概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版第2版）課件 張?zhí)斓?第1、2章 隨機事件與概率、隨機變量及其分布

概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）第1講隨機事件第1章隨機事件與概率第一講隨機事件2隨機現(xiàn)象隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性隨機試驗如何研究隨機現(xiàn)象的規(guī)律性？概率統(tǒng)計的研究對象

概率統(tǒng)計的研究內(nèi)容全概率統(tǒng)計的研究方法01隨機試驗與樣本空間02隨機事件03隨機事件的關(guān)系與運算本講內(nèi)容隨機現(xiàn)象的規(guī)律性是通過大量試驗呈現(xiàn)出來的，為了研究這種規(guī)律性，我們需要對隨機現(xiàn)象進(jìn)行調(diào)查、觀察或試驗.這類工作我們統(tǒng)稱為“隨機試驗”，簡稱為“試驗”，用E表示.401

隨機試驗與樣本空間（1）試驗可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；（2）試驗的所有結(jié)果明確可知，并且不止一個；（3）每次試驗只能出現(xiàn)一個結(jié)果，事先不能確定.??隨機試驗具有下列三個特點：給微信好友發(fā)消息，觀察對方是否回復(fù)；（1）試驗可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；（2）試驗的所有結(jié)果明確可知，并且不止一個；（3）每次試驗只能出現(xiàn)一個結(jié)果，事先不能確定.??隨機試驗具有下列三個特點：檢驗10件產(chǎn)品，記錄其中的次品數(shù)；調(diào)查某收銀臺一天內(nèi)使用移動支付的次數(shù)；研究某品牌電腦的使用壽命.??例101

隨機試驗與樣本空間隨機試驗E所有可能的結(jié)果組成的集合，記為S或Ω.E1

給微信好友發(fā)消息，觀察對方是否回復(fù).E2

檢驗10件產(chǎn)品，記錄其中的次品數(shù).601

隨機試驗與樣本空間??樣本空間??例2S1={回復(fù)，不回復(fù)}S2={0,1,2,…,10}E4

研究某品牌電腦的使用壽命.E3

調(diào)查某收銀臺一天內(nèi)使用移動支付的次數(shù).701

隨機試驗與樣本空間??注研究隨機現(xiàn)象時,第一步就是建立樣本空間.S3={0,1,2,3,…}S4={t|t≥0}01隨機試驗與樣本空間02隨機事件03隨機事件的關(guān)系與運算本講內(nèi)容每次試驗中出現(xiàn)的基本結(jié)果（樣本點）稱為基本事件，由若干個基本事件組成的隨機事件.樣本空間的子集,記為A,B,…9??隨機事件??基本事件??復(fù)合事件02

隨機事件基本事件可以用一個樣本點表示.每次試驗必定不發(fā)生的事件，記為?.

每次試驗必定發(fā)生的事件，即樣本空間S.10??必然事件??不可能事件拋骰子??例302

隨機事件B={偶數(shù)}A={2}C={點數(shù)不大于6}??={點數(shù)大于6}AS

文氏圖

(Venndiagram)11在一般情況下，事件的關(guān)系是怎樣的呢？事件是樣本空間的子集，因此，事件的關(guān)系和運算02

隨機事件與集合的關(guān)系和運算是完全相似的.要學(xué)會利用概率論的語言來解釋這些關(guān)系及其運算.這里需要強調(diào)的是，01隨機試驗與樣本空間02隨機事件03隨機事件的關(guān)系與運算本講內(nèi)容A=BSAB13它表示：事件A與事件B的樣本點完全相同.03

隨機事件的關(guān)系與運算??包含關(guān)系如果事件A?的樣本點都在事件B中，則稱事件A包含于事件B.拋一枚骰子中的隨機試驗中，??例4它表示：事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生.，事件A發(fā)生時，事件B一定發(fā)生.??相等關(guān)系

A=B，如果，且14

??事件的和(并)考察某同學(xué)期末考試的成績情況.??例5事件A與事件B的樣本點合在一起構(gòu)成的事件.它表示：事件A與事件B至少有一個發(fā)生.

ABS

它表示：英語、高數(shù)至少有一門及格.03

隨機事件的關(guān)系與運算

.??推廣??推廣15

03

隨機事件的關(guān)系與運算

16它表示：英語、高數(shù)兩門課都及格.

??事件的積(交)

事件A與事件B共有的樣本點構(gòu)成的事件.考察某同學(xué)期末考試的成績情況.??例6它表示：事件A與事件B同時發(fā)生.

03

隨機事件的關(guān)系與運算

??推廣??推廣1703

隨機事件的關(guān)系與運算

表示同時發(fā)生.

表示同時發(fā)生.18

??事件的差由屬于A

但不屬于B的樣本點構(gòu)成的事件.考察電視機的使用壽命t(h).

??例7它表示：事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生.

03

隨機事件的關(guān)系與運算

19??互不相容（互斥）考察電視機的使用壽命t(h).

??例8AB

則事件A與B互不相容.則稱事件A與B互不相容.03

隨機事件的關(guān)系與運算若事件A,B不能同時發(fā)生，即A∩B=，20??對立事件（逆事件）對于事件A，由所有不包含在A中的樣本點所組成的事件稱為A的對立事件，SA

03

隨機事件的關(guān)系與運算

則

對應(yīng)事件運算集合運算21??運算規(guī)律

（2）結(jié)合律：

（3）分配律：03

隨機事件的關(guān)系與運算

逆交和差22??運算順序括號優(yōu)先

（4）對偶律（D.Morgan律）：03

隨機事件的關(guān)系與運算23利用事件的關(guān)系和運算可表達(dá)復(fù)雜事件.??例9設(shè)A,B,C

表示三個事件，利用A,B,C

表示下列事件.

（1）A發(fā)生，B與C不發(fā)生.

（2）A與B發(fā)生，C不發(fā)生.

（3）A,B,C中至少有一個發(fā)生.

（4）A,B,C都發(fā)生.03

隨機事件的關(guān)系與運算——A,B,C

不都發(fā)生.

24

（5）A,B,C都不發(fā)生.

（6）A,B,C中不多于一個發(fā)生.（7）A,B,C中不多于兩個發(fā)生

（8）A,B,C中不至少有兩個發(fā)生.03

隨機事件的關(guān)系與運算如右圖所示的電路中，設(shè)事件A,B,C分別表示開關(guān)a,b,c閉合，用A,B,C表示事件“指示燈亮”及事件“指示燈不亮”.??例1025解

D發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A及B∪C都發(fā)生，03

隨機事件的關(guān)系與運算

26設(shè)A,B,C分別表示第1、2、3個產(chǎn)品為次品，用A,B,C的運算可表示下列各事件.??例11（1）至少有一個次品（2）沒有次品（3）恰有一個次品（4）恰有兩個個次品03

隨機事件的關(guān)系與運算

27

（5）至多有兩個次品

03

隨機事件的關(guān)系與運算（考慮其對立事件）28??例12

在圖書館中隨意抽取一本書，記事件B表示中文書，C表示平裝書.

