數(shù)學六年級下冊第十五講真題拓展-幾何提升版（含答案、教師版學生版）北師大版

第15講真題拓展——幾何一．選擇題〔共11小題〕1．〔2021?雞西〕一個邊長為8的正立方體，由假設干個邊長為1的正立方體組成，現(xiàn)在要將大立方體外表涂漆，請問一共有多少個小立方體被涂上了顏色？〔〕A．296B．324C．328D．384【分析】根據(jù)題意可知，正立方體總共有8×8×8個小立方體組成，處于最外層的小立方體全部被涂上了顏色，那么沒有涂上顏色的小立方體有6×6×6個，兩者之差即為涂上顏色的小立方體的個數(shù)?！窘獯稹拷猓?﹣2＝6〔個〕8×8×8﹣6×6×6＝512﹣216＝296〔個〕答：一共有296個小立方體被涂上了顏色。應選：A?！军c評】把大立方體看成由1×1的小立方體組成，那么涂色的就是最外面的立方體，而里面的沒有．那么總的減去里面的就是所求的個數(shù)。2．〔2021?雞西〕如圖中心線上半部與下半部都是由3個紅色小三角形，5個藍色小三角形與8個白色小三角形所組成。當把上半圖沿著中心線往下折疊時，有2對紅色小三角形重合，3對藍色小三角形重合，以及有2對紅色與白色小三角形重合，試問有多少對白色小三角形重合？〔〕A．4B．5C．6D．7【分析】上下半局部各有16個小三角形，其中有2對紅色、3對藍色、2對紅色與白色小三角形重合，那么剩下重合的小三角形只有9對；紅色小三角形還有3×2﹣2×2﹣2＝0〔個〕，藍色還有5×2﹣3×2＝4〔個〕，所以在這9對中，應還包括上半局部2藍對應于下半局部2白，與上半局部2白對應于下半局部2藍的情形，即再排除4對，因此，只有5對白色小三角形重合?！窘獯稹拷猓杭t色三角形剩余：3×2﹣2×2﹣2＝6﹣4﹣2＝0〔個〕所以，沒有紅色三角形和藍色三角形重合，藍色三角形剩余：5×2﹣3×2＝10﹣6＝4〔個〕這4個藍色三角形不與自身重合，只能與白色三角形重合，白色三角形剩余：8×2﹣4﹣2＝16﹣4﹣2＝10〔個〕10個白色三角形互相重合：10÷2＝5〔對〕答：有5對白色小三角形重合。應選：B。【點評】此題主要考查了染色問題，根據(jù)每種顏色的三角形的總量，以及重合的數(shù)量關系，求出剩余的數(shù)量，是此題解題的關鍵。3．〔2021?鄭州〕如下圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小方格都是邊長為1的正方形，A和B兩點在小方格的格點上，點C也在小方格的格點上，且以A，B，C為頂點的三角形的面積為1個平方單位，那么滿足條件的C點的個數(shù)為〔〕A．3個B．4個C．5個D．6個【分析】根據(jù)三角形的面積公式：S＝ah÷2，可知△ABC的面積為1可分兩種情況，①底邊為2，高為1；②底邊為1，高為2，解答即可．【解答】解：由分析可知：△ABC的面積為1時，可分兩種情況；當?shù)走厼?，高為1時，如圖：有6種情況；當?shù)走厼?，高為2時，沒有符合的點使三角形的面積為1，所以符合條件的格點C共有6個．應選：D．【點評】此題考查了三角形的面積公式來解決特殊的實際問題，其關鍵是根據(jù)題意，結合圖形，再利用數(shù)學知識來求解．注意數(shù)形結合的解題思想．4．〔2021?嘉峪關〕某時刻鐘表時針在10點到11點之間，此時刻再過6分鐘后分針和此時刻3分鐘前的時針正好方向相反且在一條直線上，那么此時刻為〔〕A．10點15分B．10點19分C．10點20分D．10點25分【分析】在鐘面上，分針每分鐘走360°÷60＝6°，時針走360°÷〔60×12〕＝0.5°。由于再過6分鐘后分針和此時刻3分鐘前的時針正好方向相反且在一條直線上，此時針與分針的夾角為180°﹣6°×6﹣0.5°×3＝142.5°，10時整時，時針與分針相差60°〔鐘面上12個數(shù)字把鐘面平均分成12大格，每大格所對應的圓心角是360°÷12＝30°，10時，時針指向10，分針指向12，夾角為60°〕。時針與分針每分鐘夾角相差6°﹣0.6°＝5.5°，根據(jù)追及問題，用〔142.5°﹣60°〕除以5.5°就是10時后經(jīng)過的分鐘數(shù)，再加10就是此題的時刻?！窘獯稹拷猓悍轴樏糠址N走6°時針每分種走0.5°再過六分鐘后的分針和此時刻3分鐘前的時針正好方向相反且在一條直線上此時刻分針和時針夾角＝180°﹣6°×6﹣0.5°×3＝142.5°10點時分針和時針夾角＝60°分針和時針夾角每分種增加6﹣0.5＝5.5°〔142.5﹣60〕÷5.5＝82.5÷5.5＝15此時刻為10點又過了15分即10點15分。應選：A?！军c評】此題較難。關鍵弄清以下幾點：分針每分針走的度數(shù)、時針每分鐘走的度數(shù)、時針與分針在方向相反一條直線上，相差180度。除按上述解答方法外，也可設此時為10點x分，6分鐘后的分針度數(shù)為〔6x+36〕度，3分鐘前的時針度數(shù)為〔300+0.5x﹣0.5×3〕度，根據(jù)上此分針與時針相差180°即可列方程解答。5．〔2021?亳州〕一次游泳比賽，由甲、乙、丙、丁四個人參加決賽，賽前他們比照賽進行了預測。甲說：“我第一，乙第二。〞乙說：“我第一，甲第四。〞丙說：“我第一，乙第四。〞丁說：“我第四，丙第一。〞比賽結果無并列名次，且四人各都只說對了一半，那么丁是第〔〕名。A．二B．三C．四【分析】此題可通過假設法進行分析，假設甲的說法中“甲第一〞正確，那么根據(jù)乙說：“我第一，甲第四。〞可得：甲第四正確；丙的說法“我第一，甲第四〞都不正確，與題意不符，所以甲的說法中“乙第二〞正確；由此推知中丙第一，丁第三，甲第四。