湖南省名校聯(lián)考聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題含解析_第1頁
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學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司Page18湖南省名校聯(lián)考聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題一?選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知全集,集合,,則()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)集合的交集、補集運算可得選項.【詳解】解:∵全集,,∴,又集合,∴,故選:D.2.雙曲線上一點P與它的一個焦點的距離等于1,那么點P與另一個焦點的距離等于()A.9 B.17C.18 D.34【答案】B【解析】【分析】利用雙曲線的定義干脆求解即可【詳解】由,得,設(shè)點P與雙曲線另一個焦點的距離為,由定義,得,故選:B.3.“”是“復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義求出實數(shù)的取值范圍,利用集合的包含關(guān)系推斷可得出結(jié)論.【詳解】若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限,則,解得,因為,因此,“”是“復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限”的充分不必要條件.故選:A.4.如圖,某橋是拋物線形拱橋,當(dāng)拱頂離水面2,水面寬4,那么水下降1后,水面寬為()A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】建立直角坐標系,利用代入法,結(jié)合拋物線的方程進行求解即可.【詳解】如圖,以拱頂為原點,對稱軸為y軸建立直角坐標系,則該拋物線方程為,依題點在其上,所以,,拋物線方程為.設(shè),則,,所以水面寬為,故選:D.5.如圖所示,平行六面體中,,,若線段,則()A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】C【解析】【分析】依據(jù)空間向量模公式,結(jié)合空間向量數(shù)量積的定義進行求解即可.【詳解】∵,∴,∴,,故選:C6.設(shè),,,則a,b,c的大小關(guān)系為()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)指數(shù)冪的運算法則,結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行推斷即可.【詳解】,,則,又,∴,故選:D7.如圖是最小正周期為的函數(shù)的部分圖象,則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的最小正周期為,求得,再依據(jù)函數(shù)過點求解.【詳解】因為函數(shù)的最小正周期為,即,所以,又因為函數(shù)過點,所以,又因為,所以,故選:C.8.已知F為拋物線的焦點,過點F作兩條直線,,直線與C交于A,B兩點,直線與C交于D,E兩點,若,則四邊形ADBE面積的最小值為()A.48 B.32 C.16 D.8【答案】B【解析】【分析】依題意,,設(shè)直線的斜率為,則直線的斜率為,聯(lián)立方程,結(jié)合拋物線定義得到兩段弦長,進而表示面積,利用均值不等式求最值即可.【詳解】依題意,,設(shè)直線的斜率為,則直線的斜率為,設(shè),,,,直線,直線.聯(lián)立消去y整理得,所以,同理,從而,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,故選:B.二?多選題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.已知平面上三條直線,,不能構(gòu)成三角形,則實數(shù)k的值可以為()A. B. C.0 D.1【答案】ABC【解析】【分析】即找三直線其中兩條平行或三線交于一點時實數(shù)k的值,【詳解】依題:三條直線交于一點或其中兩條平行且與第三條直線相交,①當(dāng)直線經(jīng)過直線與直線的交點時,,解得.②當(dāng)直線與直線平行時,,解得;當(dāng)直線與直線平行時,可得,綜上:或或.故選:ABC.10.在正方體中,E,F(xiàn)分別是和的中點,則下列結(jié)論錯誤的是()A.平面CEFB.平面CEFC.D.點D與點到平面CEF距離相等【答案】BD【解析】【分析】A選項,線線平行證明線面平行;B選項,建立空間直角坐標系,利用向量解決線面關(guān)系;C選項,利用空間向量計算驗證;D選項,得到點D與點中點O在,從而證明點D與點的中點O不在平面CEF,進而證明出點D與點到平面CEF的距離不相等.【詳解】對選項A,因為E,F(xiàn)分別是和的中點,故,且平面CEF,平面CEF,故∥平面CEF成立.選項B,建立如圖所示空間直角坐標系,設(shè)正方體邊長為2,則,.故.故,不相互垂直.又平面CEF,故平面CEF不成立;對選項C,利用B選項建立的空間直角坐標系有,,故成立,選項D,若點D與點到平面CEF的距離相等,則點D與點的中點O在平面CEF上,連接AC,AE易得平面CEF即平面CAEF.又點D與點中點O在上,故點O不在平面CEF上,故D不成立.