則03

隨機事件的關(guān)系與運算A表示數(shù)學(xué)書，

29

03

隨機事件的關(guān)系與運算30

03

隨機事件的關(guān)系與運算

解31??例15向目標(biāo)射擊兩次，用A表示事件“第一次擊中目標(biāo)”，用B表示事件“第二次擊中目標(biāo)”，試用A、B表示下列各事件（）：（1）“只有第一次擊中目標(biāo)”（2）“僅有一次擊中目標(biāo)”（3）“兩次都未擊中目標(biāo)”（4）“至少一次擊中目標(biāo)”03

隨機事件的關(guān)系與運算解（1）只有第一次擊中目標(biāo)隱含著第二次未擊中目標(biāo)，即或第一次未擊中而第二次擊中目標(biāo)，即（2）僅有一次擊中目標(biāo)意味著第一次擊中而第二次未擊中目標(biāo)，32??例16向目標(biāo)射擊兩次，用A表示事件“第一次擊中目標(biāo)”，用B表示事件“第二次擊中目標(biāo)”，試用A、B表示下列各事件（）：（1）“只有第一次擊中目標(biāo)”（2）“僅有一次擊中目標(biāo)”（3）“兩次都未擊中目標(biāo)”（4）“至少一次擊中目標(biāo)”03

隨機事件的關(guān)系與運算解（3）兩次都未擊中目標(biāo)顯然可以表示為因此可表示為，即或（4）至少一次擊中目標(biāo)包括僅一次擊中目標(biāo)或者兩次都擊中目標(biāo)，33??例17

證明：

03

隨機事件的關(guān)系與運算證明

34??例1803

隨機事件的關(guān)系與運算35因此選

B

03

隨機事件的關(guān)系與運算36

??例19

D未必成立AB

解03

隨機事件的關(guān)系與運算

3703

隨機事件的關(guān)系與運算解由已知

，則得第1講隨機事件38這一講我們學(xué)習(xí)了隨機事件以及事件間的關(guān)系與運算，利用這些關(guān)系與運算，我們可以用簡單事件去雜事件，表示復(fù)從而利用簡單事件的概率得到復(fù)雜事件的概率.下一講我們介紹一類簡單概率模型

——古典概型.學(xué)海無涯，祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）第2講古典概率與幾何概率第1章隨機事件與概率01古典概率02幾何概率本講內(nèi)容在概率論發(fā)展的歷史上，最早研究的一類最直觀、拋擲一枚均勻的硬幣，或拋擲一顆均勻的骰子，這類隨機試驗，它們都有如下的兩個特點：4201

古典概率??例1最簡單的問題是等可能摡型，在這類問題中，樣本空間中每個樣本點出現(xiàn)的可能性是相等的.基本事件的個數(shù)有限.4301

古典概率有限性等可能性.??注??結(jié)論具有上述特點的隨機試驗E稱為古典（等可能）概型.每個基本事件等可能性發(fā)生.設(shè)隨機試驗E為古典概型，記:對古典概率的計算可以轉(zhuǎn)化為對樣本點的計數(shù)4401

古典概率古典概率概率的古典定義.??注問題，該問題通?？梢越柚帕薪M合公式以及加法和乘法原理等進(jìn)行計算.

則

樣本空間S中所包含的基本事件的個數(shù).

事件A中所包含的基本事件的個數(shù).4501

古典概率??加法原理??乘法原理設(shè)完成一件事有m種方式，第i種方式有ni種方法，則完成這件事共有：n1+n2+?+nm

種不同的方法.設(shè)完成一件事需要m個步驟，第i個步驟有ni種方法，則完成這件事共有：n1×n2×…×nm

種不同的方法.4601

古典概率??排列公式??組合公式從n個不同元素中任取k個的不同排列總數(shù).從n個不同元素中任取k個的不同組合總數(shù).

4701

古典概率??例2從1，2，3，4，5，6，7這七個數(shù)字中任取四個組成四位數(shù)，則所有可能組成的四位數(shù)共有多少個.解

4801

古典概率??例3從10名辯論賽培訓(xùn)隊員中選出4名組成一個參賽隊，問共有多少種組隊方法？解按組合的定義，組隊方法共有

（種）設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有M件次品，現(xiàn)從這N件中任取n件，求其中恰有k件次品的概率.4901

古典概率解超幾何公式.??注令A(yù)={恰有k件次品}??例4

口袋中a只黑球，b只白球．隨機地一只

(1)有放回抽?。?001

古典概率??例5解一只抽取，求第k次摸得黑球的概率．無放回和有放回答案相同！5101

古典概率??注簡單理解是“抽簽理論或排隊理論”：電器含3個快充，每次抽中快充的概率都是3/10，與次序無關(guān)！如10個充??例5把球編號，按抽取次序把球排成一列，樣本點總口袋中a只黑球，b只白球.隨機地一只一只抽取，(2)不放回抽取.求第k次摸得黑球的概率．5201

古典概率解法1數(shù)就是a+b個球的全排列數(shù)(a+b)!.

事件A相當(dāng)于在第k

位放黑球，共有a種放法，法又對應(yīng)其它a+b－1個球的(a+b－1)!種放法，故事件每種放A包含的樣本點數(shù)為a(a+b－1)!.只考慮前k個位置

共a+b個次序，總數(shù)：從a+b個次序里邊挑a個給黑球.事件A的次數(shù)：把第k個位置放黑球，剩下a+b-1個位置，挑a-1個給黑球：5301

古典概率解法2解法3

（1）作放回抽樣（每次抽取后記錄結(jié)果，然后放回）；（2）作不放回抽樣（抽取后不再放回）；5401

古典概率??例6箱中放有a+b個外形一樣的手機充電器（不含充電線），其中a個充電器具有快充功能，其余b個沒有快充功能，k(k≤a+b)個人依次在箱中取一個充電器，求第i(i=1,2,?,k)人取到具有快充功能的充電器（記為事件A）的概率.（1）放回抽樣的情況下，每個人都有a+b

種抽取5501

古典概率解法，古典概率的定義:（抽到具有快充功能的充電器）包含a種抽取方法，由于其中a個充電器具有快充功能，因此事件A由

5601

古典概率（2）在不放回抽樣的情況下，k個人依次抽取，根據(jù)乘

法原理，完成抽取后樣本空間共有個基本結(jié)果.于事件A要求第i人抽到具有快充功能的充電器，由第i人有a種取法，其余k?1人從剩余的a+b?1個充電器

種取法，中任選k?1

個，有

種基本結(jié)果，由古典概率的定義：A共包含根據(jù)乘法原理事件因而

5701

古典概率從該例可以看出，無論是放回抽樣還是不放回抽樣，抽到具有快充功能充電器的概率都和抽取順序無關(guān).此問題和抽簽問題類似，因此從概率意義上，抽簽是公平的，不必爭先恐后.5801

