高等應(yīng)用數(shù)學(xué) 課件 第11章 線性代數(shù)

第11章線性代數(shù)

§11.1行列式的概念§11.2行列式的性質(zhì)與計(jì)算§11.3線性方程組()的解法§11.4矩陣的概念和運(yùn)算§11.5逆矩陣§11.6矩陣的初等變化§11.7矩陣的秩§11.8線性方程組()的解法§11.1行列式的概念

一、二階行列式

二、三階行列式

三、

階行列式內(nèi)容提要第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction一、二階行列式第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction.第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction

行列式左上角到右下角的連線稱(chēng)為行列式的主對(duì)角線，從行列式右上角到左下角的連線稱(chēng)為行列式的副對(duì)角線.

從式(11.1.3)可知二階行列式是兩項(xiàng)的代數(shù)和，一項(xiàng)是主對(duì)角線上兩元素的乘積，取正號(hào)；另一項(xiàng)是副對(duì)角線上兩元素的乘積，取負(fù)號(hào).于是二階行列式的值可用對(duì)角線法則記憶，如圖11.1.1所示，二階行列式等于對(duì)角線上兩元素的乘積減去副對(duì)角線上兩元素的乘積.圖11.1.1

利用二階行列式的概念，式(11.1.2)中的分母和分子可以用行列式表示當(dāng)

時(shí)，方程組(11.1.1的解公式可以簡(jiǎn)潔明了地表示為，

其中分母

是由方程組（11.1.1）中未知量的四個(gè)系數(shù)確定的行列式，稱(chēng)為方程組（11.1.1）的系數(shù)行列式，而

是將系數(shù)行列式

的第

列元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)替換后所得的二階行列式(）.第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction例11.1.1計(jì)算下列行列式（1）

（2）解（1）

；

（2）

.例11.1.2求解二元線性方程組

解方程組的系數(shù)行列式,

而

，

，

因此方程組的解為第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction

二、三階行列式對(duì)于含有三個(gè)未知量

的線性方程組

，

（11.1.4）當(dāng)

時(shí)，用消元法可求得方程組（11.1.4）的解為第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction

（11.1.5）

這就是三元線性方程組（11.1.4）的解公式.顯然，要記住這個(gè)公式相當(dāng)困難，為了便于方程組的求解和記憶，引如三階行列式的概念．

定義11.1.2我們稱(chēng)記號(hào)第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction

為三階行列式．它由

個(gè)元素

排成三行三列，表示

這樣一個(gè)算式，即=（11.1.6）

由（11.1.6）可見(jiàn)，三階行列式共含6項(xiàng)，每一項(xiàng)都是位于不同行、不同列的三個(gè)元素的乘積，其中三項(xiàng)冠以正號(hào)，三項(xiàng)冠以負(fù)號(hào).三階行列式的計(jì)算也可借助于對(duì)角線法則來(lái)記憶，如圖11.1.2所示，圖中有三條實(shí)線和三條虛線，每條實(shí)線所連三個(gè)元素的乘積取正號(hào)，每條虛線所連三個(gè)元素的乘積取負(fù)號(hào)，三階行列式等于這六個(gè)乘積的代數(shù)和.第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction

三、

階行列式1.余子式和代數(shù)余子式1.二階行列式（1）了解二元線性方程組的解與系數(shù)的關(guān)系（2）理解二階行列式的概念（3）會(huì)計(jì)算二階行列式2.三階行列式（1）了解三元線性方程組的解與系數(shù)的關(guān)系（2）理解三階行列式的概念（3）會(huì)計(jì)算三階行列式小結(jié)3.階行列式小結(jié)（1）理解余子式和代數(shù)余子式（2）理解

階行列式的定義（3）了解幾種特殊的

行列式第11章線性代數(shù)§11.1行列式的概念§11.2行列式的性質(zhì)與計(jì)算§11.3線性方程組（m=n）的解法§11.4矩陣的概念與性質(zhì)§11.5逆矩陣§11.6矩陣的初等變換§11.7矩陣的秩§11.8線性方程組（）的解法§11.2行列式的性質(zhì)與計(jì)算

一、行列式的性質(zhì)

二、行列式的計(jì)算內(nèi)容提要第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction一、行列式的性質(zhì)我們將引入行列式的6條性質(zhì)，這些性質(zhì)和它們的推論可以簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算.一、行列式的性質(zhì)行列式稱(chēng)為行列式的轉(zhuǎn)置行列式.記性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即行列式中行與列具有同等的地位,行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立.第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction例1若

