2025版新教材高中數(shù)學第八章立體幾何初步8.3簡單幾何體的表面積與體積8.3.2圓柱圓錐圓臺球的表面積和體積課時作業(yè)新人教A版必修第二冊

8．3.2圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積必備學問基礎練1．若球的最大截面圓面積擴大為原來的2倍，則球體積擴大為原來的()A．8倍B．4倍C．2eq\r(2)倍D．2倍2．已知某圓柱體的底面半徑為2，高為3，則該圓柱體的側(cè)面的面積為()A．3πB．6C．6πD．12π3．已知圓錐的表面積為3π，其側(cè)面綻開圖是一個半圓，則該圓錐的底面半徑為()A．2B．1C．eq\f(\r(2),2)D．eq\f(\r(6),2)4．如圖，過球O的一條半徑OP的中點O1，作垂直于該半徑的平面，所得截面圓的半徑為eq\r(3)，則球O的體積是()A．eq\f(32,3)πB．eq\f(16,3)πC．32πD．16π5．紫砂壺是中國特有的手工制造陶土工藝品，其制作始于明朝正德年間．紫砂壺的壺型眾多，經(jīng)典的有西施壺、掇球壺、石瓢壺、潘壺等．其中石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓臺，如圖給出了一個石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)(單位：cm)，那么該壺的最大盛水量約為()A．68πcm3B．152πcm3C．20eq\r(10)πcm3D．204πcm36．(多選)圓柱的側(cè)面綻開圖是長6cm，寬4cm的矩形，則這個圓柱的體積可能是()A．eq\f(24,π)cm3B．24πcm3C．eq\f(36,π)cm3D．36πcm37．已知圓錐的母線長為2，其側(cè)面綻開圖是一個半圓，則該圓錐的體積為________．8．已知一個圓臺的上、下底面圓半徑分別為2，5，高為4，則這個圓臺的側(cè)面積為________．關(guān)鍵實力綜合練1．某種藥物呈膠囊形態(tài)，該膠囊中間部分為圓柱，左右兩端均為半徑為1的半球．已知該膠囊的體積為eq\f(13,3)π，則它的表面積為()A．eq\f(35,6)πB．eq\f(10,3)πC．10πD．eq\f(16,3)π2．某圓錐的側(cè)面積為1，用一個平行于圓錐底面的平面截該圓錐得到一個圓臺，若圓臺上底面和下底面半徑之比為eq\f(1,2)，則該圓臺的側(cè)面積為()A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(3,4)D．eq\f(7,8)3.如圖，在Rt△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c(a>b>c)，分別以邊AB，AC，BC所在直線為軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成三個幾何體，其體積分別為V1，V2，V3，則()A．a(chǎn)V1＝bV2＝cV3B．a(chǎn)V2＝bV1＝cV3C．a(chǎn)V3＝bV2＝cV1D．a(chǎn)V1＝bV3＝cV24．設甲、乙兩個圓柱的底面面積分別為S1，S2，體積為V1，V2，若它們的側(cè)面積相等且eq\f(S1,S2)＝eq\f(16,9)，則eq\f(V1,V2)的值是()A．eq\f(2,3)B．eq\f(3,2)C．eq\f(4,3)D．eq\f(9,4)5．圓臺的一個底面周長為另一個底面周長的2倍，母線長為4，圓臺側(cè)面積為60π，則圓臺較小底面半徑為()A．5B．10C．15D．206．(多選)一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑2R相等，下列結(jié)論正確的是()A．圓柱的側(cè)面積為2πR2B．圓錐的側(cè)面積為2πR2C．圓柱的側(cè)面積與球面面積相等D．圓柱、圓錐、球的體積之比為3∶1∶27．把一個底面半徑為3cm，高為4cm的鋼質(zhì)實心圓柱熔化，然后鑄成一個實心鋼球(不計損耗)，則該鋼球的表面積為________cm2.8．已知某幾何體的直觀圖如圖所示，則該幾何體的體積為________．9.某種“籠具”由內(nèi)、外兩層組成，無下底面，內(nèi)層和外層分別是一個圓錐和圓柱，其中圓柱與圓錐的底面周長相等，圓柱有上底面，制作時須要將圓錐的頂端剪去，剪去部分和接頭忽視不計，已知圓柱的底面周長為24πcm，高為30cm，圓錐的母線長為20cm.