【解答】解：假設甲的說法中“甲第一〞正確，那么根據(jù)乙說：“我第一，甲第四。〞可得：甲第四正確；丙的說法“我第一，甲第四〞都不正確，與題意不符，所以甲的說法中“乙第二〞正確，甲不是第一；因為每人都說對了一半，根據(jù)乙的說法可得甲第四；根據(jù)丙的說法確定了丙第一；剩下的丁是第三名。即丙第一，乙第二，丁第四，甲第四。答：丁是第三名。應選：B?！军c評】此題主要考查了學生的邏輯推理能力，要求具有較好的邏輯思維能力。6．〔2021?雞西〕林輝在自助餐店就餐，他準備挑選三種肉類中的一種肉類，四種蔬菜中的二種不同蔬菜，以及四種點心中的一種點心。假設不考慮食物的挑選次序，那么他可以有多少不同選擇方法？〔〕A．4B．24C．72D．144【分析】三種肉選一個有3種選法，四種蔬菜選兩種有4×3÷2＝6種選法，四種點心選一個有4種選法，根據(jù)乘法原理，他可以有3×6×4＝72種不同選擇方法．【解答】解：3×〔4×3÷2〕×4＝3×6×4＝72〔種〕答：他可以有72種不同選擇方法．應選：C?！军c評】乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m1m2…mn種不同的方法。7．〔2021?平原縣〕小張、小王和小李三人中有一位是工程師，一位是戰(zhàn)士，一位是工人．小李比戰(zhàn)士的年齡大；小王與工程師不同歲；工程師比小李的年齡?。敲此麄儺斨小病呈枪と耍瓵．小張B．小王C．小李D．無法確定【分析】由“小李比戰(zhàn)士的年齡大〞可知，小李不是戰(zhàn)士，由“工程師比小李的年齡小〞可知，小李不是工程師，而小李即不是戰(zhàn)士也不是工程師，只能是工人，據(jù)此選擇。【解答】解：由“小李比戰(zhàn)士的年齡大〞可知，小李不是戰(zhàn)士，由“工程師比小李的年齡小〞可知，小李不是工程師，而小李即不是戰(zhàn)士也不是工程師，只能是工人。應選：C?！军c評】此題主要考查了邏輯推理，需要學生具有較好的推理能力。8．〔2021?滎陽市〕甲、乙、丙、丁四位同學比賽跳遠．乙說：“我不是跳得最遠的，但比甲、丙跳得遠．〞甲說：“我比丙跳得遠．〞他們四人跳遠距離按從遠到近排是〔〕A．丁、甲、乙、丙B．甲、乙、丙、丁C．丁、乙、甲、丙【分析】根據(jù)乙說：“我不是跳得最遠的，但比甲、丙跳得遠．〞可得：乙排在第二，丁排在第一；又因為甲說：“我比丙跳得遠．〞可得他們四人跳遠距離按從遠到近排是：丁、乙、甲、丙；據(jù)此解答即可．【解答】解：根據(jù)乙說：“我不是跳得最遠的，但比甲、丙跳得遠．〞可得：乙排在第二，丁排在第一；又因為甲說：“我比丙跳得遠．〞可得他們四人跳遠距離按從遠到近排是：丁、乙、甲、丙．應選：C．【點評】此題主要考查了學生的邏輯推理能力，要求具有較好的邏輯思維能力，關鍵是確定乙排在第二，丁排在第一．9．〔2021?溫州〕如圖，沿圖中的路線，從A地經(jīng)P點到B地，走最短路線共有〔〕種不同的走法．A．1B．4C．30D．100E．9【分析】想要路線最短，那么移動時只能向上移動一格或者向右移動一格；先算從A地到P點，有多少種走法．從A到P需要向上移動2格，向右移動3個，也就是將“上、上、右、右、右〞進行排列組合，第一個“上〞在一個位置時，第二個“上〞有4種情況；第一個“上〞在第二個位置時，第二個“上〞有3種情況；第一個“上〞在第三個位置時，第二個“上〞有2種情況，第一個“上〞在第四的位置時，第二個“上〞有1種情況．相加即可求得從A到P有幾種走法；再算從P點到B地，有多少種走法．從P到B需要向上移動1格，向右移動2格，也就是將“上、右、右〞進行排列組合，有3種情況；兩數(shù)相乘，即為一共有多少種不同的走法．【解答】解：由分析知，從A到P有：4+3+2+1＝10〔種〕從P到B有3種，一共有：10×3＝30〔種〕答：走最短路線共有30種不同的走法．應選：C．【點評】此題主要考查了排列組合，分別求出從A到P和從P到B有多少種走法，兩者相乘即為所求．10．〔2021?長沙〕如圖，要從A點沿線段走到B點但不能經(jīng)過C、D兩點，要求每一步都是向右、向上或者向斜上方，問有〔〕種不同的走法。A．17B．19C．20D．15【分析】根據(jù)題意，利用標數(shù)法，把每點的走法都一一標出來，從A到B的走法數(shù)量，等于從A到A右邊一個點的走訪數(shù)量+從A到A上邊一個點的走法的數(shù)量，即可進行求解。【解答】解：如圖：答：一共有17種不同的走法。應選：A?！军c評】此題主要考查排列組合，關鍵是根據(jù)圖意找到從A向上和向右的不同走法的數(shù)量。11．〔2021?長沙縣〕王老師昨天按時間順序先后收到了A、B、C、D、E共5封電子郵件，如果他每次都是先回復最新收到的一封電子郵件，那么在下面的排列中，王老師可能回復郵件的順序是〔〕〔填數(shù)字編號〕A．ABECDB．BAECDC．CEDBAD．DCABEE．ECBAD【分析】這道題如果正向分析有很多種情況，然而選項只有5個，所以用逆向思維去分析答案，用排除法做更快．【解答】解：A選項的順序是ABECD，王老師最先回復A，證明王老師剛開始回復郵件時只收到了A郵件，回復A時收到了B郵件，回復完A后除了B沒有其他未回復的郵件，接下來回復E，證明王老師再回復B郵件時收到了CDE三封．這樣才會先回復最新收到E，既然王老師CDE都收到了，那回復完E，應該先回復D，而不是先C后D，故錯誤．B選項的順序是BAECD，王老師最先回復B，證明王老師剛開始回復郵件時已經(jīng)收到了AB兩封郵件，回復完B后沒有收到新郵件，只能回復A，接下來回復E，證明王老師再回復A郵件時收到了CDE三封．