，則??所以第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction性質(zhì)2交換行列式的兩行(列)，行列式的值僅改變符號(hào).例2(1)(第二、三行互換）

(2)(第二、三列互換）

推論

若行列式中有兩行(列)的對(duì)應(yīng)元素相同，則此行列式為零.第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction推論

若行列式中有兩行(列)的對(duì)應(yīng)元素相同，則此行列式為零.例3(1)(第一、二行相等）

(2)(第二、三列相等）

推論1

行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面.推論2

行列式中若有兩行(列)對(duì)應(yīng)元素成比例，則此行列式為零.第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction因?yàn)榈谝涣信c第二列成比例，即第二列是第一列的4倍.

例4(1)(2)第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction例5若

求解

利用行列式性質(zhì)3，有第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction則性質(zhì)4若行列式的某一行(列)的元素都是兩數(shù)之和,例如，第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction例7（1）

（2）第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction左式表示第一行乘以-1后加第二行上去,其值不變.左式表示第一列乘以1后加到第三列上去,其值不變例8(1)(2)性質(zhì)6行列式等于它的任一行（列）的所有元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即（1）可按行列式的任一行（列）展開(kāi)計(jì)算行列式的值。（2）計(jì)算行列式的值時(shí)，應(yīng)選擇0足夠多的那一行（列）將行列式展開(kāi)。推論行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即分析我們以3階行列式為例.把第1行的元素?fù)Q成第2行的對(duì)應(yīng)元素，則性質(zhì)6行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即推論行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即綜上所述，有同理可得例9計(jì)算行列式解例10計(jì)算行列式解

注：計(jì)算行列式時(shí)，選擇先按零元素多的行或列展開(kāi)可大大簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算，這是計(jì)算行列式的常用技巧之一.

二、行列式的計(jì)算常用的計(jì)算行列式的方法：1.計(jì)算二階和三階行列式時(shí)可用對(duì)角線法則.2.階行列式常用的計(jì)算方法：

（1）定義法：按某行（列）展開(kāi)（一般選擇零元素較多的行或列展開(kāi)）（2）化三角形法：利用行列式的性質(zhì)，把它逐步化為上(或下)三角形行列式，這時(shí)行列式的值就是對(duì)角線上元素的乘積．這種方法一般稱(chēng)為“化三角形法”．

（3）降階法：先利用行列式的性質(zhì)把某一行(或列)的元素化為僅有一個(gè)非零元素，然后再按這一行(或列)展開(kāi)，轉(zhuǎn)化為低階行列式的計(jì)算．例11計(jì)算行列式解化三角形法例12計(jì)算行列式解化零降階法例13計(jì)算行列式解化零降階法例14計(jì)算該行列式的特點(diǎn)是每一行元素的和都等于同一個(gè)數(shù)6，故把第2，3，4行同時(shí)加到第1行，可提出公因子6，再由各行減去第一行化為上三角形行列式.解注：仿照上述方法可得到更一般的結(jié)果:例15計(jì)算行列式解

此行列式稱(chēng)為四階范德蒙行列式，按照同樣的方法可求出

階范德蒙行列式的值.計(jì)算課堂練習(xí)

計(jì)算課堂練習(xí)

解：原式小結(jié)

（1）定義法;

（2）化三角形法；（3）降階法一、行列式的性質(zhì)二、計(jì)算行列式常用方法：第11章線性代數(shù)§11.1行列式的概念§11.2行列式的性質(zhì)與計(jì)算§11.3線性方程組（m=n）的解法§11.4矩陣的概念與性質(zhì)§11.5逆矩陣§11.6矩陣的初等變換§11.7矩陣的秩§11.8線性方程組（）的解法

二、克萊姆法則§11.3線性方程組的解法

一、n元線性方程組的概念第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction二元線性方程組若令(方程組的系數(shù)行列式)則上述二元線性方程組的解可表示為問(wèn)題：對(duì)于n個(gè)方程組成的n元線性方程組，是否有類(lèi)似的規(guī)律呢？

一、n元線性方程組的概念（11.3.1）第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction（11.3.2）定理11.3.1（克萊姆法則）如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即（11.3.1）

二、克萊姆法則其中是把系數(shù)行列式中第列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的階行列式，即那么線性方程組(11.3.1)有解并且解是唯一的，解可以表示成定理中包含著三個(gè)結(jié)論：方程組有解；（解的存在性）解是唯一的；（解的唯一性）解可以由以下公式給出.

