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專題五工程問題考點(diǎn)解析工程問題形式多樣,難度較大,是小升初考試中必考考點(diǎn)之一,也是點(diǎn)中學(xué)招生考試考查的重點(diǎn)之一。常見的工程問題有工程合作問題、周期性工程問題、按勞分配問題、水池進(jìn)出水問題、多方合作問題等,其中工程合作問題、水池進(jìn)出水問題考得最頻繁。解決這類問題時(shí),要把“一項(xiàng)工程“看成一個(gè)單位,抓住數(shù)量關(guān)系,要善于利用常見的數(shù)學(xué)思想方法,如假設(shè)法、代數(shù)法、分析推理法、反面思考法、整體思考法等,將題目化繁為簡(jiǎn)。學(xué)習(xí)難度:★★★★考點(diǎn)頻率:★★★★★精講精練●工程問題工程問題主要研究工作總量、工作效率和工作時(shí)間三者之間的關(guān)系。題目中常常不給出工作總量的具體數(shù)址,只提出“一項(xiàng)工程〞“一項(xiàng)工作〞等,常用單位“1〞表示工作總量?!窠忸}關(guān)鍵解答工程問題的關(guān)鍵是把工作總量看作“1〞,這樣,工作效率就是工作時(shí)間的倒數(shù)〔它表示單位時(shí)間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾〕,進(jìn)而就可以根據(jù)工作總量、工作效率、工作時(shí)間三者之間的關(guān)系列出算式?!駭?shù)量關(guān)系工作總量=工作效率×工作時(shí)間工作時(shí)間=工作總量÷工作效率工作效率=工作總量÷工作時(shí)間1合作問題把工作總址看作“1〞。合作形式多樣,例如,甲單獨(dú)工作,乙再參加;或者甲、乙合作之后,突然甲離開或乙中間休息幾天再工作等。例1?〔寧波市小學(xué)畢業(yè)卷〕一項(xiàng)工程,甲隊(duì)單獨(dú)完成需要20天,乙隊(duì)單獨(dú)完成需要60天。甲隊(duì)先做6天以后,乙隊(duì)參加,兩隊(duì)合作前后一共要多少天完成?2周期性工程問題●解題關(guān)鍵解答周期性工程問題時(shí),首先要弄清一個(gè)循環(huán)周期的工作量,其次要注意最后不滿一個(gè)周期的局部所需要的工作時(shí)間,只們這樣才能正確解答。例②〔長你市小學(xué)畢業(yè)卷〕一項(xiàng)工程,乙單獨(dú)做要17天完成。如果第一天甲做,第二天乙做,這樣交格輪流做,那么恰好用整天數(shù)完成:如果第一天乙做.第二天甲做.這樣交替輪流做,那么比上次輪流的做法多用半天完工。問:甲單獨(dú)做需要兒天?3按勞分配●按勞分配思路每人每天工作效率→每人工作量→按比例分配在解答工資分配問題時(shí),關(guān)鍵是正確計(jì)算出每個(gè)隊(duì)或者個(gè)人完成了工作總量的幾分之幾。例3〔蘭州市小學(xué)畢業(yè)卷〕甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)修路,最終按工作量分配8400元工資。按兩隊(duì)原方案的工作效率,乙隊(duì)?wèi)?yīng)獲得5040元。實(shí)際上從第5天開始,甲隊(duì)的工作效率提高了1倍,這樣甲隊(duì)最終可比原方案多獲得960元。那么兩隊(duì)原方案完成修路任務(wù)要多少天?4水管問題●根本公式進(jìn)水量、出水量工作量,進(jìn)水、排水速度工作效率。假設(shè)為排水,進(jìn)水為負(fù),那么排水量=〔排水速度-進(jìn)水速度〕×?xí)r間。假設(shè)為進(jìn)水,排水為負(fù),那么進(jìn)水量=〔進(jìn)水速度-排水速度〕×?xí)r間。例④〔南寧市小學(xué)畢業(yè)卷〕一個(gè)水池上裝有一根進(jìn)水管和3根粗細(xì)相同的出水管,單開一根進(jìn)水管20分鐘可以將水池注滿,單開一根出水管45分鐘可以將一池水放完。某次池中無水,現(xiàn)在先開進(jìn)水管15分鐘,再將4根水管同時(shí)翻開,多少分鐘后水池可以放干?5多方合作問題多人同時(shí)工作共同完成一項(xiàng)工程,合作效率等于每個(gè)人的效率之和。