這樣才會先回復最新收到E，既然王老師CDE都收到了，那回復完E，應該先回復D，而不是先C后D，故錯誤．C選項的順序是CEDBA，王老師最先回復C，證明王老師剛開始回復郵件時已經(jīng)收到了ABC三封郵件，回復完C后，王老師沒有回復B，證明他又收到了新郵件，發(fā)現(xiàn)王老師接下來回復E，證明王老師再回復C郵件時收到了DE兩封．這樣才會先回復最新收到E，既然王老師DE都收到了，那回復完E，應該先回復D，回復完D，回復BA，故正確．D選項的順序是DCABE，王老師最先回復D，證明王老師剛開始回復郵件時已經(jīng)收到了ABCD四封郵件，回復完D后，王老師回復C，證明他沒有收到新郵件，回復完C后沒有回復E證明王老師還沒有收到郵件E，那他就應該先回復B而不是A，故錯誤．EA選項的順序是ECBAD，王老師最先回復E，證明王老師剛開始回復郵件時已經(jīng)收到了ABCDE五封郵寄郵件，按照先回復最新收到的一封電子郵件的要求，那回復完E，應該先回復D，而不是先C后D，故錯誤．應選：C．【點評】此題正向分析有很多情況，從正確的里面挑選ABCDE五個選項那個正確工作量很大，如果反向去看，只需要分析5種情況，工作量大大減小，排除法時選擇題的一個重要解題方法．二．填空題〔共15小題〕12．〔2021?岳麓區(qū)〕如圖是由9個棱長為1厘米的正方體搭成的，將這個立體圖形外表涂上紅色.其中只有三個面涂上紅色的正方體有5個.【分析】觀察圖形，找出這9個小正方體只露出3個面的小正方體個數(shù)，即可得出只有三個面涂上紅色的正方體個數(shù)，據(jù)此解答問題。【解答】解：觀察圖形標出三個面露在外部的小正方體如下圖：所以這個立體圖形外表涂上紅色.其中只有三個面涂上紅色的正方體有5個。故答案為：5?！军c評】解答此題關鍵是明確出露在外部的面是3個面的小正方體的個數(shù)，即可確定只有三面涂上紅色的小正方體的個數(shù)。13．〔2021?岳麓區(qū)〕平面上有3條直線兩兩相交，最多可產(chǎn)生3個交點，100條直線兩兩相交，最多可產(chǎn)生4950個交點。【分析】根據(jù)題干，3條直線最多有1+2＝3個交點，4條直線最多有1+2+3＝6個交點，5條直線最多有1+2+3+4＝10個交點，6條直線最多有1+2+3+4+5＝15個交點，…，據(jù)此可得：n條直線最多有1+2+3+4+5+…+〔n﹣1〕=n(n-1)【解答】解：根據(jù)題干分析可得：3條直線最多有1+2＝3個交點，4條直線最多有1+2+3＝6個交點，5條直線最多有1+2+3+4＝10個交點，6條直線最多有1+2+3+4+5＝15個交點，…，n條直線最多有1+2+3+4+5+…+〔n﹣1〕=n當n＝100時，n=＝4950答：100條直線兩兩相交，最多可產(chǎn)生4950個交點。【點評】此題主要考查了多條直線相交時的交點個數(shù)問題，解答此題關鍵是找出規(guī)律，n條直線n條直線最多有1+2+3+4+5+…+〔n﹣1〕=n14．〔2021?平羅縣〕有11個相同的長方體，每一個長、寬、高分別是2、3、4個單位.如果先把所有長方體的外表全部涂色，再把它們?nèi)拷爻衫忾L為1個單位〔與原長方體單位相同〕的正方體，那么這些正方體：〔1〕兩面有顏色的共有132個.〔2〕一面有顏色的的共有44個.【分析】每一個長方體的長、寬、高上分別切割成2個、3個、4個小正方體，由此根據(jù)只有一面涂色的小正方體在每個正方體4×3的面上，只有2面涂色的小正方體在長方體的3和4個單位的棱長上〔不包括8個頂點處的小正方體〕，3面涂色的在8個頂點處，即可解答問題?！窘獯稹拷猓好總€長方體只有一面涂色的有：〔4﹣2〕×〔3﹣2〕×2＝2×2＝4〔個〕一面有顏色的的共有：4×11＝44〔個〕只有兩面涂色的有：2×3×4＝24〔個〕〔24﹣8﹣4〕×11＝12×11＝132〔個〕答：兩面有顏色的共有132個，只有一面涂色的有44個。故答案為：132；44?！军c評】抓住外表涂色的正方體切割小正方體的特點：1面涂色的在面上，2面涂色的在棱長上，3面涂色的在頂點處，由此即可解決此類問題。15．〔2021?長沙〕在以下數(shù)表中，第2021行左邊的第一個數(shù)是8070543267891312111014151617…【分析】這個數(shù)表中開始的最小的一個數(shù)為2，每4個數(shù)一行，奇數(shù)行是從右到左的順序依次增加的；偶數(shù)行的數(shù)是從左到右依次增加的；整個數(shù)表可以看成是以2開始的自然數(shù)列，2021是偶數(shù)，所以是從左到右依次增加的，到第2021行共有2021×4＝8072個數(shù)，再加1減去3即可．【解答】解：2021×4＝8072〔個〕又因為這個數(shù)表中開始的最小的一個數(shù)為2，所以，依數(shù)列的排列規(guī)律可知，第2021行的左邊第1個數(shù)為：8072+1﹣3＝8070．答：第2021行左邊的第一個數(shù)是8070．故答案為：8070．【點評】考查了數(shù)表中的規(guī)律，解決此題關鍵是找出這些數(shù)的排列規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律求解．解答此題也可以先求出前2021行的個數(shù)，再加2，即〔2021﹣1〕×4+2＝8070．16．〔2021?