這三個(gè)結(jié)論是有聯(lián)系的.應(yīng)該注意，該定理所討論的只是系數(shù)行列式不為零的方程組，至于系數(shù)行列式等于零的情形，將在11.8節(jié)一般情形中一并討論.應(yīng)用克萊姆法則的條件：

（1）方程組中方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)相等(m=n)；

（2）方程組的系數(shù)行列式不等于0.

第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction例1用克萊姆法則求解線性方程組：解第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction解由克萊姆法則得第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction例2求解線性方程組解所以解例3問(wèn)為何值時(shí)，齊次線性方程組有非零解？1.用克萊姆法則解線性方程組的兩個(gè)條件(1)方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù)；(2)系數(shù)行列式不等于零.2.克萊姆法則的意義主要在于建立了線性方程組的解和已知的系數(shù)以及常數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系．小結(jié)3.齊次線性方程組有非零解的條件第11章線性代數(shù)

§11.1行列式的概念§11.2行列式的性質(zhì)與計(jì)算§11.3線性方程組(m=n)的解法§11.4矩陣的概念及運(yùn)算§11.5逆矩陣§11.6矩陣的初等變換§11.7矩陣的秩§11.8線性方程組(m≠n)的解法§11.4矩陣的概念及運(yùn)算

一、矩陣的概念

二、特殊矩陣內(nèi)容提要

三、矩陣的運(yùn)算11.4.1矩陣的概念或11.4.2特殊矩陣11.4.3矩陣的運(yùn)算課堂練習(xí)解課堂練習(xí)則解又課堂練習(xí)解計(jì)算下列乘積：1.矩陣的概念（1）理解矩陣的概念（2）能將線性方程組抽象為矩陣2.特殊矩陣?yán)斫馑念?lèi)特殊矩陣（三角矩陣、對(duì)角矩陣、單位矩陣、數(shù)量矩陣）的定義小結(jié)3.矩陣的運(yùn)算（1）掌握矩陣的基本運(yùn)算（2）會(huì)用矩陣的乘法計(jì)算矩陣的乘積（2）理解方陣的行列式第11章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

§11.1行列式的概念§11.2行列式的性質(zhì)和計(jì)算§11.3線性方程組（m=n）的解法§11.4矩陣的概念及其逆運(yùn)算§11.5逆矩陣§11.6矩陣的初等變換§11.7矩陣的秩§11.8線性方程組的解法§11.5逆矩陣

一、逆矩陣的概念

二、逆矩陣的求法內(nèi)容提要

三、逆矩陣的性質(zhì)

四、矩陣方程第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction一、逆矩陣的概念問(wèn)題對(duì)于矩陣是否也存在著的逆使得是否可用類(lèi)似求解一元線性方程的運(yùn)算？在解矩陣方程時(shí),在矩陣中的“1”其實(shí)就是單位矩陣E第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction二、逆矩陣的求法課堂練習(xí)三、逆矩陣的性質(zhì)四、矩陣方程課堂練習(xí)小結(jié)1.逆矩陣的概念3.逆矩陣的性質(zhì)2.逆矩陣的求法：伴隨矩陣法4.逆矩陣的應(yīng)用§11.6矩陣的初等變換

一、矩陣的初等變換

二、初等矩陣

三、求逆矩陣的初等變換法內(nèi)容提要

四、初等變換法求解矩陣方程引例：①②③④求解線性方程組一、矩陣的初等變換①②③④①②③÷2①②③④②－③③－2×①④－3×①①②③④①②③④②÷2③＋5×②④－3×②①②③④①②③④④－2×③

③④①②③④①②③④取x3

為自由變量，則令x3=c

，則①②③④恒等式三種變換：交換方程的次序，記作；以非零常數(shù)k乘某個(gè)方程，記作；一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍，記作.

