四川省達(dá)州市2025屆高三數(shù)學(xué)第一次診斷性測(cè)試?yán)砜圃囶}含解析

四川省達(dá)州市2024屆高三數(shù)學(xué)第一次診斷性測(cè)試?yán)砜圃囶}留意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黒.如需改動(dòng)，用橡皮擦千凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合，再求即可.【詳解】由已知，又，.故選：A.2.復(fù)數(shù)滿意，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可得出結(jié)果.【詳解】由得，,故選：C.3.已知向量，滿意，則（）A.0 B.2 C. D.5【答案】D【解析】【分析】利用數(shù)量積垂直的坐標(biāo)表示，即可求解.【詳解】.故選：D4.四川省將從2024年秋季入學(xué)的高一年級(jí)學(xué)生起先實(shí)行高考綜合改革，高考采納“3+1+2”模式，其中“1”為首選科目，即物理與歷史二選一.某校為了解學(xué)生的首選意愿，對(duì)部分高一學(xué)生進(jìn)行了抽樣調(diào)查，制作出如下兩個(gè)等高條形圖，依據(jù)條形圖信息，下列結(jié)論正確的是（）A.樣本中選擇物理意愿的男生人數(shù)少于選擇歷史意愿的女生人數(shù)B.樣本中女生選擇歷史意愿的人數(shù)多于男生選擇歷史意愿的人數(shù)C.樣本中選擇物理學(xué)科的人數(shù)較多D.樣本中男生人數(shù)少于女生人數(shù)【答案】C【解析】【分析】依據(jù)等高條形圖的概念結(jié)合條件逐項(xiàng)分析即得.【詳解】依據(jù)等高條形圖圖1可知樣本中選擇物理學(xué)科的人數(shù)較多，故C正確；依據(jù)等高條形圖圖2可知樣本中男生人數(shù)多于女生人數(shù)，故D錯(cuò)誤；樣本中選擇物理學(xué)科的人數(shù)多于選擇歷史意愿的人數(shù)，而選擇物理意愿的男生比例高，選擇歷史意愿的女生比例低，所以樣本中選擇物理意愿的男生人數(shù)多于選擇歷史意愿的女生人數(shù)，故A錯(cuò)誤；樣本中女生選擇歷史意愿的人數(shù)不肯定多于男生選擇歷史意愿的人數(shù)，故B錯(cuò)誤.故選：C.5.三棱錐的底面為直角三角形，的外接圓為圓底面，在圓上或內(nèi)部，現(xiàn)將三棱錐的底面放置在水平面上，則三棱錐的俯視圖不行能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題目信息可畫出三棱錐的直觀圖，變更點(diǎn)位置，即可對(duì)全部可能的俯視圖做出推斷，得出答案.【詳解】由三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，底面為直角三角形，不妨設(shè)，則的外接圓圓心即為的中點(diǎn)；又在圓上或內(nèi)部，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，三棱錐如下圖所示，由底面可知，此時(shí)三棱錐的俯視圖為A選項(xiàng)；當(dāng)點(diǎn)滿意為外接圓直徑時(shí)，三棱錐如下圖所示，由底面可知，此時(shí)三棱錐的俯視圖為B選項(xiàng)當(dāng)點(diǎn)與圓心重合時(shí)，三棱錐如下圖所示，由底面可知，此時(shí)三棱錐的俯視圖為C選項(xiàng)；因此，選項(xiàng)ABC均有可能，俯視圖不行能為選項(xiàng)D.故選：D6.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】先利用不等式的性質(zhì)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性證得充分性，再舉反例解除必要性，從而得解.【詳解】證充分性：因?yàn)?，所以，，則，所以，故是的充分條件；解除必要性：令，則，，滿意，但不滿意，所以不是的必要條件；綜上：“”是“”的充分不必要條件.故選：A.7.把一個(gè)三邊均為有理數(shù)的直角三角形面積的數(shù)值稱為同余數(shù)，假如正整數(shù)為同余數(shù)，則稱為整同余數(shù).年月日，年度國(guó)家科學(xué)嘉獎(jiǎng)大會(huì)在人民大會(huì)堂隆重召開，中國(guó)科學(xué)院探討員田剛以“同余數(shù)問(wèn)題與函數(shù)的算術(shù)”項(xiàng)目榮獲年度國(guó)家自然科學(xué)獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)，在同余數(shù)這個(gè)具有千年歷史數(shù)學(xué)中最重要的古老問(wèn)題上取得突破性進(jìn)展.在中，，繞旋轉(zhuǎn)一周，所成幾何體的側(cè)面積和體積的數(shù)值之比為：，若的面積為整同余數(shù)，則的值可以為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】用直角三角形的一條直角邊長(zhǎng)和面積，表示出另一條直角邊長(zhǎng)和斜邊長(zhǎng)，以旋轉(zhuǎn)形成的圓錐的側(cè)面積和體積的數(shù)值之比建立方程，將選項(xiàng)中的值代入方程，推斷解出的，，是否為有理數(shù)即可.