(1)求這種“籠具”的體積；(2)現(xiàn)要運用一種紗網(wǎng)材料制作50個“籠具”，該材料的造價為每平方米8元，共需多少元？10．已知圓錐的底面半徑R＝6，高h＝8.(1)求圓錐的表面積和體積；(2)如圖若圓柱O′O內(nèi)接于該圓錐，試求圓柱側(cè)面積的最大值．核心素養(yǎng)升級練1．陀螺是我國民間最早的消遣工具之一．如圖，一個倒置的陀螺，上半部分為圓錐，下半部分為同底圓柱，其中總高度為10cm，圓柱部分高度為7cm，已知陀螺的總體積為120cm3，則此陀螺圓柱底面的面積為()A．10cm2B．15cm2C．16cm2D．20cm22．已知某圓錐的底面半徑為2，側(cè)面積是底面積的3倍．將該圓錐切割成一個正四棱錐，且四棱錐的頂點和圓錐的頂點重合，四棱錐的底面是圓錐底面的內(nèi)接正方形，則該四棱錐的體積為()A．eq\f(16\r(2),3)B．eq\f(20\r(2),3)C．eq\f(28\r(2),3)D．eq\f(32\r(2),3)3．如圖所示，一直立在地面上的圓錐形物體的母線長為2，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點P動身，繞圓錐爬行一周后回到點P處，若該小蟲爬行的最短路程為2eq\r(3)，則這個圓錐的表面積為________．8．3.2圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積必備學問基礎練1．答案：C解析：若球的最大截面圓面積擴大為原來的2倍，則球的半徑擴大為原來的eq\r(2)倍，則球體積擴大為原來的2eq\r(2)倍．故選C.2．答案：D解析：由題意，該圓柱體的側(cè)面的面積為2π×2×3＝12π.故選D.3．答案：B解析：設圓錐的母線長為l，底面半徑為r，因為圓錐的側(cè)面綻開圖為一個半圓，所以πl(wèi)＝2πr，則l＝2r，又圓錐的表面積為3π，則πrl＋πr2＝3πr2＝3π，解得r＝1.故選B.4．答案：A解析：設球O的半徑為R，則R2－eq\f(R2,4)＝(eq\r(3))2，解得R＝2，∴球O的體積V＝eq\f(4π,3)R3＝eq\f(32,3)π.故選A.5．答案：B解析：由題意得上底面半徑為4，面積S1＝π×42＝16π，下底面半徑為6，面積S2＝π×62＝36π，圓臺高h為6，則圓臺的體積V＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋eq\r(S1S2))h＝eq\f(1,3)(16π＋36π＋eq\r(16π×36π))×6＝152πcm3.故選B.6．答案：AC解析：因為圓柱的側(cè)面綻開圖是長6cm，寬4cm的矩形，所以當圓柱的高為4cm，則底面周長為6cm，設底面半徑為r，則2πr＝6，得r＝eq\f(3,π)，所以此時圓柱的體積為πr2h＝π(eq\f(3,π))2×4＝eq\f(36,π)cm3，當圓柱的高為6cm，則底面周長為4cm，設底面半徑為r，則2πr＝4，得r＝eq\f(2,π)，所以此時圓柱的體積為πr2h＝π(eq\f(2,π))2×6＝eq\f(24,π)cm3，綜上，圓柱的體積可能為eq\f(24,π)cm3或eq\f(36,π)cm3，故選AC.7．答案：eq\f(\r(3)π,3)解析：設底面半徑為r，由題意可知2πr＝π×2，解得r＝1，圓錐的高h＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)，所以圓錐的體積V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(\r(3)π,3).8．答案：35π解析：因為圓臺的上下底面圓的半徑分別為2與5，高為4，所以圓臺的母線為：AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(42＋（5－2）2)＝5，所以圓臺的側(cè)面積為：π·(2＋5)·5＝35π.關(guān)鍵實力綜合練1．答案：C解析：設中間圓柱部分的高為h，則膠囊的體積V＝eq\f(4,3)π×13＋π×12×h＝eq\f(13π,3)，解得h＝3，所以膠囊的表面積為4π×12＋2π×1×3＝10π.故選C.2．答案：C解析：設圓臺的上底面半徑為r，下底面半徑為2r，設圓臺的母線為l，則圓錐的底面半徑為2r，圓錐的母線為2l，圓錐的側(cè)面積記為S1＝eq\f(1,2)·2π·2r·2l＝4πrl＝1?