2021～2022海淀區(qū)數(shù)學初三(上)期末試題含答案

數(shù)學初三(上)期末2021?2022試卷海淀區(qū)含答案

2022.1

本試卷共8頁，共100分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)

束后將答題卡交回。

第一部分選擇題

一、選擇題(共16分，每題2分)第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.

.1在平面直角坐標系xOy中，下列函數(shù)的圖象經(jīng)過點(0,0)的是

(A)y=x+1(B)y=xz(C)y=(x-4)2(D)y=J

x

2下列各曲線是在平面直角坐標系xOy中根據(jù)不同的方程繪制而成的，其中是中心對稱圖形的是

(A)(B)(C)(D)

3.拋物線y=Q—2)2+1的頂點坐標是

(A)(2,1)(B)(112)(C)(-2,1)(D)(1)-2)

4在aABC中，CA^CB,點。為AB中點.以點C為圓心，C。長為半徑作。C,則。C與AB的位置關(guān)系是

(A)相交(B)相切(C)相離(D)不確定

5小明將圖案、二/某點連續(xù)旋轉(zhuǎn)若干次，每次旋轉(zhuǎn)相同角度a,設(shè)計出一個外輪廓為正六邊形的圖案(如

圖)，則a可以為

(A)30°(B)60°(C)90°(D)120°

O

第1頁共18頁

6把長為2m的繩子分成兩段，使較長一段的長的平方等于較短一段的長與原繩長的積.設(shè)較長一段的長為A-m,

依題意，可列方程為

(A)柒=2(2-x)(B)m=2(2+x)

(C)(2T)2=2X(D)X2=2-X

7.如圖，4,B,C是某社區(qū)的三棟樓,若在AC中點。處建一個5G基站，其覆蓋半徑為300m,則這三棟樓中

在該5G基站覆蓋范圍內(nèi)的是

(A)A,B,C都不在(B)只有B

(C)只有A,C(D)A,B,C

8.做隨機拋擲一枚紀念幣的試驗，得到的結(jié)果如下表所示:

拋擲次數(shù)m5001000150020002500300040005000

“正面向上”的次數(shù)n26551279310341306155820832598

n

“正面向上”的頻率一

0.5300.5120.5290.5170.5220.5190.5210.520

m

下面有3個推斷：

①當拋擲次數(shù)是1000時，“正面向上”的頻率是0.512,所以“正面向上”的概率是0.512；

②隨著試驗次數(shù)的增加，“正面向上”的頻率總在0.520附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計“正面向

上”的概率是0.520；

③若再次做隨機拋擲該紀念幣的實驗，則當拋擲次數(shù)為3000時，出現(xiàn)“正面向上”的次數(shù)不一定是1558

次.其中所有合理推斷的序號是

(A)②(B)①③(C)②③(D)①②③

第二部分非選擇題

二'填空題(共16分，每題2分)

09.已知某函數(shù)當x>0時，y隨x的增大而減小，則這個函數(shù)解析式可以為.

10.在一個不透明袋子中有3個紅球和2個黑球，這些球除顏色外無其他差別.從袋子中隨機取出1個球，則取

出紅球的概率是.

11.若點A(-1,y),B(2,y)在拋物線y=2x2上，則y,y的大小關(guān)系為：yy(填"或"V").

121212

第2頁共18頁

2如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（-2,0），點B（0,1）.將線段BA繞點B旋轉(zhuǎn)180°得到線段BC,則

點C的坐標為.

B若關(guān)于x的方程x2-2x+k=0有兩個不相等的實數(shù)根，則%的取值范圍是.

?如圖，PA,PB分別切。。于點A,B,Q是優(yōu)弧AB上一點，若NP=40。，則NQ的度數(shù)是

6小明烘焙了幾款不同口味的餅干，分別裝在同款的圓柱形盒子中.為區(qū)別口味，他打算制作“**餅干”字樣

的矩形標簽粘貼在盒子側(cè)面.為了獲得較好的視覺效果，粘貼后標簽上邊緣所在弧所對的圓心角為90。（如

圖）.已知該款圓柱形盒子底面半徑為6cm,則標簽長度/應為cm.（”取3.1）

6給定二元數(shù)對（p,q）,其中p=0或1,4=0或1.三種轉(zhuǎn)換器A,B,C對（p,q）的轉(zhuǎn)換規(guī)則如下:

/\

規(guī)則

a轉(zhuǎn)換器A當輸入（1,1）時，輸出結(jié)果為1；其余輸出結(jié)果均為

0.轉(zhuǎn)換器B當輸入（0,0）時，輸出結(jié)果為0；其余輸出結(jié)果均為

1.轉(zhuǎn)換器C當輸入（1,1）時，輸出結(jié)果為0；其余輸出結(jié)果均為

1.