【詳解】如圖，中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊為，，，且，則的面積，∴，∴，繞旋轉(zhuǎn)一周，形成一個(gè)底面半徑，高，母線長(zhǎng)的圓錐，該圓錐的側(cè)面積，該圓錐的體積，側(cè)面積和體積的數(shù)值之比為，化簡(jiǎn)得，對(duì)于A，將代入，得，無(wú)解，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，將代入，得，解得或，當(dāng)時(shí)，，均為有理數(shù)，滿意題意，當(dāng)時(shí)，，均為有理數(shù)，滿意題意，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，將代入，得，解得，無(wú)有理數(shù)解，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，將代入，得，解得，無(wú)有理數(shù)解，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：B.8.將函數(shù)圖象上全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，直線與曲線僅交于，三點(diǎn)，為的等差中項(xiàng)，則的最小值為（）A.8 B.6 C.4 D.2【答案】C【解析】【分析】由三角函數(shù)圖象的平移變換可得，由題意推得必為函數(shù)的對(duì)稱中心，可得，即可求得答案.【詳解】由題意將函數(shù)圖象上全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，則，因?yàn)橹本€與曲線僅交于，三點(diǎn)，為的等差中項(xiàng)，由于，在直線上,故為的等差中項(xiàng)，不妨設(shè)，則，即，若，則，即，此時(shí)直線與曲線不止三個(gè)交點(diǎn)，不合題意；故，結(jié)合的對(duì)稱性，可得有直線與曲線僅有3個(gè)交點(diǎn)，即必為函數(shù)的對(duì)稱中心，即，故，因?yàn)?，故時(shí)，的最小值為4，故選：C9.點(diǎn)為雙曲線（，）的一個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)作雙曲線的一條漸近線的平行線交雙曲線于點(diǎn).為原點(diǎn)，，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通過(guò)計(jì)算到所作漸近線平行線的距離為可知，與所作直線和漸近線垂直，再利用雙曲線的定義和，，之間的關(guān)系即可求解.【詳解】設(shè)雙曲線的兩條漸近線為：，：，由雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)為雙曲線的右焦點(diǎn)，過(guò)作，則的方程為，即，則到的距離，∴，∴，在中，，設(shè)雙曲線左焦點(diǎn)為，連接，由雙曲線的定義知，，設(shè)與交于點(diǎn)，∵為線段的中點(diǎn)，，∴，，在中，，即，化簡(jiǎn)得，∴雙曲線的離心率.故選：D.10.曲線在點(diǎn)處的切線平分圓，則（）A.有兩個(gè)零點(diǎn)B.有極大值C.在上為增函數(shù)D.當(dāng)時(shí)，【答案】D【解析】【分析】依據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義確定在點(diǎn)處的切線方程為，由于平分圓，所以得，于是得函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的零點(diǎn)，單調(diào)性，極值即可推斷.【詳解】解：因?yàn)?，所以，曲線在點(diǎn)處的切線斜率，又，則切線方程為：，即，若該切線平分圓，則切線過(guò)圓心，則，解得，所以，，對(duì)于A，，即，所以，則有一個(gè)零點(diǎn)，故A不正確；對(duì)于B，，解得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以有微小值，故B不正確；對(duì)于C，由B可知，C不正確；對(duì)于D，由B可知在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，，故D正確.故選：D11.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別為的中點(diǎn)，則（）A.異面直線與所成角的余弦值為B.點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)平面時(shí)，的最小值為C.過(guò)點(diǎn)的平面截正方體所得的截面周長(zhǎng)為D.當(dāng)三棱錐的全部頂點(diǎn)都在球的表面上時(shí)，球的表面積為【答案】B【解析】【分析】A項(xiàng)通過(guò)平行線求異面直線所成角；B項(xiàng)先求點(diǎn)P的軌跡再求DP的最小值；C項(xiàng)先由面面平行的性質(zhì)作出截面再求截面的周長(zhǎng)；D項(xiàng)先找外接球的球心再求球的表面積.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，∵∴在Rt△BB1F中∠BB1F即為異面直線DD1與B1F所成的角，∴，∴異面直線DD1與B1F所成的角的余弦值為.故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，取A1D1的中點(diǎn)M，D1C1的中點(diǎn)N，連接MN，DM，DN，則DM∥B1F，DN∥B1E，又∵面B1EF，面B1EF，面B1EF，面B1EF，∴DM∥面B1EF，DN∥面B1EF，又∵，面DMN，∴面DMN∥面B1EF，又∵DP∥面B1EF，面A1B1C1D1∴P軌跡為線段MN，∴在△DMN中，過(guò)D作DP⊥MN，此時(shí)DP取得最小值，在Rt△DD1M中，D1M=1，D1D=2，∴，在Rt△DD1N中，D1N=1，D1D=2，∴，在Rt△MD1N中，D1N=1，D1M=1，∴，∴如圖在Rt△DPN中，.