人教高中數(shù)學(xué)必修三教材用書第三章概率3．12概率的意義

3．1.2概率的意義[提出問題]經(jīng)市場(chǎng)抽檢，質(zhì)檢部門得知市場(chǎng)上的食用油合格率為80%，現(xiàn)將對(duì)市場(chǎng)上的100個(gè)品牌的食用油進(jìn)行檢查．問題1：這100個(gè)品牌的食用油一定有20個(gè)不合格，對(duì)嗎？提示：不對(duì)．問題2：這100個(gè)品牌的食用油可能有20個(gè)不合格，對(duì)嗎？提示：對(duì)．問題3：以你對(duì)合格率的理解，這100個(gè)品牌的食用油，不合格的應(yīng)有多少個(gè)？提示：可能有20個(gè)，也可能一個(gè)也沒有．[導(dǎo)入新知]1．對(duì)概率的正確理解隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生與否是隨機(jī)的，但隨機(jī)性中含有規(guī)律性，認(rèn)識(shí)了這種隨機(jī)性中的規(guī)律性，就能比較準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性．2．游戲的公平性(1)裁判員用抽簽器決定誰先發(fā)球，不管哪一名運(yùn)動(dòng)員先猜，猜中并取得發(fā)球的概率均是等可能的，所以這個(gè)規(guī)則是公平的．(2)在設(shè)計(jì)某種游戲規(guī)則時(shí)，一定要考慮這種規(guī)則對(duì)每個(gè)人都是公平的這一重要原則．3．決策中的概率思想如果我們面臨的是從多個(gè)可選答案中挑選正確答案的決策任務(wù)，那么“使得樣本出現(xiàn)的可能性最大”可以作為決策的準(zhǔn)則，這種判斷問題的方法稱為極大似然法，極大似然法是統(tǒng)計(jì)中重要的統(tǒng)計(jì)思想方法之一．4．天氣預(yù)報(bào)的概率解釋天氣預(yù)報(bào)的“降水”是一個(gè)隨機(jī)事件，“降水概率為90%”指明了“降水”這個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率為90%，在一次試驗(yàn)中，概率為90%的事件也可能不出現(xiàn)，因此，“昨天沒有下雨”并不能說明“昨天的降水概率為90%”的天氣預(yù)報(bào)是錯(cuò)誤的．5．孟德爾與遺傳機(jī)理中的統(tǒng)計(jì)規(guī)律孟德爾從豌豆試驗(yàn)中洞察到的遺傳規(guī)律是一種統(tǒng)計(jì)規(guī)律．[化解疑難]概率的正確認(rèn)識(shí)(1)隨機(jī)事件的發(fā)生都有隨機(jī)性．例如，盡管每次拋擲硬幣的結(jié)果出現(xiàn)正、反面的概率都為0.5，但連續(xù)兩次拋擲硬幣的結(jié)果不一定恰好是正面朝上、反面朝上各一次，可以有三種情況：“兩次正面朝上”“兩次反面朝上”“一次正面朝上，一次反面朝上”．(2)隨機(jī)事件的某一結(jié)果在一次試驗(yàn)中發(fā)生與否是隨機(jī)的，但隨機(jī)性中又含有規(guī)律性．認(rèn)識(shí)了這種隨機(jī)性中的規(guī)律性，就能使我們比較準(zhǔn)確地把握某隨機(jī)事件發(fā)生的可能性．例如，做連續(xù)拋擲兩枚硬幣的試驗(yàn)1000次，可以預(yù)見：“兩個(gè)正面朝上”大約出現(xiàn)250次，“兩個(gè)反面朝上”大約出現(xiàn)250次，“正面朝上、反面朝上各一個(gè)”大約出現(xiàn)500次．概率含義的理解[例1](1)下列說法正確的是()A．由生物學(xué)知道生男、生女的概率均約為0.5，一對(duì)夫婦先后生兩小孩，則一定為一男一女B．一次摸獎(jiǎng)活動(dòng)中，中獎(jiǎng)概率為0.2，則摸5張票，一定有一張中獎(jiǎng)C．10張票中有1張獎(jiǎng)票，10人去摸，誰先摸則誰摸到獎(jiǎng)票的可能性大(2)某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品合格率是99.99%，這說明()A．