古典概率??例7解貨架上有外觀相同的商品15件，其中12件來自甲產(chǎn)地，3件來自乙產(chǎn)地.現(xiàn)從貨架上隨機抽取兩件，求這兩件商品來自同一產(chǎn)地的概率.A1表示“兩件商品都來自甲產(chǎn)地”，A2

表示“兩件商品都來自乙產(chǎn)地”.即樣本空間中有105個樣本點.有從15件商品中取出兩件，共5901

古典概率事件A1

要求兩件商品都來自甲產(chǎn)地，因而事件A1

共包

含個樣本點，個樣本點.

同理事件包含而事件A=“兩件上商品來自同一產(chǎn)地”可以表示A1∪A2

，且事件A1

和事件A2

互斥，k=k1+k2=69個樣本點，所以這兩件上商品來自同一產(chǎn)地的概率：因而事件A包含

假設(shè)該醫(yī)院白內(nèi)障手術(shù)的時間沒有規(guī)定,而病人在一周的任一天去醫(yī)院是等可能的.則5次白內(nèi)障手術(shù)都在周二、周四的概率為60??例8解

某醫(yī)院一周曾做過5次白內(nèi)障手術(shù),已知這5次手術(shù)都是在周二和周四進(jìn)行的,請問是否可以推斷該醫(yī)院白內(nèi)障手術(shù)的時間是有規(guī)定的?01

古典概率61人們在長期實踐中總結(jié)得到“概率很小的事件在一次試驗中實際上幾乎是不發(fā)生的”（實際推斷原理），

概率很小的事件在一次試驗中竟然發(fā)生了，因此有理由現(xiàn)在

懷疑假設(shè)的正確性，來訪者，即認(rèn)為其接待時間是有規(guī)定的.從而推斷接待站不是每天都接待01

古典概率62??例9某福利彩票游戲規(guī)則：購買者從01~35共35個號碼中選取7個號碼作為一注進(jìn)行投注，7個號碼中6個為基本號碼另外1個號碼為特別號碼，每注彩票2元，每期銷售彩票總金額的50%用來作為獎金.01

古典概率獎項設(shè)置為一等獎：選7中6+1（不考慮基本號碼的順序）；二等獎：選7中6；三等獎：選7中5+1；四等獎：選7中5；五等獎：選7中4+1；六等獎：選7中4；七等獎：選7中3+1.試計算單注中獎概率.63解這一類型彩票游戲可以看作不放回摸球問題：袋中有35個（同類型）球，其中6個紅球1個黃球，28個一個白球.現(xiàn)不放回從袋中取7個球，求7個球中恰有i個紅球和j個黃球的概率，i=0,1,…6；j=0,1.

因此中一等獎的概率01

古典概率

64類似可求得單注中k等獎的概率pk，k＝2,…,7，它們分別為：01

古典概率65單注中獎概率為：

通過以上可以看出單注中獎的概率不到2%，而中頭獎的概率僅有百萬分之一點五左右，根據(jù)實際推斷原理，偶爾買一次彩票就中大獎幾乎是不可能的.01

古典概率66??例10

（分房模型）設(shè)有k

個不同的球,每個球等可能地落入N

個盒子中（），設(shè)每個盒子容球數(shù)無限，求下列事件的概率：（1）某指定的k

個盒子中各有一球；（2）某指定的一個盒子恰有m個球（）；

（3）恰有k個盒子中各有一球.01

古典概率（1）某指定的k

個盒子中各有一球（3）恰有k

個盒子中各有一球（每個盒子至多一球）（2）某指定的一個盒子恰有m

個球()6701

古典概率解

某班級有k(k≤365)個人，求k

個人的生日均不相同的概率.??例11（“分房模型”的應(yīng)用）下一講揭曉.等價于：恰有k

個盒子中各有一球6801

古典概率

問：如何求“至少有兩人同生日”的概率？解6901

古典概率??例12袋子里有1~10號球，任取3個，求：(1)最小號碼為5的概率；(2)最大號碼為5的概率；(3)中間號碼為5的概率。

則只需從前3次中任選一次，使它從另外2種顏色中取到某一種顏色：7001

古典概率??例13設(shè)袋中有紅、白、黑球各1個，從中有放回地取球，每次取1個，直到3種顏色的球都取到時停止，求取球次數(shù)恰好為4的概率.①第4次取到一種顏色，前3次取到2種顏色：

②已有一色在第4次被取到，

解01古典概率02幾何概率本講內(nèi)容古典概型考慮了樣本空間僅包含有限個樣本點的等(1)設(shè)樣本空間S是平面上某個區(qū)域，它的面積記為μ(S);S7202

幾何概率??幾何概型(古典概型的推廣)可能概率模型，但等可能概型還有其它類型，間為一線段、平面或空間區(qū)域等，幾何概型，思路如下：如樣本空這類等可能概型稱為該點落入S內(nèi)任何部分區(qū)域內(nèi)的可能性只與這部分區(qū)域(2)向區(qū)域S上隨機投擲一點，“隨機投擲一點”的含義是:S73的面積成比例，而與這部分區(qū)域的位置和形狀無關(guān).02

幾何概率設(shè)事件A是S的某個區(qū)域，它的面積為μ(A)，則向區(qū)域S上隨機投擲一點，該點落在區(qū)域A的概率為：SA74

02

幾何概率75(3)假如樣本空間S可用一線段，或空間中某個區(qū)域表示，并且向S上隨機投擲一點的含義如前述，則事件A的概率仍可用確定，只不過把

理解為長度

或體積即可.02

幾何概率76幾何概率率為:設(shè)樣本空間為有限區(qū)域S,若樣本點落入S內(nèi)任何區(qū)域A中的概率與區(qū)域A的測度成正比,則樣本點落入A內(nèi)的概02

幾何概率

某城際列車每1小時發(fā)一班車,某人開完會后到候車廳候車，求他候車時間少于10分鐘的概率.??例1477解以分鐘為單位,記上一班車發(fā)出時刻為0，下一班車發(fā)出時刻為60,因此這個人到達(dá)候車廳的時間必在區(qū)間(0,60)內(nèi),記“等待時間短于10分鐘”為事件A，則有02

幾何概率78

于是：02

幾何概率

在區(qū)間(0,1)中隨機地取兩個數(shù)，求這兩個數(shù)之差的絕對值小于1/2的概率.??例15（約會問題）

79解法1利用幾何概型計算

解法2利用均勻分布計算（第三章）.