故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)D1、E、F的平面截正方體ABCD—A1B1C1D1所得的截面圖形為五邊形D1MEFN則D1M∥NF，D1N∥ME，如圖，以D為原點(diǎn)，分別以DA、DC、DD1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz，設(shè)AM=m，CN=n，則，，，，，∴，∵D1M∥NF，D1N∥ME，∴∴∴∴在Rt△D1A1M中，D1A1=2，，∴，同理：，在Rt△MAE中，，AE=1，∴，同理：在Rt△EBF中，BE=BF=1，∴，∴，即：過(guò)點(diǎn)D1、E、F的平面截正方體ABCD-A1B1C1D1所得的截面周長(zhǎng)為.故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，如圖所示，取EF的中點(diǎn)O1，則O1E=O1F=O1B，過(guò)O1作OO1∥BB1，且使得，則O為三棱錐B1—BEF的外接球的球心，所以O(shè)E為外接球的半徑，∵在Rt△EBF中，，∴∴.故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B.12.函數(shù)滿意，令，對(duì)隨意的，都有，若，則（）A. B.3 C.1 D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)變形得到，即，再依據(jù)，，計(jì)算得到，，從而得到，由求出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，即，，故，所以是奇函?shù)，令，解得：，故，解得：，則，令，解得：，故，解得：，則，依次可得：，解得：，則，則，故，中，令得：，所以,故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：抽象函數(shù)對(duì)稱性與周期性的推斷如下：若，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱；若，則函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱；若，則是的一個(gè)周期二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.綻開式中的常數(shù)項(xiàng)為__________（用數(shù)字作答）.【答案】70【解析】【分析】由二項(xiàng)綻開式通項(xiàng)公式確定常數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，從而得結(jié)論．【詳解】,令,解得,∴常數(shù)項(xiàng)為．故答案為：70.14.定義，現(xiàn)從集合中隨機(jī)取兩個(gè)不同的元素，則滿意的概率為__________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)新定義得到，再依據(jù)的全部取值可能，利用古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.【詳解】因?yàn)椋瑥募现须S機(jī)取兩個(gè)不同的元素，所組成的點(diǎn)共有個(gè)，又因?yàn)槎x，所以由可得：，在全部的點(diǎn)中，滿意的有共3個(gè)，由古典概型的概率計(jì)算公式可得：，所以滿意的概率為，故答案為：.15.已知正方形邊長(zhǎng)為兩點(diǎn)分別為邊上動(dòng)點(diǎn)，，則的周長(zhǎng)為__________.【答案】4【解析】【分析】設(shè)，，用表示出，由勾股定理求出即可求出周長(zhǎng).【詳解】如圖所示，設(shè)，，所以，即，由題意可得，，所以，，所以，所以的周長(zhǎng)為，故答案為：416.斜率為1的直線與曲線交于兩點(diǎn)，為的焦點(diǎn)，，點(diǎn)為曲線上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時(shí)，__________.【答案】1【解析】【分析】設(shè)直線：，聯(lián)立，依據(jù)條件和韋達(dá)定理可得拋物線方程和直線的方程，再求出點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)距離最大時(shí)，即可得面積最大時(shí)的的值，進(jìn)而可得【詳解】設(shè)直線：，聯(lián)立，，，又，，解得或（舍去），則，得，，則點(diǎn)到直線的距離當(dāng)或，即或時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)的面積取最大值，故答案為：1.三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答.第22?23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.黨的十九大提出實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略以來(lái)，農(nóng)夫收入大幅提升，2024年9月23日某市舉辦中國(guó)農(nóng)夫豐收節(jié)慶祝活動(dòng)，糧食總產(chǎn)量有望連續(xù)十年全省第一.據(jù)統(tǒng)計(jì)該市2017年至2024年農(nóng)村居民人均可支配收入的數(shù)據(jù)如下表：年份20172024202420242024年份代碼12345人均可支配收入（單位：萬(wàn)元）（1）依據(jù)上表統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，計(jì)算與的相關(guān)系數(shù)，并推斷與是否具有較高的線性相關(guān)程度（若，則線性相關(guān)程度一般，若則線性相關(guān)程度較高，精確到）；（2）市五屆人大二次會(huì)議政府工作報(bào)告提出，2024年農(nóng)村居民人均可支配收入力爭(zhēng)不低于萬(wàn)元，求該市2024年農(nóng)村居民人均可支配收入相對(duì)2024年增長(zhǎng)率最小值（用百分比表示）.