該廠生產(chǎn)的10000件產(chǎn)品中不合格的產(chǎn)品一定有1件B．該廠生產(chǎn)的10000件產(chǎn)品中合格的產(chǎn)品一定有9999件C．合格率是99.99%，很高，說明該廠生產(chǎn)的10000件產(chǎn)品中沒有不合格產(chǎn)品D．該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品合格的可能性是99.99%[解析](1)一對(duì)夫婦生兩小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正確；中獎(jiǎng)概率為0.2是說中獎(jiǎng)的可能性為0.2，當(dāng)摸5張票時(shí)，可能都中獎(jiǎng)，也可能中一張、兩張、三張、四張，或者都不中獎(jiǎng)，所以B不正確；10張票中有1張獎(jiǎng)票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即無論誰先摸，摸到獎(jiǎng)票的概率都是0.1，所以C不正確；D正確．(2)合格率是99.99%，是指該工廠生產(chǎn)的每件產(chǎn)品合格的可能性大小，即合格的概率．[答案](1)D(2)D[類題通法]從三個(gè)方面理解概率的意義(1)概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量，是隨機(jī)事件A的本質(zhì)屬性，隨機(jī)事件A發(fā)生的概率是大量重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻率的近似值．(2)由概率的定義我們可以知道隨機(jī)事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生與否是隨機(jī)的，但隨機(jī)中含有規(guī)律性，而概率就是其規(guī)律性在數(shù)量上的反映．(3)正確理解概率的意義，要清楚概率與頻率的區(qū)別與聯(lián)系．對(duì)具體的問題要從全局和整體上去看待，而不是局限于某一次試驗(yàn)或某一個(gè)具體的事件．[活學(xué)活用]拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，如果連續(xù)拋擲1000次，那么第999次出現(xiàn)正面朝上的概率是()A.eq\f(1,999) B．eq\f(1,1000)C.eq\f(999,1000) D．eq\f(1,2)解析：選D拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，只考慮第999次，有兩種結(jié)果：正面朝上，反面朝上，每種結(jié)果等可能出現(xiàn)，故所求概率為eq\f(1,2).游戲的公平性[例2]某校高二年級(jí)(1)(2)班準(zhǔn)備聯(lián)合舉行晚會(huì)，組織者欲使晚會(huì)氣氛熱烈、有趣，策劃整場(chǎng)晚會(huì)以轉(zhuǎn)盤游戲的方式進(jìn)行，每個(gè)節(jié)目開始時(shí)，兩班各派一人先進(jìn)行轉(zhuǎn)盤游戲，勝者獲得一件獎(jiǎng)品，負(fù)者表演一個(gè)節(jié)目．(1)班的文娛委員利用分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,7的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(如圖所示)，設(shè)計(jì)了一種游戲方案：兩人同時(shí)各轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)轉(zhuǎn)盤一次，將轉(zhuǎn)到的數(shù)字相加，和為偶數(shù)時(shí)(1)班代表獲勝，否則(2)班代表獲勝．該方案對(duì)雙方是否公平？為什么？