其逆變換是：結(jié)論：由于對(duì)原線性方程組施行的變換是可逆變換，因此變換前后的方程組同解.在上述變換過(guò)程中，實(shí)際上只對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知數(shù)并未參與運(yùn)算．iji×ki＋kjiji×ki+kjiji÷ki－kj

從求解過(guò)程可以看到，每一次消元只是未知數(shù)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)發(fā)生變化，未知數(shù)本身并不改變．如果將線性方程組中所有的未知數(shù)、等號(hào)、加號(hào)去掉，只考察未知數(shù)和系數(shù)和常數(shù)構(gòu)成的矩陣，消元的過(guò)程就是一個(gè)矩陣變化的過(guò)程。若記則對(duì)方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對(duì)該矩陣的變換。上述矩陣稱(chēng)為方程組的增廣矩陣．

矩陣初等變換的定義：對(duì)調(diào)兩行，記作；以非零常數(shù)k乘某一行的所有元素，記作；某一行加上另一行的k倍，記作.其逆變換是：把定義中的“行”換成“列”，就得到矩陣的初等列變換的定義．矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱(chēng)為初等變換．初等變換初等行變換初等列變換下列三種變換稱(chēng)為矩陣的初等行變換：①②③÷2

①②③④①②③④②－③③－2×①④－3×①①②③④①②③④②÷2③＋5×②

④－3×②

①②③④①②③④④－2×③③④①②③④①②③④①②③④B5

對(duì)應(yīng)方程組為令x3=c

，則備注帶有運(yùn)算符的矩陣運(yùn)算，用“=”．例如：矩陣加法 ＋數(shù)乘矩陣、矩陣乘法 ×矩陣的轉(zhuǎn)置 T（上標(biāo)）方陣的行列式 |?|不帶運(yùn)算符的矩陣運(yùn)算，用“～”或“→”．例如：初等行變換初等列變換有限次初等變換矩陣A與矩陣B等價(jià)，記作矩陣之間的等價(jià)關(guān)系具有下列性質(zhì)：反身性；對(duì)稱(chēng)性若，則；傳遞性若，則．3.矩陣之間的等價(jià)關(guān)系行階梯形矩陣：可畫(huà)出一條階梯線，線的下方全為零；每個(gè)臺(tái)階只有一行；階梯線的豎線后面是非零行的第一個(gè)非零元素.（1）元素全為0的行（稱(chēng)為零行）均在矩陣的下方（如果有零行的話）；（2）兩個(gè)相鄰的非零行中，下一行的從左邊數(shù)起的第一個(gè)非0元素（稱(chēng)為該行的主元）必位于上一行的主元的右邊.具有這兩個(gè)特點(diǎn)的矩陣稱(chēng)為行階梯形矩陣.4.行階梯矩陣和行最簡(jiǎn)形矩陣

判別下列矩陣是否為行階梯形矩陣行最簡(jiǎn)形矩陣：（1）非零行的第一個(gè)非零元為1;（2）每個(gè)非零元所在的列的其它元素都為零.矩陣行階梯形矩陣行最簡(jiǎn)形矩陣B4,B5都是行階梯形矩陣，但是，B5有更多的特點(diǎn)。任何矩陣行最簡(jiǎn)形矩陣行階梯形矩陣有限次初等行變換有限次初等變換有限次初等行變換定理11.6

任何一個(gè)非零矩陣A都可以經(jīng)過(guò)一系列（有限次）初等行變換化成行階梯形矩陣，并進(jìn)而化為行最簡(jiǎn)形矩陣.推論

如果A為n階可逆矩陣,則矩陣A經(jīng)過(guò)有限次初等變換可化為單位矩陣E,即例1矩陣

對(duì)其作初等行變換，化為行階梯形矩陣、行最簡(jiǎn)形矩陣．解

這里的矩陣B依其形狀的特征稱(chēng)為行階梯形矩陣.行最簡(jiǎn)形矩陣.第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction二、初等矩陣定義：由單位矩陣E經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱(chēng)為

初等矩陣.三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等矩陣：對(duì)調(diào)單位陣的兩行（列）；(2)以常數(shù)

k≠0

乘單位陣的某一

行（列）；(3)以

k

乘單位陣單位陣的某一

行（列）加到另一

行（列）

．(1)對(duì)調(diào)單位陣的第

i,j行（列），記作

E(3,5)記作

E(i,j)．(2)以常數(shù)

k≠0

乘單位陣第

i行（列），記作

E(3(k))記作

E(i(k))．(3)以

k

乘單位陣第

j行加到第

i行,記作

E(35(k))記作

E(ij(k))．

以

k

乘單位陣第

i列加到第

j列．?兩種理解！定理11.7設(shè)A是一個(gè)m×n

矩陣，對(duì)A施行一次初等行變換，相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的m階初等矩陣；對(duì)A施行一次初等列變換，相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的n階初等矩陣.口訣：左乘行變換，右乘列變換.例如，設(shè)則有

