據(jù)正弦定理得及正弦的二倍角公式得，進(jìn)而得討論得結(jié)果.試題解析：（1）由正弦定理得，故，于是．又，故，所以或，因此（舍去）或，所以．（2）由得，故有，因，得．又，所以．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．綜上，或．考點(diǎn)：1、正弦定理及正弦的二倍角公式；2、三角形內(nèi)角和定理及三角形內(nèi)角和定理.18．（2016·天津·高考真題）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為a,b,c，已知.（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，求sinC的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【詳解】試題分析：（Ⅰ）利用正弦定理，將邊化為角：,再根據(jù)三角形內(nèi)角范圍化簡(jiǎn)得，；（Ⅱ）已知兩角，求第三角，利用三角形內(nèi)角和為，將所求角化為兩已知角的和，再根據(jù)兩角和的正弦公式求解.試題解析：（Ⅰ）解：在中，由，可得，又由，得，所以，得；（Ⅱ）解：由，可得，則.【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦公式、兩角和的正弦公式以及正弦定理【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，因此解三角函數(shù)題，首先從角進(jìn)行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的變換.角的變換涉及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系、兩角和與差的公式、二倍角公式、配角公式等，選用恰當(dāng)?shù)墓绞墙鉀Q三角問題的關(guān)鍵，明確角的范圍，對(duì)開方時(shí)正負(fù)取舍是解題正確的保證.19．（2016·北京·高考真題）在△ABC中，(1)求B的大小；(2)求cosA＋cosC的最大值．【答案】（1）（2）1【詳解】試題分析：（1）由余弦定理及題設(shè)得；（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，取得最大值．試題解析：（1）由余弦定理及題設(shè)得，又∵，∴；（2）由（1）知，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值．考點(diǎn)：1、解三角形；2、函數(shù)的最值.20．（2016·山東·高考真題）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝.(1)證明：a＋b＝2c；(2)求cosC的最小值．【答案】（1）見解析；（2）．【詳解】試題分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)的基本關(guān)系式，可化簡(jiǎn)得，再根據(jù)，即可得到，利用正弦定理，可作出證明；（2）由（1），利用余弦定理列出方程，再利用基本不等式，可得的最小值.試題解析：（1）由題意知，，化簡(jiǎn)得：即，因?yàn)?，所以，從而，由正弦定理?（2）由（1）知，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.考點(diǎn)：三角恒等變換的應(yīng)用；正弦定理；余弦定理.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了三角恒等變換的應(yīng)用、正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，涉及到三角函數(shù)的基本關(guān)系式和三角形中的性質(zhì)和基本不等式的應(yīng)用，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想和學(xué)生的推理與運(yùn)算能力，以及知識(shí)間的融合，屬于中檔試題，解答中熟記三角函數(shù)恒等變換的公式是解答問題的關(guān)鍵.21．（2016·四川·高考真題）在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，求.【答案】（Ⅰ）證明詳見解析；（Ⅱ）4.【詳解】試題分析：（Ⅰ）將已知等式通分后利用兩角和的正弦函數(shù)公式整理，利用正弦定理，即可證明．（Ⅱ）由余弦定理求出A的余弦函數(shù)值，利用（Ⅰ）的條件，求解B的正切函數(shù)值即可試題解析：（1）根據(jù)正弦定理，設(shè)===k（k>0）．則a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC．代入+=中，有+=，變形可得sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）．在△ABC中，由A+B+C=π，有sin（A+B）=sin（π–C）="sin"C，所以sinAsinB=sinC．（2）由已知，b2+c2–a2=bc，根據(jù)余弦定理，有cosA==．所以sinA==．由（Ⅰ），sinAsinB="sin"AcosB+cosAsinB，所以sinB=cosB+sinB，故tanB==4．考點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用；正弦定理；余弦定理22．（2016·江蘇·高考真題）在中，AC=6，（1）求AB的長(zhǎng)；（2）求的值.【答案】（1）（2）【詳解】試題分析：（1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求再利用正弦定理求AB的長(zhǎng)；（2）利用誘導(dǎo)公式及兩角和與差正余弦公式分別求，然后求試題解析：解（1）因?yàn)?，，所以由正弦定理知，所以?）在中，，所以，于是又故因?yàn)?