參考公式和數(shù)據(jù)：相關(guān)系數(shù)，.【答案】（1），具有較高的線性相關(guān)程度；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)條件及相關(guān)系數(shù)公式可得相關(guān)系數(shù)，進(jìn)而即得；（2）設(shè)增長(zhǎng)率為，由題可得，進(jìn)而即得.【小問(wèn)1詳解】由題可知的平均數(shù)為，，所以，，所以與具有較高的線性相關(guān)程度；【小問(wèn)2詳解】設(shè)增長(zhǎng)率，則，解得，，該市2024年農(nóng)村居民人均可支配收入相對(duì)2024年增長(zhǎng)率最小值為.18.已知正項(xiàng)等比數(shù)列前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合與的關(guān)系式即可求得與，從而得解；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，求得的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法即可求得.【小問(wèn)1詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，，由得，解得，當(dāng)時(shí)，，，則，即，，.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，，，，.19.如圖，四棱錐的底面是梯形，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，平面是中點(diǎn).（1）證明：；（2）若，三棱錐的體積為，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，進(jìn)而證明平面即可證明結(jié)論；（2）由題平面，進(jìn)而依據(jù)等體積法得，再以為原點(diǎn)，分別以方向?yàn)檩S，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解即可.【小問(wèn)1詳解】證明：平面平面..又，平面平面.平面.取的中點(diǎn)，連接為的中點(diǎn)，..，，為中點(diǎn)，.又平面平面.平面.【小問(wèn)2詳解】解：.，且四邊形為矩形，平面.∴，解得，以為原點(diǎn)，分別以方向?yàn)檩S，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.則，易知是平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，∴，即，不妨取，得..由圖知二面角的平面角為銳角，二面角的余弦值為.20.已知直線交橢圓于兩點(diǎn)，為的左?右焦點(diǎn)，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在上.（1）求的值；（2）過(guò)斜率為的直線交線段于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)條件列方程求出k；（2）求出A，B的坐標(biāo)，并運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式求出的表達(dá)式，再運(yùn)用配方法求解.【小問(wèn)1詳解】由題知.設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，則，解得.依據(jù)條件得，解得，即；【小問(wèn)2詳解】由題意作下圖：設(shè).把代入橢圓方程得的坐標(biāo)為，.由已知得直線的方程為…①交線段于，，即.設(shè)，在①中令，得，把①代入并化簡(jiǎn)得，，，，令，則，當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，所以的最小值為；綜上，，的最小值為.21.已知函數(shù).（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)時(shí)，曲線上的全部點(diǎn)均在拋物線的內(nèi)部.【答案】（1）單調(diào)減區(qū)間，增區(qū)間為（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，依據(jù)，得，再依據(jù)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的零點(diǎn)，最終代入原函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）首先利用不等式的傳遞性，得，再構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為證明，即可證明.【小問(wèn)1詳解】由得，且.是函數(shù)的極值點(diǎn)，，即.設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增.又當(dāng)時(shí)，，且.當(dāng)時(shí)，.若單調(diào)遞減；若單調(diào)遞增，是的微小值點(diǎn).所以的單調(diào)減區(qū)間為，增區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】證明：.構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.由于.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，