使得即例4設(shè)有矩陣而

，則

即用

左乘

，相當(dāng)于交換矩陣

的第一與第二行。

則

即用

右乘

，相當(dāng)于矩陣

的第3列乘2加于第1列。

利用初等變換求逆陣的方法：定理11-8

如果A為可逆矩陣，則經(jīng)過(guò)有限次初等變換可將A化為同階單位矩陣，即可逆矩陣A與同階單位矩陣等價(jià)。推論

方陣A可逆的充要條件是存在是A可以表示為若干個(gè)初等矩陣的乘積。三、求逆矩陣的初等變換法

解例5即初等行變換設(shè)矩陣A可逆，則求解矩陣方程AX=B等價(jià)于求可采用類(lèi)似初等行變換求逆矩陣的方法，構(gòu)造矩陣（A

B），對(duì)其實(shí)施初等行變換將A化為單位矩陣E，則上述初等行變換同時(shí)也將矩陣B化為四、初等變換法求解矩陣方程例6解課堂練習(xí)解

這里的矩陣B依其形狀的特征稱(chēng)為行階梯形矩陣.將矩陣

化為行階梯形矩陣和行最簡(jiǎn)階梯形矩陣。行最簡(jiǎn)形矩陣.1.矩陣的初等變換（1）掌握初等變換的定義（2）會(huì)將矩陣化為行階梯形矩陣和行最簡(jiǎn)階梯形矩陣2.初等矩陣（1）理解初等變換與乘法的關(guān)系3.求逆矩陣的初等變換法小結(jié)（1）會(huì)利用初等變換求矩陣的逆矩陣4.求初等變換法求解矩陣方程（1）會(huì)利用初等變換求矩陣方程AX=B§11.7矩陣的秩

一、矩陣的秩的概念

二、矩陣的秩的求法內(nèi)容提要第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction一、矩陣的秩的概念第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction.

二、矩陣的秩的求法第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction.第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction1.矩陣的秩的概念（1）理解矩陣的秩的定義2.矩陣的秩的求法（1）理解滿秩矩陣的定義（2）會(huì)利用初等變換求矩陣的秩小結(jié)3.階行列式小結(jié)（1）理解余子式和代數(shù)余子式（2）理解

階行列式的定義（3）了解幾種特殊的

行列式

在11.3節(jié)里我們已經(jīng)研究過(guò)線性方程組的一種特殊情形，即線性方程組所含方程的個(gè)數(shù)等于未知量的個(gè)數(shù)，且方程組的系數(shù)行列式不等于零的情形.求解線性方程組是線性代數(shù)的主要內(nèi)容之一，此類(lèi)問(wèn)題在科學(xué)技術(shù)與經(jīng)濟(jì)管理領(lǐng)域有著相當(dāng)廣泛的應(yīng)用，因而有必要從更普遍的角度來(lái)討論線性方程組的解法．

本節(jié)主要討論一般線性方程組的解法和線性方程組解的存在性．§11.8線性方程組（）的解法

一、線性方程組的矩陣表示

二、線性方程組解的討論

三、線性方程組解的判定與求解內(nèi)容提要設(shè)含有個(gè)未知量、有個(gè)方程組成的線性方程組(11-11)

其中系數(shù)

，常數(shù)

都是已知數(shù)，

是未知量(也稱(chēng)為未知數(shù))．當(dāng)右端常數(shù)項(xiàng)，…，不全為0時(shí)，稱(chēng)方程組（11-11）為非齊次線性方程組；當(dāng)時(shí)，即(11-12)稱(chēng)為齊次線性方程組．非齊次線性方程組的矩陣表示形式為其中．

矩陣稱(chēng)為方程組的系數(shù)矩陣，稱(chēng)為未知數(shù)矩陣，稱(chēng)為常數(shù)項(xiàng)矩陣．將系數(shù)矩陣和常數(shù)矩陣放在一起構(gòu)成的矩陣稱(chēng)為方程組(11-11)的增廣矩陣（也可簡(jiǎn)記作顯然，方程組與增廣矩