故選:BD11.已知雙曲線經(jīng)過點,并且它的一條漸近線被圓所截得的弦長為,則下列結(jié)論正確的是()A.C的離心率為B.C的漸近線為C.C的方程為D.直線與C有兩個公共點【答案】AC【解析】【分析】由已知結(jié)合圓的弦長公式及點到直線的距離可知,,再利用雙曲線的性質(zhì)依次推斷各個選項.【詳解】雙曲線的漸近線方程為,圓心到漸近線距離為,則點到漸近線的距離為,于是,,對于A,雙曲線C的離心率,故A正確;對于B,由,所以C的漸近線為,故B錯誤;對于C,由,雙曲線C化為,又點在雙曲線上,所以,所以,.所以雙曲線方程為,故C正確;對于D,聯(lián)立,消去x得,因為,故D錯誤.故選:AC12.雙紐線,也稱伯努利雙紐線,伯努利雙紐線的描述首見于1694年,雅各布·伯努利將其作為橢圓的一種類比來處理.橢圓是由到兩個定點距離之和為定值的點的軌跡,而卡西尼卵形線則是由到兩定點距離之乘積為定值的點的軌跡,當(dāng)此定值使得軌跡經(jīng)過兩定點的中點時,軌跡便為伯努利雙紐線.伯努利將這種曲線稱為lemniscate,為拉丁文中“懸掛的絲帶”之意.雙紐線在數(shù)學(xué)曲線領(lǐng)域的地位占有至關(guān)重要的地位.雙紐線像數(shù)字“8”,不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱、和諧、簡潔、統(tǒng)一的美,同時也具有特殊的有價值的藝術(shù)美,是形成其它一些常見的美麗圖案的基石,也是很多設(shè)計者設(shè)計作品的主要幾何元素.曲線是雙紐線,則下列結(jié)論正確的是()A.曲線經(jīng)過5個整點(橫、縱坐標均為整數(shù)的點)B.曲線上隨意一點到坐標原點的距離都不超過2C.曲線關(guān)于直線對稱的曲線方程為D.若直線與曲線只有一個交點,則實數(shù)的取值范圍為【答案】BCD【解析】【分析】A,曲線C經(jīng)過整點(2,0),(﹣2,0),(0,0);B,依據(jù)曲線C:(x2+y2)2=4(x2﹣y2),可知22≥x2+y2,即可判定;C,曲線方程中x,y互換可得曲線C關(guān)于直線y=x對稱的曲線方程;D,利用x2≥y2,比較直線y=kx的斜率即可判定;【詳解】解:對于A,令,解得:或或,當(dāng)時,無解.所以曲線C經(jīng)過整點(2,0),(﹣2,0),(0,0),故A錯;對于B,依據(jù)曲線C:(x2+y2)2=4(x2﹣y2),可知22≥x2+y2,所以雙曲線C上隨意一點到坐標原點O的距離都不超過2,故B正確;對于C,曲線方程中x,y互換可得曲線C關(guān)于直線y=x對稱的曲線方程為(x2+y2)2=4(y2﹣x2),故C正確;對于D,據(jù)據(jù)曲線C:(x2+y2)2=4(x2﹣y2),可知x2≥y2,可得若直線y=kx與曲線C只有一個交點,則實數(shù)k的取值范圍為(﹣∞,﹣1]∪[1,+∞),故D正確;故選:BCD.三?填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.已知向量,,若,則___________.【答案】【解析】【分析】由求得x,再利用求模公式求解.【詳解】因為,解得,所以,,所以.故答案為:14.一個圓經(jīng)過橢圓的三個頂點,且圓心在x軸的負半軸上,則該圓的標準方程為___________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意,確定圓經(jīng)過的三個頂點,設(shè)圓心為,半徑為r,利用點在圓上求解.【詳解】由題意得:圓經(jīng)過,設(shè)圓心為,半徑為r,則,解得,所以圓的方程為.故答案為:15.一動圓與圓外切,同時與圓內(nèi)切,則動圓圓心的軌跡方程為___________.【答案】【解析】【分析】求出兩個圓的圓心與半徑,設(shè)出動圓的圓心與半徑,推斷動圓的圓心軌跡,推出結(jié)果即可.【詳解】圓x2+y2+6x+5=0的圓心為A(﹣3,0),半徑為2;圓x2+y2﹣6x﹣91=0的圓心為B(3,0),半徑為10;設(shè)動圓圓心為M(x,y),半徑為x;則MA=2+r,MB=10﹣r;于是MA+MB=12>AB=6所以,動圓圓心M的軌跡是以A(﹣3,0),B(3,0)為焦點,長軸長為12的橢圓.a(chǎn)=6,c=3,b2=a2﹣c2=27;所以M的軌跡方程為故答案為【點睛】本題考查軌跡方程的求法,考查橢圓定義的應(yīng)用,考查分析問題解決問題的實力,轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.16.某公司購置了一臺價值220元的設(shè)備,隨著設(shè)備在運用過程中老化,其價值會逐年削減.閱歷表明,每經(jīng)過一年其價值就會削減d(d為正常數(shù))萬元.已知這臺設(shè)備的運用年限為10年,超過10年,它的價值將低于購進價值的5%,設(shè)備將報廢,則d的取值范圍為____.【答案】【解析】【分析】由題意可知,問題可看作一個遞減的等差數(shù)列,只需保證用了10年還正常,用了11年就報廢.【詳解】由題意,該設(shè)備的價值是以220為首項,為公差的等差數(shù)列,由題意可知:故答案為:四?解答題:本題共6個小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.17.高考數(shù)學(xué)特殊強調(diào)要增加對數(shù)學(xué)文化的考查,為此某校高三年級特命制了一套與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的專題訓(xùn)練卷(試卷滿分為分),并對整個高三年級的學(xué)生進行了測試.