πrl＝eq\f(1,4)，截去的小圓錐的側(cè)面積即為S2＝eq\f(1,2)·2πr·l＝πrl＝eq\f(1,4)，故圓臺的側(cè)面積為S1－S2＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，故選C.3．答案：A解析：當繞a邊旋轉(zhuǎn)時，其體積V1＝eq\f(1,3)×π×(eq\f(bc,a))2×a＝eq\f(b2c2,3a)π；當繞b邊旋轉(zhuǎn)時，體積V2＝eq\f(1,3)π×c2×b＝eq\f(1,3)bc2π；當繞c邊旋轉(zhuǎn)時，體積V3＝eq\f(1,3)π×b2×c＝eq\f(1,3)b2cπ.∴aV1＝bV2＝cV3.故選A.4．答案：C解析：因為甲、乙兩個圓柱的底面面積分別為S1，S2，且eq\f(S1,S2)＝eq\f(16,9)，所以甲、乙兩個圓柱的底面半徑R1，R2滿意：eq\f(R1,R2)＝eq\f(4,3)，所以甲、乙兩個圓柱的底面周長C1，C2滿意：eq\f(C1,C2)＝eq\f(4,3)，又因為甲、乙兩個圓柱的側(cè)面積相等，所以甲、乙兩個圓柱的高H1，H2滿意：eq\f(H1,H2)＝eq\f(3,4)，所以甲、乙兩個圓柱的體積V1，V2滿意：eq\f(V1,V2)＝eq\f(S1H1,S2H2)＝eq\f(16,9)×eq\f(3,4)＝eq\f(4,3).故A、B、D錯誤．故選C.5．答案：A解析：設圓臺比較小的底面半徑為r，比較大的底面的半徑為R，則由已知可得R＝2r，因為圓臺的側(cè)面積為π(r＋R)×4＝π×3r×4＝60π，解得r＝5，故選A.6．答案：CD解析：依題意得球的半徑為R，則圓柱的側(cè)面積為2πR×2R＝4πR2，∴A錯誤；圓錐的側(cè)面積為πR×eq\r(5)R＝eq\r(5)πR2，∴B錯誤；球面面積為4πR2，∵圓柱的側(cè)面積為4πR2，∴C正確；∵V圓柱＝πR2·2R＝2πR3，V圓錐＝eq\f(1,3)πR2·2R＝eq\f(2,3)πR3，V球＝eq\f(4,3)πR3，∴V圓柱∶V圓錐∶V球＝2πR3∶eq\f(2,3)πR3∶eq\f(4,3)πR3＝3∶1∶2，∴D正確．故選CD.7．答案：36π解析：圓柱的體積為V＝πr2h＝π×32×4＝36πcm3，設球的半徑為R，則eq\f(4,3)πR3＝36π，R＝3cm，則該鋼球的表面積為S＝4π×32＝36πcm2.8．答案：3π解析：由題中直觀圖圖象可知，該幾何體是一個圓柱去掉了其中一部分，故所求幾何體體積為π×12×4－eq\f(1,2)×π×12×2＝3π.9．解析：(1)設圓柱的底面半徑為r，高為h；圓錐的母線長為l，高為h1，則2πr＝24π，則r＝12，h1＝eq\r(202－122)＝16，V＝πr2h－eq\f(1,3)πr2h1＝122×30π－eq\f(1,3)×122×16π＝3552πcm3；(2)圓柱的側(cè)面積S1＝2πrh＝720πcm2，圓柱的底面積S2＝πr2＝144πcm2，圓錐的側(cè)面積S3＝πrl＝240πcm2，所以“籠具”表面積S表＝S1＋S2＋S3＝1104πcm2，故50個“籠具”的總造價為：eq\f(1104π×50×8,104)＝eq\f(1104π,25)(元).10．解析：(1)∵圓錐的底面半徑R＝6，高h＝8，∴圓錐的母線長L＝eq\r(h2＋R2)＝10，則表面積S＝πRL＋πR2＝60π＋36π＝96π，體積V＝eq\f(1,3)πR2h＝96π.(2)作出圓錐、圓柱的軸截面如圖所示，其中SO＝8，OA＝OB＝6，OK＝x(0<x<8)，設圓柱底面半徑為r，則eq\f(r,6)＝eq\f(8－x,8)，即r＝eq\f(3,4)(8－x).設圓柱的側(cè)面積為S′＝2πr·x＝2π·eq\f(3,4)(8－x)·x＝eq\f(3π,2)(－x2＋8x).當x＝4時，S′有最大值為24π.核心素養(yǎng)升級練1．答案：B解析：由題，圓錐部分高度為3cm，故V＝V柱＋V錐＝Sh柱＋eq\f(1,3)Sh錐，即120＝S(7＋eq\f(1,3)×3)，可解得S＝15cm2.故選B.2．答案：D解析：如圖所示，設圓錐的底面半徑為r，母線長為l.O為底面圓的圓心，ABCD為底面的一個圓內(nèi)接正方形，OP為圓錐的高．由題意可得：πrl＝3πr2，解得：l＝3r＝6，所以OP＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(62－22)＝4eq\r(2).而SABCD＝AB×BC＝(2eq\r(2))2＝8.所以該四棱錐的體積為V＝eq\f(1,3)SABCD×OP＝eq\f(1,3)×8×4eq\r(2)＝