例⑤〔街水市小學(xué)畢業(yè)卷〕一項(xiàng)工程甲、乙兩隊(duì)合做12天完成,乙、丙兩隊(duì)合做20天完成,甲、丙兩隊(duì)合做15天完成。如果三隊(duì)合做,幾天可以完成?由于各隊(duì)的工效都是未知的,所以不好計(jì)算,采用代數(shù)法比擬容易解題。設(shè)甲單獨(dú)完成梯度訓(xùn)練根底過關(guān)題?三部同樣的抽水機(jī)同時(shí)抽水,抽干一池水需用15小時(shí),五部這樣的抽水機(jī)抽干這一池水需用多少小時(shí)??折疊一批紙鶴,甲同學(xué)單獨(dú)折疊需要半小時(shí),乙同學(xué)單獨(dú)折疊需要45分鐘,那么甲、乙兩同學(xué)共同折疊需要多少分鐘??張師傅加工一批零件,原方案每天加工80個(gè),5天加工完:實(shí)際張師傅只用4天就加工完了,實(shí)際每天比原方案多加工多少個(gè)??某水池可用甲、乙兩個(gè)水管注水,單開甲管需12小時(shí)注滿、單開乙管需24小時(shí)注滿,假設(shè)要求10小時(shí)注滿水池,且甲、乙兩管同時(shí)翻開的時(shí)間盡量少,那么甲、乙最少要同時(shí)開放多少小時(shí)??甲方案用假設(shè)干個(gè)工作日完成某項(xiàng)工作,從第三個(gè)工作日起,乙參加此項(xiàng)工作,且甲、乙兩人工效相同,結(jié)果提前3天完成任務(wù),那么甲方案完成此項(xiàng)工作的時(shí)間是多少天??為了抗擊霧霾,工程師們研發(fā)出一款高效空氣凈化器,假設(shè)用1臺(tái)這樣的凈化器完全凈化54平方米的房間只需要48分鐘,那么使用2臺(tái)凈化器工作3小時(shí),可以完全凈化多少平方米的房間??一項(xiàng)工程,甲單獨(dú)做要6小時(shí),乙單獨(dú)做要10小時(shí)。如果按“甲、乙、甲、乙…〞的順序交替工作,每次1小時(shí),那么需要多長時(shí)間完成??一水池,甲、乙兩管同時(shí)開,用5小時(shí)灌滿;乙、丙兩管同時(shí)開,用4小時(shí)灌滿。現(xiàn)在先開乙管6小時(shí),還需甲、丙兩管同時(shí)開2小時(shí)才能灌滿。乙管單獨(dú)開,需要多少小時(shí)才能灌滿??一項(xiàng)工程,甲、乙、丙合作10天完成。如果丙休息5天,乙就要多做2天,或者由甲、乙合作多做1天。這項(xiàng)工程由甲單獨(dú)做需要多少天??工程隊(duì)原方案用24個(gè)工人挖一定數(shù)量的土方,按方案工作5天后,因事調(diào)走6人,并將每人每天的工作量增加為比原定工作量多挖1立方米,正好按原方案如期完成任務(wù)。那么,原方案每人每天挖多少立方米?11、抽水機(jī)甲和抽水機(jī)乙的工作效率比是3:4,兩臺(tái)抽水機(jī)同時(shí)抽取某水池,需要15小時(shí)抽干水池。現(xiàn)在,乙抽水機(jī)抽水9小時(shí)后關(guān)閉,再將甲抽水機(jī)翻開.要抽干水池還需要多少小時(shí)?12、有一批資料要復(fù)印,甲復(fù)印機(jī)單獨(dú)復(fù)印需要11小時(shí),乙復(fù)印機(jī)單獨(dú)復(fù)印需要13小時(shí)。當(dāng)甲、乙兩臺(tái)復(fù)印機(jī)同時(shí)復(fù)印時(shí),由于相互干擾,兩臺(tái)復(fù)印機(jī)每小時(shí)總共少印28張。現(xiàn)在兩臺(tái)復(fù)印機(jī)同時(shí)復(fù)印了6小時(shí)15分鐘才印完,那么這批資料共有多少張?13、為了創(chuàng)立經(jīng)色學(xué)校.科學(xué)俱樂部的同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)問收食堂的洗菜水來澆花草的水池,要求單獨(dú)翻開進(jìn)水管3小時(shí)可以把水池注滿,單獨(dú)翻開出水管4小時(shí)可以排完滿池水。水池建成后,發(fā)現(xiàn)水池漏水。