2015年廣東省東莞市中考數(shù)學試卷

2015年廣東省東莞市中考數(shù)學試卷一、選擇題：本大題10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的，請把答題卡上對應題目所選的選項涂黑。1．（3分）|﹣2|＝（）A．2 B．﹣2 C． D．2．（3分）據(jù)國家統(tǒng)計局網(wǎng)站2014年12月4日發(fā)布的消息，2014年廣東省糧食總產量約為13573000噸，將13573000用科學記數(shù)法表示為（）A．1.3573×106 B．1.3573×107 C．1.3573×108 D．1.3573×1093．（3分）一組數(shù)據(jù)2，6，5，2，4，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A．2 B．4 C．5 D．64．（3分）如圖，直線a∥b，∠1＝75°，∠2＝35°，則∠3的度數(shù)是（）A．75° B．55° C．40° D．35°5．（3分）下列所述圖形中，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是（）A．矩形 B．平行四邊形 C．正五邊形 D．正三角形6．（3分）（﹣4x）2＝（）A．﹣8x2 B．8x2 C．﹣16x2 D．16x27．（3分）在0，2，（﹣3）0，﹣5這四個數(shù)中，最大的數(shù)是（）A．0 B．2 C．（﹣3）0 D．﹣58．（3分）若關于x的方程x2+x﹣a+＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．a≥2 B．a≤2 C．a＞2 D．a＜29．（3分）如圖，某數(shù)學興趣小組將邊長為3的正方形鐵絲框ABCD變形為以A為圓心，AB為半徑的扇形（忽略鐵絲的粗細），則所得扇形DAB的面積為（）A．6 B．7 C．8 D．910．（3分）如圖，已知正△ABC的邊長為2，E、F、G分別是AB、BC、CA上的點，且AE＝BF＝CG，設△EFG的面積為y，AE的長為x，則y關于x的函數(shù)圖象大致是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題6小題，每小題4分，共24分。請將下列各題的正確答案填寫在答題卡相應的位置上。11．（4分）正五邊形的外角和等于（度）．12．（4分）如圖，菱形ABCD的邊長為6，∠ABC＝60°，則對角線AC的長是．13．（4分）分式方程＝的解是．14．（4分）若兩個相似三角形的周長比為2：3，則它們的面積比是．15．（4分）觀察下列一組數(shù)：，…，根據(jù)該組數(shù)的排列規(guī)律，可推出第10個數(shù)是．16．（4分）如圖，△ABC三邊的中線AD、BE、CF的公共點為G，若S△ABC＝12，則圖中陰影部分的面積是．三、解答題（一）：本大題3小題，每小題6分，共18分。17．（6分）解方程：x2﹣3x+2＝0．18．（6分）先化簡，再求值：÷（1+），其中x＝﹣1．19．（6分）如圖，已知銳角△ABC．（1）過點A作BC邊的垂線MN，交BC于點D（用尺規(guī)作圖法，保留作圖痕跡，不要求寫作法）；（2）在（1）的條件下，若BC＝5，AD＝4，tan∠BAD＝，求DC的長．四、解答題（二）：本大題3小題，每小題7分，共21分。20．（7分）老師和小明同學玩數(shù)學游戲．老師取出一個不透明的口袋，口袋中裝有三張分別標有數(shù)字1，2，3的卡片，卡片除數(shù)字外其余都相同，老師要求小明同學兩次隨機抽取一張卡片，并計算兩次抽到卡片上的數(shù)字之積是奇數(shù)的概率．于是小明同學用畫樹狀圖的方法尋求他兩次抽取卡片的所有可能結果．如圖是小明同學所畫的正確樹狀圖的一部分．（1）補全小明同學所畫的樹狀圖；（2）求小明同學兩次抽到卡片上的數(shù)字之積是奇數(shù)的概率．21．（7分）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，E是邊CD的中點，將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連接AG．（1）求證：△ABG≌△AFG；（2）求BG的長．22．（7分）某電器商場銷售A、B兩種型號計算器，兩種計算器的進貨價格分別為每臺30元，40元，商場銷售5臺A型號和1臺B型號計算器，可獲利潤76元；銷售6臺A型號和3臺B型號計算器，可獲利潤120元．