，所以因此【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、正余弦定理、兩角和與差的正余弦公式【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，因此解三角函數(shù)題，首先應(yīng)從角進(jìn)行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的變換.角的變換涉及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和與差的三角公式、二倍角公式、配角公式等，選用恰當(dāng)?shù)墓绞墙鉀Q三角問題的關(guān)鍵，同時(shí)應(yīng)明確角的范圍、開方時(shí)正負(fù)的取舍等.23．（2015·江蘇·高考真題）在中，已知.（1）求的長(zhǎng)；（2）求的值.【答案】（1）（2）【詳解】試題分析：（1）已知兩邊及夾角求第三邊，應(yīng)用余弦定理，可得的長(zhǎng)，（2）利用（1）的結(jié)果，則由余弦定理先求出角C的余弦值，再根據(jù)平方關(guān)系及三角形角的范圍求出角C的正弦值，最后利用二倍角公式求出的值.試題解析：（1）由余弦定理知，，所以．（2）由正弦定理知，，所以．因?yàn)?，所以為銳角，則．因此．考點(diǎn)：余弦定理，二倍角公式24．（2015·天津·高考真題）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知的面積為．(1)求和的值；(2)求的值．【答案】（1），（2）【分析】（1）由面積公式可得結(jié)合可求得解得再由余弦定理求得a=8.最后由正弦定理求sinC的值;（2）直接展開求值.【詳解】（1）△ABC中,由得由,得又由解得由,可得a=8.由,得.（2）,【點(diǎn)睛】本題主要考查三角變換及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí),考查基本運(yùn)算求解能力.25．（2015·四川·高考真題）如圖，A，B，C，D為平面四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角.（1）證明：（2）若求的值.【答案】（1）詳見解析；（2）.【詳解】（1）.（2）由，得.由（1），有連結(jié)BD，在中，有，在中，有，所以，則，于是.連結(jié)AC，同理可得，于是.所以.考點(diǎn)：本題考查二倍角公式、誘導(dǎo)公式、余弦定理、簡(jiǎn)單的三角恒等變換等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.26．（2015·湖南·高考真題）設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，且為鈍角，求.【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）【詳解】試題分析：（Ⅰ）由題根據(jù)正弦定理結(jié)合所給已知條件可得，所以；（Ⅱ）根據(jù)兩角和公式化簡(jiǎn)所給條件可得，可得，結(jié)合所給角B的范圍可得角B,進(jìn)而可得角A,由三角形內(nèi)角和可得角C.試題解析：（Ⅰ）由及正弦定理，得，所以．（Ⅱ）因?yàn)橛校á瘢┲?，因此，又Ｂ為鈍角，所以，故，由知，從而，綜上所述，考點(diǎn)：正弦定理及其運(yùn)用【名師點(diǎn)睛】解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷．如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．27．（2015·湖南·高考真題）設(shè)的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，且為鈍角.（1）證明：；（2）求的取值范圍.【答案】（1）見解析；（2）.【詳解】試題分析：(Ⅰ)運(yùn)用正弦定理將化簡(jiǎn)變形,再解三角方程即可獲解；(Ⅱ)將角用表示,換元法求函數(shù)的值域即可.試題解析：(Ⅰ)由及正弦定理，得，∴，即，又為鈍角，因此，故，即；(Ⅱ)由（1）知，，∴，于是，∵，∴，因此，由此可知的取值范圍是．考點(diǎn)：正弦定理、三角變換，二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)和公式的應(yīng)用.28．（2015·全國·高考真題）△ABC中D是BC上的點(diǎn),AD平分BAC,BD=2DC．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若,求.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【詳解】試題分析：（Ⅰ）利用正弦定理轉(zhuǎn)化得：（Ⅱ）由誘導(dǎo)公式可得由（Ⅰ）知,所以試題解析：（Ⅰ）由正弦定理得因?yàn)锳D平分BAC,BD=2DC,所以.（Ⅱ）因?yàn)樗杂桑↖）知,所以考點(diǎn)：本題主要考查正弦定理及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,意在考查考生的三角變換能力及運(yùn)算能力.考點(diǎn)04求三角形的高、中線、角平分線及其他線段長(zhǎng)1．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知在中，．(1)求；(2)設(shè)，求邊上的高．【答案】(1)(2)6【分析】（1）根據(jù)角的關(guān)系及兩角和差正弦公式，化簡(jiǎn)即可得解；（2）利用同角之間的三角函數(shù)基本關(guān)系及兩角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根據(jù)等面積法求解即可.【詳解】（1），，即，又，，，，即，所以，.（2）由（1）知，，由，由正弦定理，，可得，，.2．（2018·北京·高考真題）在中，．（1）求；（2）求邊上的高．【答案】（1）∠A=；（2）AC邊上的高為．【分析】（1）方法一：先根據(jù)平方關(guān)系求,再根據(jù)正弦定理求，即得；（2）方法一：利用誘導(dǎo)公式以及兩角和正弦公式求，即可解得邊上的高．【詳解】（1）［方法一］：平方關(guān)系＋正弦定理在中,∵.由正弦定理得