這時(shí),假設(shè)同時(shí)翻開進(jìn)水管和出水管14小時(shí)才能把水池注滿,那么當(dāng)水池往滿,并且關(guān)閉進(jìn)水管與出水管時(shí),經(jīng)過多少小時(shí)滿池水就會(huì)漏完?14、有一項(xiàng)工程,甲單獨(dú)做需要36天完成,乙單獨(dú)做需要30天完成,丙單獨(dú)做需要48天完成?,F(xiàn)在由甲、乙、丙三人同時(shí)做,在工作期間,丙休息了整數(shù)天,而甲和乙一直工作至完成,最后完成這項(xiàng)工程也用了整數(shù)天,那么丙休息了多少天?拓展提升題?某水池有甲、乙兩個(gè)進(jìn)水閥,只翻開甲,10小時(shí)可將空水池注滿;只翻開乙,15小時(shí)可將空水池注滿?,F(xiàn)要求用7小時(shí)將空水池注滿,可以只翻開甲注水假設(shè)干小時(shí),接著只翻開乙注水假設(shè)干小時(shí),最后同時(shí)翻開甲、乙。那么同時(shí)翻開甲、乙的時(shí)間是多少小時(shí)呢??三臺(tái)車床A、B、C各以一定的工作效率加工同一種標(biāo)準(zhǔn)件,A車床比C車床早開機(jī)10分鐘,C車床比B車床早開機(jī)5分鐘。B車床開機(jī)10分鐘后,B、C車床加工的標(biāo)準(zhǔn)件的數(shù)量相同;C車床開機(jī)30分鐘后,A、C兩車床加工的標(biāo)準(zhǔn)件的數(shù)量相同。B車床開機(jī)多少分鐘后就能與A車床加工的標(biāo)準(zhǔn)件的數(shù)量相同??某項(xiàng)工程,可由假設(shè)干臺(tái)機(jī)器在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)完成。如果增加2臺(tái)機(jī)器,那么只需用規(guī)定時(shí)間的78就可做完;如果減少2臺(tái)機(jī)器,那么就要推遲23小時(shí)做完。間:?有甲、乙兩根水管,分別同時(shí)給A、B兩個(gè)大小相同的水池注水,在相同時(shí)間內(nèi)甲、乙兩水管注水量之比是7:5。經(jīng)過213小時(shí),A、B兩池中注入的水之和恰好是一池。此后,甲管注水速度提高25%,乙管注水速度降低30%。那么,當(dāng)甲管注滿A池時(shí),乙管還需多長時(shí)間注滿B池?王叔叔是一個(gè)工程發(fā)包商,他手中共有四項(xiàng)同樣的工程。前三項(xiàng)工程已經(jīng)完工,發(fā)包情況是:一項(xiàng)由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)承包、100天完成了任務(wù),發(fā)給承包費(fèi)150萬元;一項(xiàng)由乙、丙兩隊(duì)承包,150天完成了任務(wù),發(fā)給承包費(fèi)120萬元:一項(xiàng)由甲、丙兩隊(duì)承包、120天完成了任務(wù)、發(fā)給承包費(fèi)140萬元。現(xiàn)在館四項(xiàng)工程也獲得批準(zhǔn)發(fā)包,要求在一年內(nèi)完工,為便于進(jìn)行質(zhì)量考核、只允許發(fā)包給其中一個(gè)工程隊(duì)、且使承包費(fèi)最低,應(yīng)選哪個(gè)工程隊(duì)承包??三名宇航員要在“天宮一號(hào)〞上完成一項(xiàng)太空科學(xué)實(shí)驗(yàn),景海鵬做15小時(shí)完成14以后,劉旺參加一起做,兩人又合作完成了14,這時(shí)劉洋也參加一起做,最后三人合作完成了實(shí)驗(yàn)。劉旺與劉洋的工作效率之比為3:5,完成實(shí)驗(yàn)工作過程中,劉旺和劉洋的工作時(shí)間之比為2:1,那么在“天宮一號(hào)〞上的這項(xiàng)?甲、乙、丙三人一同承包一項(xiàng)工程,發(fā)給他們工資共1800元。三人完成這項(xiàng)工程的具體情況是:甲、乙兩人合作6天完成了工程的13,因?yàn)榧子惺拢梢?、丙合?天完成余下工程的14,之后三人合作5?一項(xiàng)工程,甲、乙合作1235小時(shí)可以完成。假設(shè)第1小時(shí)甲做,第2小時(shí)乙做,這樣交替輪流做,恰好整數(shù)小時(shí)做完;假設(shè)第1小時(shí)乙做,第2小時(shí)甲做,這樣交替輪流做,比上次輪流做要多13?