現(xiàn)從這些學(xué)生中隨機抽取了名學(xué)生的成果,依據(jù)成果為、、、分成了組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖(假定每名學(xué)生的成果均不低于分).(1)求頻率分布直方圖中的的值,并估計所抽取的名學(xué)生成果的平均數(shù)、中位數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表);(2)若利用分層抽樣的方法從樣本中成果不低于分的三組學(xué)生中抽取人,再從這人中隨機抽取人參與這次考試的考后分析會,試求后兩組中至少有人被抽到的概率.【答案】(1),平均數(shù)為分,位數(shù)為分;(2).【解析】【分析】(1)利用頻率分布直方圖中全部矩形面積之和為可求得的值,將每個矩形的中點值乘以對應(yīng)矩形的面積,再將所得結(jié)果全部相加可得平均數(shù),依據(jù)中位數(shù)左邊的矩形面積之和為可求得中位數(shù)的值;(2)分析可知后三組中所抽取的人數(shù)分別為、、,將這人進行標記,列舉出全部的基本領(lǐng)件,利用古典概型的概率公式可求得所求事務(wù)的概率.【小問1詳解】解:由已知可得,解得,所抽取的名學(xué)生成果的平均數(shù)為(分),由于前兩組的頻率之和為,前三組的頻率之和為,所以,中位數(shù),由題意可得,解得(分).【小問2詳解】解:由(1)可知,后三組中的人數(shù)分別為、、,故這三組中所抽取的人數(shù)分別為、、,記成果在這組的名學(xué)生分別為、、,成果在這組的名學(xué)生分別為、,成果在這組的名學(xué)生為,則從中任抽取人的全部可能結(jié)果為、、、、、、、、、、、、、、、、、、、,共種.其中后兩組中至少有人被抽到包含種結(jié)果,故所求概率為.18.已知函數(shù).(1)推斷函數(shù)的奇偶性并加以證明;(2),不等式成立,求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)奇函數(shù),證明見解析(2).【解析】【分析】(1)依據(jù)奇偶性的定義證明,先推斷函數(shù)定義域,再推斷與的關(guān)系;(2)將不等式轉(zhuǎn)化為,再依據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的推斷方法推斷出函數(shù)為上的增函數(shù),依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解不等式,再轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立問題求解.【小問1詳解】函數(shù)是奇函數(shù).證明如下:函數(shù)的定義域為,∵,∴,所以函數(shù)是上的奇函數(shù).【小問2詳解】由(1)知,等價于,因為為上的增函數(shù),所以,即恒成立,所以,解得,所以a的取值范圍為.【點睛】利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式時,一般須要留意先利用奇偶性將不等式變形,再推斷對應(yīng)函數(shù)的定義域與單調(diào)性,從而化簡不等式求解.19.在數(shù)列中,首項,且滿意,其前n項和為.(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的通項公式,并推斷n,,是否成等差數(shù)列?【答案】(1)證明見解析;(2),n,,成等差數(shù)列.【解析】【分析】(1)依據(jù)等比數(shù)列的定義,結(jié)合已知遞推公式進行證明即可;(2)結(jié)合(1)的結(jié)論,依據(jù)等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式,利用等差數(shù)列的性質(zhì)進行求解即可.【小問1詳解】∵,,又,∴是首項為,公比為2的等比數(shù)列;【小問2詳解】由(1)知,,∴,∴,∴,∴.即n,,成等差數(shù)列.20.的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知.(1)若,的面積為,求a;(2)若,求C.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)依據(jù)三角形面積公式,結(jié)合余弦定理進行求解即可;(2)依據(jù)正弦定理,結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值進行求解即可.【小問1詳解】∵的面積,∴,,由余弦定理:,∴.【小問2詳解】由已知,由正弦定理得,即,可得.由于,所以,故,.21.如圖1,平面圖形PABCD由直角梯形ABCD和拼接而成,其中,?,,,PC與AD相交于O,現(xiàn)沿著AD折成四棱錐(如圖2).(1)當(dāng)四棱錐的體積最大時,求點B到平面PCD的距離;(2)在(1)的條件下,線段PD上是否存在一點Q,使得二面角的余弦值為?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.【答案】(1);(2)存在,.【解析】【分析】(1)依據(jù)面面垂直的性質(zhì),建立空間直角坐標系,利用空間距離公式進行求解即可;(2)利用空間夾角公式

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