長沙縣〕現(xiàn)在都是由邊長為1厘米的紅色、白色兩種正方形分別組成邊長為2厘米、4厘米、8厘米、9厘米的大小不同的正方形，他們的特點都是正方形的四邊的小正方形都是涂有紅顏色的小正方形，除此以外都是涂白顏色的小正方形，要組成這樣4個大小不同的正方形，總共需要紅色小正方形76個，白色小正方形89個【分析】如圖，邊長為2厘米的正方形有〔2×2〕個紅色小正方形，無白色小正方形；邊長為4厘米的正方形有[〔4﹣1〕×4]個紅小正方形，有[〔4﹣2〕×〔4﹣2〕]個白色小正方形；邊長為8厘米的正方形有[〔8﹣1〕×4]個紅色小正方形，有[〔8﹣2〕×〔8﹣2〕]個白色小正方形；邊長為9厘米的正方形有[〔9﹣1〕×4]個紅色小正方形，有[〔9﹣2〕×〔9﹣2〕]個白色小正方形．再分別求出紅色小正方形、白色小正方形的總個數(shù)．【解答】解：如圖紅色小正方形：2×2＝4〔個〕白色小正方形：0個紅色小正方形：〔4﹣1〕×4＝12〔個〕白色小正方形：〔4﹣2〕×〔4﹣2〕＝4〔個〕紅色小正方形：〔8﹣1〕×4＝28〔個〕白色小正方形：〔8﹣2〕×〔8﹣2〕＝36〔個〕紅色小正方形：〔9﹣1〕×4＝32〔個〕白色小正方形：〔9﹣2〕×〔9﹣2〕＝49〔個〕紅色小正方形共有：4+12+28+32＝76〔個〕白色小正方形共有：4+36+49＝89〔個〕答：總共需要紅色正方形76個，白色正方形89個．故答案為：76，89．【點評】關鍵是弄清邊長為2厘米、4厘米、8厘米、9厘米的正方形各有多少個邊長為1厘米的小正方形組成，這些邊長為1厘米的小正方形中，紅色的、白色的各有多少個．17．〔2021?西城區(qū)〕如圖，三個圖形的周長相等，那么a：b：c＝20：25：24．【分析】4b+a＝6a，也就是4b＝5a，即a：b＝4：5，即b是a的54；6a＝5c，即a：c＝5：6，即c是a的65；所以a：b：c＝a：：65a＝20：25：24【解答】解：4b+a＝6a，也就是4b＝5a，即b是a的546a＝5c，即c是a的65a：b：c＝a：54a：6＝20：25：24．答：a：b：c＝20：25：24．故答案為：20：25：24．【點評】此題可根據(jù)周長計算公式，對以上即個圖形進行計算，然后得出三個字母間的關系，然后都用一個字母表示，進行比，得出結論．18．〔2021?綿陽〕如圖，三角形ABC各邊的三等分點分別是D、E．F．假設三角形ABC的面積是210平方厘米，那么陰影局部的面積是30平方厘米．【分析】根據(jù)三角形ABC的面積等于三角形ABF面積+三角形BCE面積+三角形ACD面積+陰影局部面積﹣重合局部面積，可求將陰影局部面積轉化為三個小三角形的面積；根據(jù)兩個三角形同底或同高時的面積比與高或底的關系，求出小三角形面積，即可作答．【解答】解：三角形ABC面積用a表示，a＝210cm2，如圖，設點A到CD的高為hA，點F到CD的高為hF，連接DF，S△ABC＝S△ACD+S△ABF+S△BCE+S△OPQ﹣S△ADO﹣S△BFQ﹣S△CPE，又∵S△ACD＝S△ABF＝S△BCE=13S△ABC=可得：S△OPQ＝S△ADO+S△BFQ+S△CPE，根據(jù)三角形面積與底的關系，可知：S△AFC=23a，S△ABF=S△ADF=13S△ABF=13×13a=19a，S△DFC三角形ADC和三角形DFC同底，所以，S△ADC：S△DFC＝hA：hF=13：49=三角形ADO和三角形FDO同底時，S△ADO：S△FDO＝hA：hF＝3：4，三角形ADO和三角形FDO同底時，S△ADO：S△FDO＝AO：FO＝3：4，所以，S△ADO=37S△ADF=37同理可求，S△BFP＝S△PCE=121所以，S陰影局部＝S△OPQ＝S△ADO+S△BFQ+S△CPE=121×3a=17×故答案為：30．【點評】此題主要考查兩個三角形同底或同高時的面積比與高或底的關系，并運用轉化思想，把陰影局部面積轉化為可求的小三角形面積，解答過程中要求仔細認真．19．〔2021?深圳〕如圖中共有27個等邊三角形．【分析】根據(jù)圖形，單個的小三角形有16個，由4個小三角形組成的三角形有7個，9個小三角形組成的大三角形有3個，16個小三角形組成的大三角形有1個，再相加即可求解．【解答】解：單個的小三角形有16個，由4個小三角形組成的三角形有7個，9個小三角形組成的大三角形有3個，16個小三角形組成的大三角形有1個，16+7+3+1＝27〔個〕答：如圖中共有27個等邊三角形．故答案為：27．【點評】解答此題的關鍵是利用分類的思想，分別找出各種三角形的個數(shù)，即可得出三角形的總個數(shù)．20．〔2021?長沙〕有13個不同的正整數(shù)，它們的和是100，其中偶數(shù)最多有7個.【分析】根據(jù)題意，要想使偶數(shù)最多，從最小的開始〔正整數(shù)〕，使連續(xù)偶數(shù)的和小于或等于100。因為9個連續(xù)偶數(shù)的和：2+4+……+16+18＝90，100﹣90＝10，1+3+5+7＝16，16＞10，所以偶數(shù)個數(shù)應該小于9個；且偶數(shù)個數(shù)為奇數(shù)個，所以偶數(shù)個數(shù)最多是7個。【解答】解：2+4+……+16+18＝90100﹣90＝101+3+5+7＝1616＞10所以偶數(shù)個數(shù)應該小于9個所以偶數(shù)個數(shù)最多是7個。故答案為：7?！军c評】此題主要考查最大與最小問題，關鍵是根據(jù)連續(xù)偶數(shù)的和，找到符合圖意的偶數(shù)個數(shù)，完成題目。21．〔2021?