一項(xiàng)工程,假設(shè)請(qǐng)甲工程隊(duì)單獨(dú)做需4個(gè)月完成,每月耗資9萬元;假設(shè)請(qǐng)乙工程隊(duì)單獨(dú)做需6個(gè)月完成,每月托資5萬元?!?〕甲、乙兩工程隊(duì)合作需要幾個(gè)月完成?耗資多少萬元?〔2〕現(xiàn)要求最遲5個(gè)月完成此項(xiàng)工程即可,請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方案,既保證按時(shí)完成任務(wù),又最大限度節(jié)省資金。?一項(xiàng)工程,甲單獨(dú)做要12小時(shí)完成,乙單獨(dú)做要18小時(shí)完成。假設(shè)甲先做1小時(shí),然后乙接替甲做1小時(shí),再由甲接替乙做1小時(shí)……兩人如此交替工作。請(qǐng)問:完成任務(wù)時(shí),共用了多少小時(shí)?11、某工地用三種型號(hào)的卡車運(yùn)送土方。甲、乙、丙三種卡車載重量之比為10:7:6,速度比為6:8:9,運(yùn)送土方的路程之比為15:14:14,三種車的輛數(shù)之比為10:5:7。工程開始時(shí),乙、丙兩種車全部投入運(yùn)輸,但甲種車只有一半投入,直到10天后,另一半甲種車才投入工作,一共干了25天完成任務(wù)。求甲種車完成的工作量與總工作量之比。12、一項(xiàng)工程,甲、乙兩隊(duì)合干需225天,需支付工程款2208元;乙、丙兩隊(duì)合干需334天,需支付工程款2400元;甲、丙兩隊(duì)合干需267天,需支付工程款13、一個(gè)蓄水池裝有9根水管,其中1根為進(jìn)水管、其余8根為相同的出水管。進(jìn)水管以均勻的速度不停地向這個(gè)蓄水池蓄水,池內(nèi)注入了一些水后、有人想把出水管也翻開、使池內(nèi)的水再全部排光。如果把8根出水管全部翻開,需要3小時(shí)可將池內(nèi)的水排光;如果僅翻開3根出水管,那么需要18小時(shí)。如果要在8小時(shí)內(nèi)將池中的水全部排光、最少要翻開幾根出水管?名校真題薈?〔華中師大附小畢業(yè)卷〕小李和小朱合作完成一項(xiàng)工圖.由于配合得好,小李的工作效率比單獨(dú)做時(shí)提高110,小朱的工作效率比單獨(dú)做時(shí)提高15,兩人合作6天完成。如果小李單獨(dú)做需要11?〔長沙市岳附區(qū)小學(xué)畢業(yè)卷〕某水池上安裝了A、B、C三根水管,有的零門放水,有的專門注水。每次用兩根水作,注滿一池水所用時(shí)間如下表所示:同時(shí)使用兩管A、BA、CB、C注滿一池水的時(shí)間〔小時(shí)〕2124〔1〕具有注水功能的是哪幾根水管?其中注水效率最高的是哪根?它將空池注滿水需要兒個(gè)小時(shí)?〔2〕具有放水功能的是哪幾根水管?它們將滿池水放完各需要幾個(gè)小時(shí)??〔湖南師大附中銜接考試卷〕甲、乙、丙三人用油漆合刷一棟小樓的門窗。甲、乙合刷5天完成了13,接著乙、丙合刷2天完成了余下的14,最后甲、丙兩人合刷了5天才完工。整個(gè)工程的勞務(wù)費(fèi)是600?〔青島市嶗山區(qū)小學(xué)畢業(yè)卷〕如圖,有一個(gè)敞口的立方體水箱,在其側(cè)面一條高的三等分點(diǎn)處有兩個(gè)排水孔A和B,它們排水時(shí)的速度相同且保持不變?,F(xiàn)在以一定的速度從上面往水箱注水,如果翻開A孔、關(guān)閉B孔,經(jīng)過20分鐘可將水箱注滿;如果關(guān)閉A孔、翻開B孔,經(jīng)過22分鐘可將水箱注滿。如果兩個(gè)孔都翻開、那么注滿水箱的時(shí)間需要多少分鐘??〔天津市南開中學(xué)銜接考試卷〕如圖是一個(gè)凈化水裝置,水流方向從A流到B,再流到C。原來容器A→B之間有10個(gè)流量相同的管道,B→C之間也有10個(gè)流量相同的管道?,F(xiàn)調(diào)換了A→B與B→C之間的一個(gè)管道后,流量每小時(shí)增加了40立方米。問:通過調(diào)整管道布局,從A到C的流量最大可增加多少立方米??〔南昌市青山湖區(qū)小學(xué)畢
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