A

1/21Oyx02

幾何概率

某銷人員和客戶相約7點到8點之間在某地會面，先到者等候另一人半個小時，過時就離開.如果每個人可在指定的一小時內(nèi)任意時刻到達(dá)，試計算二人能夠會面的概率.??例16（會面問題）

80解記7點為0時刻，x,y分別表示甲、乙兩人到達(dá)指定02

幾何概率地點的時刻，則樣本空間為：

81以A表示“兩人能會面”，如圖所示，根據(jù)題意，這是一個幾何概型，于是

02

幾何概率則有11212121|x-y|＜Oyx

8202

幾何概率??例17有一根長為l的木棒，任意折成三段，求恰好能構(gòu)成一個三角形的概率.

解8302

幾何概率

??例18

84

設(shè)如圖所示事件A表示“點與原點的02

幾何概率

解8502

幾何概率

第2講古典概率與幾何概率86古典概型是最簡單的一種概率模型，要掌握好古典幾何概型的概率計算的關(guān)鍵是將樣本空間和隨機事????概型，必須學(xué)好排列組合公式.去求樣本點總數(shù)和事件包含的樣本點個數(shù).件用正確的圖形表示出來.會利用排列組合公式知識點解讀—古典概型與幾何概型第2講古典概率與幾何概率87幾何圖形的度量主要是長度，面積或體積等，經(jīng)常??運用積分等工具去求解.學(xué)海無涯，祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計第3講概率的公理化定義與運算性質(zhì)第1章隨機事件與概率01概率的公理化定義02概率的運算性質(zhì)本講內(nèi)容歷史上概率的三次定義③公理化定義②統(tǒng)計定義①古典定義概率的最初定義.基于頻率的定義.1933年由蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫給出.

研究隨機現(xiàn)象，我們不僅要關(guān)心會出現(xiàn)哪些事件，更關(guān)心這些事件出現(xiàn)的可能性大小，所謂事件的概率就是度量事件出現(xiàn)可能性大小的數(shù)值.91概率的公理化定義什么是概率？01

概率論的公理化定義通過規(guī)定概率應(yīng)具備的基本性質(zhì)來定義92歷史上概率的三次定義??古典定義不足：僅適用于等可能概型.??統(tǒng)計定義概率的統(tǒng)計定義:在大量重復(fù)試驗中，若事件A

發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某一常數(shù)p的周圍，件A發(fā)生的概率，并記不足：不精確不嚴(yán)格不便使用.??公理化定義概率.01

概率論的公理化定義則稱該常數(shù)p為事93??概率的公式化定義（1）非負(fù)性（2）規(guī)范性

設(shè)隨機試驗E

的樣本空間為S，若對E

的每一事件A

都有一個實數(shù)P(A)與之對應(yīng)，并且滿足下列三條公理，則稱P(A)為事件A的概率.對每一個事件A，有01

概率論的公理化定義它給出了概率所必須滿足的最基本的性質(zhì)，為建立嚴(yán)格的概率理論提供了一個堅實的基礎(chǔ).9401

概率論的公理化定義有（3）可列可加性對任意個兩兩互不相容事件.01概率的公理化定義02概率的運算性質(zhì)本講內(nèi)容96概率的運算性質(zhì)三條公理（1）非負(fù)性（2）規(guī)范性基本性質(zhì)（3）可列可加性加法公式.對任意個兩兩互不相容事件02

概率的運算性質(zhì)有97加法公式若事件A,B互斥，則，若事件A1,A2,?,An

兩兩互斥，則，??性質(zhì)102

概率的運算性質(zhì)

對任一事件A，有

如果正面計算事件

A的概率不容易，而計算其對立事件的概率較易時，可以使用性質(zhì)2.ＡA98逆事件公式??性質(zhì)2??注02

概率的運算性質(zhì)設(shè)Ａ、B是兩個事件，若,則有99減法公式??性質(zhì)302

概率的運算性質(zhì)??注對任意兩個事件A,B,有AB對任意兩個事件A、B，有再由性質(zhì)3得證.100廣義加法公式??性質(zhì)402

概率的運算性質(zhì)右端共有項.101推廣：一般：02

概率的運算性質(zhì)

設(shè)有50件產(chǎn)品，其中有3件不合格品，從中任取4件，求至少有一件不合格品的概率.??例1102解法1設(shè)A表示至少有一件不合格品，Ai

表示恰好有i件不合格品，則：性質(zhì)102

概率的運算性質(zhì)

103解法2因為

表示全是合格品，則性質(zhì)2計算事件A的概率不容易，而計算其對立事件的概率較易時，可以利用性質(zhì)2.02

概率的運算性質(zhì)

某班級有k(k≤365)個人，求k

個人的生日均不相同的概率.求“至少有兩人同生日”的概率.恰有k

個盒子中各有一球104（“分房模型”的應(yīng)用）02

概率的運算性質(zhì)??例2對某高校學(xué)生移動支付使用情況進(jìn)行調(diào)查，使用支付寶的用戶占45%，使用微信支付的用戶占35%，同時使用兩種移動支付的占10%.求至少使用一種移動支付的概率和只使用一種移動支付的概率.??例3105解記“使用支付寶”為事件A，“使用微信支付”為事件B，而“只使用一種移動支付”可表示為且易知則“至少使用一種移動支付”可以示為A∪B，02

概率的運算性質(zhì)106至少使用一種移動支付的概率：只使用一種移動支付的概率：02

概率的運算性質(zhì)??例4A,B是兩個事件，已知107解求而因此02

概率的運算性質(zhì)??例5108解則事件A,B,C都不發(fā)生的概率為?02

概率的運算性質(zhì)109??例6設(shè)(1)若A,B互斥，則則(2)若02

概率的運算性質(zhì)因為A,B互不相容,所以.110??例7若A,B為任意兩個事件，則（）解02

概率的運算性質(zhì)

11102

概率的運算性質(zhì)??例8設(shè)A與B互為對立事件，判斷以下等式是否成并說明理由.解

11202

概率的運算性質(zhì)

11302

概率的運算性質(zhì)從5雙不同的鞋子中任取4只，這4只鞋子中“至少有兩只配成一雙”（事件A）的概率是多少？下面的算法錯在哪里？錯在同樣的“4只配成兩雙”算了兩次.97321456810從5雙中取1雙，從剩下的8只中取2只??例911402

概率的運算性質(zhì)從5雙不同的鞋子中任取4只，這4只鞋子中“至少有兩只配成一雙”（事件A）的概率是多少？97321456810正確答案請思考：還有其它解法嗎？??例9

11502

概率的運算性質(zhì)??例10解或

11602

概率的運算性質(zhì)