（1）求商場銷售A、B兩種型號計算器的銷售價格分別是多少元？（利潤＝銷售價格﹣進貨價格）（2）商場準備用不多于2500元的資金購進A、B兩種型號計算器共70臺，問最少需要購進A型號的計算器多少臺？五、解答題（三）：本大題3小題，每小題9分，共27分。23．（9分）如圖，反比例函數(shù)y＝（k≠0，x＞0）的圖象與直線y＝3x相交于點C，過直線上點A（1，3）作AB⊥x軸于點B，交反比例函數(shù)圖象于點D，且AB＝3BD．（1）求k的值；（2）求點C的坐標；（3）在y軸上確定一點M，使點M到C、D兩點距離之和d＝MC+MD最小，求點M的坐標．24．（9分）⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，過的中點P作⊙O的直徑PG交弦BC于點D，連接AG、CP、PB．（1）如圖1，若D是線段OP的中點，求∠BAC的度數(shù)；（2）如圖2，在DG上取一點K，使DK＝DP，連接CK，求證：四邊形AGKC是平行四邊形；（3）如圖3，取CP的中點E，連接ED并延長ED交AB于點H，連接PH，求證：PH⊥AB．25．（9分）如圖，在同一平面上，兩塊斜邊相等的直角三角板Rt△ABC和Rt△ADC拼在一起，使斜邊AC完全重合，且頂點B，D分別在AC的兩旁，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，AB＝BC＝4cm（1）填空：AD＝（cm），DC＝（cm）（2）點M，N分別從A點，C點同時以每秒1cm的速度等速出發(fā)，且分別在AD，CB上沿A→D，C→B方向運動，當N點運動到B點時，M、N兩點同時停止運動，連接MN，求當M、N點運動了x秒時，點N到AD的距離（用含x的式子表示）（3）在（2）的條件下，取DC中點P，連接MP，NP，設△PMN的面積為y（cm2），在整個運動過程中，△PMN的面積y存在最大值，請求出y的最大值．（參考數(shù)據(jù)sin75°＝，sin15°＝）

2015年廣東省東莞市中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的，請把答題卡上對應題目所選的選項涂黑。1．【分析】根據(jù)絕對值的性質可直接求出答案．【解答】解：根據(jù)絕對值的性質可知：|﹣2|＝2．故選：A．【點評】此題考查了絕對值的性質，要求掌握絕對值的性質及其定義，并能熟練運用到實際運算當中．絕對值規(guī)律總結：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0．2．【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．【解答】解：將13573000用科學記數(shù)法表示為：1.3573×107．故選：B．【點評】此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．3．【分析】先把數(shù)據(jù)由小到大排列，然后根據(jù)中位數(shù)的定義求解．【解答】解：把數(shù)據(jù)由小到大排列為：2，2，4，5，6，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是4．故選：B．【點評】本題考查了中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到小）的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．4．【分析】根據(jù)平行線的性質得出∠4＝∠1＝75°，然后根據(jù)三角形外角的性質即可求得∠3的度數(shù)．【解答】解：∵直線a∥b，∠1＝75°，∴∠4＝∠1＝75°，∵∠2+∠3＝∠4，∴∠3＝∠4﹣∠2＝75°﹣35°＝40°．故選：C．【點評】本題考查了平行線的性質和三角形外角的性質，熟練掌握性質定理是解題的關鍵．5．【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【解答】解：A、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項正確；B、不是軸對稱圖形，因為找不到任何這樣的一條直線，沿這條直線對折后它的兩部分能夠重合；即不滿足軸對稱圖形的定義，是中心對稱圖形，故此選項錯誤；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，因為找不到任何這樣的一點，旋轉180度后它的兩部分能夠重合；即不滿足中心對稱圖形的定義，故此選項錯誤．