?h在幺日—由林坳哭附A一市一CnTDJ由―伸出____________________________>

（D在圖1所示的“A—B—C”組合轉(zhuǎn)換器中，若輸入（1,0）,則輸出結(jié)果為；

（1,0）B（0,1）-C

圖1

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②在圖2所示的“①一C一②"組合轉(zhuǎn)換器中，若當輸入(1,1)和(0,0)時，輸出結(jié)果均為0,則該組合轉(zhuǎn)

換器為“--C-―"(寫出一種組合即可).

(p,q)①_)②0

圖2

三'解答題(共68分，第17-21題，每題5分，第22題6分，第23題5分，第24-26題，每題6分，第27-28

題，每題7分)解答應寫出文字說明'演算步驟或證明過程.

17.解方程：A2—6x+8=0.

18已知。是方程2心-7》-1=0的一個根，求代數(shù)式a(2〃-7)+5的值.

19在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=a(x-3)2-1經(jīng)過點(2,1).

(1)求該拋物線的表達式；

(2)將該拋物線向上平移個單位后，所得拋物線與x軸只有一個公共點.

2}如圖，在Rt/XA8c中，ZACB=90°,ZBAC=30°,將線段CA繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段CD,連接

AD,BD.

(1)依題意補全圖形；

(2)若BC=1,求線段BD的長.

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A

21.“化圓為方”是古希臘尺規(guī)作圖難題之一，即：求作一個正方形，使其面積等于給定圓的面積.這個問題困

擾了人類上千年，直到19世紀，該問題被證明僅用直尺和圓規(guī)是無法完成的.如果借用一個圓形紙片，我們

就可以化圓為方，方法如下：

已知：。。(紙片)，其半徑為r.

求作：一個正方形，使其面積等于。。的面積.

作法：①如圖1,取。0的直徑AB,作射線BA,過點A作A8的垂線/；

②如圖2,以點A為圓心，為半徑畫弧交直線/于點C；

③將紙片。。沿著直線/向右無滑動地滾動半周，使點A,8分別落在對應的4,B'處;

④取CB'的中點M,以點M為圓心，例C為半徑畫半圓，交射線BA于點E；

⑤以AE為邊作正方形

AEFG.正方形AEFG即為所_________________________________

求.

圖1圖2

根據(jù)上述作圖步驟，完成下列填空：

(1)由①可知，直線/為。。的切線，其依據(jù)是.

(2)由②③可知，AC=r,則仞C=,MA=_____________L用含「的代數(shù)式表示).

(3)連接ME，在Rt/XAME中，根據(jù)AM2+AE2=EM2,可計算得AE2=1(用含r的代數(shù)式表示).由

第5頁共18頁

此可得s

=s。0.

正方形A￡AC

22已知關(guān)于x的一元二次方程柒+(2-心)》+1-"?=0.

(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根：

(2)若〃?<0,且此方程的兩個實數(shù)根的差為3,求”?的值.

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4如圖，ZvlBC內(nèi)接于。0,高A。經(jīng)過圓心。.

①求證：AB=AC；

②若5c=8,。。的半徑為5,求△ABC的面積.

設(shè)郵票素有'‘國家名片"之稱，方寸之間，包羅萬象.為宣傳2022年北京冬奧會，中國郵政發(fā)行了一套冬奧

會郵票，其中有一組展現(xiàn)雪上運動的郵票，如圖所示：

越野滑雪（4-1）J高ft滑雪（4-2）J冬季兩項（4-3）J自由式滑雪（4-4）J

③④

某班級舉行冬奧會有獎問答活動，答對的同學可以隨機抽取郵票作為獎品.