??例11解

11702

概率的運算性質(zhì)

由P(A)=0.6，P(B)=0.7

知AB≠φ，（否則P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.6+0.7=1.3>1）從而由加法定理得P(AB)=P(A)+P(B)－P(A∪B)??例12解

設(shè)A，B是兩事件且P(A)=0.6，P(B)=0.7.問（1）在什么條件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么條件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？11802

概率的運算性質(zhì)（1）由0≤P(AB)≤P(A)知，當(dāng)AB=A，即A∩B時，P(AB)取到最大值，最大值為P(AB)=P(A)=0.6，（2）當(dāng)A∪B=S時，P(AB)取最小值，最小值為

P(AB)=0.6+0.7－1=0.3.11902

概率的運算性質(zhì)??例13(1)只訂A報的；(2)只訂A與B報的；(3)只訂一種報的；

某城市有A,B,C三種報紙.在居民中,訂A報的占45%,訂B報的占35%,訂C報的占30%,同時訂A與B報的占10%,同時訂A與C報的占8%,同時訂B與C報的占5%,同時訂A,B與C報的占3%,求下列概率：

12002

概率的運算性質(zhì)(4)恰好訂兩種報的；(5)至少訂一種報的；(6)不定任何報的。

第3講概率的公理化定義與運算性質(zhì)121到目前為止，我們學(xué)習(xí)了樣本空間、隨機事件等概念，給出了概率的公理化定義及概率的性質(zhì)，知識我們就可以求一般的隨機事件的概率。下一講我們將學(xué)習(xí)一種新的概率——條件概率.家多做練習(xí)，熟練掌握.利用這些希望大學(xué)海無涯，祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）第4講條件概率與乘法公式第1章隨機事件與概率01條件概率02乘法公式本講內(nèi)容在解決許多概率問題時，往往需要在某些附加條件世界萬物都是互相聯(lián)系、互相影響的，隨機事件也P(B|A)=?125條件概率01

條件概率不例外.下交通事故發(fā)生的可能性明顯比天氣狀況優(yōu)良情況下要著一定程度的相互影響．大得多．在同一個試驗中的不同事件之間，通常會存在例如，在天氣狀況惡劣的情況下求事件的概率.的概率，將此概率記作P(B|A).P(B).如在事件A發(fā)生的條件下求事件B發(fā)生在100件產(chǎn)品中有72件為一等品，從中取兩件產(chǎn)品，記A表示“第一件為一等品”，B表示“第二件為一等品”.求P(B)

,P(B|A).??例1126解由前例可知無論有放回抽樣和無放回抽樣都有（1）有放回抽樣（2）無放回抽樣獨立性如何定義？01

條件概率12701

條件概率.設(shè)A、B為兩事件,P(A)>0,則稱為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率.稱為在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率.同理128??定義01

條件概率

條件概率也是概率,故概率的重要性質(zhì)都適用于條件概率.例如：

129??性質(zhì)01

條件概率

在100件產(chǎn)品中有72件為一等品，從中取兩件產(chǎn)品，記A表示“第一件為一等品”，B表示“第二件為一等品”.??例1

2)可用縮減樣本空間法1)用定義計算:P(A)>0A發(fā)生后的縮減樣本空間所含樣本點總數(shù)在縮減樣本空間中B所含樣本點個數(shù)無放回抽樣130??計算01

條件概率

.

設(shè)某種集成電路使用到2000h還能正常工作的概率為0.92,使用到3000h仍能正常工作的概率為0.85,問已經(jīng)工作了2000h的集成電路，能繼續(xù)工作到3000h的概率是多少？??例2131解設(shè)A表示“集成電路能用到2000h”，B表示“集成電路能用到3000h”，依題意，P(A)=所求概率為P(B|A).01

條件概率0.92,0.85.P(B)=設(shè)A，B，C是隨機事件，A與C互不相容，則132利用事件的關(guān)系及概率性質(zhì)公式求條件概率??例301

條件概率.

有某品牌的手機100部，其中98部續(xù)航時間合格，95部待機時間合格，92件續(xù)航時間和待機時間都合格，從中任取一部手機，已知該手機續(xù)航時間合格，求其待機時間也合格的概率.??例4133解

設(shè)A表示“續(xù)航時間合格”，B表示“待機時間合格”，則通過縮減樣本空間，有01

條件概率換??例513401

條件概率

某網(wǎng)站有三個熱門頻道：“娛樂”（記為A）、“數(shù)碼”（記為B）、“汽車”（記為C），通過對訪問者的閱讀習(xí)慣進(jìn)行調(diào)查，有如下結(jié)果：

試求改135解01

條件概率由條件概率的定義：若已知P(A),P(B|A)時,可以反過來求P(AB).136??注乘法公式.01

條件概率01條件概率02乘法公式本講內(nèi)容138乘法公式推廣02

乘法公式

盒中裝有100個產(chǎn)品,其中3個次品，從中不放回地取產(chǎn)品,每次1個,求（1）取兩次，兩次都取得正品的概率;（2）取三次，第三次才取得正品的概率.??例6139解令A(yù)i為第i次取到正品02

乘法公式

（波利亞罐子——傳染病模型）一個罐子中包含b個白球和r個紅球.14002

乘法公式隨機地抽取一個球，觀看顏色后放進(jìn)行四次，試求第一、二次取到白

球且第三、四次取到紅球的概率.回罐中，并且再加進(jìn)c個與所抽出

的球具有相同顏色的球.這種手續(xù)??例7

乘法公式應(yīng)用b個白球,r個紅球于是W1W2R3R4表示事件“連續(xù)取四個球，第一、二個是白球，第三、四個是紅球.”設(shè)Wi=Rj==P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)141解02

乘法公式1,2,3,4{第i次取出是白球}，i=j={第j次取出是紅球}，1,2,3,4.

對某通信及網(wǎng)絡(luò)服務(wù)運營商的客戶數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，結(jié)果表明：有8%的客戶辦理了該運營商的寬帶業(yè)務(wù)，在這些寬帶用戶中，有39%選擇了百兆寬帶業(yè)務(wù)，有30%選擇了千兆寬帶業(yè)務(wù).假設(shè)在所有客戶中隨機抽取一人，問：該客戶選擇百兆寬帶業(yè)務(wù)的概率是多少？該客戶選擇千兆寬帶業(yè)務(wù)的概率是多少？??例8142解02

乘法公式設(shè)A=“辦理寬帶業(yè)務(wù)”，B=“選擇百兆寬帶”，C=“選擇千兆寬帶”，由題意，14302

乘法公式由乘法公式，該客戶選擇百兆寬帶業(yè)務(wù)的概率是該客戶選擇千兆寬帶業(yè)務(wù)的概率是14402

乘法公式某人忘記了自己銀行卡密碼的最后一位數(shù)字，因而他隨機按號,求他按號不超過三次而選正確的概率.??

