湖南省名校聯(lián)考聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題含解析

學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司Page18湖南省名校聯(lián)考聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)集合的交集、補集運算可得選項.【詳解】解：∵全集，，∴，又集合，∴，故選：D.2.雙曲線上一點P與它的一個焦點的距離等于1，那么點P與另一個焦點的距離等于（）A.9 B.17C.18 D.34【答案】B【解析】【分析】利用雙曲線的定義干脆求解即可【詳解】由，得，設(shè)點P與雙曲線另一個焦點的距離為，由定義，得，故選：B.3.“”是“復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義求出實數(shù)的取值范圍，利用集合的包含關(guān)系推斷可得出結(jié)論.【詳解】若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限，則，解得，因為，因此，“”是“復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限”的充分不必要條件.故選：A.4.如圖，某橋是拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面2，水面寬4，那么水下降1后，水面寬為（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】建立直角坐標系，利用代入法，結(jié)合拋物線的方程進行求解即可.【詳解】如圖，以拱頂為原點，對稱軸為y軸建立直角坐標系，則該拋物線方程為，依題點在其上，所以，，拋物線方程為.設(shè)，則，，所以水面寬為，故選：D.5.如圖所示，平行六面體中，，，若線段，則（）A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】C【解析】【分析】依據(jù)空間向量模公式，結(jié)合空間向量數(shù)量積的定義進行求解即可.【詳解】∵，∴，∴，，故選：C6.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)指數(shù)冪的運算法則，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行推斷即可.【詳解】，，則，又，∴，故選：D7.如圖是最小正周期為的函數(shù)的部分圖象，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的最小正周期為，求得，再依據(jù)函數(shù)過點求解.【詳解】因為函數(shù)的最小正周期為，即，所以，又因為函數(shù)過點，所以，又因為，所以，故選：C.8.已知F為拋物線的焦點，過點F作兩條直線，，直線與C交于A，B兩點，直線與C交于D，E兩點，若，則四邊形ADBE面積的最小值為（）A.48 B.32 C.16 D.8【答案】B【解析】【分析】依題意，，設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，聯(lián)立方程，結(jié)合拋物線定義得到兩段弦長，進而表示面積，利用均值不等式求最值即可.【詳解】依題意，，設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，設(shè)，，，，直線，直線.聯(lián)立消去y整理得，所以，同理，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故選:B.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知平面上三條直線，，不能構(gòu)成三角形，則實數(shù)k的值可以為（）A. B. C.0 D.1【答案】ABC【解析】【分析】即找三直線其中兩條平行或三線交于一點時實數(shù)k的值,【詳解】依題：三條直線交于一點或其中兩條平行且與第三條直線相交，①當(dāng)直線經(jīng)過直線與直線的交點時，，解得.②當(dāng)直線與直線平行時，，解得；當(dāng)直線與直線平行時，可得，綜上：或或.故選:ABC.10.在正方體中，E，F(xiàn)分別是和的中點，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.平面CEFB.平面CEFC.D.點D與點到平面CEF距離相等【答案】BD【解析】【分析】A選項，線線平行證明線面平行；B選項，建立空間直角坐標系，利用向量解決線面關(guān)系；C選項，利用空間向量計算驗證；D選項，得到點D與點中點O在，從而證明點D與點的中點O不在平面CEF，進而證明出點D與點到平面CEF的距離不相等.【詳解】對選項A，因為E，F(xiàn)分別是和的中點，故，且平面CEF，平面CEF，故∥平面CEF成立.選項B，建立如圖所示空間直角坐標系，設(shè)正方體邊長為2，則，.故.故，不相互垂直.又平面CEF，故平面CEF不成立；對選項C，利用B選項建立的空間直角坐標系有，，故成立，選項D，若點D與點到平面CEF的距離相等，則點D與點的中點O在平面CEF上，連接AC，AE易得平面CEF即平面CAEF.又點D與點中點O在上，故點O不在平面CEF上，故D不成立.故選：BD11.已知雙曲線經(jīng)過點，并且它的一條漸近線被圓所截得的弦長為，則下列結(jié)論正確的是（）A.C的離心率為B.C的漸近線為C.C的方程為D.