[解]該方案是公平的，理由如下：各種情況如下表所示：45671567826789378910由上表可知該游戲可能出現(xiàn)的情況共有12種，其中兩數(shù)字之和為偶數(shù)的有6種，為奇數(shù)的也有6種，所以(1)班代表獲勝的概率P1＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)，(2)班代表獲勝的概率P2＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)，即P1＝P2，機(jī)會(huì)是均等的，所以該方案對(duì)雙方是公平的．[類題通法]游戲公平性的標(biāo)準(zhǔn)及判斷方法(1)游戲規(guī)則是否公平，要看對(duì)游戲的雙方來說獲勝的可能性或概率是否相同．若相同，則規(guī)則公平；否則就是不公平的．(2)具體判斷時(shí)，可以求出按所給規(guī)則雙方的獲勝概率，再進(jìn)行比較．[活學(xué)活用]玲玲和倩倩是一對(duì)好朋友，她倆都想去觀看周杰倫的演唱會(huì)，可手里只有一張票，怎么辦呢？玲玲對(duì)倩倩說：“我向空中拋2枚同樣的一元硬幣，如果落地后一正一反，就我去；如果落地后兩面一樣，就你去！”你認(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎？解：兩枚硬幣落地共有四種結(jié)果：正，正；正，反；反，正；反，反．由此可見，她們兩人得到門票的概率都是eq\f(1,2)，所以公平.概率的應(yīng)用[例3](1)同時(shí)向上拋100個(gè)銅板，結(jié)果落地時(shí)100個(gè)銅板朝上的面都相同，你認(rèn)為這100個(gè)銅板更可能是下面哪種情況()A．這100個(gè)銅板兩面是一樣的B．這100個(gè)銅板兩面是不同的C．這100個(gè)銅板中有50個(gè)兩面是一樣的，另外50個(gè)兩面是不相同的D．這100個(gè)銅板中有20個(gè)兩面是一樣的，另外80個(gè)兩面是不相同的(2)為了估計(jì)某自然保護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量，可以使用以下方法：先從該保護(hù)區(qū)中捕出一定數(shù)量的天鵝，例如200只，給每只天鵝做上記號(hào)，不影響其存活，然后放回保護(hù)區(qū)，經(jīng)過適當(dāng)?shù)臅r(shí)間，讓其和保護(hù)區(qū)中其余的天鵝充分混合，再?gòu)谋Ｗo(hù)區(qū)中捕出一定數(shù)量的天鵝，例如150只，查看其中有記號(hào)的天鵝，設(shè)有20只，試根據(jù)上述數(shù)據(jù)，估計(jì)該自然保護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量．[解析](1)選A落地時(shí)100個(gè)銅板朝上的面都相同，根據(jù)極大似然法可知，這100個(gè)銅板兩面是一樣的可能性較大．(2)設(shè)保護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量為n，假設(shè)每只天鵝被捕到的可能性是相等的．從保護(hù)區(qū)中任捕一只，設(shè)事件A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(帶有記號(hào)的天鵝))，則P(A)＝eq\f(200,n).第二次從保護(hù)區(qū)中捕出150只天鵝，其中有20只帶有記號(hào)，由概率的統(tǒng)計(jì)定義可知P(A)＝eq\f(20,150)，∴eq\f(200,n)＝eq\f(20,150)，解得n＝1500，∴該自然保護(hù)區(qū)中約有天鵝1500只．[類題通法]1．極大似然法的應(yīng)用在“風(fēng)險(xiǎn)與決策”中經(jīng)常會(huì)遇到統(tǒng)計(jì)中的極大似然法：如果我們面臨的是從多個(gè)可以選擇的答案中挑選正確答案的決策問題，那么“使得樣本出現(xiàn)的可能性最大”可以作為決策的準(zhǔn)則，這種判斷問題的方法稱為極大似然法．