長沙〕現(xiàn)在是北京時間上午8點，再過18613分時，時針和分針離“6【分析】分針每分鐘繞中心旋轉360°÷60＝6°，時針每分鐘繞中心旋轉360÷12÷60＝0.5°．在鐘面上每相鄰兩個數(shù)字間的角度是360°÷12＝30°．設8點x分時時針和分針離“6〞字的距離相等．8時整時，時針離開“6〞〔60+0.5x〕度，分鐘離開“12〞6x度，它與到“6〞還有〔180﹣6x〕度．根據(jù)題意即可列方程解答?！窘獯稹拷猓?點x分時時針和分針離“6〞字的距離相等．60+0.5x＝180﹣6x60+6.5x＝1806.5x＝120x＝186答：再過18613分時，時針和分針離“6故答案為：18613【點評】關鍵是明白分針、時針每分鐘旋轉的度數(shù)，相鄰兩個數(shù)字之間的度數(shù)，然后根據(jù)題意列方程．也可這樣列，既然分時，時針和分針離“6〞字的距離相等，離開“12〞也相等，根據(jù)題意，120﹣0.5x＝6x。22．〔2021?長沙〕在射擊游戲中，一名“恐怖分子〞隱藏在10個排成一行的窗戶后面，一位百發(fā)百中的狙擊手只要射中“恐怖分子〞所在的窗戶就能射中這名“恐怖分子〞，每次完成射擊后，如果“恐飾分子〞沒有被射中，那么他就會向右移動一個窗戶，一旦他到了最右邊的窗戶，就停止移動.為了確保射中這名“恐怖分子〞.狙擊手至少需要射擊6次.【分析】因為“恐怖分子〞會向右移動，一旦他到了最右邊的窗戶，就停止移動，所以每次射擊都射擊最右側的窗口即可?！窘獯稹拷猓阂驗椤翱植婪肿莹晻蛴乙苿?，一旦他到了最右邊的窗戶，就停止移動，所以每次射擊都射擊最右側的窗口，將窗口從左到右編號1～10考慮最壞狀況，“恐怖分子〞在1號窗口，設射擊x次后命中，“恐怖分子〞向右移動了〔x﹣1〕次，此時恐怖分子移動到了1+x﹣1＝x號窗口，此時射擊的窗口是10﹣〔x﹣1〕＝11﹣x號窗口，x＝11﹣xx＝5.5所以，至少要射擊6次，才能確保射中這名“恐怖分子〞。故答案為：6?！军c評】此題主要最大與最小問題，根據(jù)“恐怖分子〞的移動方式，得出射擊的方式，是此題解題的關鍵。23．〔2021?長沙〕小剛騎在馬背上趕馬過河，共有甲、乙、丙、丁四匹馬，甲馬過河需2分鐘，乙馬過河需3分鐘，丙馬過河需6分鐘，丁馬過河需7分鐘，每次只能兩匹馬同時過河，要把4匹馬都趕到對岸去，最少需18分鐘．【分析】騎甲趕乙過河，騎甲回，需要3+2＝5分鐘，再騎丙趕丁過河，騎乙回，需要7+3＝10分鐘；再騎甲趕乙過河不回，需3分鐘．據(jù)此解答．【解答】解：最少需要的時間是：3+2+7+3+3＝18〔分鐘〕答：最少需要18分鐘．故答案為：18．【點評】此題的關鍵是讓用時最少的兩匹馬先過河，然后騎用時最少的回來，再把用時最多的趕過河，然后再騎用時最少的回來，然后再過河．24．〔2021?長沙〕在10點與11點之間，鐘面上分針與時針在10時5511或38211【分析】由于時針1分鐘旋轉的圓心角度數(shù)為0.5度，分針1分鐘旋轉的圓心角度數(shù)為6度．當兩針成直角時，兩針所走度數(shù)差為〔90﹣60〕或〔300﹣90〕，又知兩針每分鐘所走度數(shù)差為〔6﹣0.5〕，那么時針與分針成直角所用的時間是：[90﹣〔360﹣30×10〕]÷〔6﹣0.5〕或〔30×10﹣90〕÷〔6﹣0.5〕，計算出結果，再加上10時即可?！窘獯稹拷猓篬90﹣〔360﹣30×10〕]÷〔6﹣0.5〕＝30÷5.5=＝5511即10時5511或〔30×10﹣90〕÷〔6﹣0.5〕＝210÷5.5=＝38211即10時38211答：時針與分針成直角的時間是10時5511分或10時382【點評】解決此題關鍵是求出時針和分針的速度差，討論兩種不同的情況，得出路程差，再用路程差÷速度差＝時間，從而解決問題。25．〔2021?隴縣〕王阿姨、李阿姨、劉叔叔、張叔叔分別是農(nóng)民、工人和軍人．只有兩位阿姨職業(yè)相同，張叔叔是農(nóng)民，李阿姨不是軍人，劉叔叔的職業(yè)是軍人．【分析】張叔叔是農(nóng)民，只有兩位阿姨職業(yè)相同，即只有兩位女性職業(yè)相同，即王阿姨、李阿姨職業(yè)相同，又因為李阿姨不是軍人和農(nóng)民，那么只能是工人，那么剩下的劉叔叔的職業(yè)只能是軍人．【解答】解：根據(jù)分析可得，張叔叔是農(nóng)民，只有兩位阿姨職業(yè)相同，即只有兩位女性職業(yè)相同，即王阿姨、李阿姨職業(yè)相同，又因為李阿姨不是軍人和農(nóng)民，那么只能是工人；那么剩下的劉叔叔的職業(yè)只能是軍人．答：劉叔叔的職業(yè)是軍人．【點評】此題主要考查了學生的邏輯推理能力，要求具有較好的邏輯思維能力，關鍵是明確王阿姨、李阿姨職業(yè)相同．26．〔2021?通許縣〕某班學生去買語文書、數(shù)學書和英語書．買書的情況是：有買一本的，有買兩本，有買三本的，至少要去20人才能保證一定有兩位同學買到相同的書．【分析】如果買一本的有3種買法，如果買兩本的有6種買法，如果買三本的有10種買法，共有3+6+10＝19種買法，看作19個抽屜，每個抽屜里有1個人，共需要19人，那么再有1個人，就能滿足一定有兩位同學買到相同的書．【解答】解：有3+6+10＝19〔種〕19+1＝20〔人〕答：至少要去20人才能保證一定有兩位同學買到相同的書．故答案為：20．【點評】此題考查了利用排列組合和抽屜原理解決實際問題的靈活應用，關鍵是確定抽屜數(shù)，再從最差情況考慮即可．三．應用題〔共5小題〕27．〔2021?