直線與C有兩個公共點【答案】AC【解析】【分析】由已知結(jié)合圓的弦長公式及點到直線的距離可知，，再利用雙曲線的性質(zhì)依次推斷各個選項.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，圓心到漸近線距離為，則點到漸近線的距離為，于是，，對于A，雙曲線C的離心率，故A正確；對于B，由，所以C的漸近線為，故B錯誤；對于C，由，雙曲線C化為，又點在雙曲線上，所以，所以，.所以雙曲線方程為，故C正確；對于D，聯(lián)立，消去x得，因為，故D錯誤.故選：AC12.雙紐線，也稱伯努利雙紐線，伯努利雙紐線的描述首見于1694年，雅各布·伯努利將其作為橢圓的一種類比來處理.橢圓是由到兩個定點距離之和為定值的點的軌跡，而卡西尼卵形線則是由到兩定點距離之乘積為定值的點的軌跡，當(dāng)此定值使得軌跡經(jīng)過兩定點的中點時，軌跡便為伯努利雙紐線.伯努利將這種曲線稱為lemniscate，為拉丁文中“懸掛的絲帶”之意.雙紐線在數(shù)學(xué)曲線領(lǐng)域的地位占有至關(guān)重要的地位.雙紐線像數(shù)字“8”，不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱、和諧、簡潔、統(tǒng)一的美，同時也具有特殊的有價值的藝術(shù)美，是形成其它一些常見的美麗圖案的基石，也是很多設(shè)計者設(shè)計作品的主要幾何元素.曲線是雙紐線，則下列結(jié)論正確的是（）A.曲線經(jīng)過5個整點（橫、縱坐標均為整數(shù)的點）B.曲線上隨意一點到坐標原點的距離都不超過2C.曲線關(guān)于直線對稱的曲線方程為D.若直線與曲線只有一個交點，則實數(shù)的取值范圍為【答案】BCD【解析】【分析】A，曲線C經(jīng)過整點（2，0），（﹣2，0），（0，0）；B，依據(jù)曲線C：（x2+y2）2＝4（x2﹣y2），可知22≥x2+y2，即可判定；C，曲線方程中x，y互換可得曲線C關(guān)于直線y＝x對稱的曲線方程；D，利用x2≥y2，比較直線y＝kx的斜率即可判定；【詳解】解：對于A，令，解得：或或，當(dāng)時，無解.所以曲線C經(jīng)過整點（2，0），（﹣2，0），（0，0），故A錯；對于B，依據(jù)曲線C：（x2+y2）2＝4（x2﹣y2），可知22≥x2+y2，所以雙曲線C上隨意一點到坐標原點O的距離都不超過2，故B正確；對于C，曲線方程中x，y互換可得曲線C關(guān)于直線y＝x對稱的曲線方程為（x2+y2）2＝4（y2﹣x2），故C正確；對于D，據(jù)據(jù)曲線C：（x2+y2）2＝4（x2﹣y2），可知x2≥y2，可得若直線y＝kx與曲線C只有一個交點，則實數(shù)k的取值范圍為（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），故D正確；故選：BCD．三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，，若，則___________.【答案】【解析】【分析】由求得x，再利用求模公式求解.【詳解】因為，解得，所以，，所以.故答案為：14.一個圓經(jīng)過橢圓的三個頂點，且圓心在x軸的負半軸上，則該圓的標準方程為___________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意，確定圓經(jīng)過的三個頂點，設(shè)圓心為，半徑為r,利用點在圓上求解.【詳解】由題意得：圓經(jīng)過，設(shè)圓心為，半徑為r，則，解得，所以圓的方程為.故答案為：15.一動圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切，則動圓圓心的軌跡方程為___________.【答案】【解析】【分析】求出兩個圓的圓心與半徑，設(shè)出動圓的圓心與半徑，推斷動圓的圓心軌跡，推出結(jié)果即可．【詳解】圓x2+y2+6x+5＝0的圓心為A（﹣3，0），半徑為2；圓x2+y2﹣6x﹣91＝0的圓心為B（3，0），半徑為10；設(shè)動圓圓心為M（x，y），半徑為x；則MA＝2+r，MB＝10﹣r；于是MA+MB＝12＞AB＝6所以，動圓圓心M的軌跡是以A（﹣3，0），B（3，0）為焦點，長軸長為12的橢圓．a(chǎn)＝6，c＝3，b2＝a2﹣c2＝27；所以M的軌跡方程為故答案為【點睛】本題考查軌跡方程的求法，考查橢圓定義的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的實力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．16.某公司購置了一臺價值220元的設(shè)備，隨著設(shè)備在運用過程中老化，其價值會逐年削減.閱歷表明，每經(jīng)過一年其價值就會削減d（d為正常數(shù)）萬元.已知這臺設(shè)備的運用年限為10年，超過10年，它的價值將低于購進價值的5％，設(shè)備將報廢，則d的取值范圍為____．【答案】【解析】【分析】由題意可知，問題可看作一個遞減的等差數(shù)列，只需保證用了10年還正常，用了11年就報廢.【詳解】由題意，該設(shè)備的價值是以220為首項，為公差的等差數(shù)列，由題意可知：故答案為：四?解答題：本題共6個小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.高考數(shù)學(xué)特殊強調(diào)要增加對數(shù)學(xué)文化的考查，為此某校高三年級特命制了一套與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的專題訓(xùn)練卷（試卷滿分為分），并對整個高三年級的學(xué)生進行了測試.