2．概率的實(shí)際應(yīng)用由于概率體現(xiàn)了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性，所以在現(xiàn)實(shí)生活中我們可以根據(jù)隨機(jī)事件概率的大小去預(yù)測(cè)事件能否發(fā)生，從而對(duì)某些事情作出決策．當(dāng)某隨機(jī)事件的概率未知時(shí)，可用樣本出現(xiàn)的頻率去近似估計(jì)總體中該事件發(fā)生的概率．[活學(xué)活用]某市交警部門在調(diào)查一起車禍過程中，所有的目擊證人都指證肇事車是一輛普通桑塔納出租車，但由于天黑，均未看清該車的車牌號(hào)碼及顏色．而該市有兩家出租車公司，其中甲公司有100輛桑塔納出租車，3000輛帕薩特出租車；乙公司有3000輛桑塔納出租車，100輛帕薩特出租車，交警部門應(yīng)認(rèn)定肇事車為哪個(gè)公司的車輛較合理？()A．甲公司 B．乙公司C．甲、乙公司均可 D．以上都對(duì)解析：選B由題意得肇事車是甲公司的概率為eq\f(1,31)，是乙公司的概率為eq\f(30,31)，由極大似然法可知認(rèn)定肇事車為乙公司的車輛較為合理．eq\a\vs4\al(,,)[典例]為了了解我國(guó)機(jī)動(dòng)車的所有人繳納車船使用稅情況，調(diào)查部門在某大型停車場(chǎng)對(duì)機(jī)動(dòng)車的所有人進(jìn)行了如下的隨機(jī)調(diào)查：向被調(diào)查者提出三個(gè)問題：(1)你的車牌號(hào)碼的最后一位是奇數(shù)嗎？(2)你繳納了本年度的車船使用稅嗎？(3)你的家庭電話號(hào)碼的倒數(shù)第二位是偶數(shù)嗎？調(diào)查人員給被調(diào)查者準(zhǔn)備了一枚骰子，讓被調(diào)查者背對(duì)調(diào)查人員擲一次骰子．如果出現(xiàn)一點(diǎn)或二點(diǎn)則回答第一個(gè)問題；如果出現(xiàn)三點(diǎn)或四點(diǎn)則回答第二個(gè)問題；如果出現(xiàn)五點(diǎn)或六點(diǎn)則回答第三個(gè)問題(被調(diào)查者不必告訴調(diào)查人員自己回答的是哪一個(gè)問題，只需回答“是”或“否”，所以都如實(shí)做了回答)．結(jié)果被調(diào)查的3000人中1200人回答了“否”，由此估計(jì)在這3000人中沒有繳納車船使用稅的人數(shù)大約是()A．600 B．200C．400 D．300[解析]因?yàn)轺蛔映霈F(xiàn)一點(diǎn)或二點(diǎn)、三點(diǎn)或四點(diǎn)、五點(diǎn)或六點(diǎn)的概率相等，都等于eq\f(1,3)，所以應(yīng)有1000人回答了第一個(gè)問題．因?yàn)檐嚺铺?hào)碼的最后一位數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)的概率也是相等的，所以在這1000人中應(yīng)有500人的車牌號(hào)碼是偶數(shù)，這500人都回答了“否”；同理也有1000人回答了第三個(gè)問題，在這1000人中有500人回答了“否”．因此在回答“否”的1200人中約有200人是對(duì)第二個(gè)問題回答了“否”，根據(jù)用樣本特征估計(jì)總體特征知識(shí)可知在這3000人中約有600人沒有繳納車船使用稅．[答案]A[易錯(cuò)防范]1．本題易誤認(rèn)為回答這三個(gè)問題的人數(shù)是相同的，因此有400人回答了第(2)個(gè)問題，而回答“是”與“否”的概率是一樣的，因此誤選B.2．解決此類問題的實(shí)質(zhì)是在充分掌握隨機(jī)事件的概率的基礎(chǔ)上，得到一個(gè)估計(jì)量，為生活中的一些決策做一定的理論參考．