記H表示按號不超過三次而能按對，Ai表示第i次按號能按對。

??例9解14502

乘法公式??例10解

由

知

又

即

將(?)式代入得

14602

乘法公式

??例11解法一

14702

乘法公式解法二

學(xué)海無涯，祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）第5講全概率公式與貝葉斯公式第1章隨機事件與概率150全概率公式和貝葉斯公式主要用于計算比較復(fù)雜事件的概率,它們實質(zhì)上是加法公式,乘法公式以及條件概率的綜合運用.第5講

全概率公式與貝葉斯公式151全概率公式加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥.乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)>0.第5講

全概率公式與貝葉斯公式152設(shè)甲、乙、丙三個廠生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，其產(chǎn)量分別占總數(shù)的25%,35%,40%，次品率分別為5%,4%,2%，從這批產(chǎn)品中任取一件，求它是次品的概率.??例1解分別表示產(chǎn)品由甲、乙、丙廠生產(chǎn)第5講

全概率公式與貝葉斯公式完備事件組153全概率公式兩兩互斥第5講

全概率公式與貝葉斯公式B表示產(chǎn)品為次品01全概率公式02貝葉斯公式本講內(nèi)容稱滿足上述條件的A1,A2,…,An為完備事件組.155全概率公式設(shè)S為隨機試驗的樣本空間，A1,A2,…,An是兩兩互斥的事件，且有P(Ai)>0，i=1,2,…,n,則對任一事件B，有01

全概率公式加法公式乘法公式B156證明兩兩互不相容，得也兩兩互不相容；

01

全概率公式某一事件B的發(fā)生有各種可能的原因(i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai所引起，則B發(fā)生的概率是：每一原因都可能導(dǎo)致B發(fā)生，故B發(fā)生的概率是各原因引起B(yǎng)發(fā)生概率的總和，即全概率公式.P(BAi)=157??全概率公式的關(guān)鍵數(shù)學(xué)模型完備事件組P(Ai)P(B|Ai).01

全概率公式

已知某地區(qū)加油站的客戶中，40%使用92號汽油，35%使用95號汽油，25%使用98號汽油.加油時，使用92號汽油的客戶中有30%要加滿油箱，使用95號汽油的客戶中，有60%要加滿油箱，而使用98號汽油的客戶中，有50%要加滿油箱.現(xiàn)隨機選擇一位客戶，求該客戶加滿油箱的概率.??例2158解01

全概率公式15901

全概率公式由題意可知，由全概率公式，該客戶加滿油箱的概率為??例3160解設(shè)事件X、

Y分別表示機床加工零件A與B，Z表示機床停機，由題設(shè)知由全概率公式，得01

全概率公式一個機床有的時間加工零件A，其余時間加工零件B.加工零件A時，停機的概率是0.3，加工零件B時，停機的概率是0.4，求這個機床停機的概率.從而這個機床停機的概率為01全概率公式02貝葉斯公式本講內(nèi)容甲、乙、丙三個廠生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，其產(chǎn)量分別占總數(shù)的25%,35%,40%，次品率分別為5%,4%,2%，隨機地從中任取一件，發(fā)現(xiàn)是次品，問它來自哪個廠的可能性大？??例4162解實際中還有另一類問題：已知結(jié)果求原因乙廠生產(chǎn)的可能性最大貝葉斯公式01

全概率公式

該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出.它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致B發(fā)生的每個原因的概率.設(shè)A1,A2,…,An是完備事件組，則對任一事件B，有163貝葉斯公式02

貝葉斯公式貝葉斯公式在實際中有很多應(yīng)用，它可以幫助人們確定某結(jié)果發(fā)生的最可能原因.——后驗概率在B已經(jīng)發(fā)生的前提下，再對導(dǎo)致B發(fā)生的原因的可能性大小重新加以修正.P(Ai)——先驗概率16402

貝葉斯公式它是由以往的經(jīng)驗得到的，是事件

B的原因.

（醫(yī)學(xué)模型——稀有病癥的診斷率問題）甲胎蛋白（AFP）免疫檢測法被普遍用于肝病的早期診斷和普查.已知肝病患者經(jīng)AFP檢測呈陽性的概率為95%，而非肝病患者經(jīng)AFP檢測呈陽性（誤診）的概率為2%.設(shè)人群中肝病的發(fā)病率為0.04%，現(xiàn)有一人經(jīng)AFP檢測呈陽性，求此人確實患肝病的概率.??例5165解記A={肝病患者}，{經(jīng)AFP檢測呈陽性},B=02

貝葉斯公式由貝葉斯公式

經(jīng)AFP檢測顯陽性的人，真患有肝病的人不到2%.可見，對于稀有病癥，一次檢測的結(jié)果不必過于擔(dān)心.16602

貝葉斯公式

（例2續(xù)）現(xiàn)隨機選擇一位客戶，如果該客戶加滿了油箱，他使用92號汽油的概率.??例6167解由題意可知，所求概率為02

貝葉斯公式在例2中已經(jīng)計算出故由貝葉斯公式，換某機器由A、B、C三類元件構(gòu)成,其所占比例分別為0.1,0.4,0.5,且其發(fā)生故障的概率分別為0.7,0.1,0.2.現(xiàn)機器發(fā)生了故障,問應(yīng)從哪類元件開始檢查？??例7168解設(shè)D表示“機器發(fā)生故障”，A表示“元件是A類”，B表示“元件是B類”，C表示“元件是C類”，由全概率公式02

貝葉斯公式169由貝葉斯公式故應(yīng)從C元件開始檢查.同理02

貝葉斯公式設(shè)有甲乙兩袋，甲袋中裝有N個白球，M個黑球；乙袋中裝有n個白球，m個黑球，今從甲袋中任取一個球放入乙袋中，再從乙袋中任取一個球，問取到白球的概率是多少?17002

貝葉斯公式??例8解全概率公式

從數(shù)1，2，3，4中任取一個數(shù),記為X,再從1,?,X中任取一個數(shù),記為Y,則P{Y=2}=____17102

貝葉斯公式??例9解由全概率公式:

17202

貝葉斯公式故

17302

貝葉斯公式??例10解

17402

貝葉斯公式貝葉斯公式

盒中有12個乒乓球，其中9個是新的，第一次比賽時從盒中任取3個,用后仍放回盒中，第二次比賽時再從盒中任取3個，求第二次取出的都是新球的概率.?若已知第二次取出的都是新球，求第一次取出的都是新球的概率.17502