故選：A．【點評】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩部分重合．6．【分析】原式利用積的乘方運算法則計算即可得到結果．【解答】解：原式＝16x2，故選：D．【點評】此題考查了冪的乘方與積的乘方，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．7．【分析】先利用a0＝1（a≠0）得（﹣3）0＝1，再利用兩個實數(shù)都可以比較大?。龑崝?shù)都大于0，負實數(shù)都小于0，正實數(shù)大于一切負實數(shù)，兩個負實數(shù)絕對值大的反而小即可得出結果．【解答】解：在0，2，（﹣3）0，﹣5這四個數(shù)中，最大的數(shù)是2，故選：B．【點評】本題考查了有理數(shù)的大小比較和零指數(shù)冪，掌握有理數(shù)大小比較的法則和a0＝1（a≠0）是解答本題的關鍵．8．【分析】根據(jù)判別式的意義得到△＝12﹣4（﹣a+）＞0，然后解一元一次不等式即可．【解答】解：根據(jù)題意得△＝12﹣4（﹣a+）＞0，解得a＞2．故選：C．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關系：當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當△＝0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當△＜0時，方程無實數(shù)根．9．【分析】由正方形的邊長為3，可得弧BD的弧長為6，然后利用扇形的面積公式：S扇形DAB＝，計算即可．【解答】解：∵正方形的邊長為3，∴弧BD的弧長＝6，∴S扇形DAB＝＝×6×3＝9．故選：D．【點評】此題考查了扇形的面積公式，解題的關鍵是：熟記扇形的面積公式S扇形DAB＝．10．【分析】根據(jù)題意，易得△AEG、△BEF、△CFG三個三角形全等，且在△AEG中，AE＝x，AG＝2﹣x；可得△AEG的面積與x的關系；進而可判斷出y關于x的函數(shù)的圖象的大致形狀．【解答】解：根據(jù)題意，有AE＝BF＝CG，且正三角形ABC的邊長為2，故BE＝CF＝AG＝2﹣x；故△AEG、△BEF、△CFG三個三角形全等．在△AEG中，AE＝x，AG＝2﹣x．則S△AEG＝AE×AG×sinA＝x（2﹣x）；故y＝S△ABC﹣3S△AEG＝﹣3×x（2﹣x）＝（3x2﹣6x+4）．故可得其大致圖象應類似于拋物線，且拋物線開口方向向上；故選：D．【點評】本題考查動點問題的函數(shù)圖象問題，用圖象解決問題時，要理清圖象的含義即會識圖．二、填空題：本大題6小題，每小題4分，共24分。請將下列各題的正確答案填寫在答題卡相應的位置上。11．【分析】根據(jù)多邊形的外角和等于360°，即可求解．【解答】解：任意多邊形的外角和都是360°，故正五邊形的外角和為360°．故答案為：360°．【點評】本題主要考查多邊形的外角和定理，解答本題的關鍵是掌握任意多邊形的外角和都是360°．12．【分析】由菱形ABCD中，∠ABC＝60°，易證得△ABC是等邊三角形，繼而求得對角線AC的長．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC＝AB＝6．故答案為：6．【點評】此題考查了菱形的性質以及等邊三角形的判定與性質．注意證得△ABC是等邊三角形是關鍵．13．【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3x＝2x+2，解得：x＝2，經檢驗x＝2是分式方程的解．故答案為：x＝2．【點評】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．14．【分析】根據(jù)相似三角形周長的比等于相似比求出相似比，再根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方求解即可．【解答】解：∵兩個相似三角形的周長比為2：3，∴這兩個相似三角形的相似比為2：3，∴它們的面積比是4：9．故答案為：4：9．【點評】本題考查了相似三角形的性質，是基礎題，熟記性質是解題的關鍵．15．【分析】由分子1，2，3，4，5，…即可得出第10個數(shù)的分子為10；分母為3，5，7，9，11，…即可得出第10個數(shù)的分母為：1+2×10＝21，得出結論．