長沙〕如圖，△ABC的面積為27，且BD=12DC，AF=12FD，CE=【分析】根據(jù)三角形面積公式：S＝ah÷2，可知，高相等時，面積比等于底的比，據(jù)此依次計算出△ACD、△CDF、△DEF的面積即可。【解答】解：根據(jù)BD=12DC，AF=12FD，可知，CD=23BC，DF=23AD，△ABC與△ADC等高，底CD=23所以，S△ACD＝S△ABC×2同理可得：S△CDF=23S△ACD，S△DEF=23所以，S△DEF=23×=8＝8答：△DEF的面積為8?！军c評】此題主要考查了三角形面積與底的正比關系，根據(jù)條件求出底邊的關系是此題解題的關鍵。28．〔2021?岳麓區(qū)〕D是BC的中點，E是CD的中點，F(xiàn)是AC的中點．△ADG的面積比△EFG的面積大6平方厘米，△ABC的面積是多少？【分析】觀察圖形可知，△ADG的面積比△EFG的面積大6平方厘米，那么△ADG的面積+三角形DEG的面積比△EFG的面積+三角形DEG的面積大6平方厘米，即三角形ADE的面積比三角形FDE的面積大6平方厘米，由中點的性質(zhì)可明顯求的，三角形ADE面積等于三角形ABC面積的14，三角形FDE面積等于三角形ABC面積的18，所以三角形ADE的面積與三角形FDE的面積之差就是三角形ABC面積的18，所以三角形ABC面積面積為6【解答】解：根據(jù)題干和圖形可得：因為△ADG的面積﹣△EFG的面積＝6平方厘米，所以三角形ADE的面積﹣三角形FDE的面積＝6平方厘米，因為D是BC的中點，E是CD的中點，F(xiàn)是AC的中點，所以三角形ADE的面積=12三角形ADC的面積=1三角形FDE的面積=12三角形FDC的面積=14三角形ADC的面積所以14三角形ABC的面積-18三角形ABC即18三角形ABC的面積＝6所以三角形ABC的面積為：6÷18答：三角形ABC的面積是48平方厘米．【點評】解答此題的關鍵是，由割補法得出三角形ADE的面積比三角形FDE的面積大6平方厘米；再由中點的性質(zhì)將它們分別化成三角形ABC的14和18，從而求出三角形ABC的面積的1829．〔2021?長沙〕如圖，平行四邊形ABCD的面積是96平方厘米，EC＝2AE，BF＝3FC。三角形DEF的面積是多少平方厘米？【分析】觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)：三角形DEF的面積＝三角形DEC面積+三角形EFC的面積﹣三角形DFC的面積，根據(jù)三角形面積公式：S＝ah÷2，可知，高相等時，底邊長的比等于面積比，據(jù)此計算出△EDC、△EFC、△DFC的面積和平行四邊形面積的關系，然后計算求出△DEF的面積即可?！窘獯稹拷猓涸O平行四邊形ABCD的面積為S，連接AF，由圖可知：S△DEF＝S△DEC+S△EFC﹣S△DFC根據(jù)三角形和平行四邊形的面積公式可知，等底等高的三角形面積是平行四邊形面積的一半，S△ADC＝S△ABC=1對于△ADC和△EDC，高相同，底AC＝EC+12EC=所以，S△DEC=23S△ADC=2對于△ABC和△AFC，高相同，底BC＝FC+BF＝FC+3FC＝4FC，所以，S△AFC=14S△ABC=1對于△AFC和△EFC，高相同，底AC=32所以，S△EFC=23S△AFC=23對于平行四邊形ABCD和△DFC，高相同，底BC＝4FC，所以，S△DFC=14×1所以，S△DEF＝S△DEC+S△EFC﹣S△DFC=13S+1＝〔824+=7=7＝28〔平方厘米〕答：三角形DEF的面積是28平方厘米?！军c評】此題主要考查了平行四邊形、三角形的面積公式的應用，需要學生掌握等底等高平行四邊形與三角形的面積的關系，以及等高的兩個三角形面積之比與底邊之比的關系。30．〔2021?長沙〕如圖，棱長為4cm的正方體木塊的每個面的中心打上一個直穿木塊的洞，洞口呈邊長為1cm的正方形，求挖洞后木塊的體積及外表積.【分析】觀察圖形可知，挖洞后，體積減少了3個寬1厘米、高1厘米、長4厘米的小長方體的體積，因為中間的棱長是1厘米的小正方體被重復多減了2次，所以體積＝正方體的體積﹣3個小長方體的體積+2個棱長是1厘米的小正方體的體積；挖洞后，忽略正中間挖掉的小正方體，外表積可以看作是增加了12個寬1厘米、長4﹣1＝3厘米的長方形的面積，外表積＝正方體的外外表積+挖洞里面形成的外表積，再減去正中間減少的棱長1厘米的正方體的外表積，據(jù)此計算即可解答問題。【解答】解：木塊的體積：4×4×4﹣1×1×4×3+1×1×1×2＝64﹣12+2＝54〔立方厘米〕木塊的外表積：〔4×4﹣1×1〕×6＝15×6＝90〔平方厘米〕1×〔4﹣1〕×12＝1×3×12＝36〔平方厘米〕90+36＝126〔平方厘米〕答：這個木塊的體積是54立方厘米，外表積是126平方厘米?！军c評】解答此題的關鍵是掌握切割后的體積與外表積的計算方法，明確體積＝正方體的體積﹣3個小長方體的體積+2個棱長是1厘米的小正方體的體積；外表積＝正方體的外外表積+挖洞里面形成的外表積，再減去正中間減少的棱長1厘米的正方體的外表積。31．〔2021?廣州〕如圖，△AEF、△ABF、△BFD的面積分別是3，2，1，陰影局部的面積是多少？【分析】在△ABF與△AFE中，高相等，面積的比就是對應的底的比，在△BDF與△DFE中，高相等，面積的比就是對應底的比，由此求出陰影局部的面積．【解答】解：因為△ABF與△AFE的高相等，所以S△ABF：S△AFE＝BF：EF＝2：3，在△BDF與△DFE的高相等，所以S△BDF：S△DFE＝BF：EF＝2：3，因為△BFD的面積是1，所以S△DFE＝1.5，答：陰影局部的面積：1.5．