［方法二］：余弦定理的應(yīng)用由余弦定理知．因?yàn)?，代入上式可得或（舍）．所以，又，所以．?）［方法一］：兩角和的正弦公式＋銳角三角函數(shù)的定義在△ABC中，∵=．如圖所示，在△ABC中，∵sinC=，∴h==，∴AC邊上的高為．［方法二］：解直角三角形＋銳角三角函數(shù)的定義如圖1，由（1）得，則．作，垂足為E，則，故邊上的高為．［方法三］:等面積法由（1）得，易求．如圖1，作，易得，即．所以根據(jù)等積法有，即，所以邊上的高為．【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一：已知兩邊及一邊對(duì)角，利用正弦定理求出；方法二：已知兩邊及一邊對(duì)角，先利用余弦定理求出第三邊，再根據(jù)余弦定理求出角；（2）方法一：利用兩角和的正弦公式求出第三個(gè)角，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出；方法二：利用初中平面幾何知識(shí)，通過銳角三角函數(shù)定義解直角三角形求出；方法三：利用初中平面幾何知識(shí)，通過等面積法求出．3．（2018·全國·高考真題）在平面四邊形中，，，，.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）方法一：根據(jù)正弦定理得到，求得，結(jié)合角的范圍，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，求得；（2）方法一：根據(jù)第一問的結(jié)論可以求得，在中，根據(jù)余弦定理即可求出．【詳解】（1）［方法1］：正弦定理＋平方關(guān)系在中，由正弦定理得，代入數(shù)值并解得．又因?yàn)?，所以，即為銳角，所以．［方法2］：余弦定理在中，，即，解得：，所以，．［方法3］：【最優(yōu)解】利用平面幾何知識(shí)如圖，過B點(diǎn)作，垂足為E，，垂足為F．在中，因?yàn)?，，所以．在中，因?yàn)?，則．所以．［方法4］：坐標(biāo)法以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸，為y軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系（圖略）．設(shè)，則．因?yàn)?，所以．從而，又是銳角，所以，．（2）［方法1］：【通性通法】余弦定理在，由（1）得，，，所以．［方法2］：【最優(yōu)解】利用平面幾何知識(shí)作，垂足為F，易求，，，由勾股定理得．【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一：根據(jù)題目條件已知兩邊和一邊對(duì)角，利用正弦定理和平方關(guān)系解三角形，屬于通性通法；方法二：根據(jù)題目條件已知兩邊和一邊對(duì)角，利用余弦定理解三角形，也屬于通性通法；方法三：根據(jù)題意利用幾何知識(shí)，解直角三角形，簡(jiǎn)單易算．方法四：建立坐標(biāo)系，通過兩點(diǎn)間的距離公式，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，這是解析思想的體現(xiàn)．（2）方法一：已知兩邊及夾角，利用余弦定理解三角形，是通性通法．方法二：利用幾何知識(shí)，解直角三角形，簡(jiǎn)單易算．4．（2015·安徽·高考真題）在中，,點(diǎn)D在邊上，，求的長(zhǎng).【答案】【詳解】試題分析：根據(jù)題意，設(shè)出的內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是，由余弦定理求出的長(zhǎng)度，再由正弦定理求出角的大小，在中.利用正弦定理即可求出的長(zhǎng)度.試題解析：如圖，設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是，由余弦定理得，所以.又由正弦定理得.由題設(shè)知，所以.在中，由正弦定理得.考點(diǎn)：1.正弦定理、余弦定理的應(yīng)用.5．（2015·全國·高考真題）中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，面積是面積的2倍．(1)求；(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）,1【詳解】試題分析：（1）借助題設(shè)條件運(yùn)用三角形的面積公式求解；（2）借助題設(shè)余弦定理立方程組求解.試題解析：（1），，∵，，∴．由正弦定理可知.（2）∵，，∴．設(shè)，則，在△與△中，由余弦定理可知，，，∵，∴，∴，解得，即．考點(diǎn)：三角形的面積公式正弦定理余弦定理等有關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用．考點(diǎn)05三角形中的證明問題1．（2022·全國乙卷·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)證明：【答案】(1)；(2)證明見解析．【分析】（1）根據(jù)題意可得，，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可解出；（2）由題意利用兩角差的正弦公式展開得，再根據(jù)正弦定理，余弦定理化簡(jiǎn)即可證出．【詳解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，顯然，所以，，而，，所以．（2）由可得，，再由正弦定理可得，，然后根據(jù)余弦定理可知，，化簡(jiǎn)得：，故原等式成立．2．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）記是內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系有，結(jié)合已知即可證結(jié)論.（2）方法一：兩次應(yīng)用余弦定理，求得邊與的關(guān)系，然后利用余弦定理即可求得的值.【詳解】（1）設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理，得，因?yàn)?，所以，即．?/p>