貝葉斯公式??例11解設(shè)B表示第二次比賽取到3只新球表示第1次比賽取到i只新球

根據(jù)對某地快遞行業(yè)的調(diào)研，該地區(qū)95%的快遞公司為優(yōu)質(zhì)快遞公司，當(dāng)商家選擇這些優(yōu)質(zhì)快遞公司時,其貨物的按時送達(dá)率為98%,而當(dāng)商家選擇其他快遞公司時,其貨物的按時送達(dá)率為55%.假設(shè)有一批貨物，已知其按時送達(dá)，求商家選擇的是優(yōu)質(zhì)快遞公司的概率.??例1217602貝葉斯公式解A1=“選擇的是優(yōu)質(zhì)快遞公司”，A2=“選擇的是其他快遞公司”，B=“貨物按時送達(dá)”，由題意，17702貝葉斯公式由貝葉斯公式，得即商家選擇的是優(yōu)質(zhì)快遞公司的概率為97%.第5講

全概率公式與貝葉斯公式178這一講我們學(xué)習(xí)了兩個重要的公式——全概率公式與貝葉斯公式.大家需要牢記，并會熟練運用.在概率的計算中，經(jīng)常用到這兩個公式，

知識點解讀——全概率公式與貝葉斯公式學(xué)海無涯，祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）第6講事件的獨立性第1章隨機事件與概率01兩事件的獨立性02

有限個事件的獨立性03系統(tǒng)的可靠性問題本講內(nèi)容在100件產(chǎn)品中有72件為一等品，從中取兩件產(chǎn)有放回抽樣前面我們介紹了條件概率，一般來說，P(B|A)≠P(B)，182??例1但也有例外.品，記A表示“第一件為一等品”，B表示“第二件為一等品”.兩事件的獨立性01

事件的獨立性的定義設(shè)A,B為兩事件，若則稱事件A與事件B相互獨立.

等價于因此，我們有如下的定義.183這就是說，已知事件A發(fā)生，并不影響事件B發(fā)生的概率，這時稱事件A、B相互獨立.根據(jù)乘法公式??定義01

事件的獨立性的定義184獨立01

事件的獨立性的定義證明若，試證：事件A與B相互獨立.??例2185??性質(zhì)（1）若P(A)>0,??P(B)>0,??則也相互獨立.（2）若A與B相互獨立，則與B,?A

與證明事件A與B

相互獨立，有P(AB)=P(A)P(B).僅證事件與B相互獨立，其他可類似證明.由于所以因而，事件與B

相互獨立.01

事件的獨立性的定義請問：如圖的兩個事件是獨立的嗎？

即A,B不獨立.若A,B互斥，反之，若A,B獨立，??特別注意相互獨立≠互不相容“A,B相互獨立”和“A,B互不相容”不能同時成立.186若P(A)>0,P(B)>0，可以證明：即A,B相容.01

事件的獨立性的定義在實際應(yīng)用中，往往根據(jù)實際意義去判斷是否獨立.

由于“甲命中”并不影響“乙命中”的概率，故認(rèn)為A、B獨立.甲、乙兩人向同一目標(biāo)射擊，記A={甲命中}，

B={乙命中}，A與B是否獨立？一事件發(fā)生與否并不影響另一事件發(fā)生的概率.187??例301

事件的獨立性的定義一批產(chǎn)品共n件，從中抽取2件，設(shè)Ai={第i件是合格品}(i=1,2).??例4188解若抽取是有放回的,則A1與A2獨立.因為第二次抽取的結(jié)果不受第一次抽取的影響.若抽取是無放回的，則A1與A2不獨立.因為第二次抽取的結(jié)果受到第一次抽取的影響.01

事件的獨立性的定義設(shè)隨機事件A與B相互獨立，A與C相互獨立，且??例5189解01

事件的獨立性的定義.

某公司生產(chǎn)洗衣機和烘干機，已知該公司生產(chǎn)的洗衣機有30%在保修期內(nèi)需要保修服務(wù)，而該公司生產(chǎn)的烘干機只有10%需要保修服務(wù)。如果有人同時購買了該品牌的洗衣機和烘干機，問：在保修期內(nèi)這兩臺機器都需要保修服務(wù)的可能性有多大？這兩臺機器都不需要服務(wù)的可能性有多大？190??例6解設(shè)A表示事件“洗衣機在保修期內(nèi)需要服務(wù)”，B表示事件“烘干機在保修期內(nèi)需要服務(wù)”，則01

事件的獨立性的定義

某公司生產(chǎn)洗衣機和烘干機，已知該公司生產(chǎn)的洗衣機有30%在保修期內(nèi)需要保修服務(wù)，而該公司生產(chǎn)的烘干機只有10%需要保修服務(wù)。如果有人同時購買了該品牌的洗衣機和烘干機，問：在保修期內(nèi)這兩臺機器都需要保修服務(wù)的可能性有多大？這兩臺機器都不需要服務(wù)的可能性有多大？191??例6通常這兩臺機器相互獨立工作，即A和B是相互獨立的，則所求概率分別為01

事件的獨立性的定義??例7

對于任意兩事件A和B有()192解01

事件的獨立性的定義A.若，則A,B一定獨立；B.若，則A,B有可能獨立；C.若，則A,B一定獨立；D.若，則A,B一定不獨立.若滿足的兩事件不一定滿足因而A,B不一定獨立，只能說有可能獨立，因而A不成立，B成立.??例7

對于任意兩事件A和B有()193解01

事件的獨立性的定義A.若，則A,B一定獨立；B.若，則A,B有可能獨立；C.若，則A,B一定獨立；D.若，則A,B一定不獨立.若，即A,B互不相容時，也可能不獨立，C,D都不對，故選B.A,B一定成立.A,B可能獨立，但當(dāng)

或時，有01兩事件的獨立性02

有限個事件的獨立性03系統(tǒng)的可靠性問題本講內(nèi)容改將兩事件獨立的定義推廣到三個事件：P(ABC)=四個等式同時成立，則稱事件A,B,C相互獨立.195有限個事件的獨立性??定義對于三個事件A,B,C，若P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)01

事件的獨立性的定義

n個事件A1,A2,…,An

相互獨立是指下面的關(guān)推廣到n個事件的獨立性定義.196??定義系式同時成立：01

事件的獨立性的定義兩兩獨立相互獨立對n(n>2)個事件?197??性質(zhì)如果n個隨機事件(A1,A2,?,An)?相互獨立．則也相互獨立．其中是的一個排列．??注多個事件兩兩獨立與相互獨立的區(qū)別與聯(lián)系.01

事件的獨立性的定義??例8

隨機投擲編號為1與2的兩個骰子，記事件A

表示1號骰子向上一面出現(xiàn)奇數(shù)，B

表示2號骰子向上一面出現(xiàn)奇數(shù)，C

表示兩骰子出現(xiàn)的點數(shù)之和為奇數(shù).