【點評】此題主要考查了高一定，面積與底成正比的性質(zhì)的靈活應用．四．解答題〔共12小題〕32．〔2021?長沙〕思考題：在直角梯形ABCD中，AD＝12厘米，AB＝8厘米，BC＝15厘米，且三角形ADE，三角形CDF和四邊形DEBF的面積相等，求陰影局部的面積．【分析】由題意可知：梯形的面積可求，那么S四邊形DEBF、S△ADE、S△DCF可求，從而可以求出AE、BE，S△CDF可求，那么CF、BF可求，從而可以求出S△EBF，陰影局部的面積＝S四邊形DEBF﹣S△EBF，問題得解．【解答】解：S梯形==＝108〔平方厘米〕S△ADE＝S梯形DEBF＝S△CDF＝108÷3＝36〔平方厘米〕AE＝36×2÷12＝72÷12＝6〔厘米〕BE＝8﹣6＝2〔厘米〕CF＝36×2÷8，＝72÷8＝9〔厘米〕BF＝15﹣9＝6〔厘米〕所以S△EBF＝6×2÷2＝6〔平方厘米〕陰影局部的面積＝36﹣6＝30〔平方厘米〕答：陰影局部的面積是30平方厘米．【點評】解答此題的關鍵是利用等量代換，將陰影局部利用其他圖形的面積轉化出來．33．〔2021?長沙〕如圖C、E、B三點共線，CB⊥AB，AE∥DC，AB＝8，CE＝5，那么△AED的面積為多少？【分析】根據(jù)三角形等高模型可知△AED的面積＝△AEC的面積=12CE×【解答】解：連接AC，因為AE∥DC，所以根據(jù)等號模型可知△AED的面積＝△AEC的面積，又因為CB⊥AB，所以△AED的面積＝△AEC的面積=12CE×AB=【點評】此題考查三角形面積，三角形等高模型知識，解題的關鍵是學會用轉化的思想解決問題。34．〔2021?徐州〕數(shù)學課上，老師給同學們出了一道題，要大家求出一個四邊形的面積〔如圖1〕．奇奇一看，頓時就為難了，這是一個不規(guī)那么的四邊形?。≡趺从嬎闼拿娣e呢？老師提示說：想想我們學過哪些平面圖形的面積計算方法？能不能把它變成我們熟悉的圖形來計算它的面積呢？奇奇眼前一亮，想到了一個好方法，他把四邊形的兩條邊延長，使它們相交于E點〔如圖2〕．他發(fā)現(xiàn)：因為∠C＝45°，∠B＝90°，所以BCE是個等腰直角三角形，∠E＝45°，△BCE的面積就是70×70÷2＝2450〔平方米〕；又因為∠ADE＝90°，∠E＝45°，所以△ADE也是個等腰直角三角形，它的面積是30×30÷2＝450〔平方米〕；所以原來四邊形的面積＝△BCE的面積﹣△ADE的面積＝2450﹣450＝2000〔平方米〕．〔1〕上面奇奇解決問題的過程中，用到了轉化策略．〔2〕運用上面的策略，嘗試解決下面的問題．在六邊形ABCDEF中〔圖3〕，六個角相等，均為120度．AB＝1厘米，BC＝CD＝3厘米，DE＝2厘米，這個六邊形的周長是多少？【分析】〔1〕奇奇解決這個四邊形的面積時通過作輔助線，把這個不規(guī)那么的四邊形轉化成了兩個直角三角形的面積差，這是運用了轉化的策略；〔2〕解決這個問題也可以運用轉化的策略，六邊形ABCDEF，并不是一規(guī)那么的六邊形，但六個角都是120°，所以通過適當?shù)南蛲庾餮娱L線，可得到等邊三角形，進而求解．【解答】解：〔1〕上面奇奇解決問題的過程中，用到了轉化策略．〔2〕如圖，分別作邊AB、CD、EF的延長線和反向延長線使它們交于點G、H、P．六邊形ABCDEF的六個角都是120°，六邊形ABCDEF的每一個外角的度數(shù)都是60°．△AHF、△BGC、△DPE、△GHP都是等邊三角形GC＝BC＝3厘米，DP＝DE＝2厘米GH＝GP＝GC+CD+DP＝3+3+2＝8〔厘米〕FA＝HA＝GH﹣AB﹣BG＝8﹣1﹣3＝4〔厘米〕EF＝PH﹣HF﹣EP＝8﹣4﹣2＝2〔厘米〕六邊形的周長為1+3+3+2+4+2＝15〔厘米〕答：這個六邊形的周長是15厘米．故答案為：轉化．【點評】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)及判定定理；解題中巧妙地把六邊形轉化成等邊三角形，從而求得周長．轉化的策略是常用的解題策略，注意學習并掌握．35．〔2021?長沙〕如下面圖1那樣，在用塑料制的三棱柱形的筒里裝著水，這個筒的展開圖如下面圖2．現(xiàn)在，如圖1那樣，把這個筒的A面作為底面，放在水平的桌面上，水面高度是2cm．按上面講的條件答復以下問題：〔1〕把B面作為底面，放在水平的桌面上，水面高多少厘米？〔2〕把C面〔直角三角形的面〕作為底面，放在水平的桌面上，水面高又是多少厘米？【分析】此題要借助畫圖來幫助分析，先標出各頂點的字母，借助直角三角形及體積知識求出水的體積〔1.5+3〕×2÷2×12＝54〔cm3〕；當把B面作為底面時，因為△YZM與△XYP完全一樣．故水深1.5cm；當把C面作為底面時，用體積除以底面積即可．【解答】解：在圖中標上字母如以下圖所示，因X是MN的中點，故Y也是MP的中點，△MXY，△MNP都是直角三角形；利用勾股定理，可求出XY＝1.5cm，水的體積為：〔1.5+3〕×2÷2×12＝54〔cm3〕；當YZ與PN垂直，交NP于Z時，XY＝NZ＝ZP＝1.5cm，XN＝YZ＝2cm；故三角形XYM與三角形YZP完全一樣．〔1〕當B作底面時，側面PMN如以下圖所示，因為△YZM與△XYP完全一樣．故水深1.5cm．〔2〕因高＝體積÷底面積，所以△NMP面積：3×4÷2＝6〔cm2〕；高為：54÷6＝9〔cm〕．答：把B面作為底面，水面高1.5厘米；把C面作為底面，水面高是9厘米．【點評】解答此類題目要畫出幾何圖形幫助分析，找出其中的相關數(shù)據(jù)．36．〔2021?