高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明1.1合情推理學(xué)案新人教A選修2-2

合情推理導(dǎo)思1.什么是歸納推理？什么是類比推理？2．如何利用合情推理進(jìn)行簡單推理？1.歸納推理和類比推理歸納推理類比推理定義由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理(簡稱歸納)由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理(簡稱類比)特征歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理類比推理是由特殊到特殊的推理(1)如何提高歸納推理的結(jié)論的正確性？提示：盡可能多地歸納對象，當(dāng)進(jìn)行了完全歸納時(shí)，所得的結(jié)論一定是正確的．(2)如何提高類比推理的結(jié)論正確性？提示：準(zhǔn)確判定兩類對象有可類比性，即有類似特征，再得出新的結(jié)論往往是可靠的．2．合情推理(1)在數(shù)學(xué)研究中，合情推理有何作用？提示：在數(shù)學(xué)研究中，得到一個(gè)新結(jié)論之前，合情推理常常能幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論．(2)在證明一個(gè)數(shù)學(xué)命題或結(jié)論之前，我們應(yīng)該如何利用合情推理？提示：證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向，并且根據(jù)這個(gè)思路和方向去證明．1．辨析記憶(對的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比推理得到的結(jié)論一定正確．(×)提示：類比推理得到的結(jié)論也不一定正確．(2)由平面三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推理．(√)提示：由合情推理的定義可知其正確．(3)在類比時(shí)，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適．(×)提示：平面中的三角形與空間中的三棱錐作為類比對象較為合適．2．(2021·南寧高二檢測)已知扇形的弧長為l，半徑為r，類比三角形的面積公式S＝eq\f(底×高,2)，可推知扇形面積公式S扇等于()A.eq\f(r2,2)B．eq\f(l2,2)C．eq\f(1,2)lrD．不可類比【解析】選C.將扇形的弧類比為三角形的底邊，則高類比為扇形的半徑r，所以S扇＝eq\f(1,2)lr.3．(教材例題改編)某學(xué)生通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)：21－1＝12能被12整除，32－1＝2×22能被22整除，43－1＝7×32能被32整除．由此猜想當(dāng)n∈N*時(shí)，(n＋1)n－1能被n2整除．該學(xué)生的推理是________．(填“歸納推理”或“類比推理”)【解析】該學(xué)生的推理是從個(gè)別到一般的推理，所以是歸納推理．答案：歸納推理類型一歸納推理(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)1．觀察下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，…照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為________．【解析】12＝1，12－22＝－(1＋2)，12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)，…12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·(1＋2＋…＋n)＝(－1)n＋1·eq\f(n（n＋1）,2).答案：(－1)n＋1·eq\f(n（n＋1）,2)2．觀察下列式子：1＋eq\f(1,22)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)<eq\f(7,4)，…，則可歸納出1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋1))2)小于()A．eq\f(n,n＋1)B．eq\f(2n－1,n＋1)C．eq\f(2n＋1,n＋1)D．eq\f(2n,n＋1)【解析】選C.由已知式子可知所猜測分式的分母為n＋1，分子為第n＋1個(gè)正奇數(shù)，即2n＋1，所以1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋1))2)<eq\f(2n＋1,n＋1).3．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝3，滿足Sn＝6－2an＋1(n∈N*).(1)求a2，a3，a4的值；(2)猜想an的表達(dá)式．【解析】(1)因?yàn)閍1＝3，且Sn＝6－2an＋1(n∈N*)，所以S1＝6－2a2＝a1＝3，解得a2＝eq\f(3,2)，又S2＝6－2a3＝a1＋a2＝3＋eq\f(3,2)，解得a3＝eq\f(3,4)，又S3＝6－2a4＝a1＋a2＋a3＝3＋eq\f(3,2)＋eq\f(3,4)，解得a4＝eq\f(3,8).(2)由(1)知a1＝3＝eq\f(3,20)，a2＝eq\f(3,2)＝eq\f(3,21)，a3＝eq\f(3,4)＝eq\f(3,22)，a4＝eq\f(3,8)＝eq\f(3,23)，…，猜想an＝eq\f(3,2n－1)(n∈N*).1．