【解答】解：∵分子為1，2，3，4，5，…，∴第10個數(shù)的分子為10，∵分母為3，5，7，9，11，…，∴第10個數(shù)的分母為：1+2×10＝21，∴第10個數(shù)為：，故答案為：．【點評】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字之間的運算規(guī)律，得出規(guī)律，利用規(guī)律，解決問題是解答此題的關鍵．16．【分析】根據(jù)三角形的中線把三角形的面積分成相等的兩部分，知△ABC的面積即為陰影部分的面積的3倍．【解答】方法1解：∵△ABC的三條中線AD、BE，CF交于點G，∴S△CGE＝S△AGE＝S△ACF，S△BGF＝S△BGD＝S△BCF，∵S△ACF＝S△BCF＝S△ABC＝×12＝6，∴S△CGE＝S△ACF＝×6＝2，S△BGF＝S△BCF＝×6＝2，∴S陰影＝S△CGE+S△BGF＝4．故答案為4．方法2設△AFG，△BFG，△BDG，△CDG，△CEG，△AEG的面積分別為S1，S2，S3，S4，S5，S6，根據(jù)中線平分三角形面積可得：S1＝S2，S3＝S4，S5＝S6，S1+S2+S3＝S4+S5+S6①，S2+S3+S4＝S1+S5+S6②由①﹣②可得S1＝S4，所以S1＝S2＝S3＝S4＝S5＝S6＝2，故陰影部分的面積為4．故答案為：4．【點評】根據(jù)三角形的中線把三角形的面積分成相等的兩部分，該圖中，△BGF的面積＝△BGD的面積＝△CGD的面積，△AGF的面積＝△AGE的面積＝△CGE的面積．三、解答題（一）：本大題3小題，每小題6分，共18分。17．【分析】把方程的左邊利用十字相乘法因式分解為（x﹣1）（x﹣2），再利用積為0的特點求解即可．【解答】解：∵x2﹣3x+2＝0，∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，∴x1＝1，x2＝2．【點評】本題考查了因式分解法解一元二次方程，當把方程通過移項把等式的右邊化為0后方程的左邊能因式分解時，一般情況下是把左邊的式子因式分解，再利用積為0的特點解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一種簡便方法，要會靈活運用．18．【分析】分式的化簡，要熟悉混合運算的順序，分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要統(tǒng)一為乘法運算，注意化簡后，將，代入化簡后的式子求出即可．【解答】解：＝÷（+）＝÷＝×＝，把，代入原式＝＝＝＝．【點評】此題主要考查了分式混合運算，要注意分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要統(tǒng)一為乘法運算是解題關鍵．19．【分析】（1）利用基本作圖：過直線外一點作直線的垂線作出垂線段AD；（2）先在Rt△ABD中利用∠BAD的正切計算出BD，然后利用BC﹣BD求CD的長．【解答】解：（1）如圖，（2）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝＝，∴BD＝×4＝3，∴CD＝BC﹣BD＝5﹣3＝2．【點評】本題考查了作圖﹣復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法；解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了解直角三角形．四、解答題（二）：本大題3小題，每小題7分，共21分。20．【分析】（1）根據(jù)題意可得此題是放回實驗，即可補全樹狀圖；（2）由樹狀圖可求得所有等可能的結果與小明同學兩次抽到卡片上的數(shù)字之積是奇數(shù)的情況，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）補全小明同學所畫的樹狀圖：（2）∵共有9種等可能的結果，小明同學兩次抽到卡片上的數(shù)字之積是奇數(shù)的有4種情況，∴小明同學兩次抽到卡片上的數(shù)字之積是奇數(shù)的概率為：．【點評】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．21．