①在搶答環(huán)節(jié)中，若答對一題，可從4枚郵票中任意抽取1枚作為獎品，則恰好抽到“冬季兩項”的概率

是;

②在搶答環(huán)節(jié)中，若答對兩題，可從4枚郵票中任意抽取2枚作為獎品，請用列表或畫樹狀圖的方法，求

恰好抽到“高ft滑雪”和“自由式滑雪”的概率.

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25如圖，AB為。。的直徑，弦CCA8于E,連接AC,過A作AFJ.AC,交。。于點F,連接。凡過8作

BGVDF,交。尸的延長線于點G.

(1)求證：BG是。。的切線；

(2)若NCE4=30。，。尸=4,求尸G的長.

25在平面直角坐標系xOy中，點(4,3)在拋物線y=公2+法+3(a>0)上.

(1)求該拋物線的對稱軸；

(2)已知機>0,當2-機4x42+2,”時，y的取值范圍是-1Wy43,求。，機的值；

(3)在(2)的條件下，是否存在實數(shù)〃，當"-2<x<〃時，y的取值范圍是3〃-3<y<3〃+5,若存在,

直接寫出〃的值；若不存在，請說明理由.

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27.如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=1,延長C8,并將射線C8繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到射線/,

。為射線/上一動點，點E在線段CB的延長線上，且BE=CO,連接DE,過點A作AM工DE于M.

①依題意補全圖1,并用等式表示線段。M與ME之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

0取BE的中點M連接AN,添加一個條件：CD的長為,使得=成立，并證明.

2

圖1備用圖

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a在平面直角坐標系xOy中，圖形W上任意兩點間的距離有最大值，將這個最大值記為d.對點P及圖形W

給出如下定義：點。為圖形w上任意一點，若P,。兩點間的距離有最大值，且最大值恰好為2d,則稱點P

為圖形W的“倍點”.

①如圖1,圖形印是半徑為1的00.

①圖形W上任意兩點間的距離的最大值d為；

②在點尸(0,2),P(3,3),P(-3,0)中，。。的“倍點”是；

123

0如圖2,圖形W是中心在原點的正方形ABCD,已知點A(-1,1),若點E(t,3)是正方形ABCD的“倍

點”，法的值；

③圖形W是長為2的線段MMT為MN的中點，若在半徑為6的。。上存在的“倍點”，直接寫出

滿足條件的點T所構(gòu)成的圖形的面積.

PP~'P~

312川

4?

3'

2'

J-f

_1II________________II]a

-4-3-2-1o234x

---

DC

-2?

圖1圖2

第10頁共18頁

數(shù)學初三（上）期末2021?2022試卷海淀區(qū)參考答案及評分標準

第一部分選擇題

一、選擇題（共16分，每題2分）

題號12345678

答案BCABBADC

第二部分非選擇題

二、填空題（共16分，每題2分）

3

9.不唯一，例如y=y=1-x2等

5

11.<12.(2,2)

13.k<\14.70°

15.9.316.(1)1,(2)不唯一，A/A或B/A均可

三、解答題（共68分，第17-21題，每題5分，第22題6分，第23題5分，第24-26題，每題6分，第27-28

題，每題7分）

解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

17.（本題滿分5分）

解：x2—6x+9=1

G-3）2=1

x-3=±1

x=4?x=9

12.

18.（本題滿分5分）

解：〃（2。-7）+5=2〃2一7〃+5.

,:a是方程2x2-7x-1=0的根，

/.2a2—7a-1=0.

/.2。2-7。=1.

:.原式=6.

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19.(本題滿分5分)

(1)解：：拋物線y=a(x-3》-1經(jīng)過點(2,1),

/?a—1=

1.解得：

2.

?,?該拋物線的表達式為y=2(x-31-1.

(2)1.

20.(本題滿分5分)

(1)如圖所示:

(2)解：VZACB=90°,ZBAC=30°,BC=1,

：.AB=2BC=2.

：.AC=dAB2-BC2=用.

?/線段CA繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段CD,

.?.04=0)且/4。。=60°.

.?.△AC。是等邊三角形.

：.AD=AC=4^'ND4c=60。.

ZDAB=ZDAC+ZCAB=90°.

：.在RtAABD中,BD=14及+4》=".

21.(本題滿分5分)

(1)經(jīng)過半徑外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；

(rt+1)r(7t-Or

(2)--------,--------；

22

(3)口2.