已知等式或不等式進(jìn)行歸納推理的方法(1)要特別注意所給幾個(gè)等式(或不等式)中項(xiàng)數(shù)和次數(shù)等方面的變化規(guī)律；(2)要特別注意所給幾個(gè)等式(或不等式)中結(jié)構(gòu)形式的特征；(3)提煉出等式(或不等式)的綜合特點(diǎn)；(4)運(yùn)用歸納推理得出一般結(jié)論．2．?dāng)?shù)列中的歸納推理在數(shù)列問題中，常常用到歸納推理猜測數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和．(1)通過已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)或前n項(xiàng)和；(2)根據(jù)數(shù)列中的前幾項(xiàng)或前n項(xiàng)和與對應(yīng)序號之間的關(guān)系求解；(3)運(yùn)用歸納推理寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式．【補(bǔ)償訓(xùn)練】數(shù)列5，9，17，33，x，…中的x等于________．【解析】因?yàn)?＋1＝5，8＋1＝9，16＋1＝17，32＋1＝33，猜測x＝64＋1＝65.答案：65類型二幾何圖形中的歸納推理(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)1．如圖，觀察①、②、③的變化規(guī)律，則第④張圖形應(yīng)為()【解析】選C.由①、②、③可知，圖形是逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，所以第④張圖形應(yīng)為C.2．用火柴棒擺“金魚”，如圖所示：按照上面的規(guī)律，第n(n∈N*)個(gè)“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為()A．6n－2 B．8n－2 C．6n＋2 D．8n＋2【解析】選C.觀察易知第1個(gè)“金魚”圖需要火柴棒8根，而第2個(gè)“金魚”圖比第1個(gè)“金魚”圖多的部分需要火柴棒6根，第3個(gè)“金魚”圖比第2個(gè)“金魚”圖多的部分需要火柴棒6根，…，由此可猜測第n個(gè)“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)比第(n－1)個(gè)“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)多6，即各個(gè)“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)組成以8為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列{an}，易求得通項(xiàng)公式為an＝6n＋2(n∈N*).歸納推理在圖形中的應(yīng)用策略【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.把1，3，6，10，15，21，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形(如圖所示).則第七個(gè)三角形數(shù)是()A．27 B．28 C．29 D．30【解析】選B.把1，3，6，10，15，21，…依次記為a1，a2，a3，a4，a5，a6，…則可以得到a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，a6－a5＝6，所以a7－a6＝7，即a7＝a6＋7＝28.2．圖(1)是棱長為1的小正方體，圖(2)(3)是由這樣的小正方體擺放而成的．按照這樣的方法繼續(xù)擺放，自上而下分別叫第1層、第2層、第3層、…將第n層的小正方體的個(gè)數(shù)記為Sn.解答下列問題：(1)按照要求填表：n1234…Sn136…(2)S10＝________；(3)Sn＝________(n∈N*).【解析】第1層：1個(gè)；第2層：3個(gè)，即(1＋2)個(gè)；第3層：6個(gè)，即(1＋2＋3)個(gè)；第4層：10個(gè)，即(1＋2＋3＋4)個(gè)；…由此猜想，第n層的小正方體的個(gè)數(shù)為上一層的小正方體的個(gè)數(shù)加上n，所以Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n（n＋1）,2)(n∈N*)，S10＝55.答案：(1)10(2)55(3)eq\f(n（n＋1）,2)類型三類比推理(邏輯推理)【典例】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°.設(shè)a，b，c分別表示三條邊的長度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想．【思路導(dǎo)引】平面內(nèi)三角形可以類比空間中四面體；三角形中兩邊垂直可以類比四面體中共頂點(diǎn)的三條棱兩兩垂直；三角形中邊之間的關(guān)系可以類比四面體中各面的面積之間的關(guān)系.【解析】如題圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°.設(shè)a，b，c分別表示3條邊的長度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.類似地，如圖所示，在四面體P-DEF中，∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°.設(shè)S1，S2，S3和S分別表示△PDF，△PDE，△EDF和△PEF的面積，相當(dāng)于直角三角形的兩條直角邊a，b和1條斜邊c，圖中的四面體有3個(gè)“直角面”S1，S2，S3和1個(gè)“斜面”S.