【分析】（1）利用翻折變換對應邊關系得出AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°，利用HL定理得出△ABG≌△AFG即可；（2）利用勾股定理得出GE2＝CG2+CE2，進而求出BG即可；【解答】解：（1）在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠B＝∠BCD＝90°，∵將△ADE沿AE對折至△AFE，∴AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°，∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°，又∵AG＝AG，在Rt△ABG和Rt△AFG中，，∴△ABG≌△AFG（HL）；（2）∵△ABG≌△AFG，∴BG＝FG，設BG＝FG＝x，則GC＝6﹣x，∵E為CD的中點，∴CE＝EF＝DE＝3，∴EG＝3+x，∴在Rt△CEG中，32+（6﹣x）2＝（3+x）2，解得x＝2，∴BG＝2．【點評】此題主要考查了勾股定理的綜合應用以及翻折變換的性質，根據(jù)翻折變換的性質得出對應線段相等是解題關鍵．22．【分析】（1）首先設A種型號計算器的銷售價格是x元，A種型號計算器的銷售價格是y元，根據(jù)題意可等量關系：①5臺A型號和1臺B型號計算器，可獲利潤76元；②銷售6臺A型號和3臺B型號計算器，可獲利潤120元，根據(jù)等量關系列出方程組，再解即可；（2）根據(jù)題意表示出所用成本，進而得出不等式求出即可．【解答】解：（1）設A種型號計算器的銷售價格是x元，B種型號計算器的銷售價格是y元，由題意得：，解得：；答：A種型號計算器的銷售價格是42元，B種型號計算器的銷售價格是56元；（2）設購進A型計算器a臺，則購進B型計算器：（70﹣a）臺，則30a+40（70﹣a）≤2500，解得：a≥30，答：最少需要購進A型號的計算器30臺．【點評】此題主要考查了一元一次不等式的應用以及二元一次方程組的應用，根據(jù)題意得出總的進貨費用是解題關鍵．五、解答題（三）：本大題3小題，每小題9分，共27分。23．【分析】（1）根據(jù)A坐標，以及AB＝3BD求出D坐標，代入反比例解析式求出k的值；（2）直線y＝3x與反比例解析式聯(lián)立方程組即可求出點C坐標；（3）作C關于y軸的對稱點C′，連接C′D交y軸于M，則d＝MC+MD最小，得到C′（﹣，），求得直線C′D的解析式為y＝﹣x+1+，直線與y軸的交點即為所求．【解答】解：（1）∵A（1，3），∴AB＝3，OB＝1，∵AB＝3BD，∴BD＝1，∴D（1，1）將D坐標代入反比例解析式得：k＝1；（2）由（1）知，k＝1，∴反比例函數(shù)的解析式為；y＝，解：，解得：或，∵x＞0，∴C（，）；（3）如圖，作C關于y軸的對稱點C′，連接C′D交y軸于M，則d＝MC+MD最小，∴C′（﹣，），設直線C′D的解析式為：y＝kx+b，∴，∴，∴y＝（3﹣2）x+2﹣2，當x＝0時，y＝2﹣2，∴M（0，2﹣2）．【點評】此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，涉及的知識有：坐標與圖形性質，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，以及直線與反比例的交點求法，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關鍵．24．【分析】（1）由垂徑定理得出PG⊥BC，CD＝BD，再由三角函數(shù)求出∠BOD＝60°，證出AC∥PG，得出同位角相等即可；（2）先由SAS證明△PDB≌△CDK，得出CK＝BP，∠OPB＝∠CKD，證出AG＝CK，再證明AG∥CK，即可得出結論；（3）先證出DH∥AG，得出∠OAG＝∠OHD，再證OD＝OH，由SAS證明△OBD≌△HOP，得出∠OHP＝∠ODB＝90°，即可得出結論．【解答】（1）解：∵點P為的中點，AB為⊙O直徑，∴BP＝PC，PG⊥BC，CD＝BD，∴∠ODB＝90°，∵D為OP的中點，∴OD＝OP＝OB，∴cos∠BOD＝＝，∴∠BOD＝60°，∵AB為⊙O直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ODB，∴AC∥PG，∴∠BAC＝∠BOD＝60°；（2）證明：由（1）知，CD＝BD，在△PDB和△CDK中，，∴△PDB≌△CDK（SAS），∴CK＝BP，∠OPB＝∠CKD，∵∠AOG＝∠BOP，∴AG＝BP，∴AG＝CK，∵OP＝OB，∴∠OPB＝∠OBP，又∵∠G＝∠OBP，∴AG∥CK，∴四邊形AGCK是平行四邊形；（3）證明：∵CE＝PE，CD＝BD，∴DE∥PB，即DH∥PB∵∠G＝∠OPB，∴PB∥AG，