198則但??本例說明不能由A,B,C

兩兩獨立A,B,C

相互獨立01

事件的獨立性的定義

假設(shè)某新型高分子材料由甲、乙、丙三個團(tuán)隊各自獨立研發(fā)，若甲的成功率為0.4，乙的成功率為0.3，丙的成功率為0.2，求該新型高分子材料研發(fā)成功的概率.??例9199設(shè)A1表示“甲研發(fā)成功”，A2表示“乙研發(fā)成功”，A3表示“丙研發(fā)成功”，則所求概率為利用獨立性01

事件的獨立性的定義解法1簡便方法也相互獨立200解法2總結(jié)：設(shè)事件相互獨立，則01

事件的獨立性的定義加工某一零件共需經(jīng)過7道工序,每道工序的次品率都是5%，假定各道工序是互不影響的,求加工出來的零件的次品率.??例10201解以?Ai?(i=1,2,?,7)?表示事件“第

i?道工序出現(xiàn)次品”，01

事件的獨立性的定義D=A1∪A2∪?∪A7.D表示事件“加工出來的零件為次品”，則有202由此可見，雖然每道工序次品率都很低，但次品數(shù)隨工序數(shù)的增加而增加，因此對于多道工序的產(chǎn)品，需要有嚴(yán)格的控制程序.01

事件的獨立性的定義203??例11

設(shè)某種型號的高射炮命中率為0.6，若干門炮同時發(fā)射（每炮射一發(fā)）.問：欲以99%以上的概率擊中敵機，至少配備幾門高射炮？設(shè)至少需要n門炮，01

事件的獨立性的定義解記Ai表示“第i門炮擊中敵機”B表示“敵機被擊中”，則(i=1,2,…,n)，204??例11

設(shè)某種型號的高射炮命中率為0.6，若干門炮同時發(fā)射（每炮射一發(fā)）.問：欲以99%以上的概率擊中敵機，至少配備幾門高射炮？由題意，至少需要配備6門高射炮才能以99%以上的概率擊中敵機.所以，，01

事件的獨立性的定義01兩事件的獨立性02

有限個事件的獨立性03系統(tǒng)的可靠性問題本講內(nèi)容改206一個元件（或系統(tǒng)）能正常工作的概率稱為元件（或系統(tǒng)）的可靠性.系統(tǒng)由元件組成，常見的元件連接方式：串聯(lián)并聯(lián)1221獨立性應(yīng)用01

事件的獨立性的定義系統(tǒng)的可靠性問題207??例12

設(shè)兩系統(tǒng)都是由

4個元件組成，每個元件正常工作的概率為

p

，每個元件是否正常工作相互獨立.兩系統(tǒng)的連接方式如下圖所示，比較兩系統(tǒng)的可靠性.A1A2B2B1S1:解01

事件的獨立性的定義208A1A2B2B1S2：系統(tǒng)S2更可靠01

事件的獨立性的定義第6講

事件的獨立性知識點解讀—獨立性209這一講我們學(xué)習(xí)了事件的獨立性.與數(shù)理統(tǒng)計的一個非常重要的概念，很多定理和結(jié)論都是在獨立性這個條件之下得到的.重點：理解事件獨立性的概念，掌握用事件獨立性進(jìn)行概率計算.獨立性是概率論學(xué)海無涯，祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）第1講隨機變量與分布函數(shù)第2章隨機變量及其分布本講內(nèi)容01隨機變量02分布函數(shù)在實際問題中，213為更好地揭示隨機現(xiàn)象的規(guī)律性并利用數(shù)學(xué)工具描述有必要引入隨機變量來描述隨機試驗的不同結(jié)果.其規(guī)律，由此就產(chǎn)生了隨機變量的概念.隨機試驗的結(jié)果可以用數(shù)量來表示，01

隨機變量設(shè)S是試驗E的樣本空間，按一定法則ω.X(ω)R214若??隨機變量

(randomvariable)則稱為S上的隨機變量.

01

隨機變量某人每天使用移動支付的次數(shù)——隨機變量X

{某天至少使用1次移動支付}

{某天1次也沒有使用}215X,Y,Z或

,,等表示變量的關(guān)系式表達(dá)出來隨機事件可以通過隨機隨機變量通常用??例101

隨機變量某品牌電腦的使用壽命——隨機變量Y{電腦的壽命大于2萬小時}{電腦的壽命最多10萬小時}216X,Y,Z或

,,等表示變量的關(guān)系式表達(dá)出來隨機事件可以通過隨機隨機變量通常用??例201

隨機變量離散型非離散型隨機變量217連續(xù)型其他類型??隨機變量的分類??注所有取值可以一一列舉概率可用積分體現(xiàn)??注取值充滿某個區(qū)間01

隨機變量無論是離散型隨機變量，對一個樣本空間，218為此給出分布函數(shù)的概念.興趣的隨機變量落在某區(qū)間或等于某特定值的概率.我們感當(dāng)建立了隨機變量后，都需要一種統(tǒng)一的描述工具.及其他類型的隨機變量，還是連續(xù)型隨機變量以??隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律01

隨機變量本講內(nèi)容01隨機變量02分布函數(shù)為X的分布函數(shù).

設(shè)X為隨機變量，如果將X看作數(shù)軸上隨機點的坐標(biāo)，x220的概率.F(x)的值就表示X落在區(qū)間那么分布函數(shù)稱函數(shù)x是任意實數(shù)，??分布函數(shù)02

分布函數(shù)用分布函數(shù)計算X落在(a,b]里的概率：因此，分布函數(shù)是一個普通的函數(shù)，221性就可以得到全面的描述.它的統(tǒng)計特只要知道了隨機變量X的分布函數(shù)，可以用數(shù)學(xué)分析的工具來研究隨機變量.我們正是通過它，??結(jié)論02

分布函數(shù)F(x)單調(diào)不減，F(xiàn)(x)右連續(xù)，222(2)(1)(3)即即如果一個函數(shù)具有上述性質(zhì)，是否是某隨機變量的分布函數(shù)的充分必要條件.性質(zhì)(1)--(3)是鑒別一個函數(shù)也就是說，的分布函數(shù).則一定是某個隨機變量X??分布函數(shù)的性質(zhì)02

分布函數(shù)223如下四個函數(shù)，哪個是隨機變量的分布函數(shù)：??例302

分布函數(shù)(1)(3)(2)(4)22402

分布函數(shù)(1)解因故不是分布函數(shù).(2)當(dāng)故不是分布函數(shù).是單調(diào)遞減的，判斷F(x)是否為分布函數(shù)，要看F(x)是否滿足分布函數(shù)的三條性質(zhì)：單調(diào)性、有界性和右連續(xù)性.2250