于是，類比勾股定理的結(jié)構(gòu)，我們猜想S2＝Seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋Seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋Seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)).類比推理的一般步驟1．(2021·南寧高二檢測)在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則存在的等式為________．【解析】利用類比推理，借助等比數(shù)列的性質(zhì)，beq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(9))＝b1＋n·b17－n，可知存在的等式為b1b2…bn＝b1b2…b17－neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n<17，n∈N*)).答案：b1b2…bn＝b1b2…b17－neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n<17，n∈N*)).2．已知△ABC的邊長分別為a，b，c，內(nèi)切圓半徑為r，用S△ABC表示△ABC的面積，則S△ABC＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c).類比這一結(jié)論有：若三棱錐A-BCD的內(nèi)切球半徑為R，則三棱錐的體積VA-BCD＝________．【解析】內(nèi)切圓半徑req\o(→,\s\up7(類比))內(nèi)切球半徑R，三角形的周長：a＋b＋ceq\o(→,\s\up7(類比))三棱錐各面的面積和：S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD，三角形面積公式系數(shù)eq\f(1,2)eq\o(→,\s\up7(類比))三棱錐體積公式系數(shù)eq\f(1,3).所以類比得三棱錐體積VA-BCD＝eq\f(1,3)R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD).答案：eq\f(1,3)R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD)1．(2021·柳州高二檢測)下列說法正確的是()A．類比推理是由特殊到一般的推理B．合情推理得到的結(jié)論是正確的C．歸納推理是由特殊到一般的推理D．合情推理得到的結(jié)論是錯(cuò)誤的【解析】選C.A項(xiàng)錯(cuò)，因?yàn)轭惐韧评硎翘厥獾教厥獾耐评?；B，D項(xiàng)錯(cuò)，因?yàn)楹锨橥评淼玫降慕Y(jié)論可能是正確的，也可能是錯(cuò)誤的；C項(xiàng)正確，因?yàn)闅w納推理是由特殊到一般或部分到整體的推理．2．?dāng)?shù)列eq\f(1,2)，－eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，－eq\f(1,16)，…的一個(gè)通項(xiàng)公式可能是()A．(－1)neq\f(1,2n) B．(－1)neq\f(1,2n)C．(－1)n－1eq\f(1,2n) D．(－1)n－1eq\f(1,2n)【解析】eq\f(1,2)，－eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，－eq\f(1,16)，…可得數(shù)列各項(xiàng)的絕對值是一個(gè)以eq\f(1,2)為首項(xiàng)，以eq\f(1,2)為公比的等比數(shù)列，又因?yàn)閿?shù)列所有的奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，故可用(－1)n－1來控制各項(xiàng)的符號，故數(shù)列eq\f(1,2)，－eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，－eq\f(1,16)，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為(－1)n－1eq\f(1,2n).3．觀察圖形規(guī)律，在其右下角的空格內(nèi)畫上合適的圖形為()【解析】選A.觀察可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：①每行、每列中，方、圓、三角三種形狀均各出現(xiàn)一次，②每行、每列有兩陰影一空白，即得結(jié)果．4．如圖是一系列有機(jī)物的結(jié)構(gòu)簡圖，圖中的“小黑點(diǎn)”表示原子，兩黑點(diǎn)間的“連線”表示化學(xué)鍵，按圖中結(jié)構(gòu)，知第n個(gè)圖有________個(gè)原子，有________個(gè)化學(xué)鍵．【解析】第1，2，3個(gè)圖形中，原子的個(gè)數(shù)依次為6，6＋4，6＋4×2，所以第n個(gè)圖形有6＋4×(n－1)＝(4n＋2)個(gè)原子．第1，2，3個(gè)圖形中，化學(xué)鍵的個(gè)數(shù)依次為6，6＋5，6＋5×2，所以第n個(gè)圖形中化學(xué)鍵的個(gè)數(shù)為6＋5×(n－1)＝5n＋1.答案：(4n＋2)(5n＋1)5．已知數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))第一項(xiàng)a1＝2，且an＋1＝eq\f(n,n＋1)an(n＝1，2，3，4…)，(1)計(jì)算a2，a3，a4的值．(2)試猜想這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式(不用寫出推導(dǎo)過程).【解析】(