長沙縣〕“倍爾數(shù)〞是以美國數(shù)學家倍爾的名字命名的一個數(shù)列．請仔細觀察下面的幾行數(shù)，你看，它的形狀多像一個三角形啊，因此人們又稱它為“倍爾三角形〞，同學們，你們能發(fā)現(xiàn)每行數(shù)的組成有什么規(guī)律嗎？請試著再寫出一行“倍爾數(shù)〞．【分析】這樣的數(shù)列，形狀像個三角形，因而又叫“倍爾三角形〞，巧得很，第一豎列依次是1、1、2、5、15、52、……，右邊斜行也是1、2、5、15、52、……；仔細觀察、分析可知倍爾數(shù)的形成有兩條規(guī)律：①每排的最后一個數(shù)都是下一排的第一個數(shù)；②其他任何一個數(shù)等于它左邊相鄰數(shù)加左邊相鄰數(shù)上面的一個數(shù)；據(jù)此解答即可．【解答】解：第一個數(shù)等于上一行的最后一個數(shù)，即52．然后依次是：52+15＝6767+20＝8787+27＝114114+37＝151151+53＝203故答案為：52、67、87、114、151、203．【點評】主要考查了學生通過特例分析從而歸納總結出一般結論的能力；對于找規(guī)律的題目首先應找出哪些局部發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各局部的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．37．〔2021?長沙〕如圖，有一個敞口的立方體水箱，在其側面一條高的三等分點處有兩個排水孔A和B，它們排水時的速度相同且保持不變．現(xiàn)在以一定的速度從上面往水箱注水．如果翻開A孔、關閉B孔，經(jīng)過20分鐘可將水箱注滿；如果關閉A孔，翻開B孔，經(jīng)過22分鐘可將水箱注滿．如果兩個孔都翻開，那么注滿水箱的時間是多少分鐘？【分析】翻開A孔、關閉B孔，設A孔上面用的時間為t，那么A孔下面用的時間為〔20﹣t〕；關閉A孔，翻開B孔，那么20-t2+2t＝22，解方程即可求得翻開A【解答】解：翻開A孔、關閉B孔，設A孔上面用的時間為t，那么A孔下面用的時間為〔20﹣t〕．20-t2+220﹣t+4t＝443t＝24t＝86+8+12＝26〔分〕答：如果兩個孔都翻開，那么注滿水箱的時間是26分鐘．【點評】此題主要考查了工程問題．關鍵是得出翻開A孔、關閉B孔，B孔以下用的時間．38．〔2021?寧波〕將1～3000的整數(shù)按照下表的方式排列．用一長方形框出九個數(shù)，要使九個數(shù)的和等于〔1〕1997〔2〕2160〔3〕2142能否辦到？假設辦不到，簡單說明理由．假設辦得到，寫出正方框里的最大數(shù)和最小數(shù)．【分析】這樣框出的九個數(shù)的和一定是被框出的九個數(shù)的中間的那個數(shù)的9倍，即九個數(shù)的和能被9整除；又左右兩邊兩列的數(shù)不能作為框出的九個數(shù)的中間一個數(shù)，即能被15整除或被15除余數(shù)是1的數(shù)，不能作為中間一個數(shù)；由此進行判斷．【解答】解：這樣框出的九個數(shù)的和一定是被框出的九個數(shù)的中間的那個數(shù)的9倍，即九個數(shù)的和能被9整除．1997中1+9+9+7＝26，26不是9的倍數(shù)，所以1997不能被9整除，所以不可能框出和是1997．又左右兩邊兩列的數(shù)不能作為框出的九個數(shù)的中間一個數(shù)，即能被15整除或被15除余數(shù)是1的數(shù)，不能作為中間一個數(shù)．2160÷9＝240，又240÷15＝16，余數(shù)是零．所以不可能框出和是2160．2142÷9＝238238÷15＝15……13余數(shù)是13，所以可以框出和是2142的9個數(shù)．【點評】解決此題關鍵是找出框出的九個數(shù)的特點，和是9的倍數(shù)，且能被15整除或被15除余數(shù)是1的數(shù)，不能作為中間一個數(shù)．39．〔2021?長沙縣〕直角三角形ABC，AB＝5厘米、BC＝3厘米、AC＝4厘米，將它的直角邊AC對折到斜邊AC與AD重合．如圖，求圖中陰影局部〔未重疊局部〕的面積是多少平方厘米？【分析】根據(jù)條件可知：AC⊥BC，CE＝DE，DE⊥AB，AC＝AD＝4厘米，DB＝AB﹣AD＝5﹣4＝1〔厘米〕，根據(jù)三角形ABC的面積等于三角形ACE和三角形AEB的面積之和求出線段ED的長度，進而求出陰影局部面積．【解答】解：如圖：由題意可知：直角三角形ABC，AB＝5厘米、BC＝3厘米、AC＝4厘米，所以：AC⊥BC；又將它的直角邊AC對折到斜邊AC與AD重合所以CE＝DE，DE⊥AB，AC＝AD＝4厘米，DB＝AB﹣AD＝5﹣4＝1〔厘米〕設CE＝DE＝x厘米，那么；4×x÷2+5×x÷2＝3×4÷22x+2.5x＝64.5x＝64.5x÷4.5＝6÷4.5x=所以陰影局部的面積是：BD×ED÷2＝1×4=2答：陰影局部〔未重疊局部〕的面積是23【點評】此題考查求三角形的面積，注意應用條件求出要求三角形的兩條直角邊的長短即可．40．〔2021?湖南〕三角形ABC中，DC＝3BD，DE＝EA．假設三角形ABC的面積是1，那么陰影局部的面積是多少？【分析】如圖：連接DF，△AEF和△EFD是等底等高的三角形，△AEF的面積＝△EFD，因為△AEC的面積＝△ECD的面積，所以△DFC的面積＝△AFC的面積＝△BDF的面積×3，進而求出陰影局部的面積．【解答】解：如圖：連接DF因為DE＝EA△AEF和△EFD是等底等高的三角形，△A