[成功破障]下列命題中的真命題有()①做9次拋擲一枚均勻硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果有5次出現(xiàn)正面，因此，出現(xiàn)正面的概率是eq\f(5,9)；②盒子中裝有大小均勻的3個(gè)紅球，3個(gè)黑球，2個(gè)白球，那么每種顏色的球被摸到的可能性相同；③從－4，－3，－2，－1,0,1,2中任取一個(gè)數(shù)，取得的數(shù)小于0和不小于0的可能性相同；④分別從2名男生，3名女生中各選一名作為代表，那么每名學(xué)生被選中的可能性相同．A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．3個(gè)解析：選A命題①中，拋擲一枚硬幣出現(xiàn)正面的概率是eq\f(1,2)；命題②中摸到白球的概率要小于摸到紅球與黑球的概率；命題③中取得小于0的概率大于取得不小于0的概率；命題④中男生被抽到的概率為eq\f(1,2)，而每名女生被抽到的概率為eq\f(1,3).[隨堂即時(shí)演練]1．“某彩票的中獎(jiǎng)概率為eq\f(1,100)”意味著()A．買100張彩票就一定能中獎(jiǎng)B．買100張彩票能中一次獎(jiǎng)C．買100張彩票一次獎(jiǎng)也不中D．購(gòu)買彩票中獎(jiǎng)的可能性為eq\f(1,100)解析：選D概率是描述事件發(fā)生的可能性大小．2．在天氣預(yù)報(bào)中，有“降水概率預(yù)報(bào)”．例如，預(yù)報(bào)“明天降水概率為85%”，這是指()A．明天該地區(qū)有85%的地區(qū)降水，其他15%地區(qū)不降水B．明天該地區(qū)約有85%的時(shí)間降水，其他時(shí)間不降水C．氣象臺(tái)的專家中，有85%的人認(rèn)為會(huì)降水，另外15%的專家認(rèn)為不降水D．明天該地區(qū)降水的可能性為85%解析：選D概率的本質(zhì)含義是事件發(fā)生的可能性大小，因此D正確．3．設(shè)有外形完全相同的兩個(gè)箱子，甲箱中有99個(gè)白球1個(gè)黑球，乙箱中有1個(gè)白球99個(gè)黑球．隨機(jī)地抽取一箱，再?gòu)娜〕龅囊幌渲谐槿∫磺?，結(jié)果取得白球，這球是從________箱中取出的．解析：甲箱中有99個(gè)白球1個(gè)黑球，故隨機(jī)地取出一球，得到白球的可能性是eq\f(99,100)，乙箱中有1個(gè)白球99個(gè)黑球，從中任取一球，得到白球的可能性是eq\f(1,100).由此可知，這一白球從甲箱中抽出的概率比從乙箱中抽出的概率大得多，由極大似然法知，既然在一次抽樣中就抽到白球，當(dāng)然可以認(rèn)為是由概率大的箱子中取出的，所以我們可以認(rèn)為該球是從甲箱中取出的．答案：甲4．先后拋擲兩枚均勻的一分、貳分的硬幣，觀察落地后硬幣的正反面情況，則下列哪個(gè)事件的概率最大________．(填序號(hào))(1)至少一枚硬幣正面向上；(2)只有一枚硬幣正面向上；(3)兩枚硬幣都是正面向上；(4)兩枚硬幣一枚正面向上，另一枚反面向上．解析：拋擲兩枚硬幣，其結(jié)果有“正正”“正反”“反正”“反反”四種情況．“至少有一枚硬幣正面向上”包括三種情況，其概率最大．答案：(1)5．為了估計(jì)水庫中魚的尾數(shù)，使用以下的方法：先從水庫中捕出2000尾魚，給每尾魚做上記號(hào)，不影響其存活，然后放回水庫．經(jīng)過適當(dāng)?shù)臅r(shí)間，讓其和水庫中的其他魚充分混合，再?gòu)乃畮熘胁冻?00尾，查看其中有記號(hào)的魚，有40尾，試根據(jù)上述數(shù)據(jù)，估計(jì)水庫中魚的尾數(shù)．解：設(shè)水庫中魚的尾數(shù)是n(n∈N*)，每尾魚被捕到的可能性相等，給2000尾魚做上記號(hào)后，從水庫中任捕一尾魚，帶記號(hào)的概率為eq\f(2000,n).又從水庫中捕500尾魚，有40尾帶記號(hào)，于是帶記號(hào)的頻率為eq\f(40,500).則有eq\f(2000,n)＝eq\f(40,500)，解得n＝25000.所以估計(jì)水庫中有25000尾魚．