現(xiàn)從這些學(xué)生中隨機抽取了名學(xué)生的成果，依據(jù)成果為、、、分成了組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖（假定每名學(xué)生的成果均不低于分）.（1）求頻率分布直方圖中的的值，并估計所抽取的名學(xué)生成果的平均數(shù)、中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；（2）若利用分層抽樣的方法從樣本中成果不低于分的三組學(xué)生中抽取人，再從這人中隨機抽取人參與這次考試的考后分析會，試求后兩組中至少有人被抽到的概率.【答案】（1），平均數(shù)為分，位數(shù)為分；（2）.【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖中全部矩形面積之和為可求得的值，將每個矩形的中點值乘以對應(yīng)矩形的面積，再將所得結(jié)果全部相加可得平均數(shù)，依據(jù)中位數(shù)左邊的矩形面積之和為可求得中位數(shù)的值；（2）分析可知后三組中所抽取的人數(shù)分別為、、，將這人進行標記，列舉出全部的基本領(lǐng)件，利用古典概型的概率公式可求得所求事務(wù)的概率.【小問1詳解】解：由已知可得，解得，所抽取的名學(xué)生成果的平均數(shù)為（分），由于前兩組的頻率之和為，前三組的頻率之和為，所以，中位數(shù)，由題意可得，解得（分）.【小問2詳解】解：由（1）可知，后三組中的人數(shù)分別為、、，故這三組中所抽取的人數(shù)分別為、、，記成果在這組的名學(xué)生分別為、、，成果在這組的名學(xué)生分別為、，成果在這組的名學(xué)生為，則從中任抽取人的全部可能結(jié)果為、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共種.其中后兩組中至少有人被抽到包含種結(jié)果，故所求概率為.18.已知函數(shù).（1）推斷函數(shù)的奇偶性并加以證明；（2），不等式成立，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）奇函數(shù)，證明見解析（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)奇偶性的定義證明，先推斷函數(shù)定義域，再推斷與的關(guān)系；（2）將不等式轉(zhuǎn)化為，再依據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的推斷方法推斷出函數(shù)為上的增函數(shù)，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解不等式，再轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立問題求解.【小問1詳解】函數(shù)是奇函數(shù).證明如下：函數(shù)的定義域為，∵，∴，所以函數(shù)是上的奇函數(shù).【小問2詳解】由（1）知，等價于，因為為上的增函數(shù)，所以，即恒成立，所以，解得，所以a的取值范圍為.【點睛】利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式時，一般須要留意先利用奇偶性將不等式變形，再推斷對應(yīng)函數(shù)的定義域與單調(diào)性，從而化簡不等式求解.19.在數(shù)列中，首項，且滿意，其前n項和為.（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式，并推斷n，，是否成等差數(shù)列？【答案】（1）證明見解析；（2），n，，成等差數(shù)列.【解析】【分析】（1）依據(jù)等比數(shù)列的定義，結(jié)合已知遞推公式進行證明即可；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，依據(jù)等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式，利用等差數(shù)列的性質(zhì)進行求解即可.【小問1詳解】∵，，又，∴是首項為，公比為2的等比數(shù)列；【小問2詳解】由（1）知，，∴，∴，∴，∴.即n，，成等差數(shù)列.20.的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）若，的面積為，求a；（2）若，求C.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)三角形面積公式，結(jié)合余弦定理進行求解即可；（2）依據(jù)正弦定理，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值進行求解即可.【小問1詳解】∵的面積，∴，，由余弦定理：，∴.【小問2詳解】由已知，由正弦定理得，即，可得.由于，所以，故，.21.如圖1，平面圖形PABCD由直角梯形ABCD和拼接而成，其中，?，，，PC與AD相交于O，現(xiàn)沿著AD折成四棱錐（如圖2）.（1）當(dāng)四棱錐的體積最大時，求點B到平面PCD的距離；（2）在（1）的條件下，線段PD上是否存在一點Q，使得二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】【分析】（1）依據(jù)面面垂直的性質(zhì)，建立空間直角坐標系，利用空間距離公式進行求解即可；（2）利用空間夾角公式