22.(本題滿分6分)"/m2>Q,

(1)證明：依題意，得

A=(2-zn)2

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一4（1一%）=根2—4m+4-4+4/77=m2.

第13頁共18頁

Z.A>0.

該方程總有兩個實數(shù)根.

(2)解：解方程，得x=-1,x=m--\.

12

m<0,

??—1>m—1.

???該方程的兩個實數(shù)根的差為3,

/?—1—(w—1)=：3.

m=—3.

23.(本題滿分5分)

(1)證明：在0。中，

8c于D,

：.BD=CD.

.?.49垂直平分BC.

：.AB=AC.

(2)解：連接0B,

:8c=8,又由(1)得BD=CD,

：.BD=,BC=4.

2

'：0A=0B=5,

：.0D=40B2-Bg=3.

AD=A0+0D=8.

：./XABC的面積S=：BC?A。=32.

^ABC2

24.(本題滿分6分)

⑴L

4

(2)解：直接使用圖中的序號代表四枚郵票.

方法一：由題意畫出樹狀圖

第14頁共18頁

由樹狀圖可知，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12種，即①②，①③，①④，②①，②③，②④，③①，③②，

③④，④①，④②，④③，并且它們出現(xiàn)的可能性相等.其中，恰好抽到“高ft滑雪”和“自由式滑雪”（記為事

件A）的結(jié)果有2種，即②④或④

?（）

..PA=-2-_—1—■

126

方法二：由題意列表

二枚

第一鏟、①②③④

①①②①③①④

②②①②③②④

③③①③②③④

④④①④②④③

由表可知，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12種，即①②，①③，①④，②①，②③，②④，③①，③②，③④，

④①，④②，④③，并且它們出現(xiàn)的可能性相等.其中，恰好抽到“高ft滑雪”和“自由式滑雪”（記為事件A）

的結(jié)果有2種，即②④或④②.

/.P（A）=￡=1

126,

25.(本題滿分6分)

(1)證明：

:C,A,D,尸在00上，ZCAF=90°,

：.ZD=ZCAF=90°.

:ABLCE,BG1DF,

：.ZBED=ZG=20°.

四邊形8EOG中，ZABG=90°.

：.半徑OBLBG.

；.BG是。。的切線.

第15頁共18頁

（2）解：連接CF,

VZCAF=90°,

???CT是。。的直徑.

:.OC=OF.

*/直徑A3_LCQ于E,

???CE=DE.

???0E是△<:￡>尸的中位線.

1

:.0E=-DF=2.

2

VAD=AD,ZAFD=30°,

???ZACD=ZAFD=3Q°.

：.^CAE=90°-ZACE=60°.

,.?OA=OC,

**?△AOC是等邊三角形.

VCE1AB,

:?E為AO中點，

：.OA=2OE=4,013=4.

：.BE=BO+OE=6.

??ZBED=ZD=ZG=90°,

J四邊形BEDG是矩形.

：.DG=BE=6,

：.FG=DG-DF=2.

26.(本題滿分6分)

(1)解：依題意，

???拋物線>=方2+以+3過點(0,3),(4,3),

?,?該拋物線的對稱軸為直線工=2.

(2)解：:拋物線y=or2+bx+3對稱軸為直線x=2,

,b

,,~—=2,即〃=-4a①.

2a

*.*m>0,

2-m<2<2+2ni.

,：a>0,拋物線開口向上，

第16頁共18頁

???當x=2時，函數(shù)值在2-機KxK2+2加上取得最小值一1.

即4。+2b+3=-1②.

聯(lián)立①②，解得〃=1,/?=-4.

二拋物線的表達式為y=x2-4x+3,即y=(x-2)2-1.

m>0,

，當2-m4x42時，y隨x的增大而減小，當x=2-相時取得最大值，

當24x42+2"?時，y隨x的增大而增大，當x=2+2〃?時取得最大值，

?.?對稱軸為x=2,

：.x=2-w與x=2+m時的函數(shù)值相等.

2<2+m<2+2m,

...當x=2+2〃?時的函數(shù)值大于當x=2+〃?時的函數(shù)值，即x=2-,w時的函數(shù)值.

.?.當x=2+2,"時，函數(shù)值在2-機4x42+2機上取得最大值3.

代入有4〃?2-1=3,舍去負解，得加=1.

(3)