[課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)]一、選擇題1．事件A發(fā)生的概率接近于0，則()A．事件A不可能發(fā)生B．事件A也可能發(fā)生C．事件A一定發(fā)生D．事件A發(fā)生的可能性很大答案：B2．從一批準(zhǔn)備出廠的電視機(jī)中隨機(jī)抽取10臺(tái)進(jìn)行質(zhì)量檢查，其中有1臺(tái)是次品，若用C表示抽到次品這一事件，則對(duì)C的說法正確的是()A．概率為eq\f(1,10)B．頻率為eq\f(1,10)C．概率接近eq\f(1,10)D．每抽10臺(tái)電視機(jī)，必有1臺(tái)次品答案：B3．高考數(shù)學(xué)試題中，有12道選擇題，每道選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中只有1個(gè)選項(xiàng)是正確的，則隨機(jī)選擇其中一個(gè)選項(xiàng)正確的概率是eq\f(1,4).某家長(zhǎng)說：“要是都不會(huì)做，每題都隨機(jī)選擇其中一個(gè)選項(xiàng)，則一定有3道題答對(duì)．”這句話()A．正確 B．錯(cuò)誤C．不一定 D．無法解釋答案：B4．某籃球運(yùn)動(dòng)員投籃的命中率為98%，估算該運(yùn)動(dòng)員投籃1000次命中的次數(shù)為()A．98 B．980C．20 D．998答案：B5．從12件同類產(chǎn)品中(其中10件正品，2件次品)，任意抽取6件產(chǎn)品，下列說法中正確的是()A．抽出的6件產(chǎn)品必有5件正品，1件次品B．抽出的6件產(chǎn)品中可能有5件正品，1件次品C．抽取6件產(chǎn)品時(shí)，逐個(gè)不放回地抽取，前5件是正品，第6件必是次品D．抽取6件產(chǎn)品時(shí)，不可能抽得5件正品，1件次品答案：B二、填空題6．在一次考試中，某班學(xué)生的及格率是80%，這里所說的80%是________(填“概率”或“頻率”)．解析：80%是及格人數(shù)與全體人數(shù)的商，是頻率，而不是概率．答案：頻率7．一個(gè)總體分為A，B兩層，用分層抽樣方法從總體中抽取一個(gè)容量為10的樣本．已知B層中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都為eq\f(1,12)，則總體中的個(gè)體數(shù)為________．解析：設(shè)總體中的個(gè)體數(shù)為x，則eq\f(10,x)＝eq\f(1,12)，所以x＝120.答案：1208．在調(diào)查運(yùn)動(dòng)員是否服用過興奮劑的時(shí)候，一般給出兩個(gè)問題，無關(guān)緊要的問題是：“你的身份證號(hào)碼的尾數(shù)是奇數(shù)嗎？”敏感的問題是：“你服用過興奮劑嗎？”然后要求被調(diào)查的運(yùn)動(dòng)員擲一枚硬幣，如果出現(xiàn)正面，就回答第一個(gè)問題，否則回答第二個(gè)問題．由于回答哪一個(gè)問題只有被測(cè)試者自己知道，所以被測(cè)試者一般樂意如實(shí)地回答問題．如果我們把這種方法用于300個(gè)被調(diào)查的運(yùn)動(dòng)員，得到80個(gè)“是”的回答，則這群人中服用過興奮劑的百分率大約為________．解析：因?yàn)閿S硬幣出現(xiàn)正面向上的概率為eq\f(1,2)，我們期望大約有150人回答第一個(gè)問題．又身份證號(hào)碼的尾數(shù)是奇數(shù)或偶數(shù)是等可能的，在回答第一個(gè)問題的150人中大約有一半人，即75人回答了“是”，另外5個(gè)回答“是”的人服用過興奮劑．因此我們估計(jì)這群人中大約有3.33%的人服用過興奮劑．答案：3.33%三、解答題9．元旦就要到了，某校將舉行聯(lián)歡活動(dòng)，每班派一人主持節(jié)目，高二(1)班的小明、小華和小麗實(shí)力相當(dāng)，都爭(zhēng)著要去，班主任決定用抽簽的方法來決定．小強(qiáng)給